김경종
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# Park Steel Model
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Kent & Park(1973)3) 에 의해 수행된 반복하중을 받는 의 실험을 통하여 제안된 모델입니다. 본 모델은 의 탄성구간, 소성구간과 변형도-경화(StrainHardening) 구간의 모사가 가능하며, Ramberg-Osgood 식에 의해 BauschingerEffect를 정밀하게 나타내어 실험적 결과와 높은 일치성을 보이는 모델입니다.
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# 1) 재하시의 거동
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재하시의 거동은 다음과 같이 구분됩니다. 재하시의 변형도-경화구간에서의응력-변형도 관계는 Thompson & Park(1980)4) 이 제안한 식을 적용합니다.
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| Point | Steel Strain | Steel Stress |
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|-------|--------------|--------------|
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| A | ε_y | f_y |
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| B | ε_sh | f_y |
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| C | ε_su | f_u |
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그림 2.9.39 Stress-Strain curve for steel with loading of the same sign
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. 탄성 $\daleth \sqsubseteq { \mathsf { f } } ( 0 \mathrm { - } \mathsf { A } ) : 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon _ { y }$
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$$
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f = E _ {s} \cdot \varepsilon_ {y}
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$$
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. 소성구간(A-B) : $\varepsilon_{y} < \varepsilon < \varepsilon_{sh}$
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$$
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f = f _ {y}
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$$
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. 변형도-경화(strain hardening)구간(B-C) : $\varepsilon_{sh} \leq \varepsilon < \varepsilon_{su}$
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$$
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f = f _ {y} \left(\frac {m \left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) + 2}{6 0 \left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) + 2} + \frac {\left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) (6 0 - m)}{2 (3 0 r + 1) ^ {2}}\right)
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$$
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$$
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m = \frac {\left(f _ {u} / f _ {y}\right) (3 0 r + 1) ^ {2} - 6 0 r - 1}{1 5 r ^ {2}}
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$$
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$$
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r = \varepsilon_ {u} - \varepsilon_ {s h}
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$$
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여기서,
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ε : 강 섬유의 변형도
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f : 강 섬유의 응력도
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$E_{s}$ 강 섬유의 초기강성(탄성계수)
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$\varepsilon_{v}$ : 강 섬유의 항복 변형도
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$\mathcal{E}_{sh}$ :강 섬유의 변형도-경화시작시의 변형도
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$\mathcal{E}_{su}$ : 강 섬유의 종국변형도(파단시)
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$f_{y}$ : 강 섬유의 항복응력도
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$f_{u}$ : 강 섬유의 극한응력도
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2) 제하 및 재재하시의 거동
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제하시 및 재재하시의 거동은 Ramberg-Osgood 관계에 의해서 정의되며, Newton's Method에 의한 반복계산을 통하여 응력을 구합니다.
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| Steel Strain | Steel Stress |
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| ------------ | ------------ |
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| E_s | 2.20 |
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| E_y | 4.49 |
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</details>
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그림 2.9.40 Stress-Strain curves for steel with reversed loading
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$$
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\varepsilon - \varepsilon_ {s i} = \frac {f}{E _ {s}} \left(1 + \left| \frac {f}{f _ {c h}} \right| ^ {R - 1}\right) \quad \text { Ramberg - Osgood Function }
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$$
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$$
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f _ {c h} = f _ {y} \left\{\frac {0 . 7 4 4}{\log_ {e} \left(1 + 1 0 0 0 \varepsilon_ {i p}\right)} - \frac {0 . 0 7 1}{\left(1 - e ^ {1 0 0 0 \varepsilon_ {i p}}\right)} + 0. 2 4 1 \right\}
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$$
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$$
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R = \frac {4 . 4 9}{\log_ {e} (1 + n)} - \frac {6 . 0 3}{e ^ {n} - 1} + 0. 2 9 7 \quad (n = 1 \text { 인 경우 })
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$$
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$$
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R = \frac {2 . 2 0}{\log_ {e} (1 + n)} - \frac {0 . 4 6 9}{e ^ {n} - 1} + 3. 0 4 \quad (n = 2 \text { 인 경우 })
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$$
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여기서,
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$$
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f _ {c h} \quad : \text { Ramberg - Osgood 함수의 특성응력도 }
