김경종
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# 4-3 평면응력요소
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기하비선형성을 고려한 평면 응력(plane stress) 요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드는 사용하지 않는다.
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평면 응력 요소는 요소좌표계에서 이동변위 u, v 를 가지며, 형상함수 $N_{i}$ 를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {4.3.1}
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평면 응력 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {x y} \right\} ^ {T}, \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {x y} \right\} ^ {T} \tag {4.3.2}
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$$
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \end{array} \right\} \tag {4.3.3}
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식 (4.3.3)은 다음과 같이 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{L}$ 의 곱으로 표현된다.
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\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.3.4}
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증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
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\Delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \Delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.3.5}
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식 (4.3.4)와 (4.3.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.
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\mathbf {B} _ {L 0} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \\ N _ {1, y} & N _ {1, x} & \dots & N _ {N, y} & N _ {N, x} \end{array} \right] \tag {4.3.6}
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\mathbf {B} _ {L 1} = \left[ \begin{array}{c c c} ^ {t} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {1, x} & \dots \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {1, y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {1, y} & \dots \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {1, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {1, x}\right) & \dots \\ ^ {t} u _ {, x} N _ {n, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {n, x} \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {n, y y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {n, y} \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {n, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {n, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {n, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {n, x}\right) \end{array} \right] \tag {4.3.7}
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
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\delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta u _ {, y} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta v _ {, y} \right\} ^ {T} \tag {4.3.8}
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식 (4.3.8)는 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{NL}$ 의 곱으로 표현된다.
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\delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.3.9}
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유사한 방법으로 ΔL 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.3.10}
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$B_{NL}$ 은 다음과 같다.
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\mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ N _ {1, y} & 0 & \dots & N _ {N, y} & 0 \\ 0 & N _ {1, x} & \dots & 0 & N _ {N, x} \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \end{array} \right] \tag {4.3.11}
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식 (4.3.4-5)과 (4.3.9-10)을 식 (4.1.18)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방정식을 얻을 수 있다.
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\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.3.12}
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식 (4.3.12)의 각 항은 다음과 같다.
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d A
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d A \tag {4.3.13}
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{ } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t { } ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d A
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$$
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여기서,
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t : 두께(thickness)
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응력 성분으로 구성된 행렬 $^{t}$ S 는 다음과 같다
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{ } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c } { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } \end{array} \right] \tag {4.3.14}
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평면 응력 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
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# 4-4 판요소
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기하 비선형성을 고려한 판요소는 3, 4절점 요소의 경우 “감절점 이론(degenerated shell approach)”을, 6, 8절점 고차요소의 경우 “연속체 셸이론(continuum shell approach)”이용하며, 평면 응력 상태의 면내변형과 휨/전단으로 이루어진 면외변형을 고려할 수 있다. 기하 비선형을 고려한 판요소는면에 수직한 방향의 회전(drilling) 자유도를 고려하지 않으며, Mindlin 판이론(Mindlin plate theory)를 기초로 한 전단 변형을 고려한다. 요소의 종류에는 선형 해석의 경우와 같이 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다.
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기하 비선형성을 고려한 판요소는 정식화 과정이 매우 복잡하므로 연속체 셸이론에 대한 사항만 간단하게 설명하고자 한다. 판요소에서는 두께방향의 인장 응력을 무시하는 것이 일반적이지만, 연속체 셸이론에 근거한 정식화 과정에서는모든 응력과 변형률 성분을 고려한다.
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {z z} \quad S _ {x y} \quad S _ {y z} \quad S _ {z x} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {z z} \quad E _ {x y} \quad E _ {y z} \quad E _ {z x} \right\} ^ {T} \tag {4.4.1}
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요소 내부의 임의 위치에 대한 이동 변위는 다음과 같이 중립면의 이동변위와회전에 의한 효과로 구분하여 표현할 수 있다.
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\mathbf {U} = \mathbf {u} _ {0} + \mathbf {t} \tag {4.4.2}
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여기서, 벡터 t 는 회전에 의한 효과를 고려한 항이며, 다음과 같이 표현할 수있다.
