KOKO\Mimi
28 KiB
Linear Static MITC4 Shell Numerical Review
Metadata
- feature_id:
linear-static-mitc4-shell - source_requirement:
docs/requirements/linear-static-mitc4-shell.md - source_research:
docs/research/linear-static-mitc4-shell-research.md - source_formulation:
docs/formulations/mitc4-shell-formulation.md - source_commits: requirements
5c3025a, research02680dc, formulation67251e0 - status:
needs-formulation-revision - owner_agent:
numerical-review-agent - date:
2026-08-11 - implementation_planning_authorized:
false - review_scope:
현재 선형 정적 formulation 전체 및 미래 기하비선형 tangent 절의 수학 구조
Review Verdict
- verdict:
needs-formulation-revision - primary_reason: 현재 geometry near-singularity 지표가 길이 방향 collapse를 검출하지 못하고, drilling 후보 비교가 공통 무차원 척도로 정규화되지 않았으며, rank와 conditioning 판정에 혼합 단위 DOF를 제거하는 scaling 계약이 없다.
- secondary_dependencies:
needs-numerical-calibration,needs-reference-model - current_linear_kernel_assessment: MITC4의 20-DOF 물리 kinematics, covariant shear
tying, plane-stress constitutive law,
2 x 2 x 2integration, 24-DOF 변환 및 recovery의 중심 수학 구조는 타당하다. - future_nonlinear_assessment: Total Lagrangian residual과 material/geometric tangent의 변분 구조는 타당하지만, finite-director chart와 global 24-DOF 일관 선형화가 확정되지 않아 미래 구현용 정식화로는 아직 불완전하다.
따라서 현재 문서는 유용한 formulation baseline이지만 Implementation Planning으로 넘길 수 없다. 아래 confirmed defect를 Formulation Agent가 수정하고, drilling 및 director/geometry calibration evidence가 준비된 뒤 Numerical Review를 다시 수행해야 한다.
1. Review Method and Evidence Boundary
검토는 다음 순서로 수행했다.
- 요구조건의 단위, DOF, rigid mode, tolerance 및 output 계약을 formulation과 대조했다.
- 원 MITC4 문헌의 director interpolation, edge-midpoint shear tying, full integration, rigid mode 및 nonlinear incremental 식과 대조했다.
- 각 matrix block의 차원, 변환의 virtual-work 보존, 부호 및 component order를 독립적으로 재유도했다.
- geometry 및 drilling 후보에 대해 formulation이 통과시키면 안 되는 극한 예를 구성했다.
- 확인된 결함, 알려진 위험, 근거가 부족한 open decision을 분리했다.
코드, Harness, Abaqus 및 reference solver는 실행하지 않았고 formulation 문서는 수정하지 않았다. 이 리포트는 reference comparison이나 release 승인이 아니다.
2. Critical Findings
NR-C01 — Critical — 현재 Jacobian 지표가 직교 collapse를 검출하지 못함
Formulation은
j_s=\frac{J}
{\|\mathbf G_\xi\|\,\|\mathbf G_\eta\|\,\|\mathbf G_\zeta\|}
와 J_min/J_max를 제안한다. 다음 직교 mapping을 고려한다.
\mathbf G_\xi=(1,0,0),\qquad
\mathbf G_\eta=(0,\varepsilon,0),\qquad
\mathbf G_\zeta=(0,0,t/2),\qquad \varepsilon>0.
그러면
J=\varepsilon t/2,
\qquad j_s=1,
\qquad J_{min}/J_{max}=1
이므로 epsilon -> 0인 near-collapsed element도 두 무차원 지표를 모두 완전히
통과한다. J>0은 exact zero만 배제하고 user-consistent unit에서 near-zero를 판정할
기준이 되지 않는다. Formulation에 “degenerate area를 별도 거부”한다고 적혀 있지만
그 scale-aware measure와 threshold가 수식 또는 알고리즘으로 정의되지 않았다.
