김경종
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4-3 평면응력요소
기하비선형성을 고려한 평면 응력(plane stress) 요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드는 사용하지 않는다.
평면 응력 요소는 요소좌표계에서 이동변위 u, v 를 가지며, 형상함수 N_{i} 를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {4.3.1}
평면 응력 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다.
\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {x y} \right\} ^ {T}, \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {x y} \right\} ^ {T} \tag {4.3.2}
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \end{array} \right\} \tag {4.3.3}
식 (4.3.3)은 다음과 같이 가상변위 항 \delta u 와 행렬 B_{L} 의 곱으로 표현된다.
\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.3.4}
증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
\Delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \Delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.3.5}
식 (4.3.4)와 (4.3.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.
\mathbf {B} _ {L 0} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \\ N _ {1, y} & N _ {1, x} & \dots & N _ {N, y} & N _ {N, x} \end{array} \right] \tag {4.3.6}
\mathbf {B} _ {L 1} = \left[ \begin{array}{c c c} ^ {t} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {1, x} & \dots \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {1, y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {1, y} & \dots \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {1, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {1, x}\right) & \dots \\ ^ {t} u _ {, x} N _ {n, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {n, x} \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {n, y y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {n, y} \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {n, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {n, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {n, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {n, x}\right) \end{array} \right] \tag {4.3.7}
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
\delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta u _ {, y} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta v _ {, y} \right\} ^ {T} \tag {4.3.8}
식 (4.3.8)는 가상변위 항 \delta u 와 행렬 B_{NL} 의 곱으로 표현된다.
\delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.3.9}
유사한 방법으로 ΔL 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.3.10}
B_{NL} 은 다음과 같다.
\mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ N _ {1, y} & 0 & \dots & N _ {N, y} & 0 \\ 0 & N _ {1, x} & \dots & 0 & N _ {N, x} \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \end{array} \right] \tag {4.3.11}
식 (4.3.4-5)과 (4.3.9-10)을 식 (4.1.18)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방정식을 얻을 수 있다.
\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.3.12}
식 (4.3.12)의 각 항은 다음과 같다.
{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d A
{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d A \tag {4.3.13}
{ } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t { } ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d A
여기서,
t : 두께(thickness)
응력 성분으로 구성된 행렬 ^{t} S 는 다음과 같다
{ } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c } { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } \end{array} \right] \tag {4.3.14}
평면 응력 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
4-4 판요소
기하 비선형성을 고려한 판요소는 3, 4절점 요소의 경우 “감절점 이론(degenerated shell approach)”을, 6, 8절점 고차요소의 경우 “연속체 셸이론(continuum shell approach)”이용하며, 평면 응력 상태의 면내변형과 휨/전단으로 이루어진 면외변형을 고려할 수 있다. 기하 비선형을 고려한 판요소는면에 수직한 방향의 회전(drilling) 자유도를 고려하지 않으며, Mindlin 판이론(Mindlin plate theory)를 기초로 한 전단 변형을 고려한다. 요소의 종류에는 선형 해석의 경우와 같이 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다.
기하 비선형성을 고려한 판요소는 정식화 과정이 매우 복잡하므로 연속체 셸이론에 대한 사항만 간단하게 설명하고자 한다. 판요소에서는 두께방향의 인장 응력을 무시하는 것이 일반적이지만, 연속체 셸이론에 근거한 정식화 과정에서는모든 응력과 변형률 성분을 고려한다.
\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {z z} \quad S _ {x y} \quad S _ {y z} \quad S _ {z x} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {z z} \quad E _ {x y} \quad E _ {y z} \quad E _ {z x} \right\} ^ {T} \tag {4.4.1}
요소 내부의 임의 위치에 대한 이동 변위는 다음과 같이 중립면의 이동변위와회전에 의한 효과로 구분하여 표현할 수 있다.
\mathbf {U} = \mathbf {u} _ {0} + \mathbf {t} \tag {4.4.2}
여기서, 벡터 t 는 회전에 의한 효과를 고려한 항이며, 다음과 같이 표현할 수있다.
