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김경종
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# 3.9 Cable 요소
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Cable 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소로서 인장상태의 거동만을 다루며 주로 초기 힘/스트레스가 재하된 상태에서의 하중을 다룬다. Cable 요소는 인장상태의 거동을 다루기 위해 비선형 해석에 주로 사용된다.
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<summary>text_image</summary>
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Nₓₓ, εₓₓ
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Nₓₓ, εₓₓ
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1
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2
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ECS-x
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그림 3.9.1 Cable 요소의 좌표계와 응력/변형률
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\- 좌표계
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Cable 요소의 ECS는 bar 요소와 동일한 방법으로 정의하며, 유한요소 정식화는 ECS를 기준으로 한다.
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\- 자유도
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Cable 요소는 ECS의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T}, \quad \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {3.9.1}
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$$
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\- 응력과 변형률
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Cable 요소는 축 방향 변형 및 응력을 고려할 수 있다.
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$$
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\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.9.2}
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$$
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• 하중
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Cable 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
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표 3.9.1 Cable 요소에 적용되는 하중
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<table><tr><td>하중 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>중력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>초기 힘/스트레스</td><td>선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨</td></tr><tr><td>프리텐션</td><td>선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의 축방향강성이 무시됨</td></tr></table>
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• 요소 결과
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Cable 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는항상 ECS이다.
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표 3.9.2 Cable 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td>Stress</td><td>Axial stress</td><td>위치 : A-B 단 $\sigma_{xx}$ </td></tr><tr><td>Strain</td><td>Axial strain</td><td>위치 : A-B 단 $\varepsilon_{xx}$ </td></tr><tr><td>Force</td><td>Axial force</td><td>위치 : A-B 단 $N_{xx}$ </td></tr><tr><td rowspan="3">Misc.</td><td>Strain energy</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr><tr><td>Total percent energy</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr><tr><td>Energy density</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr></table>
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• 훅(Hook)과 허용 인장강도
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Cable 요소에 훅길이를 입력할 경우, 해당 훅길이 이상의 변형에 대해서만 내력이 발생한다.
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또한 각 Cable 요소는 그림 3.9.2와 같이 허용 인장강도를 입력할 수 있다. 여기서 $\sigma _ { y }$ 는 허용인장응력, 는 훅 길이를 의미한다. 허용 인장강도 이상의 응력이 발생할 시, 완전 소성거동으로 간주하거나, 파단되는 것으로 간주할 수 있다.
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<summary>line</summary>
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| δ_xx | σ_xx |
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|------|------|
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| 0 | 0 |
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| h₀ | 0 |
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| >h₀ | σ_y |
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</details>
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그림 3.9.2(a) 완전 소성거동
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<summary>line</summary>
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σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy. The chart displays a step function with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = 0. The function is a piecewise linear graph with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx. The function is a piecewise linear graph with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx= δ_xx = δ_xx= δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx =<nl>
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</details>
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그림 3.9.2(b) 파단
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• 비선형 해석
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Cable 요소는 인장전담 특성이나 파단 등에 대한 비선형 거동과 기하학적비선형성만을 고려할 수 있으며, 비탄성 재료 특성은 무시된다. 그러므로 비선형해석 시에 추가적인 결과 항목은 없다.
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# 3.10 Membrane 요소
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Membrane 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형또는 사각형 요소이다. 두께가 균일한 박판을 모델링하는데 주로 사용되며 2차원 응력상태를 가진다.
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# • 좌표계
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삼각형 membrane 요소의 ECS는 요소 평면에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x축으로 한다. 사각형의 경우에도 요소 평면에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절점 1에서 3을 향하는 대각선과 절점 4에서2를 향하는 대각선이 이루는 각을 이등분하는 방향을 x축으로 한다. Membrane요소의 유한요소 정식화는 ECS에 대해 수행한다.
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ECS - z
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1
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2
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3
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4
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5
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ECS - y
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ECS - x
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ECS - z
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2
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3
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4
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5
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6
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ECS - y
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ECS - x
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그림 3.10.1 Membrane 요소의 좌표계
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Membrane 요소에 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한 방향으로 향하게 해야 한다. 이와 같은 경우 MCS를 사용하게 되는데, midas NFX의membrane 요소는 크게 두 가지 방법으로 재료의 방향을 결정할 수 있다. 첫번째로 그림 3.10.2와 같이 절점 1과 2 사이를 연결하는 변으로부터의 회전각을이용할 수 있다.
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MCS - y
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1
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2
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3
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4
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MCS - x
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θ
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그림 3.10.2 각도를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의
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두 번째 방법은 임의의 좌표계를 이용하는 방법인데, 이 경우에는 그림 3.10.3와같이 x축을 요소면에 투영하여 그 방향을 재료의 주축으로 가정한다. 좌표계의x축을 요소면에 투영하는 방법은 요소 결과를 확인하기 위해 ERCS를 설정하는데 있어서도 동일하게 적용된다.
