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.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_030.md

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+<!-- source-page: 291 -->
+
+![](images/page-291_caa982852666829fea7ae661af03c4d3eff3abec4236b7014162738fecb299a4.jpg)
+
+<details>
+<summary>flowchart</summary>
+
+```mermaid
+graph TD
+    A["Convection"] --> B["Insulated"]
+    B --> C["Prescribed temperature"]
+    C --> D["Heat generated internally"]
+    D --> E["Cavity radiation"]
+    E --> F["Pipe cooling"]
+    F --> G["Flux"]
+    G --> H["Radiation"]
+    H --> A
+    style A fill:#f9f,stroke:#333
+    style B fill:#ccf,stroke:#333
+    style C fill:#cfc,stroke:#333
+    style D fill:#fcc,stroke:#333
+    style E fill:#cff,stroke:#333
+    style F fill:#ffc,stroke:#333
+    style G fill:#fcf,stroke:#333
+    style H fill:#cff,stroke:#333
+```
+</details>
+
+그림 6.3.1 열 하중/경계조건의 개념도
+
+• 절점 온도조건
+
+모델에 일정한 알려진 온도를 부가하기 위하여 사용된다. 구조해석의 강제 변위와 마찬가지로 온도조건이 부가된 절점의 온도 자유도는 전체 자유도에서 소거되며 하중 벡터에 영향을 준다.
+
+• 발열
+
+고체 내부에서 발생하는 열량을 모사하기 위해 사용된다. 단위부피당 발열률을 입력함으로써 요소내부의 발열에 의한 효과를 얻을 수 있다.
+
+• 열속
+
+열속은 단위면적당 일률(power) 또는 단위시간, 단위면적에 대한 에너지를 나타
+
+<!-- source-page: 292 -->
+
+낸다. midas NFX에서는 절점, 요소의 면(face)이나 변(edge)에 열속을 가할 수있다. 절점에 열속을 부가하는 경우, 추가적으로 면적인수(area factor) 값을 통하여 면적이 결정된다. 변에 열속이 가해질 경우에는 가해진 변의 두께정보 또는사용자가 제공하는 면적인수를 이용하여 면적이 결정된다.
+
+# • 대류
+
+midas NFX 에서는 외기온도(ambient temperature)와 표면온도 차이에 의한 자연대류(natural convection) 조건을 절점, 요소의 경계 면이나 변에 부가할 수 있다. 대류현상에 의한 열교환량 또는 열속은 다분히 경험적이며, midas NFX에서는 다음과 같은 두 가지 형태의 대류에 의한 열속 관계식을 제공한다.
+
+$$
+q = h \left(T ^ {*}\right) \left(T - T _ {A}\right) ^ {\alpha_ {c} + 1} \tag {6.3.1}
+$$
+
+$$
+q = h (T ^ {*}) (T ^ {\alpha_ {c}} - T _ {A} ^ {\alpha_ {c}})
+$$
+
+T : 표면 온도
+
+TA : 외기 온도
+
+a : 지수
+
+h : 표면 대류계수
+
+표면 대류계수는 표면 온도 또는 외기 온도에 대한 함수로 표현 가능하며, 절점에 대류조건을 부가하는 경우에는 추가적으로 면적인수를 통하여 면적이 결정된다. 변에 부가된 경우 가해진 변의 두께정보 또는 사용자가 제공하는 면적인수를 이용하여 면적이 결정된다.
+
+# • 파이프 냉각
+
+midas NFX에서는 1 차원 요소 내부를 흐르는 유체에 의한 냉각 효과를 하중으로 부여할 수 있다. 유체는 1 차원 요소 내부에서 일정 유속으로 이동하며, 1차원 요소와 유체간에 대류 열전달이 발생한다. 여기서 축방향 전도에 의한 열전달과 유체의 운동 및 포텐셜 에너지는 무시될 수 있다. 유체의 온도는 유체와관사이의 총 열전달량과 대류에 의해서 전달되는 열량이 같다는 조건을 사용하여 다음과 같이 순차적으로 구할 수 있다.