\mathbf {t} = \frac {t}{2} \zeta (\mathbf {T} - \overline {{\mathbf {T}}}) \tag {4.4.3}
여기서,
T : 변형후 판의 수직벡터(deformed unit shell normalvector)
T : 변형전 판의 수직벡터(undeformed unit shell normalvector)
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 아래와 같이 표현할 수 있다.
\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta \left(u _ {0, x} + t _ {x, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, y} + t _ {y, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, z} + t _ {z, z}\right) \\ \delta \left(u _ {0, y} + t _ {x, y}\right) + \delta \left(v _ {0, x} + t _ {y, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, z} + t _ {y, z}\right) + \delta \left(w _ {0, y} + t _ {z, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, x} + t _ {z, x}\right) + \delta \left(u _ {0, z} + t _ {x, z}\right) \end{array} \right\} \tag {4.4.4}
+ \left\{ \begin{array}{c} \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) \end{array} \right\}
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
\delta \mathbf {L} = \left\{ \begin{array}{l} \delta \left(u _ {0, x} + t _ {x, x}\right) \\ \delta \left(u _ {0, y} + t _ {x, y}\right) \\ \delta \left(u _ {0, z} + t _ {x, z}\right) \\ \delta \left(v _ {0, x} + t _ {y, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, y} + t _ {y, y}\right) \\ \delta \left(v _ {0, z} + t _ {y, z}\right) \\ \delta \left(w _ {0, x} + t _ {z, x}\right) \\ \delta \left(w _ {0, y} + t _ {z, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, z} + t _ {z, z}\right) \end{array} \right\} \tag {4.4.5}
실제 계산에 필요한 행렬 \mathbf { B } _ { L } 과 { \bf { B } } _ { N L } 은 본 절에서 설명하지 않는다. 요소 강성또는 내력의 계산에서는 (4.4.1)의 응력과 변형률을 요소 중립면에 접하는 좌표계로 변환하여 사용한다. 3, 4절점 요소에 사용하는 감절점 이론에서는 변형률성분을 요소 중립면에 접하는 좌표계에 대하여 정의함으로써 E _ { z z } 를 제외한 5개의 성분을 직접 구할 수 있다. 회전에 의한 변위의 구현 방법과 절점 개수 별요소의 특징은 다음과 같다.
text_image
T U u₀ x̄ O (Ref. Frame)
그림 4.4.1 판의 초기 및 현재 형상
3절점 또는 4절점을 가진 평면판은 전체좌표계에서 3개의 이동변위와 3개의 회전변위를 모두 고려한다. 단, 회전 증분변위에서 두께방향 벡터와 수직한 성분은직교화 과정을 통하여 제외된다.
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {X i} \quad \theta_ {Y i} \quad \theta_ {Z i} \right\} ^ {T} \tag {4.4.6}
4절점 판요소는 라그랑지(Lagrangian) 형상함수를 이용하며, 유한회전에 의해변형된 두께방향 벡터는 T R RT= δ 와 같이 회전의 누적에 의해 계산한다. δR은 다음과 같다.
\delta \mathbf {R} = I + \frac {\sin \delta \theta}{\delta \theta} \mathbf {S} (\delta \theta) + \frac {1 - \cos \delta \theta}{\delta \theta^ {2}} \mathbf {S} (\delta \theta) \mathbf {S} (\delta \theta) \tag {4.4.7}
여기서,
S( ) δθ : 교대행렬(skew symmetric matrix)
midas FEA에서는 회전행렬을 사원수(quaternion)로부터 계산하는 방법을 이용하여 계산에 효율을 기하였다. 판요소의 대회전(large rotation)은 회전에 의한변위 t 가 절점자유도에 대해 선형이 아님을 의미한다. 그러므로 δt 와 ∆t 가 명시적으로 구분되지 않기 때문에 강성의 구성에 있어서 식(4.4.4)와 (4.4.5) 이외에 δ ( ) ∆t 항이 추가됨에 주의해야 한다.
전단변형에 의한 변형률은 그림 4.4.2와 같이 4 변에서의 ANS(assumednatural shear strain)로부터 계산하여 잠김(locking) 현상을 방지한다.
