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Shell 과도 열전달 정식화 제안

• 상태: Proposed / 사용자 미승인 / 독립 numerical review 별도 보고서 참조. 구현 실행 지시가 아니다.
• 담당 범위: FEM-REQ-SHELL-THERMAL-001–018의 수식·물리 의미와 검증 함의.
• 기준: Feature PRD, Feature ADR, 프로젝트 지침, 프로젝트 PRD, 공통 ADR, ARCHITECTURE.
• 아래 수식은 FESA의 제안이다. Abaqus 내부 요소·적분·열용량·결과 생성과 동등하다는 주장이 아니다.

1. 적용 가정과 차원

고정된 3차원 midsurface의 4절점 Q4 요소에 두께 방향 온도점 5개를 둔다. 요소마다 두께 h > 0, 등방성 열전도율 k > 0, 밀도 ρ > 0, 비열 c > 0가 상수이며 단면 전체는 같은 재료다. 서로 다른 요소에는 다른 값을 배정할 수 있다. 변형·대류·복사·내부 발열·적층·면적 분포 표면 열유속은 PRD 제외 범위를 따른다.

일관된 입력 단위계를 사용한다. SI 예시는 h [m], T [K], t [s], k [W/(m·K)], ρ [kg/m³], c [J/(kg·K)], 열유속 q [W/m²]이다. 상수 물성에서는 온도 차에 같은 척도를 쓰는 섭씨도 가능하다. 숫자로 단위계를 추정하지 않는다. 온도 기준 이동에 불변인 에너지 증분을 사용하며 절대 내부에너지의 영점을 추정하지 않는다.

기하학적으로 얇은 shell의 product-domain 근사로 면내·두께 전도를 모두 유지한다. 여기서 ‘얇음’은 두께 방향 등온 가정이 아니다. 정적인 geometry이므로 구조 회전 DOF, 기하 비선형 tangent, 재료 history update는 없다. 유일한 진화 state는 온도다.

2. Geometry, 방향과 접속의 의미

자연좌표 (ξ,η) ∈ [-1,1]², 절점 순서 (-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1)를 사용한다. 절점 좌표를 x_i, midsurface를 r=Σ_i N_i x_i로 두고 다음을 계산한다.

[ a_1=r_{,\xi},\quad a_2=r_{,\eta},\quad g_{\alpha\beta}=a_\alpha\cdot a_\beta,\quad J_s=|a_1\times a_2|=\sqrt{\det g},\quad n=(a_1\times a_2)/J_s,\quad a^\alpha=\sum_\beta(g^{-1}){\alpha\beta}a\beta. ]

α,β=1,2; a^α는 reciprocal tangent이다. 실제 평가점마다 metric을 계산하며 warped Q4를 요소 중심의 평면에 투영하지 않는다. 출력 직교축은 e1=a1/|a1|, e2=n×e1, e3=n이다. 두께좌표 ζ ∈ [-1,1], z=hζ/2; 음의 normal 쪽이 bottom, 양의 쪽이 top이다. 표시 위치는 x=r+zn으로 정의하되, 연산자는 아래 근사를 쓴다.

[ \nabla_* T=a^1T_{,\xi}+a^2T_{,\eta}+n\frac{2}{h}T_{,\zeta},\qquad dV_* = J_s\frac h2,d\xi,d\eta,d\zeta. ]

정확한 offset-volume의 접선 aα+z n_,α, 두께별 metric·면적 변화는 생략한다. 따라서 h |κ1|, h |κ2|가 작고 열장이 변하는 면내 길이에 비해 두께가 작은 영역을 대상으로 한다. 적분 차수 증가로 이 모델링 오차가 없어지지는 않는다. 곡률의 정량 허용치, 왜곡 허용치와 validation margin은 아직 미정이다. 구조 shell의 두께 비율 기준을 전용하지 않는다. 곡률을 반영하는 별도 shell 열모델이 있다는 점은 COMSOL의 곡면 열전달 예제로 확인할 수 있다.

Geometry의 필수 조건은 유한 좌표, 서로 다른 4절점, J_s>0, 비특이 metric, 자기 교차 없는 유효 patch와 일관된 orientable connectivity이다. 적분점 검사만으로 전체 patch 유효성을 증명하지 않는다. 검사 위치·scale-aware degeneracy 기준·비다양체 허용 범위는 I/O와 numerical review가 확정해야 하며 작은 양수 Jacobian을 clamp하지 않는다.