+
+<!-- source-page: 293 -->
+
+$$
+T _ {w, o} = \frac {\frac {h _ {p} A _ {s}}{2} \left(T _ {i} + T _ {o}\right) - \left(\frac {h _ {p} A _ {s}}{2} - \dot {m} c _ {m}\right) T _ {w , i}}{\left(\frac {h _ {p} A _ {s}}{2} + \dot {m} c _ {m}\right)} \tag {6.3.2}
+$$
+
+$\dot{m}$ : 단위시간당 물의 유입량
+
+$c_{m}$ : 물의 비열
+
+$T_{w,i}$ , $T_{w,o}$ : 냉각수 유입 및 유출 온도
+
+$h_{p}$ : 관의 유슈 대류계수
+
+$A_{s}$ : 물과 접하는 관의 표면적
+
+$T_{i}$ , $T_{o}$ : 관의 표면 온도
+
+# - 복사열
+
+표면과 외기 온도 사이의 온도 차이가 존재하는 경우에 복사에 의한 열교환이 발생한다. midas NFX에서는 복사에 의한 열교환 조건을 부가할 수 있으며, 복사에 의한 열유량은 다음과 같이 표현된다.
+
+$$
+q = \sigma F \left(\varepsilon T ^ {4} - \alpha T _ {A} ^ {4}\right) \tag {6.3.3}
+$$
+
+σ : Stephan-Boltzmann 상수
+
+ε : 방사율 (emissivity)
+
+α : 흡수율 (absorptivity)
+
+F : 복사형상 계수 (radiation view factor)
+
+복사 열전달 관계식은 절대온도에 관한 식임에 주의해야 한다.
+
+# - 공동 복사
+
+표면과 표면 사이 또는 여러 표면으로 구성된 공동 내부의 복사 해석에서는 각각의 표면들 사이에 연계된 형식으로 열교환이 발생하기 때문에 앞에서 소개된 외기와의 복사 열교환과는 다른 형태를 갖는다. 공동 복사에 의한 i 번째 면에 전해지는 단위면적당 열유량은 다음과 같이 표현된다.
+
+<!-- source-page: 294 -->
+
+$$
+\begin{array}{l} q _ {i} = \frac {\sigma \varepsilon_ {i}}{A _ {i}} \sum_ {j} \varepsilon_ {j} \sum_ {j} F _ {i j} C _ {k j} ^ {- 1} \left(T _ {j} ^ {4} - T _ {i} ^ {4}\right) \tag {6.3.4} \\ C _ {i j} = \frac {1}{A _ {i}} \left[ \left(\delta_ {i j} - \left(1 - \varepsilon_ {i}\right) F _ {i j}\right) \right] \quad (n o s u m m a t i o n) \\ \end{array}
+$$
+
+$\varepsilon_{i}$ : i 면의 방사율
+
+$F_{ij}$ : j 면에 대한 i 면의 형상계수
+
+$A_{i}$ : i 면의 면적
+
+$\delta_{ij}$ : 크로네커 델타 (kronecker delta)
+
+![](images/page-294_f9678bc2149c3f6641a6ca98c47bed752ec682967713c680ee08d1dff7b5b5ac.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+dA_i
+n_i
+φ_i
+R_ij
+n_j
+φ_j
+dA_j
+</details>
+
+그림 6.3.2 기하학적 형상과 복사형상계수
+
+복사형상계수는 두 면사이의 복사열교환이 발생하는 정도를 나타내며 기하학적으로 다음과 같이 정의된다.
+
+$$
+F _ {i j} = \frac {1}{A _ {i}} \int_ {A _ {i}} \int_ {A _ {j}} \frac {\cos \phi_ {i} \cos \phi_ {j}}{\pi R _ {i j} ^ {2}} d A _ {i} d A _ {j} \tag {6.3.5}
+$$
+
+위 적분식은 양 면의 두 점이 서로 가시관계가 유지되는 경우에만 성립하며, 그렇지 않은 부분은 적분식에서 제외되는데, 복사열이 제3의 물체에 의해 도달하
+
+<!-- source-page: 295 -->
+
+지 않을 경우(radiation blockage)가 이에 해당된다 (그림 6.3.3). 닫힌 공동(enclosed cavity)의 경우 주어진 번째 면에 대한 나머지 모든 면의 복사형상계수를 더했을 경우 1이 나오게 되며, 복사형상계수 계산의 정확도를 확인하는데도움이 된다.
+
+$$
+\sum_ {j} F _ {i j} = 1 \tag {6.3.6}
+$$
+
+열린 공동의 경우 위 식의 합계는 1보다 작게 되고, 이 경우 외기로 복사열이전달되게 된다. midas NFX에서는 3차원 임의의 형상에 대해 자동으로 복사형상계수를 계산하는 기능이 제공된다.
