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김경종
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MIDAS Family Program은
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주식회사 마이다스아이티에서 개발한
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구조해석 및 설계, 지반 및 터널해석, 가시설전용 해석 및 설계용 소프트웨어 패키지입니다.
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MIDAS Family Program과 관련 책자는
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컴퓨터 프로그램 보호법과 저작권법에 의하여 보호를 받고 있습니다.
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프로그램이나 관련 자료에 대한 문의는 아래 연락처를 참조 바랍니다.
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# OOO
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# MIDAS Information Technology Co.,Ltd.
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경기도 성남시 중원구 상대원1동 190-1 SKn 테크노파크 테크센타 15층
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Phone : 031-789-2000
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Fax : 031-789-2100
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E-mail : midas@midasit.com
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http://www.midasuser.com
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Modeling, Integrated Design & Analysis Software
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본 사용자 지침서의 작성에 인용된 상표(trademark) 및 등록상표(registered trademark)는다음과 같습니다.
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ADINA is a trademark of ADINA R&D, Inc.
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AutoCAD is a registered trademark of Autodesk, Inc.
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SAP2000 is registered trademark of Computer and Structure, Inc.
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Excel is a trademark of Microsoft Corporation.
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IBM is a registered trademarks of International Business Machines Corporation.
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Intel 386, 486, and Pentium are trademark of Intel Corporation.
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MIDAS is a trademark of MIDAS Information Technology Corporation.
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MSC/NASTRAN is a registered trademark of the National Aeronautics and Space Administration(NASA).
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NISAⅡis a trademark of Engineering Mechanics Research Corporation.
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ScreenCam is a trademark of Lotus Development Corporation.
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Sentinel is a trademark of Rainbow Technologies, Inc.
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Windows is a trademark of Microsoft Corporation.
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Internet Explorer is a trademark of Microsoft Corporation.
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MIDAS Family Program은 개발단계에서 수천종의 예제 문제를 통하여 이론치 그리고 타 S/W와의 비교검증을 마친바 있으며 최신의 이론을 내장하여 우수한 해석결과를 산출합니다.
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그리고 1989년 개발이후 관공서를 포함해 국내외 5,000여 프로젝트에 적용하여 정확성과 효용성이 입증되었습니다.
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MIDAS Family Program은 사단법인 한국전산구조공학회와 사단법인 한국터널공학회의 엄격한 검증과정을 거친 프로그램입니다.
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그러나 방대한 양의 이론과 설계지식이 집적되는 구조해석 및 설계 프로그램의 특성상, MIDAS FamilyProgram을 사용함으로써 발생될 수 있는 어떠한 이익과 손실에 대해서도 MIDAS Family Program의 개발 후원자와 개발자 그리고, 검증참여기관에게는 권리와 책임이 없습니다.
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따라서 프로그램을 사용하기 전에 사용자지침서에 대한 충분한 이해과정이 필요하며 프로그램의 수행결과에 대해서도 사용자의 검증이 반드시 필요합니다.
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# DISCLAIMER
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Developers and sponsors assume no responsibility for the use of MIDAS Family Program (midas FEA, midas Civil, midas FX+, midas Abutment, midas Pier, midas Deck, midas GTS, midas GeoX, midas Gen, midas ADS, midas SDS, midas Set ; hereinafter referred to as “MIDAS package”) or for the accuracy or validity of any results obtained from the MIDAS package.
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Developers and sponsors shall not be liable for loss of profit, loss of business, or financial loss which may be caused directly or indirectly by the MIDAS package, when used for any purpose or use, due to any defect or deficiency therein.
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# 감사의 글
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MIDAS Family Program은 포스코그룹의 창사 이래 엔지니어링과 건설분야에서 축적한 구조설계 및 설계 기술을 집적하고 지반, 터널 및 가시설분야로 영역을 확대하여 국내의 여러 교수님들과 기술자 여러분들의 도움으로 만들어진 것입니다.
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본 프로그램의 개발과 사용자지침서의 작성에 도움을 주신 학계 교수님, 그리고 관련 분야의 기술자여러분께 감사드립니다.
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그리고 본 프로그램의 개발을 위해 지원을 아끼지 않으신 대한토목학회, 한국강구조공학회, 한국전산구조공학회의 여러분께도 본 지면을 빌어 감사의 말씀을 올립니다.
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폐사는 이러한 헌신적인 기여에 보답하기 위해서 최선을 다하여 프로그램 개발에 전념할 것입니다.본 프로그램이 우리나라 구조해석 및 설계 분야의 기술 신장과 대외 기술 경쟁력 확보에 다소나마 기여할 수 있기를 바랍니다.
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주식회사 마이다스아이티
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# 머리말
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midas FEA는 다양하고 복잡한 토목 구조물의 형상을 손쉽게 모델링하고 비선형 상세 해석을 빠른 시간내에 완성할 수 있도록 개발된 “비선형 상세 전용 해석 프로그램”입니다..
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# midas FEA와 MIDAS Family Program에 대하여
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midas FEA는 2005년부터 개발되기 시작한 MIDAS Family Program 중 하나입니다. MIDAS FamilyProgram은 구조물 해석 및 설계에 수반되는 단위설계 업무의 전 과정을 자동화하기 위한 목적으로 개발된 package software로서 다음과 같이 구성되어 있습니다.
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<table><tr><td rowspan="3">토목분야</td><td>midas FEA</td><td>Advanced Nonlinear and Detail Analysis Program교량 및 토목구조물 전용 비선형 상세 프로그램</td></tr><tr><td>midas Civil</td><td>Integrated Solution System for Bridge and Civil Structures교량 및 토목구조물 전용 구조해석 통합 시스템</td></tr><tr><td>midas FX+</td><td>General Pre & Post-processors for Finite Element Analysis유한요소해석 범용 전/후처리 프로그램</td></tr><tr><td rowspan="3">토목설계자동화분야</td><td>midas Abutment</td><td>Abutment Automatic Design System교대설계(계산서, 도면, 수량) 자동화 시스템</td></tr><tr><td>midas Pier</td><td>Pier Automatic Design System교각설계(계산서, 도면, 수량) 자동화 시스템</td></tr><tr><td>midas Deck</td><td>Deck Automatic Design System콘크리트 바닥판 설계(계산서, 도면, 수량) 자동화 시스템</td></tr><tr><td>지반 및 터널분야</td><td>midas GTS</td><td>Geotechnical and Tunnel analysis System지반 및 터널구조물 전용 해석 시스템</td></tr><tr><td>가시설분야</td><td>midas GeoX</td><td>Temporary Works Analysis and Design System가시설전용 해석 및 설계 프로그램</td></tr><tr><td rowspan="4">건축분야</td><td>midas Gen</td><td>Integrated Design System for Building and General Structures건물 및 일반구조물 구조설계 통합 시스템</td></tr><tr><td>midas ADS</td><td>Shear wall type Apartment Design System전단벽식 아파트 구조해석 및 최적설계 시스템</td></tr><tr><td>midas SDS</td><td>Slab & basemat Design System바닥판 · 기초판 구조해석 및 최적설계 시스템</td></tr><tr><td>midas Set</td><td>Structural Engineer’s Tools단위구조설계 도움 프로그램</td></tr></table>
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midas FEA는 토목 구조 분야 학계 교수님들과 관련 업계의 실무자 여러분들 및 TNO DIANA와의 조력 및 협력으로 개발된 프로그램이며 윈도우 기반의 객체 지향적 특성, 첨단의 컴퓨터 그래픽과 해석기술을 집적하여 만들어진 새로운 개념의 비선형 상세 해석 전용 프로그램입니다. 사용자 중심의 환경과 Visual C++로 개발 되었기 때문에 빠르고 쉽게 익혀서 실무에 적용할 수 있습니다.
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midas FEA는 토목 구조 분야의 비선형 상세 해석에 필요한 제반기능을 집적하여 개발된 최적의 솔루션입니다. 기존의 프로그램과는 전혀 다른 직관적이고 다양한 모델링 기능, 엄격한 품질보증 및 관리시스템을 통해 검증된 강력한 해석기능, 최신의 해석 솔버를 탑재한 최고 성능의 해석속도, 탁월한 그래픽 표현 그리고 기술자를 위한 실용적인 해석결과 및 설계 등을 제공할 수 있도록 개발되었습니다.
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또한 midas FEA는 개발 과정에서 이론적 접근이 가능한 검증용 문제를 통하여 모든 기능에 대해 이론치 및 타 범용 프로그램과의 비교 검토를 마쳤으며, 다양한 실무 프로젝트에 적용되어 신뢰성과 효용성에 대한 검증이 이루어졌습니다.
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이들 중에서 대표적인 검증 예제를 발췌하여 작성한 Verification을 홈페이지(http://kor.midasuser.com/fea)에 등재하였습니다. 해석 결과의 정확도를 결정하는 유한요소의 알고리즘 측면에서도 최신의 이론을적용하였기 때문에 타 유사 프로그램에 비해 우수한 결과를 산출합니다.
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# 끝으로
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midas FEA는 국내외의 수많은 기술자들과 학계에 계신 교수님들의 노력과 협조로 탄생된 것입니다.이제부터 midas FEA를 사용하실 여러분의 성공적인 성과를 기대하며, 사용상 불편한 점이나 개선사항이 있으면 연락 바랍니다.
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끝으로 midas FEA를 개발하는 동안 참여해 주신 여러분께 감사 드리며, 특히 헌신적인 희생을 감내하여 주신 개발자와 가족 여러분께 지면을 빌어 감사의 말을 전합니다.
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midas FEA의 사용자지침서는 다음과 같이 2권의 책자와 On-line Manual로 구성되어 있습니다.
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제 1권, Getting Started & Tutorials
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프로그램의 개요와 기본 예제 따라하기
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제 2권, Analysis & Algorithm
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수치해석모델과 요소 및 해석기능에 대한 해설
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On-line Manual
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프로그램에 내장되어 있으며 각 기능에 대한 자세한 사용법과 각 입력항목에 대한 설명
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midas FEA의 특성과 기능을 효과적으로 이해하고 습득하기 위해서는 다음과 같은 순서에 따라 지침서에 수록된 내용을 먼저 이해한 후에 프로그램을 사용하는 것이 바람직합니다.
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1. midas FEA의 해석 기능에 대한 해설 내용을 포함하고 있는 제 2권을 보시기 바랍니다.
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제 2권에 기술된 내용들은 midas FEA를 이용하여 유한요소해석과 재료 및 기하 비선형 해석을 수행하는데 필요한 기초적 고려사항과 해석과정에서 기본적으로 숙지해야 하는 내용들을 포함하고 있습니다. 실제로 구조해석 이론과 사용 프로그램에 대한 이해가 부족한 상태에서 구조해석을 수행할 경우,오류가 포함될 확률이 90%를 상회하는 것으로 외국 저널 등에 심각하게 보고되고 있습니다.
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2. 제 1권의 “설치하기”부분을 보시고 안내된 절차에 따라 midas FEA를 설치하십시오.
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그리고 midas FEA를 사용하는데 필요한 기본개념을 포함하고 있는 제 1권의 나머지 부분들을 읽어보시기 바랍니다.
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제 1권에는 midas FEA의 전체적인 개념도 및 효과적인 운용을 위해 반드시 숙지해야 할 GUI 환경에대한 사용법과 “모델링하기”, “해석”, “결과분석” 등 실제 해석 작업에 반드시 필요한 기능들에 대한설명이 포함되어 있습니다.
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참고로 각 기능에 대한 자세한 사용법과 각 입력항목에 대한 설명은 midas FEA의 Help메뉴에 내장된On-line Manual의 “midas FEA의 기능” 부분에 기술되어 있습니다.
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midas FEA의 홈페이지(http://kor.midasuser.com/fea)에는 midas FEA의 주요 해석기능에 대하여 다양한예제를 통하여 타 구조해석 프로그램의 결과와 비교, 검증한 내용을 담은 Verification Examples이 등재되어 있습니다. 검증예제들은 대부분 관련분야 교육 과정에서 다루어지거나 기타 상용 프로그램과 비교 가능한 실무 예제를 중심으로 구성되어 있습니다. 그러므로 가시설분야에 입문하는 초보 사용자들과 실무자들에게 수치해석과 설계에 관한 개념을 파악하고 이해하는 자료로 활용될 수 있습니다.
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이외에도 midas FEA의 홈페이지에는 “프로그램 소개”, “프로그램 특징”, “프로그램 기능 설명”, “실무적용 사례 기술자료” 그리고 “Q&A” 등의 코너를 운용하고 있습니다. 홈페이지에서는 midas FEA의 사용법은 물론 실무를 수행하는데 필요한 관련 기술을 전파하고 기타 유용한 자료를 실시간으로 제공하여,항상 사용자 여러분의 옆에 존재하는 살아있는 매뉴얼의 역할을 수행하고자 최선을 다하겠습니다.
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# CONTENTS
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# Part 1 Element Library
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# Chapter 1. Structural Elements 03
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1-1 개요 / 03
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1-2 트러스(Truss) 요소 / 11
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1-3 보(Beam) 요소 / 16
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1-4 평면응력(Plane Stress) 요소 / 32
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1-5 판(Plate) 요소 / 43
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1-6 평면변형(Plane Strain) 요소 / 70
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1-7 축대칭(Axisymmetric) 요소 / 77
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1-8 입체요소(Solid) 요소 / 87
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1-9 스프링(Spring) / 100
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1-10 강체연결(Rigid Link) / 103
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# Chaper 2. Embedded Reinforcements ·········· 109
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2-1 개요 / 109
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2-2 철근의 형태 / 110
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2-3 유한요소 정식화 / 116
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2-4 평면요소에 삽입되는 철근 / 121
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2-5 축대칭요소에 삽입되는 철근 / 126
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2-6 평면응력요소에 삽입되는 철근 / 131
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2-7 입체요소에 삽입되는 철근 / 134
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2-8 판요소에 삽입되는 철근 / 141
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2-9 철근의 프리스트레스 / 146
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# CONTENTS
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# Chapter 3. Interface Elements 153
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3-1 개요 / 153
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3-2 좌표계 및 상대변위 / 155
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3-3 점계면 요소 / 157
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3-4 선계면 요소 / 159
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3-5 면계면 요소 / 161
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3-6 유한요소 정식화 / 165
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3-7 계면요소 해석결과 / 166
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# Chapter 4. Geometric Nonlinearity 167
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4-1 개요 / 167
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4-2 트러스(Truss) 요소 / 172
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4-3 평면응력요소(Plane Stress) 요소 / 175
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4-4 판(Plate) 요소 / 178
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4-5 평면변형률(Plane Strain) 요소 / 183
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4-6 축대칭(Axisymmetric) 요소 / 184
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4-7 입체요소(Solid) 요소 / 187
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@@ -0,0 +1,277 @@
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# CONTENTS
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# Part 2 Material Library
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# Chapter 1. Material Models 193
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1-1 개요 / 193
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1-2 항복기준 / 205
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# Chapter 2. Total Strain Crack 225
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2-1 개요 / 225
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2-2 기본특성 / 229
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2-3 재하 및 제하 / 232
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2-4 균열변형률 변화 / 234
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2-5 강성 행렬 / 236
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2-6 압축 모델 / 242
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2-7 인장 모델 / 248
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2-8 전단 모델 / 258
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2-9 횡방향 영향 / 261
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# Chapter 3. Interface Nonlinearities 269
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3-1 개요 / 269
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3-2 이산균열 / 271
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3-3 균열팽창 / 277
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3-4 부착슬립 / 287
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3-5 쿨롱마찰 / 290
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3-6 복합파괴 모델 / 294
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# CONTENTS
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# Part 3 General Algorithms
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# Chapter 1. Load and Boundary ··· 305
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1-1 자유도 구속조건 / 305
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1-2 경사 지지조건 / 308
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1-3 구속 방정식 / 309
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1-4 절점하중 / 312
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1-5 요소압력하중 / 313
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1-6 체적력 / 315
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1-7 강제변위 / 316
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# Chapter 2. Equation Solver 317
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2-1 개요 / 317
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2-2 직접해법 / 318
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2-3 반복해법 / 322
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2-4 특징 / 324
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# Chapter 3. Iteration Methods 325
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3-1 개요 / 325
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3-2 초기강성법 / 328
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3-3 뉴튼 랩슨법 / 329
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3-4 수정 뉴튼 랩슨법 / 330
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3-5 호장법 / 331
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3-6 수렴조건 / 335
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3-7 자동전환기능 / 336
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# CONTENTS
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# Part 4. Linear Analysis
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# Chapter 1. Linear Static Analysis 339
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1-1 개요 / 339
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1-2 비선형요소의 선형정적해석/ 340
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# Chapter 2. Modal Analysis · 341
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2-1 개요 / 341
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2-2 Lanczos 반복법 / 345
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2-3 Subspace 반복법 / 347
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2-4 관련기능 / 349
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||||
# Chapter 3. Time History Analysis · 353
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3-1 개요 / 353
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3-2 모드중첩법 / 354
|
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3-3 직접적분법 / 356
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3-4 감쇠 / 359
|
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3-5 주의사항 / 361
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# Chapter 4. Response Spectrum Analysis ······ 363
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||||
4-1 개요 / 363
|
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4-2 스펙트럼 함수 / 369
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# Chapter 5. Linear Buckling Analysis ············ 371
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5-1 개요 / 371
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5-2 기하강성 / 374
|
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5-3 임계하중계수 추출방법 / 381
|
||||
5-4 관련 기능 / 382
|
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# CONTENTS
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# Part 5. Construction Stage Analysis
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||||
Chapter 1. Construction Stage Analysis········· 385
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1-1 개요 / 385
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1-2 시공단계의 구성 / 387
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||||
1-3 요소의 생성 및 제거 / 391
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||||
1-4 하중의 재하 및 제거와 적용 / 392
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1-5 경계조건의 추가 및 제거 / 394
|
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||||
# Part 6. Potential Flow Analysis
|
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||||
Chapter 1. General Heat Transfer Analysis ··· 397
|
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||||
1-1 개요 / 397
|
||||
1-2 열전달 방정식 / 398
|
||||
1-3 요소 / 403
|
||||
1-4 하중과 경계조건 / 406
|
||||
1-5 단계별 열전달 해석과 결과 / 410
|
||||
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||||
Chapter 2. Heat of Hydration Analysis ········· 413
|
||||
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||||
2-1 개요 / 413
|
||||
2-2 열전달 해석 / 414
|
||||
2-3 열응력 해석 / 416
|
||||
2-4 시공단계를 고려한 수화열 해석 / 420
|
||||
2-5 시간의존적 재질특성 / 421
|
||||
2-6 수화열 해석 결과 / 444
|
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# CONTENTS
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||||
# Part 7. Contact Analysis
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||||
Chapter 1. Static Contact Analysis · 447
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1-1 개요 / 447
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1-2 접촉 검색 / 448
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1-3 기능 및 결과 / 456
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# Part 8. Fatigue Analysis
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Chapter 1. Fatigue Analysis 461
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1-1 개요 / 461
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1-2 반복하중 / 462
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1-3 평균응력의 영향 / 465
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1-4 수정계수 / 467
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1-5 레인플로 집계 / 474
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1-6 피로해석의 단계 / 477
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# CONTENTS
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# Part 9. CFD(Computational Fluid Dynamic)
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# Analysis
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Chapter 1. CFD Analysis 481
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1-1 개요 / 481
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1-2 RANS 방정식과 난류모델 / 482
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1-3 공간이산화 / 485
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1-4 정상유동 / 487
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1-5 비정상유동 / 488
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1-6 수치적 안정성 / 490
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1-7 전산유체 해석결과 /491
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 1 Element Library
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Chapter 1. Structural Elements
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Chapter 2. Embedded Reinforcements
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Chapter 3. Interface Elements
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Chapter 4. Geometric Nonlinearity
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# Chapter 1. Structural Elements
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# 1-1 개요
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구조물의 모델링과 유한요소를 이해하는데 필요한 공간상의 좌표계는 다음과 같다.
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- 전체좌표계 (GCS : Global Coordinate System)
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구조물 전체를 동일한 하나의 기준으로 표현하는 좌표계이다. 오른손 법칙에 따라 X,Y,Z (대문자) 축으로 표현한다.
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- 요소좌표계 (ECS: Element Coordinate System)
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각각의 요소를 기준으로 독립적으로 설정되는 좌표계이다. 각 요소의 x,y,z (소문자) 축으로 표현한다.
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\- 기타 좌표계
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절점좌표계(NCS: Nodal Coordinate System), 출력좌표계(OCS: Output Coordinate System), 재료좌표계(MCS: Material Coordinate System) 등이 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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MCS
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2
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3
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1
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z
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y
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ECS
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x
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z
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y
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GCS
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X
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</details>
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그림 1.1.1 여러가지 좌표계
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midas FEA에서 사용 가능한 유한요소의 종류는 다음과 같다.
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- 트러스요소(truss element)
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• 보요소(beam element)
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• 평면응력요소(plane stress element)
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• 판요소(plate element)
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• 평면변형요소(plane strain element)
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• 축대칭요소(axisymmetric element)
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- 입체요소(solid element)
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\- 탄성연결(elastic link)/ 절점스프링(point spring)/ 절점감쇄(point damping) / 행렬스프링(matrix spring)/ 강체연결(rigid link) 요소
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유한요소는 기본적으로 요소 종류와 연결 절점번호로 정의하며, 절점의 연결 순서에 따라 요소좌표계가 결정된다. 각각의 요소에는 모양, 크기, 재질(material) 등을 규정하는 데이터가 할당되며, 요소 종류별로 필요한 데이터는 다음과 같다.