접속 제안: 인접 요소는 같은 source node의 같은 ζ 온도 DOF를 공유한다. 매끈한 면에서 이는 온도 연속성과 약형 열률 평형을 준다. 접힌 판에서는 요소별 normal을 유지하고 공유 edge의 ζ별 온도만 같게 묶는 이상적 무저항·무용량 접합이다. 서로 다른 두께에서는 같은 normalized ζ를 연결하므로 실제 z 좌표가 같다는 뜻이 아니다. 실제 step 단차의 노출면, 유한 접합부 부피, 국소 spreading resistance는 해상하지 않는다. 이 모델은 사용자 결정이 필요한 물리 이상화다. 동의 없이 실제 3D 접속을 지원한다고 표시하지 않는다. 공유 edge의 요소 순서는 서로 반대여야 하고 bottom/top의 연속된 의미를 유지해야 한다. 온도는 scalar이므로 normal 사이의 회전행렬을 곱하지 않는다. 법선 반전은 해당 두께 station a ↔ 6-a와 면 하중/경계조건을 함께 바꿔야 같은 물리 문제가 된다.

3. 20 DOF와 온도 보간

절점별 온도점은 ζ_a=(-1,-1/2,0,1/2,1), a=1,…,5이다. 로컬 순서는 p=5(i-1)+a, 즉 node-major 20 DOF다. 외부 DOF는 10+a로 대응한다. 따라서 11=bottom, 13=midsurface, 15=top이다. 기하 절점 위치와 DOF11의 물리 위치를 혼동하지 않는다. 이 외부 위치 의미는 Abaqus Heat Transfer Shell Elements의 공개 규약을 따른다.

면내 shape와 미분은 각 절점의 부호 (ξ_i,η_i)를 사용한다.

[ N_i=\tfrac14(1+\xi_i\xi)(1+\eta_i\eta),\quad N_{i,\xi}=\tfrac14\xi_i(1+\eta_i\eta),\quad N_{i,\eta}=\tfrac14\eta_i(1+\xi_i\xi). ]

두께는 I−=[-1,0], I+=[0,1]의 두 C0 quadratic 구간으로 제안한다. 단일 quartic보다 각 구간의 저차 보간·국소 미분을 명료하게 유지하며, 중간 온도 1개를 공유한다. 구간 좌표는 s=2ζ+1 또는 s=2ζ−1; 두 경우 s∈[-1,1], ds/dζ=2이다.

[ \ell_1(s)=\tfrac12s(s-1),\quad \ell_2(s)=1-s^2,\quad \ell_3(s)=\tfrac12s(s+1),\qquad \ell'_1=s-\tfrac12,\quad\ell'_2=-2s,\quad\ell'_3=s+\tfrac12. ]

I−에서는 (L1,L2,L3)=(ℓ1,ℓ2,ℓ3), L4=L5=0; I+에서는 (L3,L4,L5)=(ℓ1,ℓ2,ℓ3), L1=L2=0이다. 활성 함수의 L_,ζ=2ℓ'; ζ=0의 함수값은 유일하지만 미분은 좌·우로 구분한다.

[ H_{ia}=N_iL_a,\qquad T_h=\sum_{i,a}H_{ia}T_{ia}=\mathbf H\mathbf T_e,\qquad B_{ia}=L_a(a^1N_{i,\xi}+a^2N_{i,\eta})+n\frac2hN_iL_{a,\zeta}. ]

H는 1×20, B는 global Cartesian 3×20, ∇_*T_h=B T_e다. ΣH=1, ΣB=0; Kronecker interpolation과 내부 station 온도 연속성을 확인한다. 두 구간은 수치 보간 구간이며 물성 layer나 물리 계면이 아니다.

4. 지배식, 약형과 20×20 행렬

Fourier 법칙 q=−k∇_*T, 저장식 ρc Tdot + div_* q=0를 사용한다. 외향 열유속 q·ν와 반대인 q_in=−q·ν를 양의 입력으로 정의한다. 자유 test function v에 대해 product-domain 약형은 다음과 같다.

[ \int_{V_}\rho c,v\dot T,dV_+ \int_{V_}k\nabla_v\cdot\nabla_T,dV_ =\int_{\Gamma_{\rm edge,}}v q_{\rm in},dA_+\sum_j v_jP_j. ]

지정 온도 외의 하중 없는 경계는 자연 단열이다. 집중 입력 P_j는 승인된 bottom/top 절점의 이산 heat rate이며 연속체 point-source 근방의 유한 heat flux를 보장하지 않는다.

