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김경종
@@ -0,0 +1,313 @@
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$\beta^{e}$ 는 요소 사이에서 연속적이라고 가정하지 않기 때문에 요소 내에서 다음과 같이 소거할 수 있다.
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\boldsymbol {\beta} ^ {e} = \overline {{\mathbf {P}}} ^ {- 1} \overline {{\mathbf {Q}}} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.5}
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이 식을 (3.3.2)에 대입하면 요소 강성은 다음과 같다.
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\mathbf {K} ^ {e} = \overline {{{\mathbf {Q}}}} ^ {T} \overline {{{\mathbf {P}}}} ^ {- 1} \overline {{{\mathbf {Q}}}} \tag {3.3.6}
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응력을 가정하는 함수 P 를 적절하게 선택하는 것은 요소의 성능을 좌우하는 가장 중요한 부분이다. 예를 들어 membrane 요소의 응력 또는 shell 요소의 면내(in-plane) 방향 응력은 다음 $^{7}$ 과 같이 가정한다.
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\} = \mathbf {P} \boldsymbol {\beta} = \mathbf {T} \hat {\mathbf {P}} \boldsymbol {\beta} = \mathbf {T} \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & 0 & 0 & \eta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \xi \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \boldsymbol {\beta} \tag {3.3.7}
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여기서 T 는 다음과 같은 콘트라배리언트(contravariant) 응력 성분의 좌표변환 행렬이다.
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\boldsymbol {\sigma} = \mathbf {T} \hat {\boldsymbol {\sigma}} = \left[ \begin{array}{c c c} j _ {1 1} ^ {2} & j _ {2 1} ^ {2} & 2 j _ {1 1} j _ {2 1} \\ j _ {1 2} ^ {2} & j _ {2 2} ^ {2} & 2 j _ {1 2} j _ {2 2} \\ j _ {1 1} j _ {1 2} & j _ {2 1} j _ {2 2} & j _ {1 1} j _ {2 2} + j _ {1 2} j _ {2 1} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {\xi \xi} \\ \sigma_ {\eta \eta} \\ \tau_ {\xi \eta} \end{array} \right\} \tag {3.3.8}
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변환 행렬의 각 항은 자코비언(Jacobian)으로부터 계산되며, 주로 요소 중심에서의 값을 이용한다.
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\mathbf {J} = \left[ \begin{array}{l l} \frac {\partial x}{\partial \xi} & \frac {\partial y}{\partial \xi} \\ \frac {\partial x}{\partial \eta} & \frac {\partial y}{\partial \eta} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} j _ {1 1} & j _ {1 2} \\ j _ {2 1} & j _ {2 2} \end{array} \right] \tag {3.3.9}
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혼합 u-p 법은 응력 의 모든 성분을 가정하는 대신에 정수압 응력(hydrostaticstress) 또는 압력(pressure) 만을 가정하는 방법으로서, 비압축성(incompressible) 재료에서 발생하는 잠김 현상에 대한 해법8으로 이용되어 왔다.응력 텐서를 다음 식과 같이 편차 응력(deviatoric stress)과 압력으로 분해하여Hu-Washizu 변분 원리를 이용한다.
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\boldsymbol {\sigma} = \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} - p \mathbf {I} \tag {3.3.10}
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p = K t r (\boldsymbol {\varepsilon})
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Odev : 편차 응력
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K : 체적 탄성계수 (bulk modulus)
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tr( : 대각합 (trace)
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• 자연 변형률 가정법 (ANS : assumed natural strain)
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자연 변형률 가정법은 고전적인 변위 가정법에서 크게 벗어나지 않기 때문에 쉽게 적용할 수 있는 방법으로 널리 사용되어 왔으며, 특히 shell 요소에 대한 적용 사례9, 10, 11를 많이 찾아볼 수 있다. 이론적으로는 Hu-Washizu 원리를 기반으로 하고 있으나, 유한요소법에 적용할 때에는 B-bar 방법의 일종으로 간주할수 있다.
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η
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D
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A
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C
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ξ
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B
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Local transverse direction
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x
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x Integration
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point x
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x
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그림 3.3.1 횡방향 전단 변형률의 가정
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예를 들어 위의 그림과 같은 4절점 shell 요소의 횡방향 전단 변형률에 자연 변형률 가정법을 적용해 보자. 자연 좌표계 성분 중 $\gamma_{\xi Z}$ 는 B, D위치에서, $\gamma_{\eta Z}$ 는 A, C 위치에서 정확한 것으로 알려져 있다. 이 값들을 이용하여 적분점에서의 변형률을 다음과 같이 보간한다.