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<table><tr><td>요소</td><td>필요 데이터</td></tr><tr><td>트러스요소</td><td>단면적, 재질</td></tr><tr><td>보요소</td><td>단면성질, 재질</td></tr><tr><td>평면응력요소</td><td>두께, 재질</td></tr><tr><td>판요소</td><td>두께, 재질, 재료좌표계</td></tr><tr><td>평면변형요소</td><td>두께, 재질</td></tr><tr><td>축대칭요소</td><td>재질</td></tr><tr><td>입체요소</td><td>재질, 재료좌표계</td></tr></table>
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@@ -0,0 +1,211 @@
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<!-- source-page: 21 -->
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각 요소별로 사용 가능한 해석 종류는 다음과 같다.
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'✓' 표시는 사용 가능함을 의미한다.
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<table><tr><td rowspan="2">요소점류</td><td colspan="2">요소차수</td><td colspan="5">선형해석</td><td colspan="2">비선형해석</td><td colspan="2">포텐설유동해석</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1차</td><td>2차</td><td>선형정적해석</td><td>고유치해석</td><td>선형좌점해석</td><td>시간이력해석</td><td>지시응답스페트럼해석</td><td>지시재료비진형해석</td><td>지시기하비신형해석</td><td>지수화열해석</td><td>지수일반열진달해석</td><td>지점촉해석</td><td>지점리로해석</td></tr><tr><td>트러스</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td></td></tr><tr><td>보</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td></td><td></td></tr><tr><td>평면응력</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>판</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>평면변형</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td></td><td>√</td></tr><tr><td>축대칭</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td></td><td>√</td></tr><tr><td>입체</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr></table>
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\* 전산유체해석에서는 별도의 전용 판요소 사용.
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각 요소별로 사용 가능한 하중조건은 다음과 같다.
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<table><tr><td rowspan="2">요소종류</td><td colspan="7">정적 하중</td></tr><tr><td>체적력</td><td>cancel압력하중</td><td>cancel모서리하중</td><td>cancel보요소하중</td><td>프리스트레스</td><td>cancel온도하중</td><td>cancel온도구배하중</td></tr><tr><td>트러스요소</td><td>√</td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td><td></td></tr><tr><td>보요소</td><td>√</td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>평면응력요소</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td></td></tr><tr><td>판요소</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>평면변형요소</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td></td></tr><tr><td>축대칭요소</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td></td></tr><tr><td>입체요소</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td><td></td></tr></table>
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<!-- source-page: 23 -->
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각 재료별로 가능한 해석 종류는 다음과 같다.
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<table><tr><td rowspan="2">량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량</td><td colspan="5">선형해석</td><td colspan="2">비선형해석</td></tr><tr><td>직업전용량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량Load량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량 Load량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량总额</td><td>고유치해석</td><td>직업전용량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량</td><td>직업전용량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량Load량량량량Load량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량</td><td>직업전용력량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량력량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량</td><td>직업전용賦량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량額량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량</td><td></td></tr><tr><td>Elastic</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Multi-Elastic</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Rankine</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Tresca</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Von Mises</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Drucker Prager</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Mohr Clulomb</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Total Strain Crack</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>User Supplied</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Creep/Shrinkage</td><td> $\checkmark^*$ </td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
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(\* 선형시공단계해석, 수화열해석)
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각 재료별로 사용 가능한 요소종류는 다음과 같다.
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<table><tr><td rowspan="2">지료종류</td><td colspan="7">요소종류</td></tr><tr><td>트러스요소</td><td>보요소</td><td>평면응력요소</td><td>판요소</td><td>평면변형요소</td><td>축대칭요소</td><td>임체요소</td></tr><tr><td>Elastic</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Multi-Elastic</td><td>√</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Rankine</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Tresca</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Von Mises</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Drucker Prager</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Mohr Clulomb</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Total Strain Crack</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>User Supplied</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr><tr><td>Creep/Shrinkage</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td></tr></table>
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각 요소별 정적 해석 결과로 출력되는 데이터는 다음과 같다.
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'✓' 표시는 데이터가 출력됨을 의미한다.
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<table><tr><td rowspan="2">요소종류</td><td colspan="4">요소결과</td></tr><tr><td>응력</td><td>변형률</td><td>요소내력</td><td>기본출력좌표계(좌표계 변환)</td></tr><tr><td>트러스요소</td><td>√</td><td></td><td>√</td><td>ECS (no)</td></tr><tr><td>보요소</td><td></td><td></td><td>√</td><td>ECS (no)</td></tr><tr><td>평면응력요소</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>ECS (yes)</td></tr><tr><td>판요소</td><td>√</td><td>√</td><td>√</td><td>ECS (yes)</td></tr><tr><td>평면변형요소</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>GCS (yes)</td></tr><tr><td>축대칭요소</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>GCS (yes)</td></tr><tr><td>입체요소</td><td>√</td><td>√</td><td></td><td>GCS (yes)</td></tr></table>
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일반적으로 트러스/보 요소는 요소 크기의 영향을 크게 받지 않지만, 평면 또는 입체 요소의 경우에는 요소의 크기와 분포에 따라 결과값에 큰 영향을 받게 된다. 일반적으로 요소의 세분화가 필요한 부위는 다음과 같다.
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- 기하학적 불연속 부위 또는 개구부 주위
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- 하중의 변화가 심한 부위 또는 집중 하중이 작용하는 부위
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- 단면적/두께 또는 재료의 성질이 불연속적인 부위
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• 정밀한 응력/내력 결과가 필요한 부위
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효과적인 수치해석 모델을 만들기 위해서는 요소의 크기뿐만 아니라 요소의 형상 및 연결 상태와 함께 다음과 같은 사항을 고려하는 것이 좋다.
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- 인접 요소간의 크기 차이가 1/2 이하가 되도록 한다.
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• 응력을 구하고자 할 경우에는 4절점 평면요소와 8절점 입체요소를 사용한
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다. 3절점 평면요소와 4절점 입체요소의 경우에는 고차요소를 사용한다.
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- 평면요소의 경우 정다각형 형태를 유지하도록 한다. 사각형의 경우 모서리 각도는 45° \~ 135°를 유지하며, 삼각형의 경우에는 30° \~ 150°가 되도록 한다.
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4절점 평면 요소의 경우 절점이 동일 평면상에 존재하도록 한다.
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- 회전자유도에 대한 강성을 가지고 있지 않은 요소(트러스/평면응력/입체요소)들이 절점을 공유하는 경우에는 특이성 오류(singular error)가 발생할 수 있다. midas FEA에서는 이러한 경우 해당절점의 회전자유도를 자동으로 구속시키는 기능이 있다.
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유한요소법에서 개별 요소의 특성은 요소좌표계에서의 요소강성 $K^{e}$ 로 표현되며, 선형해석에 사용되는 강성행렬 $K^{e}$ 는 다음과 같은 형태로 표현된다
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$$
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\mathbf {K} ^ {e} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d V \tag {1.1.1}
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$$
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여기서, 행렬 B 는 형상함수 N 의 미분값으로 이루지며, D 는 응력과 변형률 관계를 나타내는 행렬이다. N 은 절점별 형상함수 $N_{i}$ 로 구성되고, 무차원 특성좌표계 (natural coordinate) $\xi - \eta - \zeta$ 에서 정의한다.
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# 1-2 트러스요소
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# 1-2-1 개요
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트러스요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Uniaxial Tension-Compression 3DLine Element”이다. 트러스요소는 일반적으로 공간트러스(space truss) 또는 대각부재(diagonal brace) 등을 모델링하는데 사용되며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적해석에 모두 사용할 수 있다. 트러스요소는 축방향(axial) 힘만을 전달하며, 일정한초기간격(gap/hook distance)을 가진 인장전담(tension-only) 또는 압축전담(compression-only) 특성을 부여할 수 있다. 트러스요소의 변형을 정의하는 응력과변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{\sigma_ {x x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\}
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$$
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(축방향 응력과 변형률)
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그림 1.2.1과 같이 트러스요소는 축방향에 대한 자유도만을 갖기 때문에 요소좌표계의 x 축 방향만 의미를 가지고 있다. 요소좌표계 x 축 방향은 절점 1에서 절점 2 방향을 향한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS x-axis
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σₓₓ, εₓₓ
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2
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1
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σₓₓ, εₓₓ
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</details>
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그림 1.2.1 트러스요소의 좌표계와 응력/변형률
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# 1-2-2. 유한요소 정식화
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트러스요소의 단면적은 전체길이에서 동일하다고 가정한다. 트러스요소는 요소좌표계에서 x 방향 이동변위(translation) u 만을 갖는다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \right\} \tag {1.2.1}
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$$
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임의의 좌표 x 와 이동변위 u 는 형상함수를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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x = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} x _ {i}, u = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} u _ {i} \tag {1.2.2}
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$$
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$$
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||||
N _ {1} = \frac {1 - \xi}{2}, \quad N _ {2} = \frac {1 + \xi}{2} \quad (- 1 \leq \xi \leq 1) \tag {1.2.3}
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$$
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||||
절점 변위와 변형률의 관계는 Bi 에 의하여 식 (1.2.4)와 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {2} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.2.4}
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$$
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||||
행렬 Bi 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
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$$
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\mathbf {B} _ {i} = \left\{\frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \right\} \tag {1.2.5}
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$$
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행렬 Bi 를 이용하여 축방향 변형에 관계된 요소강성행렬을 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d L, \quad \mathbf {D} = A \{E \} \tag {1.2.6}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} A: \text { 단면적 } \\ L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 } \\ \end{array}
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$$
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식 (1.2.6)을 정리하여 트러스요소의 강성행렬을 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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\mathbf {K} = \frac {E A}{L _ {e}} \left[ \begin{array}{l l} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} \right] \tag {1.2.7}
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$$
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<!-- source-page: 29 -->
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# 1-2-3. 하중과 질량
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트러스요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 프리스트레스하중(prestress), 온도하중(thermal) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이다. 프리스트레스 하중은 트러스요소에 내력으로 인장력을 주고자 하는 경우에 사용한다. 온도하중은 절점온도, 요소온도 하중에 의한 열변형을 반영하고자 할 때 사용한다. 프리스트레스와 온도하중에 의한 요소좌표계의 하중벡터는 아래와 같다.
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\- 체적력
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = A \int_ {L _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d L \tag {1.2.8}
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$$
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여기서,
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$$
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\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
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$$
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\- 프리스트레스
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = - \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} P d L \tag {1.2.9}
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||||
$$
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여기서,
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$$
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P: \text { 축방향 프리스트레스 (힘) }
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$$
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\- 온도 하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} E A \alpha \Delta T d L \tag {1.2.10}
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$$
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여기서,
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$$
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\alpha : \text { 열팽창계수 }
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$$
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$$
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\Delta T \quad : \text { 온도변화 }
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$$
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<!-- source-page: 30 -->
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트러스요소의 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass) 행렬은 아래와 같다. 트러스요소의 질량은 x,y,z 의 이동변위에 대해서만 구성된다.
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\- 집중질량
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$$
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\mathbf {M} = \frac {\rho A L _ {e}}{2} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & & & & & \\ 0 & 1 & & & \text { symm. } & \\ 0 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \tag {1.2.11}
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$$
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여기서,
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ρ : 밀도
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\- 분포질량
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$$
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\mathbf {M} = \frac {\rho A L _ {e}}{6} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & & & & & \\ 0 & 2 & & & \text {symm.} & \\ 0 & 0 & 2 & & & \\ 1 & 0 & 0 & 2 & & \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right] \tag {1.2.12}
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$$
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@@ -0,0 +1,365 @@
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<!-- source-page: 31 -->
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# 1-2-4. 요소결과
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트러스요소의 해석결과로는 절점 1, 2 위치에서 요소내력(element force)과 응력을출력하고, 방향은 요소좌표계를 따른다. 출력되는 요소내력은 축방향의 힘( ) N A x xx= σ 이고, 그림 1.2.2와 같이 인장응력이 작용할 경우에 ‘+’ 부호를 갖는다.일반적으로 양 끝단에서의 요소내력은 동일하지만 자중이 입력된 경우에는 달라질수도 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS x-axis
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Nₓ,σₓ
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J - End
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I - End
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Nₓ,σₓₓ
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</details>
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그림 1.2.2 트러스요소의 결과 출력위치 및 성분
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# 1-3 보요소
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# 1-3-1 개요
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보요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 선요소이며, 단면의 치수에 비하여 길이가 긴골조부재의 모델링에 주로 이용된다. 보요소는 정적(선형/비선형) 해석 및 동적 해석에 모두 이용할 수 있으며, 축방향(axial) 변형, 휨(bending), 비틀림(torsion), 전단(shear) 변형 등을 고려할 수 있다. 보요소에서 변형을 정의하는 응력, 변형률, 요소내력(element force)은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{\sigma_ {x x} \right\}, \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\}
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$$
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(축방향 응력과 변형률)
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$$
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\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {y} \\ M _ {z} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {y} \\ \kappa_ {z} \end{array} \right\}
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$$
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(휨모멘트와 곡률)
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$$
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\mathbf {T} = \left\{M _ {x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varphi} = \left\{\phi_ {x} \right\}
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$$
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(비틀림모멘트와 비틀림)
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$$
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\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {y} \\ Q _ {z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\}
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$$
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(전단력과 전단변형률)
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요소내력과 응력에 대한 부호규약은 그림 1.3.1과 같고, 화살표 방향이 ‘+’ 부호를의미한다. 길이에 대한 단면의 폭 또는 높이비가 대략 1/5 보다 커질 경우에는 전단변형에 의한 영향이 커지게 되므로, 보요소를 사용하지 않고 판요소나 입체요소를 사용하는 것이 바람직하다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS x-axis
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ECS y-axis
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ECS z-axis
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1
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2
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Qz,γzx
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Mz,κz
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σxx,εxx
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My,κy
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My,φx
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My,φx
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Qy,γyz
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||||
Qy,γyz
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||||
My,κy
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||||
My,φx
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||||
σxx,εxx
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||||
Mx,φx
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Mz,κz
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Qz,γzx
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</details>
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그림 1.3.1 보요소의 좌표계와 응력/변형률/내력
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보요소 좌표계는 요소내력 또는 응력의 출력 기준이 되고, 특히 보요소의 전단강성과휨강성의 방향을 정하는 기준이 된다. 요소좌표계의 x 축은 절점 1에서 절점 2로 진행하는 방향이 되고, y z, 축의 방향은 그림 1.3.1과 같고, 그림 1.3.2 \~ 1.3.4와 같이3가지 방법을 사용하여 지정한다. 요소좌표계 z 축을 정하면 y 축은 오른손법칙에따라 자동적으로 정해진다.
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그림 1.3.2는 요소좌표계 z 축과 전체좌표계와의 각도인 “Beta Angle” β를 입력하여 z 축을 입력하는 방법이다. 요소좌표계 x 축이 전체좌표계 Z 축과 평행하면β이 전체좌표계 Z 축과 평행하지 않으면 β 는 전체좌표계 Z 축과 요소좌표계 x − z평면이 이루는 수직각도가 된다.
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그림 1.3.3은 요소좌표계 x− z 평면상의 임의의 절점을 입력하여 요소좌표계를 지정하는 방법이다. 입력되는 임의의 절점은 요소좌표계 x 축 선상에 있지 않아야 한다.그림 1.3.4는 요소좌표계 x − z 평면상에 임의의 벡터를 입력하여 요소좌표계를 지정하는 방법이다. 입력되는 임의의 벡터는 요소좌표계 x 축과 평행하지 않아야 한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Y'
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z
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x
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β
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Z'
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y
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X'
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</details>
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X′: axis passing through node N1 and parallel with the global X-axis
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Y′: axis passing through node N1 and parallel with the global Y-axis
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Z′: axis passing through node N1 and parallel with the global Z-axis
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(a) 수직부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행할 경우)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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β
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y
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x
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Y
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z'
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z'
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z
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x
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X'
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y
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Y'
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β
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</details>
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(b) 수평 또는 대각부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하지 않을 경우)
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그림 1.3.2 Beta Angle을 이용한 요소좌표계 정의
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Local z
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x-z plane
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Vz
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3
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2
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Local x
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Local y
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1
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Z
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Y
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X
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GCS
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</details>
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그림 1.3.3 Node를 사용한 요소좌표계 정의
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Local z
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x-z plane
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V(α, β, γ)
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Local x
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Local y
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1
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2
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Z
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Y
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X
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GCS
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</details>
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그림 1.3.4 K-Vector 를 사용한 요소좌표계의 정의
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# 1-3-2 유한요소 정식화
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보요소의 단면 형상과 크기는 전체 길이에서 균일하다고 가정한다. 보요소는 요소좌표계에서 3개의 이동변위(translation)와 3개의 회전변위(rotation)를 모두 갖는다. 축방향 변형에 대한 강성은 트러스요소와 동일한 방법으로 계산하며, 비틀림 강성 또한유사한 과정으로 계산할 수 있다. 그리고 휨과 전단강성에 대해서는 Timoshenko 보이론 또는 Euler 보이론을 사용한다
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축방향 변형에 대해서는 트러스요소와 동일한 방법을 적용한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \right\} \tag {1.3.1}
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$$
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$$
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\mathbf {K} _ {\text { axial }} = \frac {E A}{L _ {e}} \left[ \begin{array}{l l} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} \right] \tag {1.3.2}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} A \quad : \text { 단면적 } \\ L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 } \\ \end{array}
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$$
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비틀림에 대해서도 유사한 과정을 거쳐 다음과 같은 강성행렬을 얻을 수 있다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \right\} \tag {1.3.3}
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$$
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$$
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||||
\mathbf {K} _ {\text { torsional }} = \frac {G I _ {x}}{L _ {e}} \left[ \begin{array}{l l} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} \right] \tag {1.3.4}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} I _ {x} \quad : \text { 비틀림강성 (torsional resistance) } \\ L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 } \\ \end{array}
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$$
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전단과 휨 강성은 서로 연관되어 있으므로 연관강성을 구성한다. 먼저 Timoshenko보이론에 기반하여 전단변형을 고려한 강성에 대하여 설명한다. 요소좌표계의 x − z평면 상에서 전단변형과 휨을 표현하는 변위는 z 방향 이동변위 w 와 y 축에 대한회전이다.
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<!-- source-page: 37 -->
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{w _ {i} \quad \theta_ {y i} \right\} ^ {T} \tag {1.3.5}
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$$
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요소의 축방향으로 임의의 좌표 x와 이동변위 w는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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x = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} x _ {i}, \quad w = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} w _ {i} \tag {1.3.6}
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$$
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||||
요소좌표계의 y 축에 대한 회전은 다음과 같이 2차로 표현된다.
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$$
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||||
\theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} \theta_ {y i} + P _ {3} \Delta \theta_ {y 3} \tag {1.3.7}
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$$
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$$
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N _ {1} = \frac {1 - \xi}{2}, \quad N _ {2} = \frac {1 + \xi}{2}, \quad \mathrm{P} _ {3} = 1 - \xi^ {2} \quad (- 1 \leq \xi \leq 1) \tag {1.3.8}
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$$
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요소 중앙의 가상 절점 회전각 $\Delta\theta_{y3}$ 를 구하기 위하여 다음과 같은 가정을 이용한다.
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\- 전단력과 힘모멘트의 평형식을 만족한다.
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$$
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Q _ {z} = - \frac {\partial M _ {y}}{\partial x} \tag {1.3.9}
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$$
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\- 전단력과 휩모멘트의 평형식에 의해 계산되는 평균 전단변형률 $\overline{\gamma}_{zx}$ 는 형상함수로부터 계산되는 전단변형률 $\gamma_{zx}$ 와 다음의 관계를 만족한다.
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$$
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\int_ {L _ {e}} \left(\gamma_ {z x} - \overline {{\gamma}} _ {z x}\right) d L = 0 \tag {1.3.10}
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$$
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위의 가정을 이용하면 중앙 가상 절점의 회전각 $\Delta\theta_{y3}$ 를 다음처럼 표현할 수 있다.
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$$
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\Delta \theta_ {y 3} = \frac {3}{2 L _ {e} (1 + \phi_ {3})} \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & - \frac {L _ {e}}{2} & - 1 & - \frac {L _ {e}}{2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} w _ {1} \\ \theta_ {y 1} \\ w _ {2} \\ \theta_ {y 2} \end{array} \right\}, \quad \phi_ {3} = \frac {1 2 E I _ {y}}{G A _ {s z} L _ {e} ^ {2}} \tag {1.3.11}
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$$
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$A_{sz}$ : 유효전단면적 (effective shear area)
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$I_{y}$ : 단면2차 모멘트 (area moment of inertia)
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절점 변위와 곡률 κ y 의 관계는 Bbi에 의해 다음과 같이 표현된다.
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$$
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\kappa_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {2} \mathbf {B} _ {b i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.3.12}
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$$
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$$
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\mathbf {B} _ {b i} = \left\{\frac {3 a _ {i}}{2 L _ {e} (1 + \phi_ {3})} \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} \quad \frac {3}{4 (1 + \phi_ {3})} \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} - \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \right\}, \quad a _ {1} = - 1, \quad a _ {2} = 1 \tag {1.3.13}
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$$
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전단변형은 zxγ 를 이용하며, zxγ 와 절점 변위와의 관계는 Bsi 에 의해 다음과 같이나타낼 수 있다.
