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김경종
@@ -0,0 +1,409 @@
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\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \mathbf {D} \nabla \mathbf {u} d \Omega \tag {3.1.3}
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최소 포텐셜 에너지 원리에 유한요소법을 적용하기 위하여 적분 영역을 하나의 요소로 국한하여 생각하자. 하나의 요소 내에서 변위 u 를 형상 함수로 보간하면 다음과 같다.
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\mathbf {u} ^ {h} = \mathbf {N} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.1.4}
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N : 형상 함수 (shape function)
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$d^{e}$ : 요소 자유도
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변형률-변위 관계 $\varepsilon^{h}=\nabla u^{h}=Bd^{e}$ 를 이용하면 가상일의 원리를 다음과 같이 표현할 수 있다.
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\delta G _ {e x t} = \delta \mathbf {d} ^ {T} \mathbf {F} = \delta \mathbf {d} ^ {T} \left[ \sum \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d \Omega \right] \mathbf {d} = \delta \mathbf {d} ^ {T} \mathbf {K} \mathbf {d} \tag {3.1.5}
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이 식은 미소 변위를 가지는 탄성 구조물의 해석에 적합하며, 선형 해석에서 K 는 변위 d 에 독립적이다. 개별 요소의 강성은 $K^{e}$ 로 표현되며 다음과 같다.
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\mathbf {K} ^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d \Omega \tag {3.1.6}
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열전달 해석에서 사용되는 유한요소 정식화 과정은 3.18절에서 설명한다.
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# 3.2 형상 함수
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요소의 정의는 형상 함수에 의한 변위장(displacement field)의 가정으로부터 출발한다. 혼합법(mixed formulation)을 비롯한 수많은 요소 성능 향상 기법들이 적용된 요소 역시 변위장의 가정이 필요하다. 본 절에서 설명하는 변위장은 특별한 언급이 없는 한 열전달 해석을 위한 요소에서도 동일하게 적용된다. 형상 함수의 표현을 용이하게 하기 위하여 인덱스(index)를 사용하며, 본 절에서 사용되는 인덱스는 합의 규약(summation convention)을 따르지 않는다.
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- 1차원 형상
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▶ 2절점 형상함수
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N _ {i} = \frac {1 + \xi_ {i} \xi}{2}, - 1 \leq \xi \leq 1
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▶ 2절점 Hermite 형상함수
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l: 요소길이
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N _ {1} = 1 - 3 \xi^ {2} + 2 \xi^ {3}, N _ {2} = l \xi - 2 l \xi^ {2} + l \xi^ {3}, N _ {3} = 3 \xi^ {2} - 2 \xi^ {3}, N _ {4} = - l \xi^ {2} + l \xi^ {3}, 0 \leq \xi \leq 1
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- 2차원 형상
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▶ 3절점 삼각형
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N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta
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▶ 6절점 삼각형
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N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
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$$
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$$
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N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta)
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$$
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | ξ | η |
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|---|---|---|
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| 1 | 0 | 0 |
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| 2 | 1 | 0 |
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| 3 | 1 | 1 |
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| 4 | 1 | 0 |
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| 5 | 1 | 1 |
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</details>
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그림 3.2.1 삼각형 요소의 절점 위치와 자연좌표계
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▶ 4절점 사각형
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N _ {i} = \frac {1}{4} \left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right)
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▶ 8절점 사각형
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N _ {i} = \frac {1}{4} \left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right) \left(\xi \xi_ {i} + \eta \eta_ {i} - 1\right), i = 1, 2, 3, 4
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{2} \left(1 - \xi^ {2}\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right), i = 5, 7
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{2} \left(1 - \eta^ {2}\right) \left(1 + \xi_ {i} \xi\right), i = 6, 8
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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(1, 1)
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4
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7
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3
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η
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ξ
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8
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6
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1
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5
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2
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(-1, -1)
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</details>
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그림 3.2.2 사각형 요소의 절점 위치와 자연좌표계
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- 3 차원 형상
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▶ 4절점 사면체
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N _ {1} = 1 - \xi - \eta - \zeta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta , N _ {3} = \zeta
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▶ 10절점 사면체
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N _ {1} = 2 (1 - \xi - \eta - \zeta) \left(\frac {1}{2} - \xi - \eta - \zeta\right), \quad N _ {2} = 2 \xi \left(\xi - \frac {1}{2}\right), \quad N _ {3} = 2 \eta \left(\eta - \frac {1}{2}\right),
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$$
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N _ {4} = 2 \zeta (\zeta - \frac {1}{2}) \quad , N _ {5} = 4 \xi (1 - \xi - \eta - \zeta), N _ {6} = 4 \xi \eta , N _ {7} = 4 \eta (1 - \xi - \eta - \zeta),
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$$
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N _ {8} = 4 \zeta (1 - \xi - \eta - \zeta), N _ {9} = 4 \xi \zeta , N _ {1 0} = 4 \eta \zeta
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ξ
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4 (0, 0, 1)
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8
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9
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10
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(0, 0, 0)
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7
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3
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1
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(0, 1, 0)
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2
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(1, 0, 0)
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6
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5
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ξ
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</details>
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그림 3.2.3 사면체 요소의 절점 위치와 자연좌표계
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▶ 6절점 오면체
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N _ {i} = \frac {1}{2} (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 1, 4
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{2} \xi (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 2, 5
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{2} \eta (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 3, 6
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▶ 15 절점 오면체
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N _ {i} = \frac {1}{2} (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\zeta_ {i} \zeta - 2 \xi - 2 \eta), i = 1, 4
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{2} \xi (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\zeta_ {i} \zeta + 2 \xi - 2), \quad i = 2, 5