이는 FESA-REQ-LSMITC4-016의 near-singular Jacobian 거부를 구현할 수 없게 하는
confirmed defect다. MITC Shell Kinematics의 degenerated mapping은 valid reciprocal
basis를 전제로 하고, Shell Locking Phenomenon이 지적하는 distortion 위험도
geometry acceptance가 실제 collapse를 식별할 것을 요구한다.
Required revision:
- 다음 세 종류를 분리해 모두 정의해야 한다.
- angular/director measure: 현재
j_s계열; - surface-collapse/aspect measure:
- angular/director measure: 현재
a_g=\frac{\|\mathbf A_\xi\times\mathbf A_\eta\|}{L_e^2},
\qquad
L_e=\max_{edge\ (I,J)}\|\mathbf X_J-\mathbf X_I\|;
- variation/warp measure:
J_min/J_max와 Gauss/center normal deviation. - exact threshold는 distortion sweep에서 정하되, measure 자체는 formulation에 먼저 고정해야 한다.
- center, Gauss, tying 및 committed recovery point가 동일한 orientation/validity inventory를 사용해야 한다.
NR-C02 — Critical — drilling 후보가 공통 물리 척도로 정규화되지 않음
Formulation의 후보 A와 B는 모두 force*length 차원을 가져 dimensional consistency는
만족한다. 그러나 얇은 쉘 극한에서 두 기준의 크기는 매우 다르다. 후보 A는
k_{ref}^{(A)}
=\frac{GtA}{1+qA/t^2}
\xrightarrow[A/t^2\to\infty]{}
\frac{Gt^3}{q},
후보 B는
D_{iso}=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}.
따라서
\boxed{
\frac{k_{ref}^{(A)}}{D_{iso}}
\to\frac{6(1-\nu)}{q}}
이고 nu=0.3, q=2.5e-5이면 그 비는 168000이다. 동일한
alpha_d=1e-3을 곱하면 후보 A의 drilling stiffness는 약 168 D_iso가 되지만
후보 B는 0.001 D_iso가 된다. 동일한 10^-3 중심 sweep은 서로 같은 “작은
drilling” 영역을 비교하지 않는다.
Formulation 17.4절의 “모든 후보를 research order 주변에서 sweep”은 이 차이를
제거하지 못한다. 10^-3은 thesis의 다른 reference scale에 붙은 사례이며 후보 A와
B의 공통 coefficient가 아니다.
Required revision:
- 후보 비교의 독립 변수는 raw
alpha_d가 아니라
\rho_{d,I}=\frac{k_{d,I}}{D_{iso}}
또는 승인된 physical rotational-block scale에 대한 동등한 무차원 비로 정의한다.
- 각 후보의
alpha_d <-> rho_d변환을 명시한다. - sweep은 하나의 임의 중심값을 공유하지 말고, 낮은 쪽 rank/conditioning 실패와 높은 쪽 physical response contamination을 모두 관찰할 때까지 로그 범위를 확장한다.
- nominal value는 stable plateau의 가장 작은 값으로 선택하고, 인접 decade에서
U/N/M/Q와 energy의 민감도를 기록한다.
Research는 exact Abaqus small factor를 제공하지 못하며 이 gap을 정직하게 기록했다. 따라서 source 인용만으로 coefficient를 고를 수 없고 numerical calibration evidence가 필요하다.
NR-C03 — Critical — rank와 conditioning 판정에 DOF scaling이 없음
Shell stiffness의 block 단위는 서로 다르다.
| block | units |
|---|---|
| translation-translation | force/length |
| translation-rotation | force |
| rotation-rotation | force*length |
따라서 raw K20 또는 K24의 singular value/eigenvalue와 condition number는 길이
단위 변경에 불변하지 않다. Formulation은 혼합 단위 diagonal minimum을 올바르게
금지했지만, rank/conditioning study에는 같은 문제를 해결하는 scaling을 정의하지
않았다.