[ \mathbf C_e=\int\rho c,\mathbf H^T\mathbf H,J_s\frac h2,d\xi d\eta d\zeta, \qquad \mathbf K_e=\int k,\mathbf B^T\mathbf B,J_s\frac h2,d\xi d\eta d\zeta. ]

C_e [J/K]는 consistent 열용량, K_e [W/K]는 열전도 행렬이다. C_e 대칭 양정치, K_e 대칭 양반정치와 유일한 요소 상수온도 null mode를 기대한다. Reduced integration, hourglass stiffness, capacity lumping은 이 제안에 넣지 않는다.

명시적인 component식과 분리 계산에 필요한 작은 행렬은 다음과 같다.

[ M_{ij}=\int_{[-1,1]^2}N_iN_jJ_s,d\xi d\eta,\quad S_{ij}=\int_{[-1,1]^2}\sum_{\alpha\beta}N_{i,\alpha}g^{\alpha\beta}N_{j,\beta}J_s,d\xi d\eta, \quad Z^0_{ab}=\int_{-1}^1L_aL_b,d\zeta,\quad Z^1_{ab}=\int_{-1}^1L_{a,\zeta}L_{b,\zeta},d\zeta, ] [ (C_e){ia,jb}=\rho c\frac h2M{ij}Z^0_{ab},\qquad (K_e){ia,jb}=k\left(\frac h2S{ij}Z^0_{ab}+\frac2hM_{ij}Z^1_{ab}\right). ]

a^α·n=0이므로 면내/두께 교차항은 없다. 각 길이 1인 ζ 구간에서 다음 3×3 행렬을 (1,2,3)와 (3,4,5)에 각각 더하면 Z^0,Z^1을 얻는다.

[ Z^0_{\rm seg}=\frac1{30}\begin{bmatrix}4&2&-1\2&16&2\-1&2&4\end{bmatrix},\qquad Z^1_{\rm seg}=\frac1{3}\begin{bmatrix}7&-8&1\-8&16&-8\1&-8&7\end{bmatrix}. ]

따라서 C=ρc(h/2)(M⊗Z0), K=k[(h/2)(S⊗Z0)+(2/h)(M⊗Z1)]이다. 이는 해당 node-major 순서와 일정 두께·물성·product metric에서만 적용한다. 요소/DOF source identity와 stable scatter를 보존하여 full C,K,F를 조립한다.

5. 적분과 geometry 오차의 분리

Affine 평판(직사각형·평행사변형)의 일정 metric에서는 면내 2×2 Gauss가 M,S에 정확하다. 두께 각 구간에서 C와 면내 전도는 4차 다항식이므로 3점 Gauss가 필요하다. 두께 전도는 2차이므로 2점으로 정확하지만 통일된 3점을 권장한다. 이에 따라 affine의 직접 적분은 2×2×(2 segments×3)=24점으로 정확하다. 일반적인 평면 왜곡 Q4의 S는 역 Jacobian 때문에 다항식이 아니므로 이 exactness는 적용되지 않는다.

제안 기본은 모든 요소의 면내 3×3 Gauss와 위 exact Z의 분리 계산이다. 직접 계산하면 3×3×2×3=54점이며 같은 행렬이어야 한다. 3점 규칙은 s=(-√(3/5),0,√(3/5)), w=(5/9,8/9,5/9)이고 각 두께 구간에서 dζ=ds/2다. 표면의 warped/curved metric에는 유한 고정 차수의 exactness를 주장하지 않는다. 3×3 → 5×5 → 7×7 적분 수렴, mesh 수렴, thin-shell 모델 오차를 별도 확인한다. 지원 geometry 범위에서 기본 차수가 불충분하면 검토를 통해 차수/범위를 고정하고 구현한다. 실행마다 허용오차에 맞춰 임의 adaptive quadrature를 선택하는 계약은 아니다.

6. 가장자리·절점 열입력

Edge 순서는 1:(1,2), 2:(2,3), 3:(3,4), 4:(4,1)로 제안한다. 면내 자연좌표 edge curve를 r_edge(u), u∈[-1,1], J_l=|dr_edge/du|로 둔다. 두께 전체 균일 입력 q_in [W/m²]의 일관 하중은 다음과 같다.