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$$
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\overline {{\gamma}} _ {z x} = \sum_ {i = 1} ^ {2} \mathbf {B} _ {s i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.3.14}
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$$
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$$
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\mathbf {B} _ {s i} = \left\{\frac {a _ {i}}{L _ {e} (1 + \phi_ {3})} \quad \frac {L _ {e}}{2 (1 + \phi_ {3})} \right\}, \quad a _ {1} = - 1, \quad a _ {2} = 1 \tag {1.3.15}
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$$
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따라서 전단과 휨 강성은 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {L _ {e}} \left(\mathbf {B} _ {b i} ^ {T} \mathbf {D} _ {b} \mathbf {B} _ {b j} + \mathbf {B} _ {s i} ^ {T} \mathbf {D} _ {s} \mathbf {B} _ {s j}\right) d L \tag {1.3.16}
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$$
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$$
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||||
\mathbf {D} _ {b} = I _ {y} \left\{E \right\}, \quad \mathbf {D} _ {s} = A _ {s y} \left\{G \right\} \tag {1.3.17}
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$$
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식 (1.3.16)을 적분하여 정리하면, x − z 평면의 휨과 전단에 대한 강성을 계산할 수있고, 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {\text {bending}} + \mathbf {K} _ {\text {shear}} = \frac {E I _ {y}}{1 + \phi_ {3}} \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {1 2}{L _ {e} ^ {3}} & - \frac {6}{L _ {e} ^ {2}} & - \frac {1 2}{L _ {e} ^ {3}} & - \frac {6}{L _ {e} ^ {2}} \\ & \frac {4}{L _ {e}} \left(1 + \frac {\phi_ {3}}{4}\right) & \frac {6}{L _ {e} ^ {2}} & \frac {2}{L _ {e}} \left(1 - \frac {\phi_ {3}}{2}\right) \\ & & \frac {1 2}{L _ {e} ^ {3}} & \frac {6}{L _ {e} ^ {2}} \\ \text {Symm.} & & & \frac {4}{L} \left(1 + \frac {\phi_ {3}}{4}\right) \end{array} \right] \tag {1.3.18}
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$$
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요소좌표계의 x − y 평면에 대한 휨과 전단 강성은 동일한 방법으로 계산할 수 있다.전단변형을 고려하지 않는 Euler 보이론에 의한 강성을 계산하려면, 전단변형률의 가
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<!-- source-page: 39 -->
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정인 식 (1.3.10) 대신 다음의 식을 이용하여 정식화한다.
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$$
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\int_ {L _ {e}} \gamma_ {z x} d L = 0 \tag {1.3.19}
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$$
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따라서, 식 (1.3.18)에서 $\phi_{3}=0$ 으로 두면 힘 강성을 얻을 수 있다.
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# 1-3-3. 하중과 질량
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보요소에 적용되는 하중은 보요소 하중(beam load), 체적력(body force), 프리스트레스하중(prestress load), 온도하중(thermal load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하는 하중이고, 보요소 하중은 보요소의 길이에 따라 작용하는 집중 또는 분포하중이다. 보요소 하중에는 집중하중과 분포하중이 있고, 요소좌표축과 전체좌표축 방향으로 입력할 수 있다. 프리스트레스 하중은 보요소에 내력으로 인정 변형을 주고자 하는 경우에 사용한다. 프리스트레스 하중은 요소 좌표계의 길이 방향으로 작용하며, 요소의 두 절점이 구속된 경우에 입력한 프리스트레스 하중이 요소내력과 같도록 하는 하중을 도입한다. 보요소의 온도하중에는 길이방향 열 변형하중과 온도구배(temperature gradient)와 같은 휩 하중이 있다.
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# • 보요소 하중
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보요소의 두 절점사이에 입력되는 집중 또는 분포하중이다. 하중 재하 구간은 사용자가 임의로 입력할 수 있고, 해석 시에는 등가 절점하중으로 변환하여 사용한다. 보요소 하중은 요소내력 계산시에 반영하며, 요소내력은 부재 내부의 지정된 위치(I-end, 1/4, 1/2, 3/4, J-end)에서 정확하게 계산된다. 그림 1.3.5는 보요소 하중의 입력 예를 나타내고 있다.
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Part 1 Element Library
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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p₁ p₂
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m₁ m₂
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I J
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P M
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I J
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</details>
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(a) 보요소 하중의 종류(분포하중, 집중하중)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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W
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L
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θ
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Z
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X
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W
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L
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θ
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Z
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X
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</details>
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(b) 전체좌표축에 대한 투영(Projection) 여부에 따른 분포하중의 계산
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그림 1.3.5 보요소 하중의 입력 예
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@@ -0,0 +1,333 @@
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<!-- source-page: 41 -->
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\- 체적력
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = A \int_ {L _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d L \tag {1.3,20}
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$$
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여기서,
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$$
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\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
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$$
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\- 프리스트레스
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = - \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} P d L \quad \left(\mathbf {B} _ {i}: \text {트러스요소와 동일}\right) \tag {1.3.21}
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||||
$$
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여기서,
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$$
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||||
P \quad : \text { 축방향 프리스트레스 (힘) }
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$$
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\- 온도하중
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$$
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||||
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} E A \alpha \Delta T d L \tag {1.3.22}
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$$
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여기서,
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$$
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\alpha \quad : \text { 열팽창계수 }
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$$
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$$
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\Delta T \quad : \text { 온도변화 }
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$$
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<!-- source-page: 42 -->
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보요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 반영할 수 있다. 집중질량은 x,y,z 의 이동변위에 대해서 구성되고, 트러스요소와 같이 크기 $\left(\rho AL_{e}\right)/2$ 로 방향에 무관하게 동일한 값을 갖는다. 보요소의 분포질량은 이동변위와 회전변위에 대하여 모두 반영된다.
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# - 분포질량
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$$
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\mathbf {M} = \frac {\rho A L _ {e}}{4 2 0} \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c} 1 4 0 & & & & & & & & & & \\ 0 & 1 5 6 & & & & & & & & & \text {symm.} \\ 0 & 0 & 1 5 6 & & & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 4 0 \frac {J}{A} & & & & & & & \\ 0 & 0 & - 2 2 L _ {e} & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} & & & & & & \\ 0 & 2 2 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} & & & & & \\ 7 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 4 0 & & & & \\ 0 & 5 4 & 0 & 0 & 0 & 1 3 L _ {e} & 0 & 1 5 6 & & & \\ 0 & 0 & 5 4 & 0 & - 1 3 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & 1 5 6 & & \\ 0 & 0 & 0 & 7 0 \frac {J}{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 4 0 \frac {J}{A} & & \\ 0 & 0 & 1 3 L _ {e} & 0 & - 3 L _ {e} ^ {2} & 0 & 0 & 0 & 2 2 L _ {e} & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} \\ 0 & - 1 3 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & - 3 L _ {e} ^ {2} & 0 & - 2 2 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} \end{array} \right] \tag {1.3.23}
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$$
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여기서,
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J : 극관성 모멘트(polar moment of inertia)
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<!-- source-page: 43 -->
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# 1-3-4 경계조건
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보요소의 내부 경계조건으로는 단부 해제조건(end release)과 옵셋(offset)이 있다.부재의 양단부가 핀접합 또는 슬롯홀(slot hole) 등에 의해 연결될 경우에 그림 1.3.6과 같은 단부 해제조건을 사용한다. 단부 해제조건은 요소를 구성하는 모든 자유도에대하여 입력이 가능하다. 단부 해제가 수행되는 방향은 요소좌표계를 따르므로, 전체좌표계에 대한 강성의 연결해제를 입력할 경우에는 요소좌표계와의 관계에 주의하여야 한다. 또한 요소의 단부 해제에 따른 강성의 변화가 특이성오류를 발생시킬 수 있으므로, 전체구조물에 대한 충분한 고려가 필요하다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rotational d.o.f. released
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girder
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beam
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</details>
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(a) 핀접합의 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||||
girder
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axial direction
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d.o.f. released
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slot hole
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column
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</details>
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(b) 슬롯홀접합의 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rotational d.o.f. released
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rigid connection
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</details>
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(c) 여러 개의 보 요소가 한 절점에 핀접합으로 연결된 경우
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<!-- source-page: 44 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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beam
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wall
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rigid connection
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||||
beam element
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rigid beam element
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for connectivity
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all rotational degree
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of freedom and
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vertical displacement
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degree of freedom
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released
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plane stress or plate element
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</details>
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(d) 절점자유도가 서로 다른 요소끼리 연결된 경우
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그림 1.3.6 보요소의 단부해제 조건
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보요소의 중립축이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 2개의 요소의 중립축이 일치하지 않는 경우에 별도 절점을 생성하지 않고 옵셋(offset)을 사용하여 모델링 할 수 있다. 옵셋은 Local Offset과 Global Offset으로 분류할 수 있다.
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Global Offset은 전체좌표계를 기준으로 보요소의 양 절점에서 옵셋거리를 정의한다.그림 1.3.7의 경우가 이에 해당되며, 강성과 요소하중의 변환은 강체연결과 같은 변환 관계를 갖는다. 부재의 분포하중, 체적력, 질량 등은 옵셋된 절점을 기준으로 계산되고 요소내력 출력도 옵셋된 요소좌표계에 따른다.
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<!-- source-page: 45 -->
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그림 1.3.7 Global Offset
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Local Offset은 그림 1.3.8과 같이 요소의 길이 방향으로 옵셋을 정의한다. 요소의강성을 계산할 때, 축방향 강성과 비틀림 강성에 대해서는 양 절점 사이의 길이가 사용되고, 전단 강성과 휨 강성을 계산할 때는 옵셋을 제외한 길이를 사용한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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column member
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beam member
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column member
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Rigid Zone
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Rigid Zone
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B
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A
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B
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clear length of beam
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A
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length between nodes (L)
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</details>
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그림 1.3.8 Local Offset (A, B: Local Offset Distance)
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<!-- source-page: 46 -->
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Local Offset을 사용한 요소의 분포하중에 대한 계산은 그림 1.3.9와 같다. 옵셋 구간에 재하되는 하중은 절점상에 전단력만 고려하고, 나머지 구간에 재하된 분포하중은 전단력과 모멘트로 치환하여 고려한다. 체적력은 분포하중과 같은 방법으로 계산한다. 요소내력의 출력위치는 옵셋된 위치에서 출력한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rigid end offset location at i-th node
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rigid end offset location at j-th node
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distributed load on beam element
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i-th node
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L₁
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L₁ (length for shear/bending stiffness calculation)
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Lⱼ
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j-th node
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Story Level
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L
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zone in which load is converted into
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shear force only at i-th node
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||||
zone in which load is converted into both
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shear and moment
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||||
zone in which load is converted into
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||||
shear force only at j-th node
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V₃
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V₁
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V₂
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V₄
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M₁
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M₂
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locations for member force output(▼)
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</details>
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L=1.0×R "Panel Zone"is selected for the locations of member force output Li=Z× Ri “Offset Position"is selected for the locations of member force output Li= 1.0 × Ri“Panel Zone"is selected for the locations of member force output Li=ZF×Ri “Offset Position"is selected for the locations of member force output R rigid end offset distance at i-th node R rigid end offset distance at j-th node Z rigid end Offset Factor Vi.V2 shear forces due to distributed load between the offset ends Mi,M2 moments due to distributed load between the offset ends V3.V4 shear forces due to distributed load between the offset ends and the nodal points
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그림 1.3.9 보요소의 분포하중 계산 방법
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<!-- source-page: 47 -->
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# 1-3-5 요소결과
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보요소의 해석결과로는 요소당 5개 위치에서의 요소내력을 출력하고, 모든 내력은 요소좌표계를 따른다. 요소의 축방향으로 출력위치는 I-End, 1/4, 2/4, 3/4, J-End이며, 부호는 그림 1.3.10에서 화살표 방향을 향할 때 ‘+’ 부호로 한다. 출력되는 요소내력의 종류는 다음과 같다.
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- 축방향 내력 $N_{x}$
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- 전단력 $Q_{y}, Q_{z}$
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• 비틀림모멘트 $M_{x}$
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• 힘모멘트 $M_{y}, M_{z}$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS x-axis
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ECS y-axis
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ECS z-axis
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1-End
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1/4 pt
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1/2 pt
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3/4 pt
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J-End
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Mx
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Mz
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Mx
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My
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Qy
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Qz
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Nx
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Qz
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</details>
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그림 1.3.10 보요소의 결과 출력위치 및 성분
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<!-- source-page: 48 -->
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# 1-4 평면응력요소
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# 1-4-1 개요
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평면응력요소는 동일 평면상에 위치한 3, 4, 6, 8개의 절점에 의해 정의되는 삼각형혹은 사각형 요소이며, 두께가 균일한 박판(membrane)을 모델링하는데 주로 사용된다. 요소의 두께방향 응력성분은 존재하지 않으며, 두께방향의 변형률은 포아송(Poisson) 효과에 의해 존재하는 것으로 가정한다. 평면응력요소는 면내변형(in-plane deformation)만을 고려할 수 있으며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적 해석에모두 사용할 수 있다. 평면응력요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\}
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$$
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(면내방향 응력과 변형률)
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.4.1과 같고, 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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y
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ECS
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x
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τxy, γxy
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σxx, εxx
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τxy, γxy
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σyy, εyy
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</details>
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그림 1.4.1 평면응력요소의 응력/변형률
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<!-- source-page: 49 -->
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.4.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점을 향하는 방향을 x 축 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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||||
ECS z-axis
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3
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||||
ECS y-axis
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||||
1
|
||||
ECS x-axis
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||||
(1→2 direction)
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2
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</details>
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||||
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||||
ECS z-axis
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||||
4
|
||||
ECS y-axis
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||||
1
|
||||
3
|
||||
ECS x-axis
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||||
2
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</details>
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<!-- source-page: 50 -->
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||||
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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||||
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||||
ECS z-axis
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||||
ECS y-axis
|
||||
ECS x-axis
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||||
(1 → 2 direction)
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1
|
||||
2
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||||
3
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||||
4
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||||
5
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||||
6
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||||
ECS z-axis
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||||
4
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8
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||||
7
|
||||
ECS y-axis
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||||
1
|
||||
3
|
||||
6
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||||
ECS x-axis
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||||
5
|
||||
2
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</details>
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그림 1.4.2 평면응력요소의 좌표계
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평면응력요소의 종류는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소는 1차(linear) 요소이며, 6절점 삼각형 요소와 8절점사각형 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 1차 요소의 경우 4절점 사각형 요소는 변위및 응력값의 정확도가 높지만, 3절점 삼각형 요소는 변위에 비해 응력의 정확도가낮은 경향이 있다. 따라서 정밀한 해석결과가 필요한 부위에서는 3절점 삼각형 요소의 사용을 피하는 것이 바람직하다.
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||||
@@ -0,0 +1,340 @@
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<!-- source-page: 51 -->
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# 1-4-2 유한요소 정식화
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평면응력요소는 전체 면적에 대해 두께가 일정하다고 가정한다. 평면응력요소는 등매 개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 4절점 사각형 요소의 경우에는 비적합(incompatible) 모드를 이용한다. 그리고 평면응력요소는 요소좌표계에서 x,y 방향의 이동변위(translation) u, v 만을 가진다.
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$$
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||||
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {1.4.1}
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$$
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||||
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||||
평면응력요소는 4절점 사각형 요소의 비적합 모드를 제외하면 절점 개수에 관계 없이 유사한 과정으로 강성을 계산할 수 있다. 따라서 절점 수 N 개를 가지는 요소에 대하여 일괄적으로 설명한다.
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||||
요소 내 임의의 좌표 x,y 와 이동변위 u,v 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, \quad y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i}, \quad u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, \quad v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {1.4.2}
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$$
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|
||||
• 3절점 삼각형
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||||
$$
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||||
N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta \tag {1.4.3}
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$$
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||||
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||||
4절점 사각형
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||||
$$
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||||
N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta)
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {1.4.4}
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||||
$$
|
||||
|
||||
6절점 삼각형
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||||
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||||
$$
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||||
N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), \quad N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), \quad N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.4.5}
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||||
$$
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||||
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||||
<!-- source-page: 52 -->
|
||||
|
||||
• 8절점 사각형
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||||
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||||
$$
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||||
N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, \quad N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}
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||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}), N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta)
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.4.6}
|
||||
$$
|
||||
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절점 변위 u와 변형률 ε의 관계는 $B_{i}$ 에 의하여 식(1.4.7)과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.4.7}
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$$
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행렬 $B_{i}$ 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
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$$
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\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.4.8}
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$$
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행렬 $B_{i}$ 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {i j} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A \tag {1.4.9}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l l} t & : \text {두께} \\ A _ {e} & : \text {면적} \end{array}
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$$
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등방성(isotropic) 재료의 경우 응력과 변형률의 관계를 나타내는 행렬 D 는 다음과 같다.
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<!-- source-page: 53 -->
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$$
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\mathbf {D} = \frac {E}{1 - \nu^ {2}} \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {1 - \nu}{2} \end{array} \right] \tag {1.4.10}
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$$
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선형 해석 시 4절점 사각형 요소는 비적합 모드를 포함하여 계산한다. 비적합 모드를 포함한 경우에는 절점변위 이외에 다음과 같은 추가적인 자유도를 가지게 된다.
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$$
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\mathbf {u} _ {a} = \left\{a _ {1} \quad b _ {1} \quad a _ {2} \quad b _ {2} \right\} ^ {T} \tag {1.4.11}
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$$
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좌표 x, y 와 이동변위 u v, 는 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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x = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} y _ {i}, u = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} u _ {i} + a _ {1} P _ {1} + a _ {2} P _ {2}, v = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} v _ {i} + b _ {1} P _ {1} + b _ {2} P _ {2} \tag {1.4.12}
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$$
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비적합 모드를 의미하는 형상함수는 다음과 같다.
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$$
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P _ {1} = 1 - \xi^ {2}, P _ {2} = 1 - \eta^ {2} \tag {1.4.13}
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$$
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변형률 ε 는 절점변위와 비적합 모드를 동시에 고려하여 다음과 같이 표현된다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {4} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {B} _ {a} \mathbf {u} _ {a} \tag {1.4.14}
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$$
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행렬 B 는 식 (1.4.15)과 같고, 비적합 모드에 관계된 B 는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {B} _ {a} = \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.4.15}
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$$
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행렬 B 와 B 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 계산하면, 다음과같이 4개의 행렬을 얻을 수 있다.
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$$
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\mathbf {K} _ {i j} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A, \mathbf {K} _ {i a} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {a} d A
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$$
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$$
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\mathbf {K} _ {a i} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {a} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {i} d A, \quad \mathbf {K} _ {a a} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {a} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {a} d A \tag {1.4.16}
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$$
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식 (1.4.16)의 4가지 강성행렬은 다음과 같은 관계를 가진다.
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$$
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\left[ \begin{array}{l l} \left[ \mathbf {K} _ {i j} \right] & \left[ \mathbf {K} _ {i a} \right] \\ \left[ \mathbf {K} _ {a j} \right] & \mathbf {K} _ {a a} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \left\{\mathbf {u} _ {j} \right\} \\ \mathbf {u} _ {a} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \left\{\mathbf {F} _ {i} \right\} \\ \mathbf {0} \end{array} \right\} \tag {1.4.17}
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$$
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비적합 $\Xi \subseteq 0 \|$ 대한 강성은 정적 축약(static condensation)에 의해 다음과 같이 소거한다.
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$$
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\left[ \mathbf {K} _ {i j} \right] = \left[ \mathbf {K} _ {i j} \right] - \left[ \mathbf {K} _ {i a} \right] \mathbf {K} _ {a a} ^ {- 1} \left[ \mathbf {K} _ {a j} \right] \tag {1.4.18}
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$$
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비적합 모드에 관한 행렬 $\mathbf { B } _ { a }$ 의 구성에 필요한 형상함수를 미분할 때는 무차원 자연좌표계(natural coordinate)의 원점( $\xi = \eta = 0$ )에서 계산된 Jacobian을 이용한다. 비적합 모드는 그림 1.4.3과 같은 굽힘 형태의 변위를 모사할 수 있기 때문에 요소의성능 향상에 기여하게 된다.
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Simple geometric diagram of a rectangle with dashed curved lines on its sides (no text or symbols)
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</details>
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Simple geometric diagram of a rectangle with dashed lines indicating hidden edges (no text or symbols)
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</details>
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그림 1.4.3 비적합 모드의 형상 (굽힘)
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# 1-4-3 하중과 질량
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평면응력요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 압력하중(pressure load), 모서리하중(edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 압력하중은 요소의 면에 가해지는 분포하중이다. 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이이며, 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중과 같은 면내방향 열 변형하중이다.
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\- 체적력
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = t \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.4.19}
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$$
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여기서,
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$$
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\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
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$$
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\- 압력하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ 0 \end{array} \right\} d A \tag {1.4.20}
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$$
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여기서,
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$$
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P _ {x}, P _ {y} \quad : \text { 단위면적당 하중(방향별) }
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$$
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\- 모서리하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ 0 \end{array} \right\} d s \tag {1.4.21}
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$$
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여기서,
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$$
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P _ {x}, P _ {y} \quad : \text { 단위길이당 하중(방향별) }
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$$
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\- 온도하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ 0 \end{array} \right\} \Delta T d A \tag {1.4.22}
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$$
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여기서,
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$$
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\alpha_ {x}, \alpha_ {y} \quad : \text { 열팽창계수(방향별) }
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$$
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$$
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\Delta T: \text { 온도변화 }
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$$
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평면응력요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 사용할 수 있으며, x,y,z 방향의 이동변위만을 반영한다.