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\mathbf {t} = \frac {t}{2} \zeta (\mathbf {T} - \overline {{\mathbf {T}}}) \tag {4.4.3}
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여기서,
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T : 변형후 판의 수직벡터(deformed unit shell normalvector)
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T : 변형전 판의 수직벡터(undeformed unit shell normalvector)
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 아래와 같이 표현할 수 있다.
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta \left(u _ {0, x} + t _ {x, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, y} + t _ {y, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, z} + t _ {z, z}\right) \\ \delta \left(u _ {0, y} + t _ {x, y}\right) + \delta \left(v _ {0, x} + t _ {y, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, z} + t _ {y, z}\right) + \delta \left(w _ {0, y} + t _ {z, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, x} + t _ {z, x}\right) + \delta \left(u _ {0, z} + t _ {x, z}\right) \end{array} \right\} \tag {4.4.4}
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+ \left\{ \begin{array}{c} \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) \end{array} \right\}
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$$
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
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\delta \mathbf {L} = \left\{ \begin{array}{l} \delta \left(u _ {0, x} + t _ {x, x}\right) \\ \delta \left(u _ {0, y} + t _ {x, y}\right) \\ \delta \left(u _ {0, z} + t _ {x, z}\right) \\ \delta \left(v _ {0, x} + t _ {y, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, y} + t _ {y, y}\right) \\ \delta \left(v _ {0, z} + t _ {y, z}\right) \\ \delta \left(w _ {0, x} + t _ {z, x}\right) \\ \delta \left(w _ {0, y} + t _ {z, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, z} + t _ {z, z}\right) \end{array} \right\} \tag {4.4.5}
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$$
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실제 계산에 필요한 행렬 $\mathbf { B } _ { L }$ 과 ${ \bf { B } } _ { N L }$ 은 본 절에서 설명하지 않는다. 요소 강성또는 내력의 계산에서는 (4.4.1)의 응력과 변형률을 요소 중립면에 접하는 좌표계로 변환하여 사용한다. 3, 4절점 요소에 사용하는 감절점 이론에서는 변형률성분을 요소 중립면에 접하는 좌표계에 대하여 정의함으로써 $E _ { z z }$ 를 제외한 5개의 성분을 직접 구할 수 있다. 회전에 의한 변위의 구현 방법과 절점 개수 별요소의 특징은 다음과 같다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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T
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U
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u₀
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x̄
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O (Ref. Frame)
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그림 4.4.1 판의 초기 및 현재 형상
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3절점 또는 4절점을 가진 평면판은 전체좌표계에서 3개의 이동변위와 3개의 회전변위를 모두 고려한다. 단, 회전 증분변위에서 두께방향 벡터와 수직한 성분은직교화 과정을 통하여 제외된다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {X i} \quad \theta_ {Y i} \quad \theta_ {Z i} \right\} ^ {T} \tag {4.4.6}
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$$
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4절점 판요소는 라그랑지(Lagrangian) 형상함수를 이용하며, 유한회전에 의해변형된 두께방향 벡터는 T R RT= δ 와 같이 회전의 누적에 의해 계산한다. δR은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {R} = I + \frac {\sin \delta \theta}{\delta \theta} \mathbf {S} (\delta \theta) + \frac {1 - \cos \delta \theta}{\delta \theta^ {2}} \mathbf {S} (\delta \theta) \mathbf {S} (\delta \theta) \tag {4.4.7}
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여기서,
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S( ) δθ : 교대행렬(skew symmetric matrix)
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midas FEA에서는 회전행렬을 사원수(quaternion)로부터 계산하는 방법을 이용하여 계산에 효율을 기하였다. 판요소의 대회전(large rotation)은 회전에 의한변위 t 가 절점자유도에 대해 선형이 아님을 의미한다. 그러므로 δt 와 ∆t 가 명시적으로 구분되지 않기 때문에 강성의 구성에 있어서 식(4.4.4)와 (4.4.5) 이외에 δ ( ) ∆t 항이 추가됨에 주의해야 한다.
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전단변형에 의한 변형률은 그림 4.4.2와 같이 4 변에서의 ANS(assumednatural shear strain)로부터 계산하여 잠김(locking) 현상을 방지한다.