[ (F_e^{\rm edge}){ia}=\int{-1}^1\int_{-1}^1 N_i(\xi(u),\eta(u))L_a(\zeta)q_{\rm in}J_l\frac h2,d\zeta du. ]

Q4의 직선 edge, 일정 입력·두께에는 총 입력 q_in h L_edge가 정확히 보존된다. 각 endpoint의 5성분은 q_in h L_edge (1,4,2,4,1)/24이며 나머지 두 절점은 0이다. 이는 ∫L dζ=(1,4,2,4,1)/6와 edge당 ∫N_i dl=L_edge/2에서 나온다. Edge 2점, 각 두께 구간 2점으로 이 하중은 정확하다. 내부 온도점에도 일관 하중이 생기는 것은 허용된 edge 입력의 결과이며, 내부 온도점 직접 집중 입력을 지원한다는 뜻은 아니다. 외부 syntax가 선열률 λ [W/m]를 쓰기로 결정되면 q_in=λ/h로 해석해야 한다. 두 단위를 혼용하지 않으며 외부 입력 단위·keyword는 I/O owner가 확정한다.

Bottom/top 집중 열입력 P [W]는 지정 source node의 a=1/5에 그대로 더한다. h, 면적 또는 적분 weight를 추가하지 않는다. 지정 온도와 같은 DOF의 입력도 full F에 남겨 반력 계산에 반영한다. 중복 application의 가산/충돌 의미는 I/O 계약을 따른다.

7. Backward Euler, 지정 온도와 최초 증분

고정 Δt>0에서 backward Euler를 제안한다. t_n=nΔt, A=C/Δt+K이면

[ C\frac{T^{n+1}-T^n}{\Delta t}+KT^{n+1}=F^{n+1}+R^{n+1},\qquad A_{ff}T_f^{n+1}=F_f^{n+1}+\frac{C_{ff}}{\Delta t}T_f^n +\frac{C_{fc}}{\Delta t}T_c^n-A_{fc}g^{n+1}. ]

여기서 f/c는 free/constrained, T_c^{n+1}=g^{n+1}이다. 동등한 RHS 표현은 F_f−K_fc g^{n+1}+(C_ff/Δt)T_f^n+(C_fc/Δt)(T_c^n−g^{n+1})다. 이전 constrained 온도 항은 첫 증분에서도 생략하지 않는다. 이후 일정 g에서는 마지막 항이 사라진다. 잔차 tangent는 정확히 A; Newton 반복은 필요 없다. Backward Euler의 mass/diffusion 행렬 구성은 MFEM Example 16 원문에서도 확인할 수 있으며, 위 제약·초기화 정책은 별도의 FESA 제안이다.

C>0이므로 단열·무구속 모델도 transient A_ff는 양정치다. 정상 전도 K의 상수온도 null mode를 과도 해석의 singular error로 해석하지 않는다. 일반 partition 대수에서 모든 DOF가 constrained이면 0×0 free solve를 건너뛰고 prescribed state와 full reaction을 계산한다. 이 경우는 generic partition fixture로만 검증한다. 이번 공개 입력은 bottom/top만 구속할 수 있으므로 내부 3개 station까지 모두 구속하는 열 CLI 모델은 허용되지 않는다. 고정 geometry·물성·DOF 집합·Δt에서는 A_ff를 최초 한 번 factorize할 수 있다. 전체 시간이 Δt의 정수 배가 아니면 입력을 거부하는 방안을 권장한다. 짧은 마지막 증분은 고정 Δt와 factorization 재사용 의미를 바꾸므로 자동 도입하지 않는다. 시간 비교의 수치 판정과 종료 규칙은 사용자 검토와 I/O 계약에서 확정한다.