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\- 분포질량
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$$
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\mathbf {M} _ {i j} = \rho t \int_ {A _ {e}} N _ {i} N _ {j} d A \tag {1.4.23}
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$$
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\- 집중질량
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집중질량은 요소 전체질량( $\rho tA_{e}$ )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다.
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# 1-4-4 요소결과
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평면응력요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률이 있으며, 부호와 방향은 요소좌표계를 따른다. 요소좌표계를 기준으로 출력된 결과는 전체좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다. 평면응력요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류는 다음과 같다. 주변형률 성분 중 $E_{3}$ 은 선형해석의 경우 0으로 간주하였음에 주의해야 한다.
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• 응력 성분 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$
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- Von-Mises 응력 $\sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-P_{1}P_{2}\right)}$
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• 최대 전단응력 $\sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}$
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• 주응력 $P_{1}, P_{2}$
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$$
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P _ {i} = \frac {\sigma_ {x x} + \sigma_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x x} - \sigma_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
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$$
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• 변형률 성분 $\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \gamma_{xy}$
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- Von-Mises 변형률 $\frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-E_{1}E_{2}\right)}$
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• 체적(volumetric) 변형률 $E_{1} + E_{2}$
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• 주변형률 $E_{1}, E_{2}$
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$$
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E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {x x} + \varepsilon_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {x x} - \varepsilon_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {x y} ^ {2}}{4}}
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$$
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절점에서의 응력과 변형률은 요소 내의 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 평면응력요소의 적분점은 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.4.1과 같다.
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# 1-5 판요소
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# 1-5-1 개요
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판요소는 3, 4, 6, 8개의 절점에 의해 정의되는 삼각형 또는 사각형 요소이며, 압력용기, 토류벽, 교량 상판 등의 모델링에 사용할 수 있다. 판요소는 평면응력(planestress) 상태의 면내변형(in-plane deformation), 휨(bending). 전단(shear)으로 이루어진 면외변형(out-of-plane deformation)을 고려할 수 있으며, 정적(선형/비선형)해석 및 동적 해석에 모두 사용할 수 있다. 판요소의 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\}
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$$
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(면내방향 응력과 변형률)
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$$
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\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {x x} \\ M _ {y y} \\ M _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {x x} \\ \kappa_ {y y} \\ \kappa_ {x y} \end{array} \right\}
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$$
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(휨모멘트와 곡률)
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$$
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\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {z x} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\}
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$$
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(전단력과 전단변형률)
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면내방향 응력과 변형률의 부호 규약은 평면응력요소와 동일하며, 휨모멘트와 전단력의 방향은 그림 1.5.1과 같이 정의한다. 그림에서 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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y
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Qzx,γzx
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ECS
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Mxx,κxx
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Mxy,κxy
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Mxy,κxy
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Qyz,γyz
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Myy,κyy
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</details>
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그림 1.5.1 판요소의 내력
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.5.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점을 향하는 방향을 x 축 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS z-axis
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3
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ECS y-axis
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1
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ECS x-axis
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(1 → 2 direction)
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2
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</details>
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@@ -0,0 +1,321 @@
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그림 1.5.2 판요소의 좌표계
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<!-- source-page: 62 -->
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판요소는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3 또는 4절점 판요소는절점들이 하나의 평면 위에 위치한다고 가정하여 평면판(flat plate)이라 한다. 6절점삼각형 요소와 8절점 사각형 요소는 절점들이 곡면 상에 위치할 수 있기 때문에 곡면판(curved plate)이라 한다. 4절점 판요소는 변위 및 응력 값의 정확도가 높지만,3절점 판요소는 변위에 비해 응력의 정확도가 낮은 경향이 있다. 따라서 정밀 해석결과가 필요한 부위에서는 3절점 판요소의 사용을 피하는 것이 바람직하다.
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# 1-5-2 유한요소 정식화
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판소는 요소좌표계에서 3개의 이동변위(translation)와 x, y 축에 대한 회전변위(rotation)를 갖는다. 평면판은 면내변형과 면외변형 강성을 독립적으로 고려하는 반면, 곡면판은 3차원 탄성이론을 기반으로 한 “연속체 셀이론(continuum shell approach)”을 이용한다.
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# (1) 평면판
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평면판요소에서 변형성분 별로 사용할 수 있는 강성의 종류는 다음과 같다.
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# - 면내변형
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3절점 요소
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등매개변수 요소(평면응력요소와 동일), z 축에 대한 회전 자유도를 고려한 요소 $^{1}$
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4절점 요소
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등매개변수 요소(평면응력요소와 동일), z 축에 대한 회전 자유도를 고려한 요소
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# - 면외변형
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• 3절점 요소
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DKT $^{2}$ (Discrete Kirchhoff Triangle), DKMT $^{3}$ (Discrete Kirchhoff Mindlin Triangle)
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4절점 요소
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DKQ $^{4}$ (Discrete Kirchhoff Quadrilateral), DKMQ $^{5}$ (Discrete Kirchhoff
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$^{1}$ D.J. Allman, “A Compatible Triangular Element Including Vertex Rotations for Plane Elasticity Analysis,” Comput. Struct., Vol. 19, 1-8, 1984
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||||
$^{2}$ J.L. Batoz, K.J. Bathe and L.W. Ho, “A Study of Three-Node Triangular Plate Bending Elements,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 15, 1771-1812, 1980
|
||||
$^{3}$ I. Katili, “A New Discrete Kirchhoff-Mindlin Element Based on Mindlin-Reissner Plate Theory and Assumed Shear Strain Fields Part I: An Extended DKT Element for Thick-Plate Bending Analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 36, 1859-1883, 1993
|
||||
$^{4}$ J.L. Batoz and M. Ben Tahar, “Evaluation of a New Thin Plate Quadrilateral Element,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 18, 1655-1678, 1982
|
||||
$^{5}$ I. Katili, “A New Discrete Kirchhoff-Mindlin Element Based on Mindlin-Reissner Plate Theory and Assumed Shear Strain Fields-Part II: An Extended DKQ Element for Thick-Plate Bending Analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 36, 1885-1908, 1993
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<!-- source-page: 64 -->
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# Mindlin Quadrilateral)
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면내변형 강성으로 사용할 수 있는 방법 중 등매개변수 요소는 평면응력요소와 동일하므로 “1.4 평면응력요소”에서 설명한다. z 축에 대한 회전 자유도가 고려 가능한 요소는 요소좌표계에서의 x, y 방향의 이동변위(translation) u, v 와 z 축에 대한 회전변위(rotation) $\theta_{z}$ 의 영향을 고려한다.
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$$
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||||
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i}, v _ {i}, \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.1}
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$$
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||||
절점 수 N 개를 가지는 요소 내 임의의 좌표 x, y 와 이동변위 u, v 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i} \tag {1.5.2}
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$$
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i} + \frac {1}{8} \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} \left(y _ {j} - y _ {i}\right) \left(\theta_ {z j} - \theta_ {z i}\right), v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} - \frac {1}{8} \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} \left(x _ {j} - x _ {i}\right) \left(\theta_ {z j} - \theta_ {z i}\right)
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$$
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \tag {1.5.3}
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$$
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여기서, $\theta_{zi}$ 는 절점에서의 회전자유도이고, 형상함수는 다음과 같다.
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3절점 요소
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N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta \tag {1.5.4}
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$$
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$$
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P _ {1} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), \quad P _ {2} = 4 \xi \eta , \quad P _ {3} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.5.5}
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$$
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4절점 요소
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$$
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta),
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$$
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$$
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N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {1.5.6}
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$$
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<!-- source-page: 65 -->
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$$
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P _ {1} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), P _ {2} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}), P _ {3} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta),
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$$
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$$
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P _ {4} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.5.7}
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절점변위 u 와 면내 변형률 ε 의 관계는 B 에 의하여 식(1.5.8)과 같이 나타낼 수있다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.8}
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$$
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행렬 B 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
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\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 & \frac {\left(y _ {i} - y _ {k}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial x} - \frac {\left(y _ {j} - y _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\left(x _ {k} - x _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial y} - \frac {\left(x _ {i} - x _ {j}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\left(y _ {i} - y _ {k}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial y} - \frac {\left(y _ {j} - y _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} + \frac {\left(x _ {k} - x _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial x} - \frac {\left(x _ {i} - x _ {j}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} \end{array} \right]
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$$
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N, \quad j = 2, 3,.., N, 1, \quad k = N, 1,.., N - 2, N - 1 \tag {1.5.9}
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$$
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행렬 Bi 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {i j} ^ {(I)} = \int_ {A _ {e}} t \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A \tag {1.5.10}
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$$
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여기서,
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t : 두께
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Ae : 면적
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등방성(isotropic) 재료의 경우 응력과 변형률의 관계를 나타내는 행렬 D 는 다음과같다.
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$$
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\mathbf {D} = \frac {E}{1 - \nu^ {2}} \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {1 - \nu}{2} \end{array} \right] \tag {1.5.11}
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$$
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면내변형에 대하여 z 축에 대한 회전 자유도를 고려한 요소를 사용하게 되면 요소의변에 수직한 이동변위를 2차로 보간하게 된다. 회전 자유도와 이동변위의 관계는 그림 1.5.3과 같은 휨 형태의 변형에서 꼭지점 부분에는 전단변형이 존재하지 않는 사실에 착안한 것이다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["Start"] --> B["Loop"]
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B --> C["End"]
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C -->|Feedback| B
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B -->|Feedback| A
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```
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</details>
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그림 1.5.3 굽힘 변형과 회전자유도 관계
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면외변형에 대한 강성으로 사용할 수 있는 방법 중 DKMT(3절점)와 DKMQ(4절점) 요소는 전단변형을 고려하며, 전단변형률 가정법을 이용한다. 절점에서의 자유도는 요소좌표계에서 z 방향의 이동변위 w 와 x, y 축에 대한 회전변위 , θ x θ y 를 고려한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{w _ {i} \quad \theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.12}
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$$
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요소 내 임의의 좌표 x, y 는 식 (1.5.2)과 같이 계산하고, 회전변위 $\theta _ { x } , \ \theta _ { y } \in \ \mathsf { L } \mathsf { I } \frac { \circ } { \mathsf { I } }$ 과 같이 2차로 표현한다.
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$$
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\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {x i} + \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} S _ {i j} \Delta \theta_ {n i}, \quad \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {y i} - \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} C _ {i j} \Delta \theta_ {n i} \tag {1.5.13}
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$$
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$$
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C _ {i j} = - x _ {i j} / L _ {i j}, S _ {i j} = - y _ {i j} / L _ {i j}, x _ {i j} = x _ {i} - x _ {j}, y _ {i j} = y _ {i} - y _ {j}, L _ {i j} ^ {2} = x _ {i j} ^ {2} + y _ {i j} ^ {2}
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$$
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1
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$$
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여기서, 형상함수 $N_{i}$ , $P_{i}$ 는 식 (1.5.4)\~(1.5.7)과 같다. 요소 변 중앙에서의 가상 회전각 $\Delta\theta_{ni}$ 를 구하기 위해 다음과 같은 가정을 이용한다.
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\- N 개의 변을 따라 전단력과 휩모멘트의 평형식을 만족한다.
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Q _ {s} = - M _ {s, s} - M _ {n s, n} \tag {1.5.14}
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$$
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\- 변에 수직한 축에 대한 회전변위는 변을 따라 2차이고, 접선방향 축에 대한 회전변위는 1차이다.
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$$
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\theta_ {n} = \left(1 - \frac {S}{L _ {i j}}\right) \theta_ {n i} + \frac {S}{L _ {i j}} \theta_ {n j} + 4 \frac {S}{L _ {i j}} \left(1 - \frac {S}{L _ {i j}}\right) \Delta \theta_ {n i}, \quad \theta_ {s} = \left(1 - \frac {S}{L _ {i j}}\right) \theta_ {s i} + \frac {S}{L _ {i j}} \theta_ {s j}
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$$
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \tag {1.5.15}
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$$
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||||
\- 식 (1.5.14)를 통해 계산되는 전단변형률 $\overline{\gamma}_{sz}$ 는 형상함수로부터 직접 계산되는 전단변형률 $\gamma_{sz}$ 와 다음 관계를 만족한다.
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$$
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\int_ {0} ^ {L _ {i j}} \left(\gamma_ {s z} - \overline {{\gamma}} _ {s z}\right) d s = 0 \tag {1.5.16}
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$$
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위 가정을 통하여 구한 $\Delta\theta_{ni}$ 를 식 (1.5.13)에 대입하면, 다음과 같이 회전변위 $\theta_{x}, \theta_{y}$ 를 $u_{i}$ 로 표현할 수 있다.
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$$
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\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {x i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i}, \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {y i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.17}
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$$
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여기서, $H_{xi}, H_{yi}$ 는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {H} _ {x i} = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ N _ {i} \\ 0 \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} \frac {3 P _ {k} S _ {k i}}{2 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} - \frac {3 P _ {i} S _ {i j}}{2 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ \frac {3 P _ {k} S _ {k i} y _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} + \frac {3 P _ {i} S _ {i j} y _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ - \frac {3 P _ {k} S _ {k i} x _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} - \frac {3 P _ {i} S _ {i j} x _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \end{array} \right\} \tag {1.5.18}
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$$
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$$
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\mathbf {H} _ {y, i} = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ N _ {i} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} - \frac {3 P _ {k} C _ {k i}}{2 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} + \frac {3 P _ {i} C _ {i j}}{2 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ - \frac {3 P _ {k} C _ {k i} y _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} - \frac {3 P _ {i} C _ {i j} y _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ \frac {3 P _ {k} C _ {k i} x _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} + \frac {3 P _ {i} C _ {i j} x _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \end{array} \right\} \tag {1.5.19}
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$$
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$$
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\phi_ {i j} = \frac {2}{\kappa (1 - \nu)} (\frac {t ^ {2}}{L _ {i j} ^ {2}}) \quad \text {(등방성 재료의 경우)}
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$$
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \quad k = N, 1,.., N - 2, N - 1
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$$
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절점변위와 곡률 κ 의 관계는 $\mathbf { B } _ { b i }$ 에 의해 다음과 같이 표현된다.
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$$
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\mathbf {k} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {b i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.20}
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$$
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$$
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\mathbf {B} _ {b i} = \left[ \begin{array}{c} - \frac {\partial \mathbf {H} _ {y i} ^ {T}}{\partial x} \\ \frac {\partial \mathbf {H} _ {x i} ^ {T}}{\partial y} \\ \frac {\partial \mathbf {H} _ {x i} ^ {T}}{\partial x} - \frac {\partial \mathbf {H} _ {y i} ^ {T}}{\partial y} \end{array} \right] \tag {1.5.21}
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$$
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전단변형 γ 의 계산에는 식 (1.5.16)으로부터 계산되는 $\overline { { \gamma } } _ { s z }$ 를 이용하며, 절점변위와의 관계를 정의하는 행렬 $\mathbf { B } _ { s i }$ 는 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\gamma} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {s i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.22}
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$$
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3절점 요소
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\mathbf {B} _ {s i} = \left[ \begin{array}{c c} \left(\frac {S _ {j k}}{A _ {j}} N _ {j} - \frac {S _ {k i}}{A _ {i}} N _ {i}\right) \frac {\phi_ {i j}}{L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \left(\frac {S _ {i j}}{A _ {i}} N _ {i} - \frac {S _ {j k}}{A _ {k}} N _ {k}\right) \frac {\phi_ {k i}}{L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} \\ \left(\frac {C _ {k i}}{A _ {i}} N _ {i} - \frac {S _ {j k}}{A _ {j}} N _ {j}\right) \frac {\phi_ {i j}}{L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \left(\frac {S}{A _ {k}} N _ {k} - \frac {S}{A _ {i}} N _ {i}\right) \frac {\phi_ {k i}}{L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \frac {- y _ {i j}}{2} & \frac {x _ {i j}}{2} \\ - 1 & \frac {- y _ {k i}}{2} & \frac {x _ {k i}}{2} \end{array} \right]
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$$
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$$
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i = 1, 2, 3 \quad j = 2, 3, 1 \quad k = 3, 1, 2, A _ {i} = C _ {i j} S _ {k i} - C _ {k i} S _ {i j} \tag {1.5.23}
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$$
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4절점 요소
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$$
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\mathbf {B} _ {s i} = \left[ \begin{array}{l l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial x} \frac {\phi_ {i j}}{\left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \frac {\partial N _ {k}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial x} \frac {\phi_ {k i}}{\left(1 + \phi_ {k i}\right)} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial y} \frac {\phi_ {i j}}{\left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \frac {\partial N _ {k}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial y} \frac {\phi_ {k i}}{\left(1 + \phi_ {k i}\right)} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \frac {- y _ {i j}}{2} & \frac {x _ {i j}}{2} \\ - 1 & \frac {- y _ {k i}}{2} & \frac {x _ {k i}}{2} \end{array} \right] \tag {1.5.24}
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$$
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$$
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i = 1, 2, 3, 4 \quad j = 2, 3, 4, 1 \quad k = 4, 1, 2, 3
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$$
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$$
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\frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial x} = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} \frac {\partial \xi}{\partial x} & i = 1, 3 \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} \frac {\partial \eta}{\partial x} & i = 2, 4 \end{array} , \quad \frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial y} = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} \frac {\partial \xi}{\partial y} & i = 1, 3 \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} \frac {\partial \eta}{\partial y} & i = 2, 4 \end{array} \right. \right. \tag {1.5.25}
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$$
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따라서 힘과 전단변형에 관계된 요소 강성은 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {i j} ^ {(O)} = \int_ {A _ {e}} \left(\mathbf {B} _ {b i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {b j} \frac {t ^ {3}}{1 2} + \mathbf {B} _ {s i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {s j} t\right) d A \tag {1.5.26}
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$$
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면외변형에 대한 강성으로 사용할 수 있는 방법 중 DKT(3절점) 요소와 DKQ(4절점) 요소는 전단변형을 고려하지 않는다. 이들 두 요소는 Kirchhoff–Love 가정의 이산화 (discretization)를 이용한다. 절점에서의 자유도는 식 (1.5.12)와 같이 요소좌표계에서 z 방향의 이동변위 w와 x, y 축에 대한 회전변위 $\theta_{x}$ , $\theta_{y}$ 를 고려한다. 요소 내 임의의 좌표 x, y 는 식 (1.5.2)와 같이 계산하고, 회전변위 $\theta_{x}$ , $\theta_{y}$ 는 다음과 같이 2차로 표현한다.
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$$
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\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {x i} + \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i + N} \Delta \theta_ {x i}, \quad \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {y i} + \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i + N} \Delta \theta_ {y i} \tag {1.5.27}
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$$
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<!-- source-page: 70 -->
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3절점 요소
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$$
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N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
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$$
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$$
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N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.5.28}
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$$
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4절점 요소
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$$
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}
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$$
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N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}
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$$
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$$
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N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2})
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N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta), N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.5.29}
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$$
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요소 변 중앙에서의 가상 회전각 $\Delta\theta_{xi}$ , $\Delta\theta_{yi}$ 를 구하기 위해 다음과 같은 가정을 이용한다.
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\- Kirchhoff-Love의 가정을 각 절점과 변의 중점에서 적용한다.
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절점: $-\theta_{x}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$ , $\theta_{y}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$ , 변의 중점: $-\theta_{n}+\frac{\partial w}{\partial s}=0$ (1.5.30)
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\- 면외방향 이동변위는 변을 따라 3차이고, 변의 접선방향을 향하는 축에 대한 회전변위는 1차이다.
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\frac {\partial w (L _ {i j} / 2)}{\partial s} = - \frac {3}{2 L _ {i j}} w _ {i} - \frac {1}{4} \frac {\partial w (0)}{\partial s} + \frac {3}{2 L _ {i j}} w _ {j} + \frac {1}{4} \frac {\partial w (L _ {i j})}{\partial s} \tag {1.5.31}
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$$
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$$
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\Delta \theta_ {s i} = \frac {1}{2} (\theta_ {s i} + \theta_ {s j}) , i = 1, 2,..., N - 1, N \quad j = 2, 3,..., N, 1 \tag {1.5.32}
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$$
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@@ -0,0 +1,350 @@
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위의 가정을 통하여 구한 $\Delta \theta _ { x i } , \ \Delta \theta _ { y i }$ 를 식 (1.5.27)에 대입하면, 다음과 같이 회전변위 , θ x θ y 를 $\mathbf { u } _ { i }$ 로 표현할 수 있다.
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$$
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\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {x i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i}, \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {y i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.33}
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$$
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여기서, $\mathbf { H } _ { x i } , ~ \mathbf { H } _ { y i } \\\Breve { \mathbf { } } ~ \mathsf { L } \mathsf { F } \Breve { \mathbf { } } \Breve { \mathbf { \updownarrow } } ~ \Breve { \mathbf { \mu } } \Breve { \mathbf { \mu } } ,$ .
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$$
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\mathbf {H} _ {x} = \left\{ \begin{array}{c} - \frac {3}{2} \left(d _ {i j} N _ {i + N} - d _ {k i} N _ {k + N}\right) \\ N _ {i} - e _ {i j} N _ {i + N} - e _ {k i} N _ {k + N} \\ b _ {i j} N _ {i + N} + b _ {k i} N _ {k + N} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {H} _ {y i} = \left\{ \begin{array}{c} \frac {3}{2} \left(a _ {i j} N _ {i + N} - a _ {k i} N _ {k + N}\right) \\ b _ {i j} N _ {i + N} + b _ {k i} N _ {k + N} \\ N _ {i} - c _ {i j} N _ {i + N} - c _ {k i} N _ {k + N} \end{array} \right\} \tag {1.5.34}
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$$
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \quad k = N, 1,.., N - 2, N - 1
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$$
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$a _ { i j } , \ b _ { i j } , \ c _ { i j } , \ d _ { i j } , \ e _ { i j }$ 는 요소의 기하학적 형상에 의해 결정되는 값이며, 다음과 같이정의된다.