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\gamma_ {\xi z} = \frac {1}{2} (1 - \eta) \gamma_ {\xi z} ^ {B} + \frac {1}{2} (1 + \eta) \gamma_ {\xi z} ^ {D} \tag {3.3.11}
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\gamma_ {\eta z} = \frac {1}{2} (1 - \xi) \gamma_ {\eta z} ^ {A} + \frac {1}{2} (1 + \xi) \gamma_ {\eta z} ^ {C} \tag {3.3.12}
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자연 좌표계에서의 변형률은 다음의 변환식을 이용하여 공간 좌표계로 변환할 수 있다.
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\boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {x z} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\} = \mathbf {T} ^ {- T} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {\xi z} \\ \gamma_ {\eta z} \end{array} \right\} \tag {3.3.13}
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여기서 T 는 다음과 같은 콘배리언트(covariant) 성분의 좌표변환 행렬이다.
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\mathbf {T} = \left[ \begin{array}{l l} j _ {1 1} & j _ {2 1} \\ j _ {1 2} & j _ {2 2} \end{array} \right] \tag {3.3.14}
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변환 행렬의 각 항은 자코비언(Jacobian)으로부터 계산된다. 자연 변형률 가정법은 (3.3.11)\~(3.3.13)을 이용하여 변형률만을 바꾸어주기 때문에, 고전 변위 가정법에서 B 행렬을 다음과 같이 수정하는 것과 같다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} = \overline {{\mathbf {B}}} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.15}
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\- 개선된 변형률 가정법 (EAS : enhanced assumed strain)
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개선된 변형률 가정법은 비적합 모드(incompatible mode) $^{12}$ 를 이용한 방법과 매우 유사하며 결과 또한 동일하지만, Hu-Washizu 원리에 이론적 기반을 두고 있으며 변위가 아닌 변형률 가정에서 출발한다는 점 $^{13}$ 에서 다르다. 다음의 Hu-Washizu 변분식은 3가지 항(변위, 변형률, 응력)을 미지수로 가정하고 있다.
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\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {T} (\mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon} - \boldsymbol {\sigma}) + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} (\nabla \mathbf {u} - \boldsymbol {\varepsilon}) d \Omega \tag {3.3.16}
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변형률 ε을 변위로부터 계산된 적합(compatible) 향과 비적합 항(개선된 변형률 가정)의 합으로 가정한다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} + \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} \tag {3.3.17}
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위 식을 (3.3.16)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.
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\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \mathbf {D} (\nabla \mathbf {u} + \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}}) + \delta \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} ^ {T} (\mathbf {D} \nabla \mathbf {u} + \mathbf {D} \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} - \boldsymbol {\sigma}) - \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} d \Omega \tag {3.3.18}
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응력 분포와 변형률의 비적합 항이 요소 내에서 직교한다고 가정하면 변위와 개선된 변형률만으로 이루어진 다음 식이 된다.
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\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \mathbf {D} (\nabla \mathbf {u} + \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}}) + \delta \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} ^ {T} (\mathbf {D} \nabla \mathbf {u} + \mathbf {D} \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}}) d \Omega \tag {3.3.19}
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임의의 요소에 대해 형상함수에 의한 변위를 $u^{h}=Nd^{e}$ 로, 개선된 변형률을 $\overline{\varepsilon}=G\alpha^{e}$ 로 가정하여 대입하면, 위 식의 우변은 다음과 같다.
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\delta \mathbf {d} ^ {e T} \mathbf {K} _ {d d} ^ {e} \mathbf {d} ^ {e} + \delta \mathbf {d} ^ {e T} \mathbf {K} _ {d \alpha} ^ {e} \mathbf {a} ^ {e} + \delta \mathbf {a} ^ {e T} \mathbf {K} _ {\alpha d} ^ {e} \mathbf {d} ^ {e} + \delta \mathbf {a} ^ {e T} \mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e} \mathbf {a} ^ {e} \tag {3.3.20}
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여기서 $K_{dd}^{e}$ 는 변위 가정에 의한 고전적인 요소강성이며 $K_{d\alpha}^{e}$ 와 $K_{\alpha\alpha}^{e}$ 는 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {d \alpha} ^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {G} d \Omega_ {e} \tag {3.3.21}
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\mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {G} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {G} d \Omega_ {e} \tag {3.3.22}
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$a^{e}$ 는 요소 사이에서 불연속이라 가정하고 $\delta a^{e}$ 에 대한 외력의 일(work)은 없기 때문에 요소 내에서 다음과 같이 소거할 수 있다.