Required revision:
\mathbf q=\mathbf S_e\widehat{\mathbf q},
\qquad
\mathbf S_e=\operatorname{blockdiag}_{I=1}^{4}
\left(L_e\mathbf I_3,\mathbf I_3\right),
\boxed{
\widehat{\mathbf K}_e=\mathbf S_e^T\mathbf K_e\mathbf S_e}.
K_hat의 모든 성분은 force*length 단위를 가지므로 normalized rank와 spectrum을
비교할 수 있다. L_e는 Section NR-C01의 scale-aware element length와 일치시켜야
한다. Physical 20 x 20 matrix에는 노드당 (L_e I3, I2) scaling을 적용한다.
수치 rank, drilling-mode separation 및 condition evidence는 raw matrix가 아니라 이
scaled matrix에서 정의해야 한다. Global Kff에도 model-level translational/rotational
scaling 계약이 필요하다.
NR-C04 — Major — linear weak form이 20-DOF와 24-DOF 시험공간을 혼용함
Formulation 7.1절은
delta epsilon_bar^{,T} C5 epsilon_bar
로 기록되어 있다. 쉼표는 미분 index가 아니며 의도한 식은
\delta W_{int}^{phys}
=\int_{\Omega_0}
(\delta\overline{\boldsymbol\epsilon})^T
\mathbf C_5\overline{\boldsymbol\epsilon}\,dV
이다. 이후 B^T C B 식은 올바르므로 부호나 kernel 자체의 결함으로 전파되지는
않는다.
그러나 notation 오기 외에도 test-space mismatch가 있다. 물리 평형을
delta q20 in V20에 대해 선언한 뒤 external work를 delta qg^T f_CLOAD로 쓰고,
drilling variation을 별도 절에 두었지만 하나의 complete 24-DOF weak form으로
결합하지 않았다. Rectangular T_p를 사용하는 현재 계약에서는 다음과 같이 전역
시험공간을 명시해야 한다.
\delta\mathbf q_g^T\left[
\mathbf T_p^T\mathbf f_{int}^{20}
+\mathbf T_d^T\mathbf K_d^l\boldsymbol\gamma
-\mathbf f_e^{CLOAD}\right]=0
\qquad\forall\delta\mathbf q_g\in V_{24}^0,
\mathbf f_{int}^{20}
=\int_{\Omega_0}\overline{\mathbf B}^T
\mathbf C_5\overline{\mathbf B}\mathbf q_{20}\,dV.
동등하게 physical part만 쓸 때는
delta q20^T f_int20 = delta qg^T T_p^T f_int20을 명시해야 한다. Element
equation은 이 global form과 일치하지만 weak-form source of truth가 다른 시험공간을
혼용하므로 formulation revision이 필요하다.
NR-C05 — Future-only Major — nonlinear 20-to-24 DOF tangent mapping이 미완성
Future section의 covariant Green-Lagrange first/second derivative와
K^{mat}_{AB}=\int B_A^T C_T B_B\,dV,
\qquad
K^{geo}_{AB}=\int s^T G_{AB}\,dV
는 Total Lagrangian virtual work와 일관된다. 이는 Total Lagrangian Shell Formulation 및 Green-Lagrange Strain Linearization과 부합한다.
그러나 nonlinear physical coordinate는 20개 director-chart coordinate로 정의된
반면, linear limit에서 곧바로 K_phys^24로 환원된다고 서술한다. Finite rotation에서
global [URX,URY,URZ]와 two-parameter director chart 사이의 mapping, 그 mapping의
first/second derivative, chart update 및 objective drilling potential이 정의되지 않아
이 환원은 현재 증명되지 않는다.
이 finding은 승인 범위인 linear-static implementation을 차단하지 않지만, Section 15를 미래 nonlinear implementation-ready formulation으로 사용할 수 없게 한다. 미래 nonlinear gate 전에 별도 formulation revision이 필요하다.