초기 불일치 제안: 입력 초기 온도를 5점에 복제한 전체 T^0_raw를 보존하며, 시간 적분의 T^0=T^0_raw로 사용한다. t=0에는 지정 온도로 덮어쓰지 않는다. 지정 온도는 첫 완료 증분 t_1부터 정확히 적용한다. 입력 초기값과 g가 다른 경우 그 차이는 첫 증분에 들어가므로 C_fc(T_c^0−g)/Δt와 저장에너지가 모두 살아 있다. 이는 초기 불연속을 첫 유한 증분에서 처리하는 이산 정책으로, 실제 순간 impulse의 해상이나 t=0+ 경계 만족을 주장하지 않는다. t=0 반력 열률은 시간 차분이 없어 미정의다. 0으로 만들어 ‘계산된 반력’으로 저장하지 않는다. 대안인 t=0 즉시 projection은 별도 에너지 jump 1ᵀC(T^0_projected−T^0_raw)와 그 보존/보고 정책이 필요하다. 이 선택은 결과를 바꾸므로 사용자 결정 후 하나만 구현한다. 생략된 초기 온도의 값은 이 문서에서 결정하지 않는다. Reference는 이 default에 민감하다.

각 증분은 solve → full 온도 복구 → residual/flux/유한성·수지 확인 → candidate commit 순서로 처리한다. 실패 candidate가 이전 완료 state나 최종 HDF5를 대체하지 않는다.

8. 반력 열률, 에너지와 안정성

반력은 하중 제거 전 full residual에서 구한다.

[ r^{n+1}=C(T^{n+1}-T^n)/\Delta t+KT^{n+1}-F^{n+1},\quad R_c=r_c,\quad r_f\approx0,\qquad U(T)=\mathbf1^TC(T-T_{\rm ref}\mathbf1). ]

양의 R_c [W]는 지정 온도를 유지하려고 모델 안으로 공급하는 열률이다. 열원을 외부가 받는 부호는 반대다. 외부 reference의 부호는 별도 확인해야 한다. K1=0과 대칭성에 의해 증분의 전역 수지는

[ U^{n+1}-U^n=\Delta t\left(\mathbf1^TF^{n+1}+\mathbf1_c^TR_c^{n+1} +\mathbf1_f^Tr_f^{n+1}\right) ]

이다. Free residual을 버리지 않고 수지 defect와 함께 확인한다. 정상상태에서는 총 입력과 반력 합이 0이다. 단열·무입력·무구속에서는 U가 보존되고 다음 이산 소산식이 성립한다.

[ \tfrac12\big(|T^{n+1}|_C^2-|T^n|_C^2+|T^{n+1}-T^n|_C^2\big) +\Delta t|T^{n+1}|_K^2=0. ]

이 식의 이차량은 안정성 척도이며 실제 열에너지 U와 다르다. Backward Euler는 이 의미에서 안정하지만 온도 positivity·maximum principle을 보장하지 않는다. Consistent C, Q2 shape의 음의 구간과 일반 mesh의 K는 초기에 overshoot/undershoot를 만들 수 있다. 작은 Δt만으로 공간 이산의 단조성이 보장되지 않는다. Clamp, 임의 lumping, 인공 확산 또는 reference tolerance 완화로 이를 숨기지 않는다.

9. Heat flux 계산과 recovery identity

완료된 온도 T_e^{n+1}로 각 지정 평가점에서 다음을 직접 계산한다.

[ q^{\rm global}=-kBT_e,\qquad q^{\rm local}=\begin{bmatrix}e_1^T\e_2^T\n^T\end{bmatrix}q^{\rm global},\qquad q_3=-\frac{2k}{h}\sum_{ia}N_iL_{a,\zeta}T_{ia}. ]

Global 성분은 Cartesian qx,qy,qz, local은 q1,q2,q3이며 모두 열유속 [W/m²]다. 두께 적분 열류 [W/m], 절점 입력 [W], 반력 [W]와 구분한다. 예를 들어 T=T_bottom+(ζ+1)(T_top−T_bottom)/2면 q3=−k(T_top−T_bottom)/h; top이 뜨거우면 q3<0이다. Bottom 외향 normal은 −n, top은 +n이므로 외향 성분은 각각 −q3, +q3다.

결정적인 필수 recovery 위치 제안은 면내 4점 (-g,-g),(g,-g),(g,g),(-g,g), g=1/√3와 두께 trace (-1,+),(-1/2,interior),(0,−),(0,+),(1/2,interior),(1,−)의 곱인 24점/요소다. 두께 trace의 부호는 어느 구간 내부에서 접근하는지를 뜻한다. Integration 점과 recovery 점은 독립 계약이다. ζ=0의 온도는 같아도 q3(0−),q3(0+)는 서로 다를 수 있으며 이 둘을 평균하여 원자료를 잃지 않는다. 연속해의 재료 계면을 뜻하는 것도 아니다.