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\boldsymbol {\alpha} ^ {e} = - \mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e - 1} \mathbf {K} _ {\alpha d} ^ {e} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.23}
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이 식을 (3.3.20)에 대입하면 요소 강성은 다음과 같다.
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\mathbf {K} ^ {e} = \mathbf {K} _ {d d} ^ {e} - \mathbf {K} _ {d \alpha} ^ {e} \mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e - 1} \mathbf {K} _ {\alpha d} ^ {e} \tag {3.3.24}
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개선된 변형률을 가정하는 함수 G 를 적절하게 선택하는 것은 요소의 성능을 좌우하는 가장 중요한 부분이다.
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\- 연계 보간법 (linked interpolation)
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연계 보간법은 주로 shell 요소에서 사용하며 횡방향 성능 향상 $^{14}$ 을 위한 사례와
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면내 방향 성능 향상을 위한 사례가 있다. 특히 면내 방향 성능 향상을 위한 연계 보간법은 Allman $^{15}$ 의 drilling 회전을 고려한 membrane 요소로 잘 알려져 있다. midas NFX에서는 Sze $^{16}$ 에 의해 제안된 6자유도 회전을 가지는 shell 요소의 연계 보간법을 사용하고 있다.
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1
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θ₁
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4
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η
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3
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u₅
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5
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2
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ξ
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θ₂
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그림 3.3.2 절점 회전과 고차 형상함수
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예를 들어 위의 그림과 같은 4절점 shell 요소의 변위장에 연계 보간법을 적용해 보자. 요소의 중립면 변위를 일반적인 4절점 형상함수에 의한 부분과 절점 회전에 의한 부분으로 구분하여 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {u} = \left\{ \begin{array}{l} u \\ v \\ w \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} u _ {I} N _ {I} \\ v _ {I} N _ {I} \\ w _ {I} N _ {I} \end{array} \right\} + \frac {1}{8} H _ {J} \left\{ \begin{array}{l l} y _ {j} (\omega_ {z j} \omega) _ {z i} & z (\varphi_ {i} - _ {y} \varphi) \\ z (\omega_ {x j} \omega) _ {x i} & x (\varphi_ {i} - _ {z} \varphi) \\ x _ {j} (\omega_ {y j} \omega) _ {y i} & y (\varphi_ {i} - _ {x} \varphi) \end{array} \right\} _ {x i} ^ {y i} I = 1, 2, 3, \tag {3.3.25}
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$N_{I}$ : 형상 함수
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$H_{J}$ : 고차(8 절점) 형상함수
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u _ {I}, v _ {I}, w _ {I} \quad : \text { 절점 변위 }
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\omega_ {\alpha j} \quad : \text { 절점 회전 }
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x _ {j i}, y _ {j i}, z _ {j i} \quad : \text { 절점간 거리 } \left(x _ {j i} = x _ {j} - x _ {i}, y _ {j i} = y _ {j} - y _ {i}, z _ {j i} = z _ {j} - z _ {i}\right)
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여기서 절점 번호 는 변의 중간절점 에 인접한 절점을 나타내며,과 의 관계를 가진다.
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결국 연계 보간법은 저차 요소의 절점 회전을 이용하여 변의 중간절점의 변위를가정하고, 이 값을 고차 형상함수에 적용하는 것과 같다. 연계 보간법은 각 변의변형 형상이 2차 특성을 가지기 때문에 잠김 현상을 제거해 줄 뿐만 아니라 인접한 요소에 대한 적합 조건도 만족하고 있다.
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# • 감차 적분법
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적분 차수를 낮게 적용한 적분점에서의 변형률은 다른 위치에서의 값보다 정확한 것으로 알려져 있다17, 18. 또한 요소의 잠김 현상은 일반적으로 변형률의 불필요한 차수 때문에 발생하므로 수치적분을 통하여 이러한 고차 변형 형상을 제거할 수 있다. 그러나 감차 적분은 경우에 따라 강성 행렬의 수치적 성질을 악화시키기 때문에 가영 에너지 모드(spurious zero energy mode, hourglass mode)를 유발할 수도 있다.
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# • 감차적분의 안정화(stabilization) 기법
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일반적으로 3 차원 저차 요소의 변형률은 다음과 같은 식으로 근사화 할 수있다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} \approx (\mathbf {B} _ {0} + \mathbf {B} _ {1} (\xi , \eta , \zeta)) \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.26}
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적분 차수를 낮게 적용하여 요소의 잠김 현상을 제거하는 방법은 만을이용하는 것과 같고, 이는 요소의 중심에서 변형률을 평가하는 것과 같다.그러나 요소 중심의 변형률을 이용하는 경우 균일한 변형이 가해지는 검증해석(patch test)을 만족하지 못하는 문제가 발생하며, 이를 해결하기 위하여
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$B_{0}$ 를 $\overline{B}_{0}$ 로 대체하는 것이 일반적이다 $^{19}$ . 평균 변형률에 해당하는 $\overline{B}_{0}$ 는 다음식을 만족한다.