3. Confirmed Consistent Parts
3.1 DOF ordering, director sign, and transformation
- Global order
[UX,UY,UZ,URX,URY,URZ]와 physical local order[uX,uY,uZ,alpha,beta]는 요구조건과 일치한다. - Right-handed
(a,b,d)에서
\delta\mathbf d
=\boldsymbol\theta\times\mathbf d
=-\alpha\mathbf b+\beta\mathbf a
이므로 rotation sign은 원 MITC4 문헌과 일치한다.
T_p=P T,T_d=D_gamma T의 크기는 각각20 x 24,4 x 24이며 virtual work를 보존한다.- Orthonormal frame과 disjoint selector 때문에
\mathbf T_p\mathbf T_d^T=\mathbf0.
따라서 rank(K20)=14, k_d,I>0을 전제로 physical rank 14와 drill rank 4가
서로 중첩되지 않아 exact-arithmetic stabilized rank는 18, nullity는 6이다.
- Physical rigid mode에서
\boldsymbol\theta_I
=\boldsymbol\omega-(\boldsymbol\omega\cdot\mathbf d_I)\mathbf d_I
로 gamma=0을 구성하는 규약은 approved five-DOF gauge contract와 일치한다.
수치적으로 이 rank를 판정하는 방법은 NR-C03 수정과 drilling calibration 이후에만 승인할 수 있다.
3.2 MITC tying and B operator
Tying alias를 원 논문의 A/B/C/D로 다시 쓰면
| FESA location | source alias | component |
|---|---|---|
T_xi+ = (0,+1,0) |
A | epsilon_xi-zeta |
T_xi- = (0,-1,0) |
C | epsilon_xi-zeta |
T_eta+ = (+1,0,0) |
D | epsilon_eta-zeta |
T_eta- = (-1,0,0) |
B | epsilon_eta-zeta |
이므로 interpolation weight와 edge inventory는 원 MITC4 식과 일치한다. Direct covariant strain column
B^{DI}_{\alpha\beta,A}
=\frac12(\mathbf G_\alpha\cdot\mathbf h_{A,\beta}
+\mathbf G_\beta\cdot\mathbf h_{A,\alpha})
도 small-strain covariant relation과 일치한다. Tied covariant tensor를 reciprocal basis로 복원하고 engineering shear factor를 적용하는 순서가 명확하며, residual과 stiffness가 같은 projection을 사용한다. 이는 [[Assumed Transverse Shear Strain Interpolation]]의 핵심 consistency 요구를 만족한다.
3.3 Constitutive matrix and units
Cps의 engineeringgamma12coefficient는G이고 transverse shear block은(5/6)G I2다.-1 < nu < 0.5,E>0에서C5는 symmetric positive definite다.sigma33=0, thickness strain 제외, centered homogeneous layer boundary가 요구조건과 일치한다.K20, force, resultant, curvature 및 energy의 차원은 다음과 같이 일관된다.
| quantity | units |
|---|---|
| membrane/shear strain | 1 |
| curvature | 1/length |
N, Q |
force/length |
M |
force |
| physical/drilling energy | force*length |
5/6은 승인된 homogeneous rectangular-thickness 범위에만 사용하므로 범위 확장도
없다.
3.4 Integration and hourglass assessment
xi,eta,zeta = +/-1/sqrt(3), 모든 weight1인2 x 2 x 2규칙은 원 elastic MITC4의2 x 2midsurface와 두 thickness point 근거에 부합한다.- Tying shear는 midsurface edge 값으로부터 만들어 두 thickness point에서 공통으로 사용하며, 나머지 mapping과 in-plane strain은 실제 thickness point에서 평가한다.
S4와S4R이 동일한 full-integration path를 사용한다는 product mapping이 명확하다.1 x 1reduced integration이 없으므로 별도 hourglass control은N/A다.
이는 MITC4 Shell Element의 full B^T D B 경로 및 원 문헌의 no-spurious-mode
관찰과 일치한다. 다만 실제 rank는 distortion 및 drilling scaling을 포함한 test로
확인해야 한다.