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{2} \eta (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\zeta_ {i} \zeta + 2 \eta - 2), \quad i = 3, 6
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$$
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$$
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N _ {i} = 2 \xi (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 7, 1 3
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$$
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$$
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N _ {i} = 2 \xi \eta (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 8, 1 4
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$$
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$$
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N _ {i} = 2 \eta (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 9, 1 5
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$$
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$$
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N _ {1 0} = (1 - \xi - \eta) (1 - \zeta^ {2}), N _ {1 1} = \xi (1 - \zeta^ {2}), N _ {1 2} = \eta (1 - \zeta^ {2})
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ξ
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(0, 0, 1)
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15
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6
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13
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14
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(0, 0, 0)
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10
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12
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ξ
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5
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11
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1
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9
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3
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(0, 1, -1)
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2
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7
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8
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(1, 0, -1)
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</details>
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그림 3.2.4 오면체(쇄기) 요소의 절점 위치와 자연좌표계
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5 또는 13 절점 오면체는 피라미드 모양이며, 절점 결합에 의한 감절점 (degenerated) 형상함수가 널리 이용된다. 그러나 이 형상함수는 수치적분의 문제점이 $^{5}$ 존재하는 것으로 알려져 있기 때문에 midas NFX에서는 다음과 같은 형태를 사용한다.
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▶ 5 절점 오면체
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{4} \left\{\left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right) - \zeta + \xi_ {i} \eta_ {i} \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \right\}, i = 1, 2, 3, 4
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$$
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$$
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N _ {5} = \zeta
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$$
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▶ 13 절점 오면체
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{4} \left(\xi_ {i} \xi + \eta_ {i} \eta - 1\right) \left\{\left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right) - \zeta + \xi_ {i} \eta_ {i} \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \right\}, i = 1, 2, 3, 4
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {(1 + \xi - \zeta) (1 - \xi - \zeta) (1 + \eta_ {i} \eta - \zeta)}{2 (1 - \zeta)}, i = 6, 8
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {(1 + \eta - \zeta) (1 - \eta - \zeta) (1 + \xi_ {i} \xi - \zeta)}{2 (1 - \zeta)}, i = 7, 9
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {\zeta (1 + 2 \xi_ {i} \xi - \zeta) (1 + 2 \eta_ {i} \eta - \zeta)}{(1 - \zeta)}, i = 1 0, 1 1, 1 2, 1 3
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$$
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$$
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N _ {5} = \zeta (2 \zeta - 1)
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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(0, 0, 1)
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5
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12
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13
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10
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4
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11
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3
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(1, 1, 0)
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ξ
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η
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ξ
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(0, 0, 0)
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9
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7
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1 (-1, -1, 0)
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6
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2
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</details>
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그림 3.2.5 오면체(피라미드) 요소의 절점 위치와 자연좌표계
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▶ 8 절점 육면체
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{8} (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \eta_ {i} \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 1, 2, 3, \dots , 8
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$$
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▶ 20 절점 육면체
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{8} (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \eta_ {i} \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\xi_ {i} \xi + \eta_ {i} \eta + \zeta_ {i} \zeta - 2), i = 1, 2, 3, \dots , 8
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{4} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta_ {i} \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 9, 1 1, 1 7, 1 9
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{4} (1 - \eta^ {2}) (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 1 0, 1 2, 1 8, 2 0
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$$
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$$
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N _ {i} = \frac {1}{4} (1 - \zeta^ {2}) (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \eta_ {i} \eta), i = 1 3, 1 4, 1 5, 1 6
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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8
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19
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7
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20
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ξ
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17
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6
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18
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5
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16
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η
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ξ
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13
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12
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4
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14
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11
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3
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1
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9
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2
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10
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</details>
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그림 3.2.6 육면체 요소의 절점 위치와 자연좌표계
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위의 형상 함수들을 이용하여 3.1절의 정식화 과정에 적용하려면 수치 적분 (numerical integration) 방법이 필요하다. 수치 적분은 강성 행렬, 질량 행렬, 하중 벡터, 요소 내력(internal force) 등을 계산할 때 필요하며 midas NFX에서 사용하는 수치적분 방법으로는 가우스(Gauss) 적분법과 Lobatto 적분법이 있다.