+
+![](images/page-295_8682cfd1a1425372f0e4f57fea9e10610ae62a42b9988814c3b57b3b0c8adc38.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+G
+Cavity
+Blockage
+Blocked from G
+</details>
+
+그림 6.3.3 복사 열전달이 차단되는 예
+
+<!-- source-page: 296 -->
+
+# 6.4 특이성 오류
+
+강성행렬의 특이성(singularity) 오류가 발생하면 유일한 해가 존재하지 않으며,이는 유한요소 모델에 오류가 있음을 시사한다. 특이성 오류는 하나의 절점에서판단할 수 있는 단일 절점 특이오류와 전체 강성을 판단하여 알아낼 수 있는 메커니즘(mechanism) 형태의 특이오류로 구분할 수 있다.
+
+• 단일 절점 특이오류
+
+단일 절점 특이오류는 요소의 특성을 정확하게 알지 못하고 사용하는 경우에 발생한다. 예를 들어 rod, membrane과 같이 특정 방향으로 강성을 전혀 가지지않는 요소를 사용하거나 spring 요소의 강성 방향을 특정 방향으로만 지정한 경우에 발생한다. 이런 경우 해를 정상적으로 구하기 위해서는 단일 절점 구속을적절하게 이용하여 특이오류를 제거해야 한다. 단일 절점 특이오류는 강성행렬을 분해하지 않고도 절점단위에서 판단할 수 있기 때문에 6.2절의 자동 단일 절점 구속 기능을 이용하여 오류에서 제거할 수 있다.
+
+• 메커니즘 특이오류
+
+메커니즘 형태의 특이오류는 두 개 또는 그 이상의 절점이 서로 연관되어 나타난다. 특히 구속조건이 부적절하게 설정된 경우에 흔히 발생한다.
+
+![](images/page-296_245a61b2d229a1263b9fd1efd199c37a0286329810e4885643a0629c6e5339fb.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+u₁
+k
+u₂
+</details>
+
+그림 6.4.1 구속조건이 없는 탄성 연결
+
+예를 들어 위 그림과 같은 시스템의 경우 평형 방정식은 다음과 같이 표현할 수있다.
+
+<!-- source-page: 297 -->
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l l} k & - k \\ - k & k \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} u _ {1} \\ u _ {2} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} p _ {1} \\ p _ {2} \end{array} \right\} \tag {6.4.1}
+$$
+
+이 강성행렬은 역행렬이 존재하지 않으며 하중이 $P_{1} = -P_{2}$ 인 경우에는 많은 해를 가지게 된다. 이 때 강성행렬의 고유치에는 0이 포함되어 있으며 이에 해당하는 고유벡터는 구조물이 변형 에너지 없이 변위가 발생하는 모양에 해당한다. 일반적인 구조물의 경우 구속조건이 전혀 가해지지 않게 되면 강성행렬은 강체운동(rigid-body motion)에 해당하는 6개의 0인 고유치를 가지게 되며 특이성 오류에 의해 유일한 해를 계산할 수 없다.
+
+메커니즘 특이오류의 존재 여부는 강성행렬의 분해 과정에서 알아낼 수 있는데, 강성 분해 과정 중 대각항에서 0에 가까운 값이 발견되었을 경우 특이오류로 판단한다. 분해 과정 중 특이오류가 발생하게 되면 프로그램 실행을 중단하거나 작은 크기의 강성을 대각항에 추가하여 계산을 계속 수행할 수 있다. 대각항에 강성을 추가하는 방법은 유한요소 모델에 spring 요소를 추가하는 것과 같은 결과를 가져온다.
+
+<!-- source-page: 298 -->
+
+# 6.5 하중의 비선형성
+
+시스템의 비선형성은 재료의 비선형성(소성, 초탄성 등) 또는 기하학적 비선형성에 기인하는 경우가 많다. 이에 추가하여 하중의 비선형성에 의한 시스템의 비선형 해석이 필요한 경우가 있다. 예를 들어 하중의 방향이 구조물의 변위에 따라 바뀌거나, 심하게는 하중의 크기가 구조물의 거동에 의존적인 경우이다. midas NFX에서는 기하학적 비선형 해석을 수행하는 경우 하중의 방향이 구조물의 변위에 따라 바뀌는 종동력(follower load) 효과를 반영할 수 있다.
+
+# - 종동력
+
+절점 하중(nodal force)의 방향이 다른 두 점의 상대적인 위치에 의해 결정되는 경우, 그 크기와 방향은 다음과 같다.
+
+$$
+f _ {\beta} = F n _ {\beta} = F \frac {(x _ {k \beta} - x _ {j \beta})}{\left\| \mathbf {x} _ {k} - \mathbf {x} _ {j} \right\|} \tag {6.5.1}
+$$
+
+j, k : 하중 방향을 결정하는 절점
+
+$\beta$ : 하중 성분 $(x,y,z)$
+
+$f_{\beta}$ 를 $x_{j\alpha}$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.