3.5 Recovery signs and locations
정의
\boldsymbol\epsilon_0=\frac1t\int\mathbf e_m\,dz,
\qquad
\boldsymbol\kappa=\frac{12}{t^3}\int z\mathbf e_m\,dz
로부터 e_m(z)=epsilon0+z kappa이면 정확히 원래 epsilon0, kappa를 복구한다.
동일한 fixed midsurface local frame과 동일한 thickness quadrature를 사용하므로
\mathbf N=\mathbf A\boldsymbol\epsilon_0,
\qquad
\mathbf M=\mathbf D\boldsymbol\kappa,
\qquad
\mathbf Q=\mathbf A_s\boldsymbol\gamma_0
가 centered homogeneous layer에서 일관된다. Bottom z=-t/2, top z=+t/2,
M=integral(z sigma dz)의 부호도 서로 모순되지 않는다. Output order와 위치는
요구조건과 일치한다.
3.6 Linear reaction and equilibrium sign
Full residual을 r=K d-F로 정의했으므로 constrained component는 반력이고 free
component는 equilibrium evidence다. 전역 force/moment balance에서 applied load와
reaction을 더해 zero를 확인하는 부호도 이 정의와 일치한다.
4. Numerical Decisions
4.1 Approved in this review
NR-D01 — Drilling-direction nodal moment projection
Nonzero nodal moment에 대해
\rho_M=\frac{|\mathbf d_I\cdot\mathbf M_I|}{\|\mathbf M_I\|}
를 사용하고 rho_M <= 1e-12인 경우에만 tangent-plane moment로 수용한다. Zero moment는
별도 exact-zero case로 수용하며 denominator를 clamp하지 않는다. 이 기준은
FESA-REQ-LSMITC4-051의 normalized frame/orthogonality 기준과 일치하고 길이/힘
단위에 불변이다.
NR-D02 — Algebraic normalized checks
Formulation revision에서 다음 normalization을 명시한다.
e_{sym}=\frac{\|\widehat K-\widehat K^T\|_F}{\|\widehat K\|_F}
\le10^{-12},
e_{rigid}=\frac{\|\widehat K\widehat r\|_2}
{\|\widehat K\|_2\|\widehat r\|_2}\le10^{-10},
e_{frame}=\|R^TR-I\|_F\le10^{-12}.
Zero matrix/vector denominator는 pass로 clamp하지 않고 invalid test construction으로 분류한다. Transformation-energy check는 nonzero reference energy에 대해
e_T=\frac{|E_g-E_l|}{|E_g|+|E_l|}\le10^{-12}
를 적용하며 양쪽 energy가 exact zero인 rigid/pure-null case는 별도 action test로 판정한다.
4.2 Not approved — blocking evidence gaps
NR-O01 — Drilling reference family, nominal coefficient, and plateau
NR-C02/NR-C03을 반영한 normalized sweep 결과가 없으므로 후보 A/B/physical-block 중 어느 것도 승인하지 않는다. Exact-arithmetic positivity만으로 practical factorization과 physical contamination을 동시에 보장할 수 없다.
NR-O02 — Drilling energy warning ratio
Source는 static drill-specific acceptable ratio를 제공하지 않는다. Nominal plateau에서
U/N/M/Q 민감도와 함께 calibrate해야 하며, 현 단계에서 1%, 5% 등의 임의 값을
승인하지 않는다. Ephys가 zero/near-zero이면 ratio를 만들지 않고 두 energy와 case
classification을 보고하는 formulation 원칙은 승인한다.
NR-O03 — Smooth-director angle
20 degrees는 usable initial candidate이나 Abaqus grouping heuristic을 FESA hard
rejection으로 바꾸는 결정이다. Pinched cylinder와 LE3의 coarse-to-fine mesh에서 incident
normal deviation 분포와 false-fold/false-smoothing case를 확인하기 전에는 승인하지
않는다.