\gamma_ {\zeta \xi} = \frac {1}{2} (1 - \eta) \gamma_ {\zeta \xi} (0, - 1) + \frac {1}{2} (1 + \eta) \gamma_ {\zeta \xi} (0, 1) \tag {4.4.8}
\gamma_ {\zeta \eta} = \frac {1}{2} (1 - \xi) \gamma_ {\zeta \eta} (- 1, 0) + \frac {1}{2} (1 + \xi) \gamma_ {\zeta \eta} (1, 0) \tag {4.4.9}
\left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z \alpha} \\ \gamma_ {z \beta} \end{array} \right\} = \mathbf {P} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {\zeta \xi} \\ \gamma_ {\zeta \eta} \end{array} \right\} \tag {4.4.10}
여기서,
P : 좌표변화행렬(coordinate transform matrix)
text_image
4 γης γξς 3 γης 1 γξς 2
그림 4.4.2 ANS의 내삽 점
3절점 요소의 계산에는 4절점 요소의 4번째 절점을 3번째 절점과 같은 좌표를가지도록 하는 기법을 이용한다.
6절점 또는 8절점을 가진 곡면판은 전체좌표계에서 3개의 이동변위와 절점에서정의된 면내 두 방향 \mathbf { V } _ { 1 i } , \ \mathbf { V } _ { 2 i } 에 대한 회전변위를 갖는다. \mathbf { V } _ { 1 i } , \ \mathbf { V } _ { 2 i } 의 정의는 선형 요소의 정식화를 참조하고, 본 절에서는 생략한다.
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {1 i} \quad \theta_ {2 i} \right\} ^ {T} \tag {4.4.11}
곡면판은 라그랑지(Lagrangian) 형상함수를 이용하며, 유한회전에 의해 변형된 두께방향 벡터는 평면판 요소의 경우와 동일하게 회전행렬의 누적에 의해 계산한다. 단, 회전 증분변위의 중에서 V_{1i} , V_{2i} 방향의 성분만을 고려함으로써 암시적으로 직교화 효과를 얻을 수 있다.
기하비선형 판요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력/변형률, 요소 내력 등이 있으며 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 응력과 변형률은 z 축을 따라 두 지점에서 계산하며, 면내거동에 대한 두께를 기준으로 상단( z=t/2 )과 하단( z=-t/2 )이 기본 위치이다. 기하비선형을 고려한 판 요소는 두께 방향으로 3점 심슨 적분(Simpson integration)을 수행하며, 면적에 대한 적분 차수는 다음과 같다.
• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
• 8절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
4-5 평면변형률요소
기하비선형성을 고려한 평면변형률(plane strain) 요소는 등매개변수 (isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드를 사용하지 않는다.
평면변형률 요소는 요소좌표계에서 이동변위, u, v 를 가지며 평면응력 요소와 전개과정이 같다. 최종적인 평면변형률 요소의 선형화된 평형 방정식은 다음과 같다.
\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.5.1}
식 (4.5.1)의 각 항은 응력-변형률의 관계를 정의하는 행렬 D 를 제외하고, 평면 응력 요소와 동일하다.
평면변형률 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
4-6 축대칭요소
기하비선형성을 고려한 축대칭(axisymmetric) 요소는 등매개변수(isoparametric)요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는선형 요소와 동일한 형상함수를 사용한다.
평면응력 요소는 요소좌표계에서 이동변위 u , v 를 가지며, 변위는 형상함수 Ni를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {4.6.1}
축대칭 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다.
\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {x y} \quad S _ {z z} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {x y} \quad E _ {z z} \right\} ^ {T} \tag {4.6.2}
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \frac {\delta u}{r} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \\ \frac {\delta u ^ {t} u}{r ^ {2}} \end{array} \right\} \tag {4.6.3}
식 (4.6.3)은 다음과 같이 가상변위 항 δe 와 행렬 B 의 곱으로 표현된다.
\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \frac {\delta u}{r} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \\ \frac {\delta u ^ {t} u}{r ^ {2}} \end{array} \right\} \tag {4.6.4}
증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.6.5}
식 (4.6.4)와 (4.6.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.