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$$
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$$
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\mathcal {E} _ {i p}: \text { 이전 재하시의 소성변형도 } (0 < \varepsilon_ {i p} < 0. 7 0 9 7)
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$$
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$$
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R: \text { Ramberg - - Osgood Parameter }
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$$
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$$
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n: \text { Loading Run Number }
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$$
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(단, 압축측인 경우 1, 인장측인 경우 2의 고정값 사용)
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$\varepsilon _ { s i }$ si : 재하시점에서 응력 0에 대한 변형도
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εiPp $\mathcal { E } _ { i p }$ .7，
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<summary>line</summary>
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| Steel Strain | Park's Result (N/mm²) | Midas Result (N/mm²) |
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| ------------ | --------------------- | -------------------- |
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| -0.005 | -350 | -350 |
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| 0 | 0 | 0 |
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| 0.005 | 300 | 300 |
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| 0.01 | 250 | 250 |
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| 0.015 | 200 | 200 |
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| 0.02 | 100 | 100 |
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| 0.025 | 0 | 0 |
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</details>
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Steel Strain | Park's Result (N/mm²) | Midas Result (N/mm²) |
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| ------------ | --------------------- | -------------------- |
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| 0.000 | 0 | 0 |
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| 0.005 | 330 | 330 |
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| 0.010 | -200 | -200 |
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| 0.015 | 300 | 300 |
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| 0.020 | 350 | 350 |
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</details>
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그림 2.9.41 Stress-Strain curves of Park Steel Model
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# 9-6-2 콘크리트 구성 모델
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# Modified Kent & Park Concrete Model
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단조증가 압축력을 받는 콘크리트에 대해서 Kent와 Park(1971) $^{5)}$ 가 제안한 모델을 Scott(1982) $^{6)}$ 등이 수정한 모델입니다. 아래와 같은 포락곡선(Envelope Curve)식을 사용하며 콘크리트의 인장강도는 무시하고 있습니다. 본 모델은 명료함과 정확성의 적절한 조화를 이루고 있고, 횡 구속(Confinement Effect)에 의한 콘크리트 압축 강도의 증가 효과를 고려하는 재료 모델로서 널리 알려져 사용되고 있습니다.
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$$
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\sigma_ {c} = \left\{ \begin{array}{l l} K f _ {c} ^ {\prime} \left[ 2 \left(\frac {\varepsilon}{\varepsilon_ {0}}\right) - \left(\frac {\varepsilon}{\varepsilon_ {0}}\right) ^ {2} \right] & \text { for } \varepsilon \leq \varepsilon_ {0} \\ K f _ {c} ^ {\prime} \left[ 1 - Z \left(\varepsilon - \varepsilon_ {0}\right) \right] \geq 0. 2 K f _ {c} ^ {\prime} & \text { for } \varepsilon_ {0} \leq \varepsilon \leq \varepsilon_ {u} \end{array} \right.
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$$
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여기서, ε : 콘크리트 섬유의 변형율
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σ : 콘크리트 섬유의 응력
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ε₀ : 최대응력 발생시의 변형율
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εu : 종국 변형율
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K : 횡구속에 의한 강도 증가율
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Z : 변형율 연화(Strain Softening) 시의 기울기
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$f_{c}'$ : 콘크리트 실린더 압축강도(MPa)
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5); Kent, D.C., and Park, R., "Flexural Members with Confined Concrete", Journal of the Structural Division, ASCE, 97(ST7), 1971.
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6) ; Scott, B.D., Park, R. and Priestley, M.J.N., "Stress-Strain Behavior of Concrete Confined by Overlapping Hoops at Low and High Strain Rates", ACI Journal, Vol.79, No.1, 1982, pp. 13-27.
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<summary>line</summary>
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| compressive strain | compressive stress |
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| ------------------ | ------------------ |
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| ε₀ | K·f_c' |
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| ε_p | 0.2K·f_c' |
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| ε_r | 0.2K·f_c' |
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| ε_u | 0.2K·f_c' |
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</details>
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그림 2.9.42 Modified Kent & Park 콘크리트 섬유 구성모델
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종국 변형율을 초과한 콘크리트는 압괴(Crushing)가 발생한 것으로 가정하여 더 이상의 하중을 받지 못하는 것으로 해석합니다. Kent와 Park은 직사각형 단면의 기둥에 대해서 상기의 포락곡선을 정의하는 파라미터를 계산하기 위해 다음과 같은 식을 사용합니다.