NR-O04 — Geometry thresholds
NR-C01의 measure가 먼저 추가되어야 한다. 그 뒤 valid distortion/warp sweep과 collapsed negative sequence가 pass/fail 사이에 분리 영역을 제공해야 threshold를 승인할 수 있다.
NR-O05 — U tolerance and UR warning threshold
이 값은 Reference Model과 공동 소유이며 artifact/mesh evidence가 없다. U-only blocking, UR warning-only라는 정책은 승인하지만 수치값은 승인하지 않는다.
5. Numerical Risk Assessment
| risk | assessment | status/control |
|---|---|---|
| rigid body modes | 물리 20-DOF rank 14와 4 drill mode의 algebraic 분리는 타당 | scaled spectrum과 explicit six mode test 필요 |
| patch test | membrane, bending, shear, twist field 정의가 가능 | 구현 전 component/sign별 exact field test 필요 |
| symmetry | B^T C B, orthogonal congruence, diagonal drill로 구조상 symmetric |
NR-D02 normalized check 적용 |
| positive definiteness | free element는 six-mode semidefinite, valid constrained Kff는 positive definite 기대 |
geometry/drill calibration 뒤 확인 |
| hourglass | full 2 x 2 midsurface integration |
N/A; spurious-mode eigencheck는 유지 |
| shear locking | MITC tying으로 목표 현상을 완화 | thickness/mesh sequence 없이는 통과 주장 금지 |
| membrane locking | original MITC4의 distorted curved-shell known limitation | curved/distorted convergence와 known limitation 기록 |
| volumetric locking | approved plane-stress shell 범위 | N/A; 3D incompressible 의미로 확장 금지 |
| distortion | 현재 measure가 collapse를 누락 | NR-C01 critical revision |
| singular Jacobian | sign check는 있으나 near-singular scale가 불완전 | NR-C01 critical revision |
| conditioning | drilling과 mixed-unit DOF에 민감 | NR-C02/NR-C03 critical revision |
| linear solve convergence | direct linear solve에서는 Newton convergence N/A | residual/equilibrium 1e-10 확인 |
| mesh convergence | shear/membrane locking 및 curved response에 필수 | pinched cylinder/LE3 sequence 필요 |
| nonlinear tangent | 물리 20-DOF variation 구조는 타당 | NR-C05 때문에 future implementation blocked |
6. Consistency Checks
| check | result | evidence/comment |
|---|---|---|
| material/section units | pass | E, G, t, A/D/As와 output units 일치 |
| drilling dimensions | pass | 모든 후보와 Kd는 force*length |
| rank/conditioning dimensional invariance | fail | DOF scaling 미정의, NR-C03 |
| rotation/director signs | pass | delta d=-alpha b+beta a |
| tying signs and inventory | pass | A/C/D/B alias와 weight 일치 |
| DOF ordering | pass | global 6, physical 5 per node 정확 |
| coordinate transforms | conditional pass | linear T_p/T_d 타당; future nonlinear mapping 미완성 |
| matrix/vector dimensions | pass | 20/24/4 block 크기 일치 |
| constitutive symmetry/positivity | pass | approved E,nu 범위 |
| integration points/weights | pass | 2 x 2 x 2, weight 1 |
| Jacobian near-singularity contract | fail | orthogonal collapse counterexample, NR-C01 |
| stiffness/residual sign | pass | r=Kd-F, reaction/equilibrium 일치 |
| output component order | pass | generalized/resultant/stress order 일치 |
| output locations | pass | four midsurface points와 bottom/mid/top 분리 |
| weak-form test space/notation | fail | 20/24-DOF variation 혼용과 erroneous ^{,T}, NR-C04 |
| future material/geometric tangent | conditional pass | 20-DOF variation 타당, 24-DOF chart mapping 미완성 |
7. Verification Readiness
- unit_tests: Section 7.1의 algebraic, frame, tying, rank, energy 및 geometry tests.