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$$
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a _ {i j} = - x _ {i j} / L _ {i j} ^ {2}, b _ {i j} = \frac {3}{4} x _ {i j} y _ {i j} / L _ {i j} ^ {2}, c _ {i j} = \left(\frac {1}{4} x _ {i j} ^ {2} - \frac {1}{2} y _ {i j} ^ {2}\right) / L _ {i j} ^ {2}
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$$
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$$
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d _ {i j} = - y _ {i j} ^ {2} / L _ {i j} ^ {2}, e _ {i j} = \left(\frac {1}{4} y _ {i j} ^ {2} - \frac {1}{2} x _ {i j} ^ {2}\right) / L _ {i j} ^ {2} \tag {1.5.35}
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$$
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절점변위와 횡방향 곡률 κ 의 관계는 식 (1.5.20)과 같고, $\mathbf { B } _ { b i } \triangleq$ 식 (1.5.21)과 같다.DKT와 DKQ 요소의 경우에는 전단변형을 고려하지 $\Omega \underline { { \underline { { \circ } } } } \underline { { \underline { { \circ } } } } \underline { { \underline { { \circ } } } } $ 로, 면외변형에 관계된 요소 강성은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {i j} ^ {(O)} = \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {b i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {b j} \frac {t ^ {3}}{1 2} d A \tag {1.5.36}
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$$
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4절점 평면판요소는 절점의 좌표가 하나의 평면 위에 존재하지 않는 경우가 있다.평면에 존재하지 않는 요소를 위와 같은 정식화 과정으로 계산하게 되면 요소의 기하학적 형상을 정확하게 고려하지 못한다. 따라서 요소좌표계에서 정의된 절점 변위가 왜곡될 수 있다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 ${ \mathsf { M a c N e a l } } ^ { 6 } 0 { \mathsf { 1 } }$ 제안한 강성 보정방법을 이용한다. 그림 1.5.4와 같이 A − B C D − − 평면에서 계산된 강성행렬 $\mathbf { K } _ { P }$
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를 실제 절점 위치 1 2 3 4 − − − 에 대한 강성 K 로 변환하기 위해 변환 행렬 S 를이용한다.
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$$
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\mathbf {K} = \mathbf {S} ^ {T} \mathbf {K} _ {P} \mathbf {S} \tag {1.5.37}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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4
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h*
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D
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z
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y
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x
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A
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h*
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1
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2
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3
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F32
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C
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B
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F23
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ΔFz2
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</details>
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그림 1.5.4 4절점 판요소가 곡면 상에 존재하는 경우
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변환행렬 S 는 평면 위의 점( A − B C D − − )에서의 힘 $\mathbf { F } _ { P }$ 를 절점( 1 2 3 4 − − − ) 위치에서의 힘 F 로 변환하는 행렬이다.
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$$
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\mathbf {F} = \mathbf {S} ^ {T} \mathbf {F} _ {P} \tag {1.5.38}
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$$
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$$
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\mathbf {F} _ {P} = \left\{\mathbf {F} _ {P 1} ^ {T}, \mathbf {F} _ {P 2} ^ {T}, \mathbf {F} _ {P 3} ^ {T}, \mathbf {F} _ {P 4} ^ {T} \right\} ^ {T} \tag {1.5.39}
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$$
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$$
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\mathbf {F} _ {P i} = \left\{F _ {x}, F _ {y}, F _ {z}, M _ {x}, M _ {y}, M _ {z} \right\} _ {P i} ^ {T} \tag {1.5.40}
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$$
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힘의 변환행렬 계산시 고려하는 성분은 절점( 1 2 3 4 − − − )을 연결한 요소의 변이 평면( A − − − B C D )와 이루는 각도로 인해 발생하는 면외방향 힘과 모멘트이다.
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- \Delta F _ {z 3} = \Delta F _ {z 2} = h ^ {*} (\frac {F _ {3 2}}{L _ {2 3}} - \frac {F _ {2 3}}{L _ {2 3}}) \tag {1.5.41}
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$$
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$$
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- \Delta M _ {z 3} = \Delta M _ {z 2} = h ^ {*} (\frac {M _ {3 2}}{L _ {2 3}} - \frac {M _ {2 3}}{L _ {2 3}}) \tag {1.5.42}
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$$
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면외방향으로 발생하는 모멘트 ∆Mzi 는 변환행렬 S 의 구성에 직접 이용하지 않고등가의 힘으로 치환하여 적용한다.
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# (2) 곡면판
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곡면판요소의 정식화는 “Continuum Shell Approach”를 이용하므로, 면내변형과면외변형에 대한 강성을 동시에 계산할 수 있다. 곡면판요소는 요소좌표계에서x, y, z 방향의 이동변위 u, v, w 와 벡터 $\mathbf { V } _ { 1 i }$ , $\mathbf { V } _ { 2 i }$ 에 대한 회전변위 $\theta _ { 1 } ,$ $\theta _ { 2 }$ 의 영향을 고려한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {1 i} \quad \theta_ {2 i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.43}
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$$
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각 절점마다 정의된 3개의 벡터 V 는 그림 1.5.5와 같다. $\mathbf { V } _ { 1 }$ 은 요소좌표계의 $x \equiv$ 을 곡면에 투영하여 계산하고 이를 이용하여 $\mathbf { V } _ { 2 }$ , V 를 얻을 수 있다.
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$$
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\mathbf {V} _ {1 i} = \left\{l _ {1 i}, m _ {1 i}, n _ {1 i} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {V} _ {2 i} = \left\{l _ {2 i}, m _ {2 i}, n _ {2 i} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {V} _ {3 i} = \left\{l _ {3 i}, m _ {3 i}, n _ {3 i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.44}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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V3
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V2
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V1
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projection
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ECS
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z
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y
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x
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</details>
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그림 1.5.5 요소좌표계의 투영에 의해 생성되는 절점좌표계
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절점수 N 개를 가지는 요소 내 임의의 좌표 x, y, z 와 이동변위 u, v w , 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} (x _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} l _ {3 i}) , y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} (y _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} m _ {3 i}) , z = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} (z _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} n _ {3 i}) \tag {1.5.45}
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$$
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \left\{u _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} \left(\mu_ {1 1 i} \theta_ {1 i} + \mu_ {1 2 i} \theta_ {2 i}\right) \right\}
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$$
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$$
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v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \left\{v _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} \left(\mu_ {2 1 i} \theta_ {1 i} + \mu_ {2 2 i} \theta_ {2 i}\right) \right\} \tag {1.5.46}
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$$
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$$
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w = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \left\{w _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} \left(\mu_ {3 1 i} \theta_ {1 i} + \mu_ {3 2 i} \theta_ {2 i}\right) \right\}
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$$
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여기서,
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it : 절점에서의 두께
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µi : 회전행렬
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6절점 요소
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N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
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$$
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$$
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N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.5.47}
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$$
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8절점 요소
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$$
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}
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$$
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$$
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N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}
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$$
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$$
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N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2})
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$$
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$$
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N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta), N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.5.48}
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$$
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절점변위와 변형률 $\varepsilon_{G}$ 의 관계는 $B_{i}$ 에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} _ {G} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.49}
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$$
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여기서, 변형률 $\varepsilon_{G}$ 는 3차원 응력 텐서의 모든 항을 포함한다.
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\boldsymbol {\varepsilon} _ {G} = \left\{\varepsilon_ {x x}, \varepsilon_ {y y}, \varepsilon_ {z z}, \gamma_ {x y}, \gamma_ {y z}, \gamma_ {z x} \right\} ^ {T} \tag {1.5.50}
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$$
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행렬 $B_{i}$ 는 식 (1.5.51)과 같다.
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$$
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\mathbf {B} _ {i} = \mathbf {H} \left[ \begin{array}{c c c} \mathbf {J} ^ {- 1} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {J} ^ {- 1} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {J} ^ {- 1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} & 0 & 0 & - \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} l _ {2, i} & \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} l _ {1, i} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} & 0 & 0 & - \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} l _ {2, i} & \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} l _ {1, i} \\ 0 & 0 & 0 & - \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} l _ {2, i} & \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} l _ {1, i} \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} & 0 & - \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} m _ {2, i} & \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} m _ {1, i} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & - \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} n _ {2, i} & \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} n _ {1, i} \end{array} \right] \tag {1.5.51}
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$$
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여기서,
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H : 불리언(Boolean) 행렬
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J : 자코비안(Jacobian) 행렬
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행렬 $B_{i}$ 에 의해 계산되는 변형률 $\varepsilon_{G}$ 를 곡면에 투영하여, 다음과 같이 강성 행렬을 계산한다.
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$$
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\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {T} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {T} \mathbf {B} _ {j} d V \tag {1.5.52}
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$$
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z 축에 대한 회전자유도를 고려하고자 하는 경우에는 Zienkiewicz 와 Taylor $^{7}$ 에서 제시한 가상의 회전 강성을 이용한다. 이 방법은 회전자유도에 의한 변형 에너지를 다음과 같이 가정하여, 일정량의 강성을 발생시키는 방법이다.
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$$
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\Pi^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} f (\mathbf {D} _ {M}, t ^ {n}, (\theta_ {z} - \overline {{\theta_ {z}}}) ^ {2}) d \Omega \tag {1.5.53}
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$$
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여기서,
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$D_{M}$ : 응력과 변형률의 관계를 타나내는 행렬
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# 1-5-3 하중과 질량
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판요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 압력하중(pressure load), 모서리하중(edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 압력하중은 요소의 면에 가해지는 분포하중이다. 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이며, 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중과 같은 면내방향 열 변형하중과 온도구배(temperature gradient)와 같이 힐을 유발하는 하중이 있다.
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\- 체적력
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} t N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.5.54}
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$$
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여기서,
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$$
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\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
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\- 압력하중
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ P _ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.5.55}
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$$
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여기서,
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$$
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P _ {x}, P _ {y}, P _ {z} \quad : \text { 단위 면적당 하중(방향별) }
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$$
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\- 모서리하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ P _ {z} \end{array} \right\} d s \tag {1.5.56}
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$$
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여기서,
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$$
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P _ {x}, P _ {y}, P _ {z} \quad : \text { 단위 길이당 하중(방향별) }
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\- 온도하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} t \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ 0 \end{array} \right\} \Delta T d A \tag {1.5.57}
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$$
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$$
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\alpha_ {x}, \alpha_ {y} \quad : \text { 열팽창 계수(방향별) }
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$$
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$$
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\Delta T: \text {온도변화}
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$$
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\- 온도구배하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} \frac {t ^ {3}}{1 2} \mathbf {B} _ {b i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ 0 \end{array} \right\} \frac {\Delta T _ {z}}{2 H _ {z}} d A \tag {1.5.58}
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$$
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\Delta T _ {z} / H _ {z} \quad : \text { 온도 구배 }
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판요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 사용할 수 있으며, x,y,z 방향의 이동변위만을 반영한다.
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<!-- source-page: 79 -->
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\- 분포질량
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\mathbf {M} _ {i j} = \rho t \int_ {A _ {e}} N _ {i} N _ {j} d A \left(N _ {i}: \text {평면응력요소와 동일}\right) \tag {1.5.59}
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$$
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\- 집중질량
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집중질량은 요소 전체질량( $\rho tA_{e}$ )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다.
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# 1-5-4 판요소의 두께/재료방향/옵셋
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3 또는 4절점 평면판요소의 절점 별 두께는 그림 1.5.6과 같이 설정할 수 있으며, 6 또는 8절점 곡면판요소의 경우에는 꼭지점의 두께만을 설정할 수 있다. 판요소는 거동을 방향 별로 구분하여 면내거동 두께, 휩 두께, 전단변형 두께로 분류할 수 있으며, 면내거동 두께를 t 라 할 때 다음과 같은 값을 설정할 수 있다.
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• $12I/t^{3}$
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실제 힜 강성 I와 면내거동 두께로 계산한 힜 강성의 비율 (기본값=1.0)
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• $t_{s}/t$
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실제 전단변형 두께 $t_{s}$ 와 면내거동 두께 t 의 비율 (기본값=0.83333)
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<!-- source-page: 80 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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t₁
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1
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3
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t₃
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t₂
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2
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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t₁
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1
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2
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t₂
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3
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4
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t₃
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t₄
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</details>
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그림 1.5.6 판요소의 절점별 두께
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판요소에서는 재료의 성질을 변형성분별로 입력할 수 있다. 이 때, 질량행렬은 면내거동에 대한 두께와 재료를 사용하여 계산한다. 이방성 재료의 경우 1축을 임의의 방향으로 설정할 수 있도록 재료좌표계(MCS)를 설정할 수 있다. 재료 좌표계가 판의곡면과 평행하지 않은 경우에는 그림 1.5.7과 같이 재료좌표계의 x 축을 판에 투영하여 계산한다.
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@@ -0,0 +1,247 @@
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<!-- source-page: 81 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS z-axis
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MCS y-axis
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ECS y-axis
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MCS x-axis
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ECS x-axis
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MCS
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projection
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z
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y
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x
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</details>
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그림 1.5.7 재료좌표계가 요소로 투영된 경우
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판요소는 그림 1.5.8과 같이 절점으로부터 옵셋(offset)을 부여할 수 있다. 옵셋은 절점으로부터 실제로 구조물이 존재하는 위치까지의 거리를 의미하며 요소좌표계의 z방향을 ‘+’ 방향으로 정의한다.
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Part 1 Element Library
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z₁
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1
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Z₃
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3
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Z₂
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2
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z₁
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1
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Z₂
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2
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3
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4
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Z₃
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Z₄
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</details>
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그림 1.5.8 판요소에서 옵셋의 정의
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# 1-5-5 요소결과
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판요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력/변형률, 요소내력을 출력하며, 부호와 방향은 요소좌표계를 따른다. 요소좌표계를 기준으로 출력된 결과는 전체좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다. 응력과 변형률은 z 축을 따라 두 지점에서 계산하며, 면내거동에 대한 두께를 기준으로 상단(z = t/2)과 하단(z = -t/2)이 기본 위치이다. 주변형률 성분 중 $E_{3}$ 은 선형해석의 경우 0으로 간주하였음에 주의해야 한다. 판요소에서 출력되는 응력/변형률, 요소내력의 종류는 다음과 같다.
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• 응력 성분 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$
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- Von-Mises 응력 $\sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-P_{1}P_{2}\right)}$
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• 최대 전단응력 $\sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}$
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• 주응력 $P_{1}, P_{2}$
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$$
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P _ {i} = \frac {\sigma_ {x x} + \sigma_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x x} - \sigma_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
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$$
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||||
- 변형률 성분 $\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \gamma_{xy}$
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- Von-Mises 변형률 $\frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-E_{1}E_{2}\right)}$
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• 체적(volumetric) 변형률 $E_{1} + E_{2}$
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• 주변형률 $E_{1}, E_{2}$
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$$
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||||
E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {x x} + \varepsilon_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {x x} - \varepsilon_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {x y} ^ {2}}{4}}
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$$
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• 면내방향 내력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$
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- 힘모멘트 $M_{xx}, M_{yy}, M_{xy}$
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- 전단력 $Q_{yz}, Q_{zx}$
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절점에서의 응력/변형률 및 요소내력은 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 판요소의 적분점은 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 요소: 3 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 요소: 4 점 가우스 적분
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• 6절점 삼각형 요소: 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 요소: 4 점 가우스 적분
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<!-- source-page: 85 -->
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 평면응력요소와 동일하며, 휨모멘트와 전단력의 방향은 그림 1.5.1과 같다. 그림 1.5.9는 요소내력 중 면내방향 성분의 방향을 나타내며,화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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y
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x
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Nxy
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ECS
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Nx
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Nx
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Nxy
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Nyy
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</details>
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그림 1.5.9 판요소의 결과 방향과 성분(면내 성분)
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# 1-6 평면변형요소
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# 1-6-1 개요
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평면변형요소는 동일 평면상에 위치한 3, 4, 6, 8개의 절점에 의해 정의되는 삼각형또는 사각형 요소가 있으며, 주로 댐(dam) 또는 터널(tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가 긴 구조물의 해석에 사용된다. 요소의 두께방향 변형률 성분은존재하지 않으며, 두께방향 응력은 포아송(Poisson) 효과에 의해 존재한다. 평면변형요소는 면내응력만을 고려할 수 있으며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적 해석에 모두 사용할 수 있다. 평면변형요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\}
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$$
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(면내방향 응력과 변형률)
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.6.1과 같고, 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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y
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x
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τxy,γxy
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σxx,εxx
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τxy,γxy
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σyy,εyy
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</details>
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그림 1.6.1 평면변형 요소의 응력/변형률
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.6.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점을 향하는 방향을 x 축 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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3 ECS y-axis
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1 ECS x-axis
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(1→2 direction)
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2
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS y-axis
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3
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4
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ECS x-axis
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1
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2
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</details>
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<!-- source-page: 88 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||||
ECS y-axis
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ECS x-axis
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(1→2 direction)
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||||
ECS y-axis
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3
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7
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4
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8
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6
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ECS x-axis
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1
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5
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2
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</details>
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그림 1.6.2 평면변형요소의 좌표계
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평면변형요소의 종류는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소는 1차(linear) 요소이며, 6절점 삼각형 요소와 8절점사각형 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 1차 요소의 경우 4절점 사각형 요소는 변위및 응력값의 정확도가 높지만, 3절점 삼각형 요소는 변위에 비해 응력의 정확도가낮은 경향이 있다. 따라서 정밀한 해석결과가 필요한 부위에서는 3절점 삼각형 요소의 사용을 피하는 것이 바람직하다. 평면변형요소는 면외방향으로 변형률이 없지만,응력 $\sigma _ { z z }$ 는 존재함에 주의하여야 한다.
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<!-- source-page: 89 -->
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# 1-6-2 유한요소 정식화
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평면변형요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 4절점 사각형요소의 경우에는 비적합(incompatible) 모드를 이용한다. 그러나, 요소의 정식화 과정은 평면응력요소와 동일하므로 동일하므로 “1.4 평면응력요소”에서 설명했다.등방성(isotropic) 재료인 경우 평면변형요소에서 사용하는 응력과 변형률의 관계는다음과 같다.
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$$
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||||
\mathbf {D} = \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \frac {\nu}{1 - \nu} & 0 \\ \frac {\nu}{1 - \nu} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2 (1 - \nu)} \end{array} \right] \tag {1.6.1}
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$$
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||||
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||||
강성과 변형을 계산하는데 사용되는 변위는 모두 면내에서 정의하지만, 두께 방향의응력이 존재한다. 두께 방향 응력은 등방성 재료인 경우 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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||||
\sigma_ {z z} = \nu \left(\sigma_ {x x} + \sigma_ {y y}\right) \tag {1.6.2}
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$$
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<!-- source-page: 90 -->
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# 1-6-3. 하중과 질량
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평면변형요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 모서리하중 (edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이다. 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중과 같은 면내방향 열 변형하중이 있다. 체적력과 모서리하중, 온도하중은 평면응력요소와 유사한 방법으로 계산한다. 온도하중의 경우 포아송 효과에 의한 면내 변형을 고려한다.
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||||
평면변형요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 사용할 수 있으며, x,y 방향의 이동변위만을 반영한다.
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\- 분포질량
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$$
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\mathbf {M} _ {i j} = \rho t \int_ {A _ {e}} N _ {i} N _ {j} d A \tag {1.6.3}
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$$
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||||
\- 집중질량
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||||
집중질량은 요소 전체질량( $\rho tA_{e}$ )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다
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@@ -0,0 +1,316 @@
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<!-- source-page: 91 -->
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# 1-6-4 요소결과
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평면변형요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률을 출력한다. 평면변형요소를 이용한 해석은 전체좌표계의 X-Y, Y-Z, X-Z 중 하나의 평면에서 수행하므로, 응력과 변형률의 결과를 전체좌표계에서 출력한다. 전체좌표계를 기준으로 출력된 결과는 요소좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다.
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||||
다음은 X-Y 평면에서 해석하였을 경우, 요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류이다.
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• 응력 성분 $\sigma_{XX}, \sigma_{YY}, \sigma_{ZZ}, \tau_{XY}$
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- Von-Mises 응력 $\sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}-P_{1}P_{2}-P_{2}P_{3}-P_{3}P_{1}\right)}$
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||||
• 최대 전단응력 $\frac{\max(|P_{1}-P_{2}|,|P_{2}-P_{3}|,|P_{3}-P_{1}|)}{2}$
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||||
• 주응력 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$
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|
||||
$$
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||||
P _ {i} = \frac {\sigma_ {X X} + \sigma_ {Y Y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {X X} - \sigma_ {Y Y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {X Y} ^ {2}} \quad \text {과} \quad \sigma_ {Z Z} \quad \text {중 큰 값부터} \quad P _ {1}, P _ {2}, P _ {3} \text {이}
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||||
$$
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||||
|
||||
다.