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$$
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\varepsilon_ {0} = 0. 0 0 2 K
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$$
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$$
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K = 1 + \frac {\rho_ {s} f _ {y h}}{f _ {c} ^ {\prime}}
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$$
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$$
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Z = \frac {0 . 5}{\frac {3 + 0 . 2 9 f _ {c} ^ {\prime}}{1 4 5 f _ {c} ^ {\prime} - 1 0 0 0} + 0 . 7 5 \rho_ {s} \sqrt {\frac {h ^ {\prime}}{s _ {h}}} - 0 . 0 0 2 K}
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$$
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여기서, $\begin{array} { r } { \pmb { f } _ { y h } : } \end{array}$ 횡 보강근(Stirrup)의 항복강도(MPa)
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$\rho \pmb { \mathscr { s } } \mathrm { : \ }$
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h’ : 콘크리트 코어의 폭(직사각형의 경우 짧은쪽)
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(콘크리트 코어는 횡 보강근의 바깥쪽으로 둘러싸인 영역으로 정의)
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sk : 횡 보강근의 간격
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Scott 등(1982)은 횡구속이 존재하는 직사각형 기둥에 대해서 다음과 같은 종국변형율의 식을 제안하였습니다.
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$$
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\varepsilon_ {u} = 0. 0 0 4 + 0. 9 \rho_ {s} \left(f _ {y h} / 3 0 0\right)
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$$
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상기의 포락곡선에서 제하(Unloading)가 발생하는 경우에 제하 경로는 다음 식에 의해서 정의되는 변형율 축선상의 점 ( $\varepsilon_{p}$ , 0)을 향하게 되며 이 점에 도달하면 변형율 축선상을 따라서 인장 영역으로 움직입니다.
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$$
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\frac {\varepsilon_ {p}}{\varepsilon_ {0}} = 0. 1 4 5 \cdot \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) ^ {2} + 0. 1 3 \cdot \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) \quad f o r \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) < 2
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$$
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$$
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\frac {\varepsilon_ {p}}{\varepsilon_ {0}} = 0. 7 0 7 \cdot \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}} - 2\right) + 0. 8 3 4 \quad \text { for } \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) \geq 2
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$$
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여기서, $\varepsilon_{r}$ : 제하 발생점의 변형율
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$\varepsilon_{p}$ : 제하 경로상의 목표점의 변형율
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만약 다시 압축변형율이 증가하게 되면 이제까지의 제하 경로를 그대로 거슬러 올라가서 포락곡선에 도달하게 됩니다.
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# 일본 콘크리트 표준시방서 모델
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일본 콘크리트 표준시방서에서 제시하고 있는 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징이 있습니다. 압축 최대 응력점을 넘은 경우 연화영역을 가지게 되며, 잔류 소성 변형을 고려하고 있습니다. 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 강성 저감 효과를 반영하고 있고, 일반적인 보부재의 경우에 인장 응력의 응력-변형 관계는 무시합니다. 이러한 특성을 바탕으로 압축강도가 50 N/mm² 이하의 경우에는 다음 그림과 같은 응력-변형 이력 관계를 가지게 됩니다.