- patch_tests: Section 7.2의 membrane, bending, shear, twist 및 rigid/drill states.
- mms_or_mes: CLOAD-only 범위에서는 prescribed polynomial element state를 이용한
manufactured element solution을 사용하며 distributed-load full-domain MMS는
N/A다. - benchmark_reference_comparison: Section 7.3의 pinched cylinder, LE3 및 S4/S4R displacement evidence.
- missing_evidence: Section 7.5의 drilling, geometry, director-angle, reference 및 future nonlinear evidence.
7.1 Unit and algebraic tests required
- Shape partition, Kronecker delta, derivative sum.
- Nodal/integration frame orthonormality, handedness, deterministic tie break.
T_p T_d^T=0, virtual work 및 energy congruence.- Source A/C/D/B tying value를 독립 hand calculation과 비교.
K20,Kphys,Kdrill,Kesymmetry와 separate energy.- Six physical rigid vectors, four pure drill vectors, scaled spectrum/rank.
- Force/length 단위 변경 후
K_hat, rank decision, displacement/resultant invariance. - NR-C01 직교 collapse sequence와 inverted/warped/opposed-normal negative cases.
- Bottom/mid/top stress와 thickness moment recovery의 analytical cross-check.
- S4/S4R source type만 바꾼 동일 model의 internal-row equality.
7.2 Patch and manufactured element states
- constant
E11,E22,G12membrane states; K11,K22pure bending과 top/bottom stress reversal;K12pure twist;G13,G23constant transverse shear;- physical rigid motion과 pure drilling separation.
Distributed load가 없어도 prescribed nodal field와 element action으로 patch algebra를 검증할 수 있다. 각 test는 component order와 sign을 별도로 판정해야 한다.
7.3 Locking and benchmark evidence required
- thin/thick cantilever 또는 plate의 thickness 및 mesh sequence;
- regular/distorted pinched cylinder sequence;
- NAFEMS LE3 coarse-to-fine sequence와 incident-normal angle inventory;
- 필요 시 equivalent nodal loads를 명시한 Scordelis-Lo 보조 sequence;
- S4 및 S4R source artifact 각 하나 이상.
Shell Locking Phenomenon에 따라 한 개 mesh의 displacement 일치만으로 locking absence를 주장하지 않는다. MITC4 Shell Element의 patch 및 Scordelis-Lo 근거는 element family의 타당성을 지지하지만 FESA의 director/drilling/output convention을 자동 검증하지 않는다.
7.4 Drilling calibration evidence required
NR-C02의 rho_d를 사용해 다음 두 실패 경계를 모두 포착해야 한다.
- low side: scaled positive spectrum이 solver rank threshold 아래로 내려가거나
Kffconditioning/factorization이 불안정해지는 지점; - high side: U 또는 physical
N/M/Q가 인접 decade에서 승인된 contamination bound를 넘거나 drilling energy가 physical response를 지배하는 지점.
Stable interval이 존재하지 않으면 선택한 diagonal absolute-drill 방법 자체를 Requirements/Formulation으로 되돌려 재검토해야 한다.
7.5 Missing evidence
- dimensionally normalized drilling sweep 결과;
- revised geometry metric의 valid/invalid separation data;
- curved benchmark별 incident-normal angle distribution;
- reference
S4/S4Rartifact inventory와 U/UR scale; - future nonlinear 24-DOF objective tangent evidence.
8. Required Revisions
Formulation Agent
- NR-C01의
L_e, normalized surface-area/aspect, angular/director 및 variation/warp measure를 분리해 정의한다. - NR-C02의
rho_d공통 물리 척도와 후보별 coefficient 변환을 정의하고 공통10^-3중심 sweep 문구를 제거한다. - NR-C03의 element DOF scaling과 normalized rank/conditioning 정의를 추가한다.
- NR-C04에 따라 global 24-DOF complete weak form으로 test space를 통일하고 transpose 오기를 수정한다.