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||||
|
||||
• 변형률 성분 $\varepsilon_{XX}, \varepsilon_{YY}, \gamma_{XY}$
|
||||
- Von-Mises 변형률 $\frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-E_{1}E_{2}\right)}$
|
||||
• 체적(volumetric) 변형률 $E_{1} + E_{2}$
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||||
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||||
<!-- source-page: 92 -->
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||||
\- 주변형률
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||||
$$
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||||
E _ {1}, E _ {2}
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {X X} + \varepsilon_ {Y Y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {X X} - \varepsilon_ {Y Y}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {X Y} ^ {2}}{4}}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
절점에서의 응력/변형률 및 요소내력은 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 평면변형요소의 적분점은 다음과 같다.
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||||
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||||
• 3절점 삼각형 요소: 1 점 가우스 적분
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||||
• 4절점 사각형 요소: 4 점 가우스 적분
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• 6절점 삼각형 요소: 3 점 가우스 적분
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||||
• 8절점 사각형 요소: 9 점 가우스 적분
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||||
|
||||
응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.6.3과 같고, 화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
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||||
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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σ_zz
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(ε_zz = 0)
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τ_xy, γ_xy
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σ_xx, ε_xx
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τ_xy, γ_xy
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σ_yy, ε_yy
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GCS
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X
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Y
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Z
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</details>
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그림 1.6.3 평면변형요소의 결과 방향과 성분
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<!-- source-page: 93 -->
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# 1-7 축대칭요소
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# 1-7-1 개요
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축대칭요소는 형상, 재질, 하중 조건 등이 임의의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구조물(deep well, circular foundation 및 circular tunnel 등)의 해석에 사용한다. 축대칭요소는 다른 종류의 요소들과 혼용할 수 없으며, 정적(선형/비선형) 해석에사용 가능하다. 축대칭요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하기 때문에 원주방향 전단변형을 고려하지 않는다. 축대칭요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은다음과 같다.
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||||
$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} (\text {단면내방향 응력/변형률과 원주방향 수직응력/변형률})
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||||
$$
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||||
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||||
응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.7.1과 같고, 화살표 방향이‘+’를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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GCS → X
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z
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||||
y
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ECS
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x
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z
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σxx, εxx
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||||
τxy, γxy
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||||
σyy, εyy
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||||
τxy, γxy
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</details>
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그림 1.7.1 축대칭요소의 응력/변형률
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<!-- source-page: 94 -->
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||||
요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.7.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점 방향을 x 축을 향하는 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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3 ECS y-axis
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1 ECS x-axis
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(1 → 2 direction)
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2
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<summary>text_image</summary>
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ECS y-axis
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4
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3
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ECS x-axis
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1
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2
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS y-axis
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ECS x-axis
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(1→2 direction)
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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</details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS y-axis
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3
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7
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4
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8
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6
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ECS x-axis
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1
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5
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2
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</details>
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그림 1.7.2 축대칭요소의 좌표계
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<!-- source-page: 96 -->
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축대칭요소는 전체좌표계에서 Z 축에 대한 대칭 구조만을 모사하므로, X Z − 평면에존재하여야 한다. 요소의 두께는 그림 1.7.3과 같이 단위 폭( 1.0radian )만큼 자동으로 고려된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z(axis of rotation)
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1.0 radian (unit width)
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an axisymmetric element
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X
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Y
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</details>
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그림 1.7.3 축대칭요소의 강성 계산영역
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축대칭요소의 종류는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소는 1차(linear) 요소이며, 6절점 삼각형 요소와 8절점사각형 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 축대칭요소에는 원주방향으로 수직응력과변형률이 존재함에 주의해야 한다.
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<!-- source-page: 97 -->
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# 1-7-2 유한요소 정식화
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축대칭요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 비적합 (incompatible) 모드는 사용하지 않는다. 그리고 요소좌표계에서 x, y 방향의 이동 변위(translation) u, v 만을 가진다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {1.7.1}
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$$
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||||
축대칭요소는 절점 개수에 관계 없이 유사한 과정으로 강성을 계산할 수 있기 때문에, 절점 수 N 개를 가지는 요소에 대하여 일괄적으로 설명한다.
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요소 내 임의의 좌표 x,y 와 이동변위 u,v 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i}, u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {1.7.2}
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$$
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||||
• 3절점 삼각형
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$$
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N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta \tag {1.7.3}
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$$
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||||
4절점 사각형
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$$
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta),
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$$
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$$
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||||
N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {1.7.4}
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$$
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||||
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||||
6절점 삼각형
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$$
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||||
N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
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$$
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||||
|
||||
$$
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||||
N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.7.5}
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$$
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<!-- source-page: 98 -->
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||||
• 8절점 사각형
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$$
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, \quad N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}), N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta)
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.7.6}
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$$
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||||
절점 변위와 변형률 ε 의 관계는 $B_{i}$ 에 의하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.7.7}
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$$
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||||
행렬 $B_{i}$ 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
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$$
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\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \alpha \frac {N _ {i}}{X} & \beta \frac {N _ {i}}{X} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.7.8}
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$$
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||||
$$
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||||
\alpha : \vec {x} \bullet \overrightarrow {X}
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$$
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$$
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||||
\beta \quad : \vec {y} \bullet \vec {X}
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$$
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요소좌표계 x,y 에서의 반지름으로 전체좌표계의 X 값을 사용하였다.
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행렬 $B_{i}$ 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} X \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A \tag {1.7.9}
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$$
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<!-- source-page: 99 -->
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위 식은 1.0radian 에 대한 강성이 된다. 등방성(isotropic) 재료인 경우 축대칭요소에서 사용하는 응력과 변형률의 관계는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {D} = \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & \frac {\nu}{1 - \nu} & \frac {\nu}{1 - \nu} & 0 \\ \frac {\nu}{1 - \nu} & 1 & \frac {\nu}{1 - \nu} & 0 \\ \frac {\nu}{1 - \nu} & \frac {\nu}{1 - \nu} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2 (1 - \nu)} \end{array} \right] \tag {1.7.10}
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$$
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<!-- source-page: 100 -->
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# 1-7-3 하중
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축대칭요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 모서리하중(edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이다. 축대칭요소에서 사용하는 모서리하중은 단위 면적당 힘을 의미하며, 절점에 입력된 하중은 원주(2πr)에 대해 적분된 값으로 간주하므로 입력 시에 주의해야 한다.
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\- 체적력
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} X N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.7.11}
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$$
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여기서,
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$$
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\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
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$$
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\- 모서리하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L} X N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ 0 \end{array} \right\} d s \tag {1.7.12}
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$$
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여기서,
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$$
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P _ {x}, P _ {y} \quad : \text { 단위 면적당 하중(방향별) }
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$$
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\- 온도하중
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$$
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||||
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} X \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ \alpha_ {z} \\ 0 \end{array} \right\} \Delta T d A \tag {1.7.13}
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$$
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@@ -0,0 +1,338 @@
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<!-- source-page: 101 -->
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여기서,
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$$
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\alpha_ {x}, \alpha_ {y}, \alpha_ {z} \quad : \text { 열팽창 계수(방향별) }
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$$
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# 1-7-4 요소결과
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축대칭요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률을 출력한다. 축대칭요소를 이용한 해석은 전체좌표계의 Z 축에 대한 대칭 구조물에 사용하므로, X Z − 평면에서해석을 수행한다. 따라서 응력과 변형률의 결과를 전체좌표계에서 출력한다. 전체좌표계를 기준으로 출력된 결과는 요소좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다.다음은 요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류이다.
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||||
응력 성분 $\sigma _ { \scriptscriptstyle { X X } } , \sigma _ { \scriptscriptstyle { Y Y } } , \sigma _ { \scriptscriptstyle { Z Z } } , \tau _ { \scriptscriptstyle { Z X } }$
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Von-Mises 응력 $\sqrt { \left( P _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ^ { 2 } + P _ { 3 } ^ { 2 } - P _ { 1 } P _ { 2 } - P _ { 2 } P _ { 3 } - P _ { 3 } P _ { 1 } \right) }$
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||||
최대 전단응력 $\frac { \operatorname* { m a x } ( \big | P _ { 1 } - P _ { 2 } \big | , \big | P _ { 2 } - P _ { 3 } \big | , \big | P _ { 3 } - P _ { 1 } \big | ) } { 2 }$
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주응력 $P _ { 1 } , P _ { 2 } , P _ { 3 }$
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$$
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P _ {i} = \frac {\sigma_ {X X} + \sigma_ {Z Z}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {X X} - \sigma_ {Z Z}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {Z X} ^ {2}} \text {와} \sigma_ {Y Y} \text {종 큰 값부터} P _ {1}, P _ {2}, P _ {3} \text {이다.}
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$$
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변형률 성분 $\varepsilon _ { X X } , \varepsilon _ { Y Y } , \varepsilon _ { Z Z } , \gamma _ { Z X }$
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Von-Mises 변형률 $\frac { 2 } { 3 } \sqrt { \left( E _ { 1 } ^ { 2 } + E _ { 2 } ^ { 2 } + E _ { 3 } ^ { 2 } - E _ { 1 } E _ { 2 } - E _ { 2 } E _ { 3 } - E _ { 3 } E _ { 1 } \right) }$
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||||
$r _ { 1 } ( \ r _ { 1 } , \ r _ { 1 } ) ( \ r _ { 2 } , \ r _ { 1 } , \ r _ { 2 } ) , t _ { 1 } = 0 , t _ { 2 } = 1$ $E _ { 1 } + E _ { 2 } + E _ { 3 }$
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<!-- source-page: 102 -->
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주변형률
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$$
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E _ {1}, E _ {2}, E _ {3}
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$$
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$$
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E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {X X} + \varepsilon_ {Z Z}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {X X} - \varepsilon_ {Z Z}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {Z X} ^ {2}}{4}} \text {와} \varepsilon_ {Y Y} \text {중 큰 값부터} E _ {1}, E _ {2}, E _ {3} \text {이다.}
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$$
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절점에서의 응력/변형률은 요소 내의 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 축대칭요소의 적분점은 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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• 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.7.4와 같고, 화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z
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GCS → X
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τzx, γzx
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σyy, εyy
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σxx, εxx
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τzx, γzx
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σzz, εzz
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</details>
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그림 1.7.4 축대칭요소의 결과 방향과 성분
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# 1-8 입체요소
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# 1-8-1 개요
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입체요소는 주로 콘크리트 기초, 자동차 엔진, 두꺼운 벽, 고무 등과 같이 부피가 있는 구조물의 모델링에 주로 이용된다. midas FEA에서 사용할 수 있는 입체요소로는8면체(hexahedron), 4면체(tetrahedron), 5면체(pentahedron) 요소가 있으며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적 해석에 모두 사용할 수 있다. 입체요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {y z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad (\text {응력/변형률})
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$$
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||||
응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.8.1과 같고, 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ_zz, ε_z
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τ_yz, γ_yz
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τ_zx, γ_zx
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z
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y
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τ_zx, γ_zx
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τ_xy, γ_xy
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ECS
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x
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σ_xx, ε_xx
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σ_yy, ε_yy
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τ_yz, γ_yz
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</details>
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그림 1.8.1 입체요소의 응력/변형률
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.8.2와 같이 설정한다. 8면체요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의중점 방향을 x 축을 향하는 방향으로 하며, 4면체와 5면체 요소는 절점 1에서 2를향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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<!-- source-page: 105 -->
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그림 1.8.2. 입체요소의 좌표계
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입체요소 에서 사용하는 형상 함수는 최대 2차 함수로 되어 있다. 8절점 6면체 요소,6절점 5면체 요소, 4절점 4면체 요소는 1차(linear) 요소이며, 20절점 6면체 요소,15절점 5면체 요소, 10절점 4면체 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 일반적으로 4면체, 5면체 요소 보다 6면체 요소를 사용했을 때 보다 정확한 해를 구할 수 있으므로,정밀한 해석 결과가 필요한 부분에서는 6면체 요소를 사용하는 것이 바람직하다.
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# 1-8-2 유한요소 정식화
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입체요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 8절점 6면체 요소와 6절점 5면체 요소의경우에는 비적합(incompatible) 모드를 이용한다. 입체요소는 요소좌표계에서 x, y, z 방향의 이동변위(translation) u, v, w 만을 가진다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {1.8.1}
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$$
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비적합 모드를 제외하면 절점 개수에 관계 없이 모든 입체요소의 강성을 유사한 과정으로 계산할 수 있기 때문에, 절점 수 N 개를 가지는 요소에 대하여 일괄적으로 설명한다.
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요소 내 임의의 좌표 x, y, z와 이동변위 u, v, w는 다음과 같이 나타낼 수 있다
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$$
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x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i}, z = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} z _ {i}
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$$
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$$
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||||
u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} w _ {i} \tag {1.8.2}
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$$
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4절점 4면체
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$$
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||||
N _ {1} = 1 - \xi - \eta - \zeta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta , N _ {4} = \zeta \tag {1.8.3}
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$$
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6절점 5면체
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$$
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N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - \zeta), N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - \zeta), N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - \zeta), N _ {4} = \frac {\lambda}{2} (1 + \zeta)
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$$
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$$
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||||
N _ {5} = \frac {\xi}{2} (1 + \zeta), N _ {6} = \frac {\eta}{2} (1 + \zeta) \tag {1.8.4}
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$$
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$$
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\lambda = 1 - \xi - \eta
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$$
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8절점 6면체
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N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta), N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta)
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<!-- source-page: 107 -->
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N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta), N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta)
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N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta), N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta)
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N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta), N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \tag {1.8.5}
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• 10절점 4면체
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N _ {1} = - \lambda (1 - 2 \lambda), N _ {2} = - \xi (1 - 2 \xi), N _ {3} = - \eta (1 - 2 \eta), N _ {4} = - \zeta (1 - 2 \zeta)
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N _ {5} = 4 \xi \lambda , N _ {6} = 4 \xi \eta , N _ {7} = 4 \eta \lambda , N _ {8} = 4 \zeta \lambda , N _ {9} = 4 \xi \zeta , N _ {1 0} = 4 \eta \zeta
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\lambda = 1 - \xi - \eta - \zeta \tag {1.8.6}
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• 15절점 5면체
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N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - 2 \lambda) \zeta (1 - \zeta), N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - 2 \xi) \zeta (1 - \zeta), N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - 2 \eta) \zeta (1 - \zeta)
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$$
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N _ {4} = - \frac {\lambda}{2} (1 - 2 \lambda) \zeta (1 + \zeta), N _ {5} = - \frac {\xi}{2} (1 - 2 \xi) \zeta (1 + \zeta)
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N _ {6} = - \frac {\eta}{2} (1 - 2 \eta) \zeta (1 + \zeta)
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N _ {7} = - 2 \xi \lambda \zeta (1 - \zeta), N _ {8} = - 2 \xi \eta \zeta (1 - \zeta)
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N _ {9} = - 2 \eta \lambda \zeta (1 - \zeta), N _ {1 0} = 2 \xi \lambda \zeta (1 + \zeta)
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$$
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N _ {1 1} = 2 \xi \eta \zeta (1 + \zeta), N _ {1 2} = 2 \eta \lambda \zeta (1 + \zeta), N _ {1 3} = (1 - \xi - \eta) (1 - \zeta^ {2})
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$$
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<!-- source-page: 108 -->
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N _ {1 4} = \xi \left(1 - \zeta^ {2}\right), N _ {1 5} = \eta \left(1 - \zeta^ {2}\right)
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$$
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\lambda = 1 - \xi - \eta \tag {1.8.7}
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20절점 6면체
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N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) (- 2 - \xi - \eta - \zeta)
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N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) (- 2 + \xi - \eta - \zeta)
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N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) (- 2 + \xi + \eta - \zeta)
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N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) (- 2 - \xi + \eta - \zeta)
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N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) (- 2 - \xi - \eta + \zeta)
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$$
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$$
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N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) (- 2 + \xi - \eta + \zeta)
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$$
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$$
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N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) (- 2 + \xi + \eta + \zeta)
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$$
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N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) (- 2 - \xi + \eta + \zeta)
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N _ {9} = \frac {1}{4} (1 - \eta) (1 - \zeta) (1 - \xi^ {2}), \quad N _ {1 0} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \zeta) (1 - \eta^ {2})
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$$
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N _ {1 1} = \frac {1}{4} (1 + \eta) (1 - \zeta) (1 - \xi^ {2})
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$$
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N _ {1 2} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \zeta) (1 - \eta^ {2}), N _ {1 3} = \frac {1}{4} (1 - \eta) (1 + \zeta) (1 - \xi^ {2})
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$$
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<!-- source-page: 109 -->
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N _ {1 4} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \zeta) (1 - \eta^ {2})
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$$
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$$
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N _ {1 5} = \frac {1}{4} (1 - \eta) (1 + \zeta) (1 - \xi^ {2}), N _ {1 6} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \zeta) (1 - \eta^ {2})
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$$
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$$
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N _ {1 7} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta^ {2})
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$$
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N _ {1 8} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta^ {2}), N _ {1 9} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta^ {2})
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$$
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$$
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N _ {2 0} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta^ {2}) \tag {1.8.8}
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$$
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절점 변위 u 와 변형률 ε 의 관계는 Bi 에 의하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.8.9}
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$$
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행렬 Bi 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
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\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.8.10}
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$$
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행렬 B 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d V \tag {1.8.11}
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$$
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Ve : 요소의 체적
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여기서 D 는 응력과 변형률 관계를 나타내는 행렬이며, 등방성(isotropic) 재료의 경우 다음과 같다.
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\mathbf {D} = \frac {E}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 - \nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1 - \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1 - \nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} \end{array} \right] \tag {1.8.12}
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$$
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입체요소는 재료좌표계를 설정할 수 있으며, 설정된 재료좌표계에 따라 행렬 D 를 좌표변환 하여 사용한다.
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선형 해석 시 6절점 5면체 요소와 8절점 6면체 요소는 비적합 모드를 포함하여 계산한다. 비적합 모드를 포함한 경우에는 절점변위 이외에 추가적인 자유도를 가지게 된다. 비적합 모드를 이용하는 자세한 방법은 평면응력요소를 참조하고, 본 절에서는 비적합 모드의 형상과 주요 행렬만을 나열한다.
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6절점 5면체
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\mathbf {u} _ {a} = \left\{a _ {1} \quad b _ {1} \quad c _ {1} \right\} ^ {T} \tag {1.8.13}
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} u _ {i} + a _ {1} P _ {1}, \quad v = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} v _ {i} + b _ {1} P _ {1}, \quad w = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} w _ {i} + c _ {1} P _ {1} \tag {1.8.14}
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$$
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P _ {1} = 1 - \zeta^ {2} \tag {1.8.15}
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@@ -0,0 +1,311 @@
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\mathbf {B} _ {a} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.8.16}
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8절점 6면체
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\mathbf {u} _ {a} = \left\{a _ {1} \quad b _ {1} \quad c _ {1} \quad a _ {2} \quad b _ {2} \quad c _ {2} \quad a _ {3} \quad b _ {3} \quad c _ {3} \right\} ^ {T} \tag {1.8.17}
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$$
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} u _ {i} + a _ {1} P _ {1} + a _ {2} P _ {2} + a _ {3} P _ {3} \quad v = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} v _ {i} + b _ {1} P _ {1} + b _ {2} P _ {2} + b _ {3} P _ {3},
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$$
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$$
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w = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} w _ {i} + c _ {1} P _ {1} + c _ {2} P _ {2} + c _ {3} P _ {3} \tag {1.8.18}
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$$
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$$
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P _ {1} = 1 - \xi^ {2}, P _ {2} = 1 - \eta^ {2}, P _ {3} = 1 - \zeta^ {2} \tag {1.8.19}
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$$
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$$
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\mathbf {B} _ {a} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial z} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {3}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & \frac {\partial P _ {3}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.8.20}
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$$
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# 1-8-3 하중과 질량
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입체요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 압력하중(pressure load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 압력하중은 요소의 면에 가해지는 분포하중이다. 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중이 있다.
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\- 체적력
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {V _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d V \tag {1.8.21}
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여기서,
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\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
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\- 압력하중
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ P _ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.8,22}
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$$
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여기서,
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$$
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P _ {x}, P _ {y}, P _ {z} \quad : \text { 단위 면적당 하중(방향별) }
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$$
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\- 온도하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ \alpha_ {z} \end{array} \right\} \Delta T d V \tag {1.8,23}
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$$
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여기서,
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$$
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\alpha_ {x}, \alpha_ {y}, \alpha_ {z} \quad : \text { 열팽창 계수(방향별) }
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입체요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 반영할 수 있으며, x,y,z 방향의 이동변위만을 반영한다.
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\- 분포질량
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\mathbf {M} _ {i j} = \rho \int_ {V _ {e}} N _ {i} N _ {j} d V \tag {1.8.24}
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\- 집중질량
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집중질량은 요소 전체질량( $\rho V_{e}$ )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다.
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# 1-8-4 요소결과
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입체요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률을 출력하며, 부호와 방향은 전체좌표계를 따른다. 전체좌표계를 기준으로 출력된 결과는 요소좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다. 입체요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류는 다음과 같다.
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• 응력 성분 $\sigma_{XX}, \sigma_{YY}, \sigma_{ZZ}, \tau_{XY}, \tau_{YZ}, \tau_{ZX}$
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\- Von-Mises 응력 $\sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}-P_{1}P_{2}-P_{2}P_{3}-P_{3}P_{1}\right)}$
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• 최대 전단응력 $\frac{\max(\left|P_{1}-P_{2}\right|,\left|P_{2}-P_{3}\right|,\left|P_{3}-P_{1}\right|)}{2}$
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• 주응력 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$
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$\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}\sigma_{XX}-P_{i}&\tau_{XY}&\tau_{ZX}\\ \tau_{XY}&\sigma_{YY}-P_{i}&\tau_{YZ}\\ \tau_{ZX}&\tau_{YZ}&\sigma_{ZZ}-P_{i}\end{array}\right]=0$ 의 해 중 큰 값부터 $P_{1},P_{2},P_{3}$ 이다.