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User-defined
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material
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coordinate
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y
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x
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z
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Projection
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3
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MCS - x
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그림 3.10.3 좌표계를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의
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• 자유도
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Membrane 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 자유도로 가진다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.10.1}
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$$
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연계 보간법에 의해 요소에 수직한 방향의 회전을 고려하는 옵션을 사용하는 경우에는 다음의 추가 자유도를 가진다.
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$$
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\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {z i} \right\} \tag {3.10.2}
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$$
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# - 응력과 변형률
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Membrane 요소의 기본 가정은 2차원 응력 상태이므로 그림 3.10.4 와 같이 ECS에서 정의된 면내 방향 변형률과 합력(resultant force)을 고려할 수 있다.
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$$
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\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 합력과 변형률}) \tag {3.10.3}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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N_{yy}, \varepsilon_{yy}
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N_{xy}, \gamma_{xy}
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N_{xx}, \varepsilon_{xx}
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N_{xy}, \gamma_{xy}
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ECS - y
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ECS - x
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N_{xy}, \gamma_{xy}
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N_{xx}, \varepsilon_{xx}
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N_{xy}, \gamma_{xy}
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N_{yy}, \varepsilon_{yy}
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</details>
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그림 3.10.4 Membrane 요소의 응력/변형률
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\- 하중
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Membrane 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
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표 3.10.1 Membrane 요소에 적용되는 하중
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<table><tr><td>하중 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>중력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>압력 하중</td><td>요소면에 작용하는 분포하중또는 요소의 변에 작용하는 분포하중</td></tr><tr><td>요소 온도 하중</td><td>면내방향 변형을 유발하는 요소 온도</td></tr></table>
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Membrane 요소는 횡방향 강성을 가지지 않으나, 요소에 작용하는 하중과 질량에 대해서는 횡방향 성분을 고려한다.
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• 요소 결과
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midas NFX의 membrane 요소는 shell 요소와 동일한 결과 출력물을 제공한다.Shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 곳(상/하단)에서 요소결과를 제공하지만,엄밀한 의미에서 membrane 요소는 두께 방향으로 응력과 변형률이 일정하기때문에 상단과 하단의 결과는 항상 같다.
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• 요소 두께
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midas NFX에서는 membrane 요소의 두께를 그림 3.10.5과 같이 설정할 수 있다.고차 요소(6/8 절점)에 대하여 꼭지점에서의 두께만을 정의할 수 있는 점에 유의해야 한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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t₁
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1
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t₃
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3
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t₂
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t₁
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1
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t₃
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4
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t₄
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3
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t₂
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2
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</details>
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그림 3.10.5 Membrane 요소의 두께 정의
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• 요소 기법의 선택
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midas NFX에서 사용할 수 있는 membrane 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된것이 기본값이다.
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표 3.10.2 Membrane 요소에 사용된 성능향상 기법
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<table><tr><td>형상</td><td>절점수</td><td>자유도</td><td>명칭</td><td>요소기법</td><td>강성행렬수치적분</td><td>집중질량계산방법</td></tr><tr><td rowspan="3">삼각형</td><td rowspan="3">3</td><td></td><td></td><td>변위가정법</td><td>1 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="2">면외 방향회전 고려</td><td>Full integration</td><td>연계보간법</td><td>3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>연계보간법, 혼합법</td><td>3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="2">사각형</td><td rowspan="2">4</td><td rowspan="2"></td><td>Full integration</td><td>변위가정법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Reduced integration</td><td>감차적분(안정화기법)</td><td>1X1 점</td><td>Lobatto</td></tr></table>
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<table><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4"></td><td rowspan="2"></td><td>(stabilized)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="2">면외 방향 회전 고려</td><td>Full integration</td><td>연계보간법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>연계보간법, 혼합법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>삼각형</td><td>6</td><td></td><td></td><td>변위가정법</td><td>3 점</td><td>대각항 스케일링</td></tr><tr><td rowspan="3">사각형</td><td rowspan="3">8</td><td rowspan="3"></td><td>Full integration</td><td>변위가정법</td><td>3X3 점</td><td>대각항 스케일링</td></tr><tr><td>Reduced integration</td><td>감차적분법</td><td>2X2 점</td><td>대각항 스케일링</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법</td><td>3X3 점</td><td>대각항 스케일링</td></tr></table>
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각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다.
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► 3절점 요소 : 면외 방향 회전을 포함하는 연계 보간법을 사용하지 않으면 요소의 유연성(flexibility)이 현저하게 저하되어 해의 정확도가 떨어지므로 주의해야 한다.
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► 4절점 요소 : 변위 가정법만을 사용한 등매개변수(isoparametric) 요소를 제외하면 대체로 정확도가 높은 편이다.
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► 6절점 요소 : 요소 변에 존재하는 절점이 변의 중앙에 위치하지 않는 경우 요소의 성능이 현저하게 저하될 수 있다.
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► 8절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 감차적분을 사용한요소는 혼합법을 적용한 요소와 비슷한 성능을 보이며 계산 효율이 뛰어나지만가영 에너지 모드가 나타날 수 있다.
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• 비선형 해석
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Membrane 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 shell 요소와 같다.
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