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\gamma_ {\zeta \xi} = \frac {1}{2} (1 - \eta) \gamma_ {\zeta \xi} (0, - 1) + \frac {1}{2} (1 + \eta) \gamma_ {\zeta \xi} (0, 1) \tag {4.4.8}
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$$
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$$
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\gamma_ {\zeta \eta} = \frac {1}{2} (1 - \xi) \gamma_ {\zeta \eta} (- 1, 0) + \frac {1}{2} (1 + \xi) \gamma_ {\zeta \eta} (1, 0) \tag {4.4.9}
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$$
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z \alpha} \\ \gamma_ {z \beta} \end{array} \right\} = \mathbf {P} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {\zeta \xi} \\ \gamma_ {\zeta \eta} \end{array} \right\} \tag {4.4.10}
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$$
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여기서,
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P : 좌표변화행렬(coordinate transform matrix)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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4
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γης
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γξς
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3
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γης
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1
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γξς
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2
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</details>
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그림 4.4.2 ANS의 내삽 점
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3절점 요소의 계산에는 4절점 요소의 4번째 절점을 3번째 절점과 같은 좌표를가지도록 하는 기법을 이용한다.
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6절점 또는 8절점을 가진 곡면판은 전체좌표계에서 3개의 이동변위와 절점에서정의된 면내 두 방향 $\mathbf { V } _ { 1 i } , \ \mathbf { V } _ { 2 i }$ 에 대한 회전변위를 갖는다. $\mathbf { V } _ { 1 i } , \ \mathbf { V } _ { 2 i }$ 의 정의는 선형 요소의 정식화를 참조하고, 본 절에서는 생략한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {1 i} \quad \theta_ {2 i} \right\} ^ {T} \tag {4.4.11}
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$$
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곡면판은 라그랑지(Lagrangian) 형상함수를 이용하며, 유한회전에 의해 변형된 두께방향 벡터는 평면판 요소의 경우와 동일하게 회전행렬의 누적에 의해 계산한다. 단, 회전 증분변위의 중에서 $V_{1i}$ , $V_{2i}$ 방향의 성분만을 고려함으로써 암시적으로 직교화 효과를 얻을 수 있다.
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기하비선형 판요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력/변형률, 요소 내력 등이 있으며 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 응력과 변형률은 $z$ 축을 따라 두 지점에서 계산하며, 면내거동에 대한 두께를 기준으로 상단( $z=t/2$ )과 하단( $z=-t/2$ )이 기본 위치이다. 기하비선형을 고려한 판 요소는 두께 방향으로 3점 심슨 적분(Simpson integration)을 수행하며, 면적에 대한 적분 차수는 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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# 4-5 평면변형률요소
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기하비선형성을 고려한 평면변형률(plane strain) 요소는 등매개변수 (isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드를 사용하지 않는다.
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평면변형률 요소는 요소좌표계에서 이동변위, u, v 를 가지며 평면응력 요소와 전개과정이 같다. 최종적인 평면변형률 요소의 선형화된 평형 방정식은 다음과 같다.
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\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.5.1}
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$$
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식 (4.5.1)의 각 항은 응력-변형률의 관계를 정의하는 행렬 D 를 제외하고, 평면 응력 요소와 동일하다.
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평면변형률 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
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# 4-6 축대칭요소
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기하비선형성을 고려한 축대칭(axisymmetric) 요소는 등매개변수(isoparametric)요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는선형 요소와 동일한 형상함수를 사용한다.
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평면응력 요소는 요소좌표계에서 이동변위 u , v 를 가지며, 변위는 형상함수 Ni를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {4.6.1}
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축대칭 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {x y} \quad S _ {z z} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {x y} \quad E _ {z z} \right\} ^ {T} \tag {4.6.2}
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \frac {\delta u}{r} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \\ \frac {\delta u ^ {t} u}{r ^ {2}} \end{array} \right\} \tag {4.6.3}
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식 (4.6.3)은 다음과 같이 가상변위 항 δe 와 행렬 B 의 곱으로 표현된다.
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \frac {\delta u}{r} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \\ \frac {\delta u ^ {t} u}{r ^ {2}} \end{array} \right\} \tag {4.6.4}
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증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
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\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.6.5}
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식 (4.6.4)와 (4.6.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.
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