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\- 변형률 성분 $\varepsilon_{XX}, \varepsilon_{YY}, \varepsilon_{ZZ}, \gamma_{XY}, \gamma_{YZ}, \gamma_{ZX}$
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\- Von-Mises 변형률 $\frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{3}^{2}-E_{1}E_{2}-E_{2}E_{3}-E_{3}E_{1}\right)}$
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• 체적(volumetric) 변형률 $E_{1} + E_{2} + E_{3}$
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\- 주변형률 $E_{1}, E_{2}, E_{3}$
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$\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}\varepsilon_{XX}-E_{i}&\gamma_{XY}/2&\gamma_{ZX}/2\\\gamma_{XY}/2&\varepsilon_{YY}-E_{i}&\gamma_{YZ}/2\\\gamma_{ZX}/2&\gamma_{YZ}/2&\varepsilon_{ZZ}-E_{i}\end{array}\right]=0$ 의 해 중 큰 값부터 $E_{1},E_{2},E_{3}$ 이다.
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절점에서의 응력과 변형률은 요소 내의 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 입체요소의 적분점은 다음과 같다.
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• 4절점 4면체 : 1 점 가우스 적분
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• 6절점 5면체 : 6 점 가우스 적분
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• 8절점 6면체 : 8 점 가우스 적분
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• 10절점 4면체 : 4 점 가우스 적분
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• 15절점 5면체 : 9 점 가우스 적분
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• 20절점 6면체 : 27 점 가우스 적분
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.8.3과 같고, 화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ_zz, ε_z
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τ_yz, γ_yz
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τ_zx, γ_zx
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τ_zx, γ_zx
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τ_xy, γ_xy
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σ_xx, ε_xx
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σ_yy, ε_yy
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τ_yz, γ_yz
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Z
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Y
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GCS
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X
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</details>
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그림 1.8.3. 입체요소의 결과 성분과 방향
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# 1-9 스프링
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# 1-9-1 탄성연결요소(elastic link)
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탄성연결요소는 두 절점을 사용자가 입력한 강성으로 연결하는 기능이며, 강성을 제외한 구조적 특성은 가지고 있지 않다. 탄성연결요소의 좌표계 방향은 그림 1.9.1과같다. 탄성연결요소는 인장전담(tension-only)이나 압축전담(compression-only) 특성을 부여할 수 있는데, 이러한 경우에는 요소좌표계 x 방향으로만 강성을 입력할수 있다. 탄성연결요소의 입력은 각각 3방향의 이동(translation) 및 회전(rotation)강성으로 구성되어 있다. 탄성연결요소의 강성 크기는 이동 방향은 단위길이당 힘,회전방향은 단위각도(radian)당 모멘트로 입력한다.
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탄성연결요소는 교량구조물의 상부와 하부 교각부를 연결해주는 탄성받침이나, 압축전담 특성을 갖는 지반 경계조건에 적절하게 사용할 수 있다. 또한 강체 연결기능을선택하면 rigid link와 같이 두 절점을 강체로 연결할 수도 있다.
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<summary>text_image</summary>
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z
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Ref.
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x
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y
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1
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2
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</details>
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그림 1.9.1 탄성연결요소의 좌표계
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# 1-9-2 절점 스프링(spring)/감쇄(damping)
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절점스프링은 모델의 경계부분에 위치한 인접구조물 또는 지반경계조건 등의 탄성강성을 고려할 때, 혹은 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력요소 등)가 상호 접합될 경우에 발생할 수 있는 특이성 오류(singular error)를 방지하고자 할 때 사용된다.
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절점스프링은 절점당 전체좌표계 기준의 6개 자유도(이동방향 3개 성분, 회전방향 3개 성분)에 대해 입력이 가능하다. 이동방향 강성은 단위길이당 힘으로 입력하고, 회전방향 강성은 단위각도(radian)당 모멘트로 입력한다. 지반을 모델링할 때는 지반반력계수(modulus of subgrade reaction)에 해당절점의 유효면적(effective area)을곱한 강성값을 사용한다.
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절점감쇄는 절점의 감쇠 스프링을 입력하는데 사용된다. 지반의 점성 경계조건 모델링에 많이 사용되며, 절점당 6개의 자유도(이동방향 3개 성분, 회전방향 3개 성분)에대해 입력이 가능하다. 절점 감쇠는 특성상 일반 정적해석에는 반영되지 않고 동해석의 경우에만 적용된다.
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절점 스프링과 절점 감쇠의 좌표축은 기본적으로는 전체좌표계를 따르지만 절점좌표계가 선언되어 있는 경우에는 절점좌표계를 기준으로 한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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SRY
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SY
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SX
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Nodal Point
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SZ
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SRX
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SRZ
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Z
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Y
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X
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</details>
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그림 1.9.2 절점 스프링/감쇄의 좌표계
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<!-- source-page: 118 -->
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# 1-9-3 행렬스프링(matrix spring)
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행렬스프링은 자유도 방향으로만 강성이 입력되는 절점스프링을 보완하기 위해 사용된다. 탄성 경계조건을 정밀하게 모델링 하고자 할 경우에는 자유도별 강성뿐만 아니라 자유도사이의 연관(coupled)되는 강성까지 고려하는 것이 필요하다. 즉 이동변위가 발생할 때 동시에 발생되는 회전변위 등을 고려하기 위해서는 연관된 강성의 사용이 필요하다. 행렬스프링은 이와 같은 탄성 경계조건을 모델링하기에 적합한 요소이다.
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예를 들어 구조물의 기초에 사용되는 파일(pile)을 경계스프링으로 모델링하고자 할경우에 각 방향별 강성 이외에 자유도 상호간의 연관된 강성을 입력하여 보다 정밀한 해석을 수행할 수 있다. 행렬스프링 값은 사용자가 임의 값을 입력할 수는 있지만,전체 행렬이 양의 정부호(positive definite) 이어야 한다. 그렇지 않을 경우에는 적절한 해를 구할 수 없게 된다. 행렬스프링의 값은 대칭이 되도록 상부 삼각행렬만 입력하도록 되어 있다.
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행렬스프링의 좌표축은 기본적으로는 전체좌표계를 따르지만, 절점좌표계가 선언되어있는 경우에는 절점좌표계를 기준으로 한다.
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<!-- source-page: 119 -->
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# 1-10 강체연결(rigid link)
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강체연결요소는 구조물의 기하학적(geometric) 상대거동을 상호 구속하는 기능이다.기하학적 상대거동의 구속은 임의 절점의 자유도에 한 개 또는 그 이상의 절점의 자유도를 종속시킴으로써 이루어진다. 여기서 임의 절점을 주절점(master node)이라하고 자유도가 종속되는 절점을 종속절점(slave node)이라 한다. 강체연결요소에 의한 주절점과 종속절점의 상호구속방정식은 식 (1.10.1)과 같다.
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$$
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U _ {X s} = U _ {X m} + R _ {Y m} \Delta Z - R _ {Z m} \Delta Y
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$$
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$$
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U _ {Y s} = U _ {Y m} + R _ {Z m} \Delta X - R _ {X m} \Delta Z
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$$
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$$
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U _ {Z s} = U _ {Z m} + R _ {X m} \Delta Y - R _ {Y m} \Delta X \tag {1.10.1}
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$$
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$$
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||||
R _ {X s} = R _ {X m}
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$$
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$$
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R _ {Y s} = R _ {Y m}
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$$
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$$
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R _ {Z s} = R _ {Z m}
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$$
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$$
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\Delta X = X _ {m} - X _ {s}
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$$
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$$
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\Delta Y = Y _ {m} - Y _ {s}
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$$
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$$
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\Delta Z = Z _ {m} - Z _ {s}
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$$
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$U _ { _ { X s } } , U _ { _ { Y s } } , U _ { _ { Z s } }$ : 종속절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 이동변위
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$U _ { \chi m } \ , \ U _ { Y m } \ , \ U _ { Z m }$ : 주절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 이동변위
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$R _ { \chi _ { s } } ~ , ~ R _ { \gamma _ { s } } ~ , ~ R _ { Z s }$ : 종속절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 회전변위
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$R _ { \chi _ { s } } ~ , ~ R _ { \gamma _ { s } } ~ , ~ R _ { Z s }$ : 주절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 회전변위
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$X _ { s } ~ , ~ Y _ { s } ~ , ~ Z _ { s }$ : 종속절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 좌표
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$X _ { m } \ , \ Y _ { m } \ , \ Z _ { m }$ : 주절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 좌표
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강체연결요소는 강성이 타 구조부재보다 훨씬 커서 변형효과를 무시할 수 있는 부재의 모델링이나, 보강판에서의 판과 보강재을 상호 연결하는데 활용할 수 있다.
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<!-- source-page: 120 -->
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강체연결요소는 6개 자유도에서 사용자가 임의대로 선택하여 입력할 수 있고, 입력한 자유도에 대해서만 식 (1.10.1)을 사용하여 상호구속 방정식을 구성한다. 예를 들어 전체좌표계 특정 평면에 대한 강체연결요소의 상호구속 방정식 고려해 보자. 주절점과 종속절점이 X Y− 평면상에서 평면강체(rigid plane connection)로 상호거동이구속되는 경우의 상호구속 방정식은 다음과 같다.
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$$
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U _ {X s} = U _ {X m} - R _ {Z m} \Delta Y
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$$
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$$
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U _ {Y s} = U _ {Y m} + R _ {Z m} \Delta X \tag {1.10.2}
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$$
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$$
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||||
R _ {Z s} = R _ {Z m}
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$$
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그림 1.10.1은 구조물 바닥판(floor)의 모델에 평면강체 기능을 적용한 예를 나타낸것이다. 일반적으로 구조물이 수평력을 받을 때 바닥판 내의 모든 위치에서의 수평방향 상대변위는 다른 구조부재(수직부재, 대각부재)의 상대변위에 비해 거의 무시할만큼 작다. 이와 같은 바닥판의 강막작용(rigid diaphragm action)은 바닥판 내의 모든 면내거동을 상호 구속함으로써 고려될 수 있다. 이때 면내거동은 바닥판의 면내이동변위 2개의 성분과 면의 수직방향에 대한 회전변위 성분을 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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floor diaphragm
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torsional moment
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Y
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φ4
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4
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3
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φ3
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φ1
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1
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2
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X
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φ2
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Z
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1
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2
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Y
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X
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</details>
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그림 1.10.1 바닥판이 있는 구조물이 수직축에 대해 비틀림 거동을 하는 경우
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그림 1.10.1의 예에서 바닥판이 있는 구조물이 비틀림 거동을 할때, 바닥판의 면내강
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@@ -0,0 +1,303 @@
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성이 수직기둥부재의 강성에 비해 무한히 클 경우, 바닥판 전체가 φ 만큼 회전하게되고 φ1 2 3 4= = = = φ φ φ φ 가 된다. 따라서 4개의 자유도를 1개의 자유도로 축약시킬수 있다.
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그림 1.10.2는 각막작용을 고려하여 절점당 6개씩의 자유도(6×4), 총 24개의 자유도를 15개의 자유도로 축약하는 과정을 나타낸 것이다.
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<!-- source-page: 122 -->
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<details>
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||||
<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["master node"] --> B["slave node"]
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B --> C["floor diaphragm"]
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C --> D["X"]
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A --> E["UxUyUzRxRyRz"]
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B --> F["UxUyUzRxRyRz"]
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C --> G["UxUyUzRxRyRz"]
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E --> H["↑ Y"]
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F --> I["↑ X"]
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G --> J["↑ X"]
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```
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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floor diaphragm
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UzRxRy
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||||
UzRxRy
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UzRxRy
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||||
UzRxRy
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||||
UzRxRy
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master node
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slave node
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Y
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X
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Z
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1
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2
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3
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4
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</details>
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UX :displacement degree of freedom in the X-direction at the corresponding node
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UY : displacement degree of freedom in the Y-direction at the corresponding node
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UZ :displacement degree of freedom in the Z-direction at the corresponding node
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RX :rotational degree of freedom about the X-axis at the corresponding node
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RY :rotational degree of freedom about the Y-axis at the corresponding node
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RZ : rotational degree of freedom about the Z-axis at the corresponding node
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그림 1.10.2 면내 무한강성을 갖는 바닥판의 자유도 축약 개념도
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<!-- source-page: 123 -->
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그림 1.10.3은 다양한 강체연결 기능을 이용한 예를 나타낸 것이다. 그림 1.10.3의(a)는 사각튜브의 구조적 거동을 정밀해석하기 위해, 정밀검토가 필요한 부분에 대해서는 판요소로 세분화하고, 나머지 부분은 보요소로 모델링한 것이다. 두 모델 사이는 모든 자유도를 강체연결 하였다. 그림 1.10.3의 (b)는 2차원 평면상에 있는 두 개의 기둥이 편심되어 만나는 경우에, 절점에서의 편심효과를 고려하기 위해 평면강체기능을 이용한 예이다. 이와 같이 임의 평면내에 강체연결기능을 사용하고자 할 때에는 반드시 평면내의 두 개의 이동변위 성분과 수직방향에 대한 회전 변위성분에 대해 구속조건을 부여해야 한다. 마찬가지로 그림 1.10.3의 (a)와 같이 모든 방향성분에대해 강체연결을 할 경우에는 6개 자유도 전부에 대해 구속조건을 부여해야 한다.
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<!-- source-page: 124 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rectangular tube modeled with plate elements
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Rigid Link
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rectangular tube modeled as a beam element
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master node
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Z
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Y
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X
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: slave nodes (12 nodes)
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* all 6 degrees of freedom of
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the slave nodes are linked
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to the master node.
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</details>
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(a) 한 개의 튜브를 보요소와 판요소로 부위별로 모델링하여 상호연결한 경우 (Rigid Body Connection)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P
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P
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Z
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Y → X
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slave node
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master node
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eccentricity
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eccentricity
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Y
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Z → X
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* all slave node's d.o.f in the X-Z plane are linked to the master node (translational displacement d.o.f in the X and Z-directions and rotational d.o.f about the Y-axis
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</details>
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(b) 두개의 기둥이 편심되어 만나는 경우 (Rigid Plane Connection)
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그림 1.10.3 강체연결요소를 사용한 예
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# Chapter 2. Embedded Reinforcements
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# 2-1 개요
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midas FEA에서는 별도의 절점을 가진 요소로 사용되지 않고, 철근(reinforcement)을 포함하는 모재요소(mother element)에 철근의 요소강성이 더해지는 내재요소(embedded element)형태로 구성된다. 철근요소를 사용하는데 있어서 유의해야 할 사항은 다음과 같다.
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■ 사용자가 철근을 정의하고 철근을 모재요소에 맞게 분할하는 과정이 필요한 경우 프로그램에서 모재요소와 철근의 교차점을 계산한다.
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▪ 철근은 별도의 자유도를 가지지 않는다.
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▪ 철근과 모재요소는 완전부착(perfectbond)된 것으로 가정한다
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▪ 철근의 변형률(strain)은 모재요소의 변위로부터 구하여진다.
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모재요소에 삽입 되는 철근에는 바(bar)와 격자(grid) 두 가지 형태가 있다. 철근을 정의하기 위한 입력정보는 위치정보, 형상정보, 물성치 등으로 구성 된다. 위치정보는 모재요소에 삽입되는 철근의 위치절점(location point) 정보로 구성된다. 그리고 철근의 형상정보를 정의하는 방법에는 두 가지가 있다. 철근절점으로 정의되는 섹션(section)을 생성하여 전처리 과정에서 모재요소의 특성에 따라 철근을 세그먼트(segment)로 분할하는 전체입력 방식이 있다. 이 때 철근섹션은 세그먼트들로 구성되게 되며 철근세그먼트는 삽입되는 모재요소의 경계를 가로지를 수 없다. 또 다른 방법은 모재요소에 맞춰 철근섹션을 모재요소에 맞추어 직접 입력하여 1개의 섹션이 1개의 세그먼트로 바로 사용되도록 하는 개별입력 방식이다. 형상정보는 철근의 형태 및 모재요소의 형태에 따라 각각 다른 정보를 필요로 하므로, 각각의 경우에 대한 자세한 설명은 해당 장에 서술하였다.
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구조물에서 철근과 모재요소는 서로 상호작용하며 미끄러짐이 일어날 수 있다. 이런 경우 서로 완전부착 가정은 부적합 할 수 있다. 이 때는 자신의 절점을 가지는 트러스요소(truss element)를 사용하고 모재요소와 트러스요소를 연계시켜주는 경계면요소(interface element)를 사용하여 트러스요소를 모재요소와 연결시켜줄 수 있다.
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<!-- source-page: 126 -->
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# 2-2 철근의 형태
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# 2-2-1 철근바
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철근바(bar reinforcement)에는 선(line) 형상의 철근바와 점(point) 형상의 철근바가 있다. 각각의 철근바를 삽입이 가능한 모재요소의 종류 에 따라 분류하면다음과 같다.
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- 선 : 입체요소, 판요소, 평면응력요소
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- 점 : 평면변형요소, 축대칭요소
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각 요소의 철근바에 대한 자세한 설명은 해당 장에 서술하였다.
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midas FEA 에서 철근바를 정의하기 위해서는 위치정보를 사용하여 임의의 선이나 점을 정의하고, 섹션을 생성한다. 입력해야 하는 물성치는 다음과 같다.
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- 재료물성치(material property)
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- 단면적
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- 텐던물성치(tendon property)
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텐던은 프리스트레스가 가해지는 철근을 의미한다.
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그림 2.2.1 에서는 바섹션의 종류를 보이고 있다. 바섹션은 2절점 저차 바섹션과 3절점 고차 바섹션으로 정의할 수 있다. 바섹션은 철근절점에 의해 정의된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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1
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2
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1
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3
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2
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</details>
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그림 2.2.1 바섹션과 철근절점
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<!-- source-page: 127 -->
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전처리 과정에서 바섹션은 철근이 삽입되는 모재요소에 맞게 자동적으로 철근바의 세그먼트로 분할된다. 분할된 철근바세그먼트는 삽입되는 요소 내에 존재하며, 위치절점을 사용하여 정의된다. 철근바세그먼트는 분할되기 전 바섹션이 사용하던 물성치를 동일하게 사용한다.
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모재 요소에 삽입 되는 철근바세그먼트 차수는 섹션의 차수와 동일하다. 바섹션이 2절점 저차 섹션일 경우 세그먼트도 2개의 위치절점을 사용한 저차 세그먼트로 분할 되며, 바섹션이 3절점 고차 섹션일 경우 세그먼트도 3개의 위치절점을사용한 고차 세그먼트로 분할된다. 분할된 철근바세그먼트의 형상은 후처리 과정에서 확인할 수 있다.
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전처리 과정에 의한 분할을 원하지 않고 요소에 직접 입력하고자 하는 경우 바섹션을 각각의 모재 요소에 삽입되는 형태로 사용자가 직접 입력하면 입력한 바섹션을 별도의 분할과정 없이 세그먼트로 사용한다.
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분할된 철근바세그먼트 강성은 모재요소의 강성에 더해지게 된다. 철근바세그먼트의 적분점은 기본적으로 선 형상에 대해서는 2점 적분을 사용하고 있으며,점 형상에 대해서는 1점 적분을 수행한다. 적분점의 위치는 해석과정에서 요소의등매개 좌표계(isoparametric coordinate)를 사용하여 자동적으로 계산된다. 그림 2.2.2 왼쪽 그림은 철근바의 세그먼트가 위치점을 사용하여 정의되는 것을보여주며 오른쪽 그림은 철근바의 세그먼트가 가지는 응력 성분을 보여준다. 철근바의 응력은 축방향 성분만 존재하며, 적분점에서 철근바의 변형률 xxε 와 응력 σ xx 는 적분점에서의 접선방향으로 구해진다. 적분점에서 구해진 변형률과 응력은 외삽법(extrapolation)으로 처리되어 후처리에서 위치절점에서의 결과로 출력된다.
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<!-- source-page: 128 -->
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location point
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△
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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integration point
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||||
segment
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segment
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</details>
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그림 2.2.2 철근바세그먼트
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# 2-1-2 격자철근
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철근격자 (grid reinforcement)에는 평면(plane) 형상의 격자와 선 형상의 격자가 있다. 평면형상의 격자는 다시 삼각형 형상과 사각형 형상의 두 종류로 나뉜다. 철근격자를 삽입 가능한 모재요소종류 별로 구분하여 보면 다음과 같다.
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- 평면 : 입체요소, 판요소, 평면응력요소
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- 선 : 평면변형요소, 축대칭요소
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모재 요소에 삽입된 철근격자에 대한 자세한 설명은 각 장에 서술하였다.
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midas FEA 에서는 철근격자의 형상을 위치정보로 정의한 후, 철근격자 섹션으로 분할한다. 격자섹션을 입력하는 과정에서 철근격자의 물성치를 격자섹션에적용하게 된다. 입력하여야 하는 철근격자의 물성치는 다음과 같다.