Row는 최소 (instance, element label, in-plane point, thickness station, trace side, time)와 component/좌표계로 구별해야 한다. Global/local 중 영속 저장 형식은 I/O owner가 결정한다. 요소 사이 edge의 flux도 요소별 한쪽 값을 유지한다. 서로 다른 k, normal, thickness에서 벡터를 무조건 같게 만들지 않는다. 접합부의 보존량은 약형으로 조립되는 열률이다. −kBT raw flux의 경계 적분은 이산 반력과 일반적으로 정확히 같지 않으며 반력을 대신하지 않는다. 절점 외삽, nodal averaging, flux smoothing은 이 제안의 필수 recovery가 아니다.

10. 검증 함의와 미결정 사항

다음은 실행 결과가 아닌 검증 설계다. 수치 기준은 독립 reviewer가 정하며 외부 비교는 공통 TOLERANCE를 그대로 따른다.

검증	관찰할 내용
Shape/행렬	Nodal interpolation, partition of unity, ΣB=0, explicit Z와 직접 적분 일치, C SPD, K PSD/rank 19, symmetry
평판 patch·회전	Constant/면내 선형/두께 선형 온도에서 gradient·flux, 회전 시 T 불변과 q 회전, 법선 반전+station 재매핑
열입력	Edge 총률 q_in hL·5점 weight, bottom/top 집중 입력, prescribed DOF와 겹친 입력의 반력
과도·초기	단열 균일온도 보존, 초기 불일치 첫 RHS, 공개 입력의 no-constrained, 에너지 수지·BE 소산; all-constrained는 generic partition fixture만 사용
면내 해석해	단열 직사각판 T=T0+A cos(πx/L)exp[-α(π/L)²t], α=k/(ρc); 면내 초기값은 5점 동일
두께 해석해	균일 초기온도 slab의 두 표면 온도 step에 대한 1D Fourier-series 해와 비교; 초기 jump와 첫 step 분리
재료·접속	두 물성/두께 strip의 직렬 전도는 아래 kernel/assembly oracle 범위로 구분; folded 등온/열률 수지와 junction 이상화의 별도 3D 한계
수렴·특이점	Δt 1차 수렴, 면내 mesh/적분 차수 수렴, 집중 입력 근방 flux의 mesh 의존성과 곡률 오차
Reference	기존 Step-1, t=37, NT11 bottom만 source identity로 비교; initial default·첫 증분·C 처리 차이 조사

두 물성/두께 strip의 R_th=Σ_e L_e/(k_e h_e w_e) 정확해 검증은 양 끝 단면의 모든 station에 온도를 지정하는 kernel/assembly oracle이다. 내부 station 구속이 필요한 이 fixture는 공개 CLI acceptance 사례로 쓰지 않는다. 공개 입력으로 bottom/top만 구속한 strip은 두께 경계층을 포함한 독립 해 또는 동등한 조건의 oracle로 별도 검증해야 한다.

고정 5개 두께 DOF에서는 면내 refinement만으로 임의의 두께 경계층이 수렴하지 않는다. Slab 해석해에 대한 두께 오차와 초기 sqrt(αt) 열침투 깊이를 확인해야 한다. 더 미세한 두께 모델은 독립 검증용 oracle이며 제품 입력의 온도점 수 확대를 뜻하지 않는다. Reference CSV 한 시점은 다른 4개 온도점, flux, reaction 또는 전체 이력의 evidence가 아니다. Consistent C와 본 적분·초기화 선택이 reference 정확도에 미치는 영향은 아직 측정되지 않았다.

미결정 owner는 메인/사용자(물리·초기 정책), I/O owner(공개 의미), numerical reviewer(수치 허용 범위)다. 사용자 검토에는 thin-shell product geometry와 접속 이상화, C/BE, 최초 불일치·종료 시점, 24개 flux trace 제안을 포함한다. Geometry 판정 기준과 기본 적분의 지원 범위, 생략 초기값, edge 외부 단위, t=0 결과의 validity 표현은 구현 전에 확정해야 한다. 현재 정식화 담당자의 확인은 문헌·요구사항 대조와 문서 정적 검토뿐이다. Solver build/test, reference 수치 비교와 physics 검토는 미실행이다. 독립 numerical review의 결과는 별도 보고서를 참조하며 본 문서는 스스로 수치 타당성이나 결과 correctness를 승인하지 않는다.