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표 3.2.1 수치적분 방법의 종류와 적용 요소
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<table><tr><td>수치 적분법</td><td colspan="2">행렬의 종류</td><td>적용 요소</td></tr><tr><td rowspan="4">Gaussian quadrature</td><td rowspan="2">강성행렬</td><td>구조 요소</td><td>수치 적분을 사용하는 모든 요소</td></tr><tr><td>열전도 요소</td><td>수치 적분을 사용하는 모든 요소</td></tr><tr><td rowspan="2">질량행렬</td><td>분포 질량(consistent mass)</td><td>모든 요소</td></tr><tr><td>집중 질량(lumped mass)</td><td>대각항 스케일링6(diagonal scaling)을 사용하는 모든 요소</td></tr><tr><td rowspan="4">Lobatto quadrature</td><td rowspan="2">강성행렬</td><td>구조 요소</td><td>-</td></tr><tr><td>열전도 요소</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="2">질량행렬</td><td>분포 질량(consistent mass)</td><td>-</td></tr><tr><td>집중 질량(lumped mass)</td><td>3 절점 삼각형, 4 절점 사각형4 절점 사면체, 6 절점 오면체8 절점 육면체</td></tr></table>
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# 3.3 잠김 현상에 대한 보완
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변위 가정(assumed displacement) 방법만을 이용한 요소는 일반적으로 해의 정확도가 매우 떨어지는 것으로 알려져 있다. 이러한 이유는 잠김(locking) 현상 때문에 이를 해결하여 해의 정확도를 높이는 것은 유한요소 프로그램의 활용성에 있어서 매우 중요하다. midas NFX에서는 다음에 설명하는 방법들을 사용하여 각 요소의 정밀도를 높이고 있다. 각각의 방법은 독립적으로 사용되지 않으며 요소에 따라 2가지 또는 3가지 이상의 기법들이 혼용되어 사용될 수 있다.
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\- 혼합 정식화(mixed hybrid formulation)
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혼합 정식화 방법은 변분 이론 또는 변위와 혼합하여 가정하는 성분에 따라 매우 다양하게 분류할 수 있다. midas NFX에서는 응력 가정(assumed stress) 방법과 혼합 u-p 방법을 사용하고 있다.
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Hellinger-Reissner의 원리에 의해 변위와 응력을 미지수로 하는 변분식은 다음과 같다.
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$$
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\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} (\nabla \mathbf {u} - \mathbf {D} ^ {- 1} \boldsymbol {\sigma}) d \Omega \tag {3.3.1}
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$$
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임의의 요소에 대해 형상함수에 의한 변위를 $u^{h}=Nd^{e}$ 로, 응력을 $\sigma=P\beta^{e}$ 로 가정하여 대입하면, 위 식의 우변은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {d} ^ {e T} \overline {{{\mathbf {Q}}}} ^ {T} \boldsymbol {\beta} ^ {e} + \delta \boldsymbol {\beta} ^ {e T} (\overline {{{\mathbf {Q}}}} \mathbf {d} ^ {e} - \overline {{{\mathbf {P}}}} \boldsymbol {\beta} ^ {e}) \tag {3.3.2}
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$$
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여기서 $\bar{Q}$ 와 $\bar{P}$ 는 다음과 같다.
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$$
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\overline {{{\mathbf {Q}}}} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {P} ^ {T} \mathbf {B} d \Omega_ {e} \tag {3.3.3}
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$$
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||||
$$
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||||
\overline {{{\mathbf {P}}}} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {P} ^ {T} \mathbf {D} ^ {- 1} \mathbf {P} d \Omega_ {e} \tag {3.3.4}
|
||||
$$
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