- incident normal의 opposed-orientation 검사를 평균 이전에 수행하는 exact pair/reference 규칙을 명시한다.
- NR-D01/NR-D02의 projection 및 normalized algebraic metric을 반영한다.
- Future-only 절에서 20-coordinate tangent와 global 24-DOF mapping의 경계를 명확히 하고, 미확정 chart를 구현 가능하다고 읽을 수 있는 linear-limit 표현을 수정한다.
Research Agent
- MITC4 core theory의 추가 일반 조사는 필요하지 않다.
- Exact drill coefficient에 대한 authoritative 공개 근거가 새로 확인되지 않는 한 문헌 수치로 gap을 억지로 닫지 않는다.
- 추가 근거가 필요하다면 normal-angle hard rejection과 drilling normalization에 직접 적용 가능한 primary source만 보강한다.
Reference Model Agent
reference/shell/을 read-only로 다시 inventory하고 S4R 선언 artifact의 실제 파일, provenance, input subset 및 displacement row를 확인한다.- 별도 S4 artifact를 준비한다.
- LE3/pinched-cylinder mesh마다 incident-normal angle, mesh size 및 U reference scale을 metadata/evidence로 남긴다.
- U mixed tolerance와 nonblocking UR warning threshold를 제안한다.
Numerical Review Rerun
- Formulation revision diff를 확인한다.
- Geometry negative sequence와 drilling normalized sweep evidence를 검토한다.
- Section 4.2의 open decision을 닫거나 명시적으로 다시 반환한다.
- 그 전에는
pass-for-implementation-planning을 부여하지 않는다.
9. Downstream Handoff
Implementation Planning Agent
- 현재 handoff 금지.
implementation_planning_authorized=false다. - Numerical Review rerun이 통과한 뒤에만 Section 7의 test inventory를
RED -> GREEN -> VERIFY순서로 변환한다. - Future nonlinear state/tangent는 현재 linear implementation plan에 포함하지 않는다.
I/O Definition Agent
- 수학적 blocker와 독립적인 schema 설계 초안은 가능하지만, geometry threshold, drilling coefficient/energy warning, U/UR tolerance를 implementation default로 선점하지 않는다.
- NR-D01의 normalized drilling-load projection과 exact-zero handling을 diagnostic contract에 반영한다.
Reference Model Agent
- Section 8의 read-only inventory 및 benchmark evidence를 준비한다.
- Abaqus S4/S4R formulation equivalence를 주장하지 않고 global U만 blocking evidence로 사용한다.
Coordinator Agent
- workflow를 Formulation revision으로 되돌린다.
needs-numerical-calibration과needs-reference-model을 병렬 dependency로 추적한다.- 세 dependency가 닫히기 전에 Implementation Planning gate를 열지 않는다.
10. Evidence
Repository sources
docs/formulations/mitc4-shell-formulation.mddocs/research/linear-static-mitc4-shell-research.mddocs/requirements/linear-static-mitc4-shell.mddocs/reference-papers/MITC4/AContinuumMechanicsBasedFourNodeShell/docs/reference-papers/MITC4/FourNodeQuadrilateralShellElementMITC4/docs/reference-papers/MITC4/유한요소해석법을이용한쉘구조물의동적좌굴해석/
FEM wiki cross-checks
- MITC4 Shell Element — physical five-DOF kinematics, edge-midpoint tying,
B^T D B, patch 및 convergence evidence. - MITC Shell Kinematics — midsurface/director/thickness mapping.
- Assumed Transverse Shear Strain Interpolation — shear-locking remedy와 projection consistency.
- Shell Locking Phenomenon — transverse-shear 및 curved-shell membrane locking 구분.
- Total Lagrangian Shell Formulation — reference-configuration residual/tangent.
- Green-Lagrange Strain Linearization — material/geometric tangent 분리.
Wiki는 교차 확인 근거이며 최종 project authority는 approved requirements, research 및 reviewed formulation이다.