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$$
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\sigma_ {c} ^ {\prime} = E _ {0} K \left(\varepsilon_ {c} ^ {\prime} - \varepsilon_ {p} ^ {\prime}\right) \geq 0
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$$
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$$
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E _ {0} = \frac {2 \cdot f _ {c} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}}
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$$
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$$
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\boldsymbol {K} = \exp \left\{- 0. 7 3 \frac {\varepsilon_ {\max} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}} \left(1 - \exp \left(- 1. 2 5 \frac {\varepsilon_ {\max} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}}\right)\right) \right\}
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$$
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$$
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\varepsilon_ {p} ^ {\prime} = \varepsilon_ {\max} ^ {\prime} - 2. 8 6 \cdot \varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime} \left(1 - \exp \left(- 0. 3 5 \frac {\varepsilon_ {\max} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}}\right)\right)
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$$
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여기서, $\varepsilon'_{peak}$ : 압축강도에 대응하는 변위
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$\varepsilon'_{max}$ : 이전에 받았던 압축변위의 최대치
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$\varepsilon'_{p}$ : 잔류 소성변위
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K : 강성 잔존률
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε | σ |
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|-------|-------|
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| 0 | 0 |
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| ε | E |
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| ε | E K |
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| ε | K |
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</details>
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그림 2.9.43 일본 콘크리트 표준시방서 콘크리트 섬유 구성모델
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# 일본 도로교 시방서 콘크리트 모델
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일본 도로교 시방서(동해설), V 내진 설계편의 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징이 있습니다. 압축 최대 응력점을 넘은 경우 연화영역을 가지게 되며, 극한 압축변형률을 초과할 경우 더 이상 저항을 하지 않는다고 가정합니다. 지진하중의 종류에 따라 극한 압축변형률이 변화하며, 구속철근의 양을 고려하여 연화구간의 기울기, 최대 압축강도와 극한 압축변형률이 조정됩니다. 한편 잔류 소성 변형을 고려하고 있으며, 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 초기강성으로 거동한다고 가정합니다. 인장측 응력-변형 관계를 가지며 최대 인장강도에 대응되는 변형률을 초과하는 경우 더 이상 저항을 하지 않습니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε | σ |
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| ---- | ----- |
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| ε | 0.8σ |
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| ε | 0.6σ |
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</details>
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그림 2.9.44 일본 도로교 시방서 콘크리트 섬유 구성모델
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$$
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\sigma_ {c} = \left\{ \begin{array}{l l} E _ {c} \varepsilon_ {c} \left(1 - \frac {1}{n} \left(\frac {\varepsilon_ {c}}{\varepsilon_ {c c}}\right) ^ {n - 1}\right) & (0 \leq \varepsilon_ {c} \leq \varepsilon_ {c c}) \\ \sigma_ {c c} - E _ {d e s} (\varepsilon_ {c} - \varepsilon_ {c c}) & (\varepsilon_ {c c} \leq \varepsilon_ {c} \leq \varepsilon_ {c u}) \end{array} \right.
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$$
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$$
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\textbf {n} = \frac {E _ {c} \varepsilon_ {c c}}{E _ {c} \varepsilon_ {c c} - \sigma_ {c c}}
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$$
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$$
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\sigma_ {c c} = \sigma_ {c k} + 3. 8 \alpha \rho_ {s} \sigma_ {s y}
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$$
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$$
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\varepsilon_ {c c} = 0. 0 0 2 + 0. 0 3 3 \beta \frac {\rho_ {s} \sigma_ {s y}}{\sigma_ {c k}}
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$$
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$$
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{E _ {d e s}} = {1 1. 2 \frac {\sigma_ {c k} ^ {2}}{\rho_ {s} \sigma_ {s y}}}
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$$
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$$
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\varepsilon_ {c u} = \left\{ \begin{array}{l l} \varepsilon_ {c c} & \text {(Type I)} \\ \varepsilon_ {c c} + \frac {0 . 2 \sigma_ {c c}}{E _ {d e s}} & \text {(Type II)} \end{array} \right.
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$$
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$$
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\rho_ {s} = \frac {4 A _ {h}}{s d} \leq 0. 0 1 8
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$$
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여기서, $\sigma_{c}$ : 콘크리트의 응력
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$\sigma_{cc}$ : 횡구속 철근으로 구속된 콘크리트의 강도
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$\sigma_{ck}$ : 콘크리트의 설계 기준 강도
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$\varepsilon_{c}$ : 콘크리트의 변형률
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$\varepsilon_{cc}$ : 최대 압축 응력에 대응되는 변형률
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$\varepsilon_{cu}$ : 횡구속 철근으로 구속된 콘크리트의 극한 변형률
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$E_{c}$ : 콘크리트의 탄성계수
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$E_{des}$ : 연화구간의 하강 구배
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$\rho_{s}$ : 횡구속 철근의 체적비
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$A_{h}$ : 횡구속 철근 한 개 당 단면적
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s : 횡구속 철근간 간격
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d : 횡구속 구속장으로, 띠철근이나 중간 띠철근에 의해 분할 구속된 내부 콘크리트의 변 길이 중 가장 긴 값
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$\sigma_{sy}$ : 횡구속 철근의 항복점
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α,β : 단면 보정 계수(원형단면=1, 사각,사다리콜·중공단면 =0.2, 0.4)
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