+
+$$
+\frac {\partial f _ {\beta}}{\partial x _ {j \alpha}} = F \left(\frac {(x _ {k \alpha} - x _ {j \alpha}) (x _ {k \beta} - x _ {j \beta})}{\left\| \mathbf {x} _ {k} - \mathbf {x} _ {j} \right\| ^ {3}} - \frac {\delta_ {\alpha \beta}}{\left\| \mathbf {x} _ {k} - \mathbf {x} _ {j} \right\|}\right) \tag {6.5.2}
+$$
+
+이와 동일한 과정으로 $x_{k\alpha}$ 에 대한 미분값 역시 계산할 수 있으며, 결과적으로 비대칭 강성행렬이 구성된다. 이와 같이 하중의 비선형성에 의한 강성을 하중강성이(load stiffness)라 하며 비대칭성이 매우 강한 행렬이 발생하는 것이 일반적이다.
+
+구조물의 특정 면에 수직으로 작용하는 압력은 그 면의 방향이 변화함에 의해 압력 방향 또한 바뀐다. 그림 6.5.1은 구조물의 면에 작용하는 힘이 수직압력인
+
+<!-- source-page: 299 -->
+
+경우와 방향이 고정되어 있는 경우에 대한 대변형 효과를 보여준다.
+
+![](images/page-299_806c43460205d2252ccd51988a37fbef969ed03f569180e2fae3102de2e2abae.jpg)
+
+<details>
+<summary>natural_image</summary>
+
+Pure diagram of a curved surface with arrow-like patterns and dotted lines, no text or symbols present
+</details>
+
+Normal pressure
+
+![](images/page-299_eca6762b846774d90da9139a659ac18e3b9422b150385ce44c8d5527bf945e06.jpg)
+
+<details>
+<summary>natural_image</summary>
+
+Pure diagram of a curved surface with arrows indicating direction, no text or symbols present
+</details>
+
+Pressure in specified direction   
+그림 6.5.1 대변형에 의한 압력 하중의 방향 변화
+
+요소면에 수직으로 작용하는 압력에 의한 하중강성의 계산과정 $^{1}$ 은 다음과 같다. 요소의 I 번째 절점의 절점하중은 압력 $p(\xi,\eta)=p^{J}N^{J}(\xi,\eta)$ 을 이용하여 다음과 같이 적분하여 계산한다.
+
+$$
+\mathbf {f} ^ {I} = \iint p (\xi , \eta) \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi} \times \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \eta} N ^ {I} (\xi , \eta) d \xi d \eta \tag {6.5.3}
+$$
+
+기하강성 $K^{IJ}$ 는 위 식을 절점 위치에 대해 미분하여 계산할 수 있다.
+
+$$
+\mathbf {K} ^ {I J} = \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial \mathbf {x} ^ {J}} = \left[ \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {1} ^ {J}} \quad \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {2} ^ {J}} \quad \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {3} ^ {J}} \right] \tag {6.5.4}
+$$
+
+강성을 구성하는 각 열은 (6.5.3)에서 변위에 의해 변화하는 x 의 미분으로부터 구할 수 있다.
+
+$$
+\frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {j} ^ {I}} = \iint p \left[ \left(\frac {\partial}{\partial x _ {j} ^ {I}} \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi}\right) \times \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \eta} + \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi} \times \left(\frac {\partial}{\partial x _ {j} ^ {I}} \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \eta}\right) \right] N ^ {I} d \xi d \eta \tag {6.5.5}
+$$
+
+이 밖에 bar 요소 하중, 중력, 회전 관성력 등이 종동력의 효과가 있으며, 각 하중에 대해 변위에 따라 변화하는 영향을 고려할 것인지 여부를 선택할 수 있다. 표 6.5.1은 midas NFX에서 종동력 효과를 적용할 수 있는 하중의 종류를
+
+<!-- source-page: 300 -->
+
+설명한 것이다.
+
+표 6.5.1 midas NFX 에서 종동력의 효과를 고려할 수 있는 하중
+
+<table><tr><td>종류</td><td>적용 범위/방법</td></tr><tr><td>절점하중</td><td>두 절점으로 방향을 정의한 경우,하중강성 이용</td></tr><tr><td>압력하중</td><td>요소면에 수직으로 작용하는 하중의 경우,하중강성 이용</td></tr><tr><td>Bar 요소 하중</td><td>방향을 ECS 기준으로 정의한 경우,하중강성 이용</td></tr><tr><td>중력</td><td>하중강성 이용하지 않음</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>하중강성 이용</td></tr></table>