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\overline {{{\mathbf {B}}}} _ {0} = \frac {1}{V _ {e}} \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} d \Omega_ {e} \tag {3.3.27}
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평균 변형률에 해당하는 $\bar{B}_{0}$ 만을 이용하게 되면 앞서 설명한 가영 에너지 모드에 대한 변형 에너지가 고려되지 않으며, 저차 요소에서는 그 현상이 매우 심하기 때문에 이를 안정화 할 수 있는 기법이 필요하다. “Hourglass control”이라 불리는 안정화 기법에는 다양한 방법이 존재하며, midas NFX에서는 Puso $^{20}$ 에 의해 제안된 물리적 안정화(physical stabilization) 기법을 이용한다. 안정화 변형률 계산을 위해 $B_{1}$ 을 자연 좌표계에 대해 표현하면 다음과 같다.
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\tilde {\mathbf {B}} _ {1} = \xi \tilde {\mathbf {B}} _ {\xi} + \eta \tilde {\mathbf {B}} _ {\eta} + \zeta \tilde {\mathbf {B}} _ {\zeta} + \xi \eta \tilde {\mathbf {B}} _ {\xi \eta} + \eta \zeta \tilde {\mathbf {B}} _ {\eta \zeta} + \zeta \xi \tilde {\mathbf {B}} _ {\zeta \xi} \tag {3.3.28}
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위 식의 변형률을 모두 사용하게 되면 감차 적분의 효과가 사라지기 때문에, 일부 전단 변형률 항을 제외하는 것이 일반적이다.
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평균 변형률과 안정화 기법을 적용하면 선택적 감차 적분(selective reduced integration)과 동일한 효과를 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 수치 적분 과정을 다음식으로 대체하기 때문에 계산 속도에 있어서 큰 장점이 있다.
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\int_ {\Omega_ {e}} [ ] d \Omega_ {e} = \frac {V _ {e}}{8} \iiint [ ] d \xi d \eta d \zeta \tag {3.3.29}
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\- 비적합(non-conforming) 요소
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비적합 요소는 요소간 적합조건을 적분 형태로 만족하도록 하기 위해 변형률을 분해하는 방법을 사용한다. 앞서 설명한 EAS 방법 역시 비적합 요소의 일종으로
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볼 수 있다. 일반적으로 요소간의 적합조건을 적분 형태로 표현하면 다음과 같다.
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\int_ {\Omega_ {e}} u _ {i, j} ^ {*} d \Omega = \int_ {\partial \Omega_ {e}} \overline {{u}} _ {i} n _ {j} d S \tag {3.3.30}
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u : 요소 내부에서 가정한 변위
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u : 요소의 바깥 면에서 가정한 변위
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n j : 요소 바깥 면에 수직한 벡터 (direction cosine)
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j : 방향 미분
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요소 내부에서 가정한 변위는 일반적인 형상함수를 이용한 부분과 그 외의 추가부분으로 구성한다.
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\mathbf {u} ^ {*} = \mathbf {N} \mathbf {d} ^ {e} + \mathbf {P} \boldsymbol {\lambda} \tag {3.3.31}
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요소의 바깥 면에서 가정한 변위 역시 일반적인 형상함수를 이용한 부분과 그외의 추가 부분으로 가정한다. 단, 가정된 변위는 절점 변위의 보간 형태로 표현한다.
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\overline {{{\mathbf {u}}}} = \mathbf {N} \mathbf {d} ^ {e} + \alpha \mathbf {M} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.32}
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M : 추가된 형상함수 ( )
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위 식에서 는 임의의 계수이며, 요소의 수렴성 또는 해의 정확도를 기초로 가장 적절한 값을 사용한다. (3.3.31)과 (3.3.32)를 (3.3.30)에 대입하면 를 이용하여 λ 를 계산할 수 있다. 계산된 를 이용하면 요소의 변형률이 다음과 같이표현된다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \mathbf {B} \mathbf {d} ^ {e} + (\nabla \mathbf {P}) \boldsymbol {\lambda} \tag {3.3.33}
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비적합 요소는 변위 가정법에서 행렬을 다음과 같이 수정하는 것과 같다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} = \overline {{{\mathbf {B}}}} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.34}
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