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- 재료물성치 (등방성(isotropic)/이방성(orthotropic))
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- 철근요소축(reinforcement axis)
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- 등가두께(equivalent thickness) (등방성/이방성)
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- 철근세부유형 (철근이나 텐던)
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철근격자섹션은 4가지 종류가 있다. 삼각형 격자섹션은 그림 2.2.3과 같이 3절
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점 혹은 6절점을 사용하여 정의되며, 사각형 격자섹션은 그림 2.2.4와 같이 4절점 혹은 8절점을 사용하여 정의된다.
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["1"] --> B["2"]
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B --> C["3"]
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C --> D["4"]
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D --> A
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```
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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1 --> 2
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2 --> 3
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3 --> 4
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4 --> 5
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5 --> 6
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6 --> 7
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7 --> 8
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8 --> 1
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```
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</details>
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그림 2.2.3 사각형 철근격자와 철근절점
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<summary>text_image</summary>
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2
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3
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<summary>text_image</summary>
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6
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2
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그림 2.2.4 삼각형 철근격자와 철근절점
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생성된 격자섹션은 전처리 과정에서 격자섹션이 삽입되는 모재요소를 찾고, 삽입되는 모재요소의 형상에 맞게 철근격자의 세그먼트로 분할한다. 격자섹션을세그먼트로 분할할 때 삼각형 세그먼트들로 분할한다.
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전처리 과정에 의한 분할을 원하지 않고 요소에 직접 입력하고자 하는 개별입력방식의 경우 격자섹션을 모재요소에 맞게 사용자가 직접 입력하여 별도의 분할
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과정을 거치지 않고 입력한 격자섹션을 격자세그먼트로 사용할 수 있다. 평면형상의 철근격자의 경우 전처리 과정에 의한 분할을 거치게 되면 세그먼트가 삼각형 형상을 가지게 되는데 비하여, 직접 입력하게 되면 철근격자를 사용자가원하는 형상으로 입력이 가능하다.
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<summary>text_image</summary>
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y
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x
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<summary>text_image</summary>
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y
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x
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</details>
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location point
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integration point
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그림 2.2.5 철근격자
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철근격자의 적분은 사각평면 형상에 대해서는 4점 적분을 사용하며 삼각평면 형상에 대해서는 3절점이 사용되는 저차 삼각형 격자에는 1점 적분을 사용하며 6절점이 사용되는 고차 삼각형 격자에는 3점 적분을 사용한다. 선형상에 대해서는 2점 적분을 한다. 그림 2.2.5 왼쪽 그림은 위치절점을 사용하여 철근격자가정의되는 것을 보여준다. 철근격자에 사용되는 적분점 위치는 해석과정에서 자동적으로 계산된다.
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철근격자는 격자의 요소좌표 xˆ 축을 사용자가 정의할 수 있다. 요소좌표축 xˆ , yˆ 는서로 직교하고, 적분점에서의 변형률 ε , ε 와 응력 σ , σ 는 각각 xˆ , yˆ 방향성분이다.
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@@ -0,0 +1,329 @@
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격자는 xˆ , yˆ 방향 요소축이 있고, 각 요소축 방향으로만 강성이 존재하므로 전단력에 대해서는 저항하지 못한다. 이 때 직교성 재료를 사용하고 있는 격자의 경우 각요소축 방향에 서로 다른 두께(thickness)를 사용할 수 있다. 그리고 하나의 요소축에 입력되는 두께를 등가두께라고 한다.
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# 2-3 유한요소 정식화
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철근의 공간상 위치는 철근을 구성하는 세그먼트들의 위치절점들로 정의된다. 철근세그먼트가 n개의 위치절점으로 구성되어 있고, 각각의 점은 $X_{re}^{i}, Y_{re}^{i}, Z_{re}^{i}$ 로 정의되어 있다고 하면, 철근세그먼트의 위치점을 식 (2.3.1) 과 같은 행렬로 정리할 수 있다. 여기서 위 첨자는 철근세그먼트의 위치점 번호를 나타낸다.
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$$
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\mathbf {X} _ {r e} = \left\{ \begin{array}{c c c c} X _ {r e} ^ {1} & X _ {r e} ^ {2} & \dots & X _ {r e} ^ {n} \\ Y _ {r e} ^ {1} & Y _ {r e} ^ {2} & \dots & Y _ {r e} ^ {n} \\ Z _ {r e} ^ {1} & Z _ {r e} ^ {2} & \dots & Z _ {r e} ^ {n} \end{array} \right\} \tag {2.3.1}
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$$
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철근세그먼트의 형상함수는 식 (2.3.2) 와 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {N} = \left\{N _ {1} \quad N _ {2} \quad \dots \quad N _ {n} \right\} \tag {2.3.2}
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$$
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여기서 형상함수의 구성성분 $N_{i}(i=1,2,\ldots,n)$ 는 철근의 형태에 따라 다르며, 각 형상함수는 다음과 같다.
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2절점 선 형상의 철근바세그먼트의 형상함수
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$$
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N _ {1} (\xi) = \frac {1}{2} (1 - \xi), N _ {2} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \tag {2.3.3}
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$$
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3절점 선 형상의 철근바세그먼트의 형상함수
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$$
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N _ {1} (\xi) = - \frac {1}{2} (1 - \xi) \xi , N _ {2} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \xi , N _ {3} (\xi) = \left(1 - \xi^ {2}\right) \tag {2.3.4}
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$$
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4절점 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
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$$
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N _ {1} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta)
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$$
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$$
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N _ {3} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {2.3.5}
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$$
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8절점 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
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$$
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\begin{array}{l} N _ {1} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8} \\ N _ {2} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6} \tag {2.3.6} \\ N _ {3} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7} \\ N _ {4} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8} \\ N _ {5} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta) \\ N _ {6} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}) \\ N _ {7} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta) \\ N _ {8} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \\ \end{array}
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$$
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3절점 삼각형 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
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N _ {1} (\xi , \eta) = 1 - \xi - \eta
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$$
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N _ {2} (\xi , \eta) = \xi
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$$
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$$
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N _ {3} (\xi , \eta) = \eta \tag {2.3.7}
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$$
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6절점 삼각형 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
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$$
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N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
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$$
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$$
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N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {2.3.8}
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$$
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철근세그먼트의 j 번째 수치 적분점에서
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\mathbf {N} (j) \mathbf {X} _ {r e} \tag {2.3.9}
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$$
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는 각각 철근세그먼트의 j 번째 적분점의 위치를 의미한다. 철근의 세그먼트는 모재요소의 내부에 삽입되어 있기 때문에 철근세그먼트의 적분점도 모재요소의 내부에 존재한다.
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midas FEA 에서 사용하는 각 요소들은 등매개 맵핑(isoparametric mapping) 기법을 사용하고 있다. 이 때 앞서 구한, 모재요소의 내부에 존재하는 철근의 적분점도 모재요소가 맵핑된 등매개 좌표 상에서의 위치를 계산할 수 있다.
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모재요소가 3차원 요소일 경우 모재요소의 등매개 좌표 상에서 철근세그먼트의 j 번째 수치 적분점은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {G} _ {j} (\xi , \eta , \varsigma) \tag {2.3.10}
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$$
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2차원 모재요소에 삽입되는 철근세그먼트의 j 번째 수치 적분점은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {G} _ {j} (\xi , \eta) \tag {2.3.11}
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$$
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철근세그먼트의 j 번째 적분점에서 철근세그먼트의 변형률과 모재요소 변위와의 관계를 나타낸 변형률-변위 행렬은 다음과 같다.
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$$
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\widehat {\mathbf {B}} _ {\text {Re in..}} ^ {j} = \mathbf {B} _ {\text {mother}} \left(\mathbf {G} _ {j}\right) \tag {2.3.12}
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$$
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이와 같이 구해진 철근세그먼트의 변형률-변위 행렬은 모재요소의 요소좌표계를 사용한다. 철근세그먼트의 강성은 철근의 요소좌표계에서의 변형률 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ 를 사용하여 나타내어 진다. 따라서 앞서 구한 $\hat{B}_{rein}$ 은 모재요소의 요소좌표계에서 철근세그먼트의 요소좌표계로 회전시켜주어야 한다.
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모재요소가 3차원 요소라면 다음과 같이 모재요소의 요소좌표계에서의 변형률을 철근세그먼트의 요소좌표계에서의 변형률로 변환 할 수 있다.
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$$
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\mathbf {T} \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \vdots \\ \varepsilon_ {z z} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {\widehat {x x}} \\ \varepsilon_ {\widehat {y y}} \end{array} \right\} \tag {2.3.13}
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$$
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여기서,
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T : 모재요소의 등매개좌표계와 철근세그먼트의 요소좌표계
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사이의 회전변환 행렬
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같은 변환이 B 행렬의 변환에도 사용될 수 있다.
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$$
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\mathbf {B} _ {\text { Re in. }} ^ {j} = \mathbf {T} \widehat {\mathbf {B}} _ {\text { Re in. }} ^ {j} \tag {2.3.14}
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$$
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철근세그먼트의 구성행렬(constitutive matrix)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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철근바 일 경우
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\mathbf {D} = \mathbf {E} _ {\tilde {x} \tilde {x}} A _ {e} \tag {2.3.15}
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$$
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여기서,
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$A_{e}$ : 철근바의 단면적
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등방성 재료를 사용하는 철근격자일 경우
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$$
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\mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} t _ {\hat {x} \hat {x}} & 0 \\ 0 & \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} t _ {\hat {x} \hat {x}} \end{array} \right] \tag {2.3.16}
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$$
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이방성 재료를 사용하는 철근격자일 경우
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$$
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\mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} t _ {\hat {x} \hat {x}} & 0 \\ 0 & \mathbf {E} _ {\hat {y} \hat {y}} t _ {\hat {y} \hat {y}} \end{array} \right] \tag {2.3.17}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} \quad : \hat {x} \text { 축 영 계수(Young's moduls) } \\ \mathbf {E} _ {\hat {y} \hat {y}} \quad : \hat {y} \text { 축영계수 } \\ t _ {\hat {x} \hat {x}} \quad : \hat {x} \text { 축 두께 } \\ t _ {\hat {y} \hat {y}} \quad : \hat {y} \text { 축 두께 } \\ \end{array}
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$$
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철근세그먼트의 요소좌표계에서의 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \end{array} \right\} = \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \end{array} \right\} \tag {2.3.18}
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$$
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철근세그먼트에 의한 강성행렬 식은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {\text { rein }} ^ {e} = \int_ {V} \mathbf {B} _ {\text { Rein }} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {\text { Rein }} d V \tag {2.3.19}
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$$
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||||
그리고 철근세그먼트에 의한 내력(internal force)식은 다음과 같이 구해진다.
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$$
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\int_ {V} \mathbf {B} _ {\text { Rein }} ^ {T} \boldsymbol {\sigma} d V = \mathbf {F} _ {\text { rein }} \tag {2.3.20}
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$$
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여기서,
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σ : 철근세그먼트의 응력
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식 (2.3.19)와 식 (2.3.20) 을 수치적분 식으로 다시 전개하면, 철근세그먼트의 강성행렬과 내력행렬의 수치적분 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\sum_ {j = 1} ^ {N i p} \mathbf {B} _ {R r e i n} ^ {j} {} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {R e i n} ^ {j} \det \mathbf {J} ^ {j} \tag {2.3.21}
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$$
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$$
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||||
\sum_ {j = 1} ^ {N i p} \mathbf {B} _ {R r e i n} ^ {j} {} ^ {T} \boldsymbol {\sigma} \det \mathbf {J} ^ {j} \tag {2.3.22}
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$$
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여기서,
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Nip : 철근세그먼트의 적분점 수
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# 2-4 평면변형요소에 삽입되는 철근
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2-4-1 철근바
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평면변형요소에 삽입되는 철근요소는 그림 2.4.1과 같이 점 형상을 가진다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Y
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t
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X
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Z
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X
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<summary>text_image</summary>
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σₓₓ
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element node
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location point
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그림 2.4.1 평면변형요소에 삽입되는 철근바
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평면변형요소에 삽입되는 철근바는 점 형상을 가지므로 철근바를 섹션으로 분할하는 별도의 분할이 필요하지 않다.
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그림 2.4.2의 왼쪽 그림은 고차 평면변형요소에 삽입된 철근바를 보이고 있으며오른쪽 그림은 여러 개의 철근바가 평면변형요소 1, 2, 3, 4 에 삽입이 된 모델을 보이고 있다.
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<summary>text_image</summary>
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1
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<summary>text_image</summary>
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2
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element node
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bar location
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그림 2.4.2 평면변형요소에 삽입되는 철근바와 위치절점
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평면변형요소에서의 철근바는 축방향 변형률 성분 $\varepsilon _ { x x }$ 와 응력성분 $\sigma _ { x x }$ 를 가지게 된다.
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# 2-4-2 철근격자
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평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 2점 혹은 3점으로 정의되는 선 형상을 가지고 있다. 평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 평면응력요소에 삽입되는 철근격자와 다르게 정의된다. 평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 평변변형요소의평면에 수직으로 삽입된다.
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<summary>text_image</summary>
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Y
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Y
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t
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x
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Z
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X
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location point
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integration point
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그림 2.4.3 평면변형요소에 삽입되는 철근격자
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평면변형요소와 삽입되는 철근격자가 정의된 선을 따라 수치적분을 수행하게 된다.평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 요소축방향을 따라 변형률 성분 $\varepsilon _ { x x }$ 와 $\varepsilon _ { y y }$ 및응력성분 $\sigma _ { x x }$ 와 $\sigma _ { y y }$ 를 가진다. 평면변형요소에 삽입되는 철근격자의 x축은 철근격자와 평면변형요소가 접하는 선의 접선방향으로 자동적으로 설정된다. 따라서 다른철근격자와는 달리 별도의 요소축을 입력할 필요는 없다. 평면변형요소에 삽입되는철근격자는 선의 접선 방향이 보강재의 x축으로 자동적으로 설정되며 각각의 축방향으로 서로 다른 영 계수나 두께를 정의할 수 있다.
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평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 선으로 정의한 후에 자동메쉬(auto-mesh)기능을 사용하여 철근섹션으로 분할한다. 그리고 철근섹션은 평면변형요소에 따라 철근세그먼트로 분할된다. 분할된 철근섹션은 철근절점을 사용하여 정의되며,선 형상을 가지고 있다. midas FEA 에서 입력 가능한 평면변형요소의 격자섹션은 그림 2.4.4 와 같다. 생선의 뼈와 같은 형태는 철근격자를 이루고 있는 선이평면변형요소의 두께방향으로 연장되어 삽입되어 있는 것을 나타낸다.
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그림 2.4.4 철근격자섹션과 철근절점
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그림 2.4.5는 철근격자가 섹션 1과 섹션 2로 구성된 철근격자섹션으로 분할되는방식을 보이고 있다. 섹션 1은 고차 섹션이고, 섹션 2는 저차 섹션이다. 각각의섹션이 이루는 선과 평면변형요소의 테두리가 교차하는 점이 계산되고 섹션은세그먼트로 분할된다. 각각의 세그먼트들은 하나의 모체요소에 완전히 삽입되어있으며 위치절점을 사용하여 정의된다. 고차 세그먼트의 섹션에서 분할된 세그먼트는 중간 위치절점을 사용하여 정의된다.
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</details>
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그림 2.4.5 평면변형요소에 삽입되는 철근격자섹션
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@@ -0,0 +1,336 @@
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철근이 삽입되는 섹션이 요소의 경계선을 가로지르지 않도록 세그먼트와 같이입력하면 별도의 분할 없이 그대로 세그먼트로 구성된다.
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철근세그먼트는 그림 2.4.6과 같다. 세그먼트의 차수는 섹션의 차수와 같으며 모재요소의 차수와는 관련이 없다. 고차 섹션을 사용하면 고차 세그먼트로 분할된다.
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Y
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그림 2.4.6 평면변형요소에 삽입되는 철근바와 위치절점
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그림 2.4.7은 섹션 1과 섹션 2로 구성된 섹션이 철근세그먼트로 분할되는 방식을 보이고 있다.
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| segment5 | 25 |
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| segment6 | 45 |
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</details>
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그림 2.4.7 평면변형요소에 삽입되는 철근바세그먼트
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# 2-5 축대칭요소에 삽입되는 철근
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# 2-5-1 철근바
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철근바는 모든 축대칭요소에 삽입이 가능하다. 그림 2.5.1은 축대칭요소에 삽입되는 철근바는 점 형상을 가지며, 점으로 정의 되는 것을 보여준다.
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Z
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X
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Y
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X
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σₓₓ
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그림 2.5.1 축대칭요소에 삽입되는 철근바
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축대칭요소에 삽입된 철근바는 요소의 회전축을 중심으로 한 회전방향으로 일정한 단면적을 가지며 섹션분할이 필요하지 않다.
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그림 2.5.2의 왼쪽에는 고차 축대칭요소에 삽입된 철근바를 보이고 있으며 오른쪽에는 여러 개의 철근바가 축대칭 요소 1, 2, 3, 4 에 삽입이 된 모델을 보이고있다.
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element node
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bar location
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그림 2.5.2 축대칭요소에 삽입되는 철근바와 위치절점
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축대칭요소에 삽입되는 철근바는 축방향으로 변형률 성분 xxε 와 응력성분 $\sigma _ { x x } \frac { \mathbf { \sigma } _ { \mathbf { \overline { { { a } } } } } } { \mathbf { \sigma } _ { \mathbf { { a } } } }$ 가지게 된다. 철근바의 변형과 응력은 둘러싸고 있는 모재요소의 변위와 연관관계를가진다.
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# 2-5-2 철근격자
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철근격자는 모든 축대칭요소에 삽입이 가능하며 2점 혹은 3점으로 정의될 수 있다. 축대칭요소에 철근격자가 정의되는 방식은 평면변형요소에 삽입된 철근격자와 유사하다. 축대칭요소는 전체 좌표계의 Z축을 중심으로 축대칭이다. 그림2.5.3은 축대칭요소에 삽입되는 철근격자를 보이고 있다. 철근격자는 축대칭요소와 같이 축을 중심으로 회전된다.
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Z
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y
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X
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Y
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X
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element node
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location point
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integration point
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그림 2.5.3 축대칭요소에 삽입되는 철근격자
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축대칭 요소와 삽입되는 철근격자가 정의된 선을 따라 수치적분을 수행하게 된다. 축대칭요소에 삽입되는 철근격자는 요소축방향을 따라 변형률 성분 $\varepsilon _ { x x }$ 와 $\varepsilon _ { y y }$ 및 응력성분 $\sigma _ { x x }$ 와 $\sigma _ { y y }$ 를 가진다. midas FEA에서 축대칭요소에 삽입되는 철근격자는 전체좌표계의 XZ 평면 상에서 입력이 되며 접선방향으로 자동으로 요소의 x-축 벡터가 설정된다. 따라서 사용자가 임의의 x-축 벡터를 입력할 필요가 없다.
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축대칭요소에 삽입되는 철근격자는 선을 정의한 후에 정의된 선을 자동메쉬 기능을 사용하여 철근섹션으로 분할한다. 분할된 철근섹션은 철근노드를 사용하여정의되며, 입력 가능한 축대칭요소의 철근격자섹션은 그림 2.5.4와 같다.
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<details>
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1
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2
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Z
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Y
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X
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그림 2.5.4 축대칭요소에 삽입되는 철근격자섹션
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그림 2.5.5에서 철근격자가 섹션 1과 섹션 2로 구성된 철근격자섹션으로 분할되는 방식을 보이고 있다. 철근격자가 2개의 섹션으로 분리되어 있다. 섹션 1은 고차 섹션이고, 섹션 2는 저차 섹션이다. 각각의 섹션이 축대칭요소의 경계선과 교차하는 점이 계산되며 섹션은 요소에 맞게 세그먼트로 분할된다. 세그먼트를 구성하는 위치절점은 교차점에서 정의되며 고차 세그먼트의 경우 중간 위치절점을추가로 사용하여 정의된다.
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<details>
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| x | y |
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|----|----|
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</details>
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그림 2.5.5 축대칭 요소에 삽입되는 철근격자섹션
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개별입력을 하여 철근섹션이 요소에 포함되도록 정의되면 별도의 분할 없이 요소에 삽입되는 철근세그먼트로 사용된다. 이 때 입력된 철근섹션은 요소의 경계를 가로지르지 않아야 한다. 분할에 사용되는 철근세그먼트의 종류는 그림 2.5.6과 같다.
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<details>
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1
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Z
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Y
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X
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</details>
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그림 2.5.6 축대칭요소에 삽입되는 철근격자세그먼트와 위치절점
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그림 2.5.7은 섹션 1과 섹션 2로 구성된 철근격자섹션이 위치절점으로 정의되는
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세그먼트 1\~6으로 분할되어 재구성되어 있는 것을 보이고 있다.
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|---------|-------|
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| segment 4 | 36 |
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| segment 5 | 41 |
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| segment 6 | 45 |
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</details>
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그림 2.5.7 축대칭 요소에 삽입되는 철근격자세그먼트와 위치절점
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# 2-6 평면응력요소에 삽입되는 철근
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# 2-6-1 철근바
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평면응력요소에 삽입되는 철근섹션은 2점 혹은 3점으로 정의되는 바섹션으로 구성된다. 그림 2.6.1은 한 개의 철근이 두 개의 섹션 1, 섹션 2로 구성되고, 다시모재요소에 따라 철근세그먼트로 분할되는 예를 보여준다. 철근세그먼트는 모재요소의 경계를 가로지를 수 없다. 섹션 1은 3점 고차 섹션이고, 섹션 2는 2점 저차 섹션 이다. 고차 섹션이 세그먼트로 분리되면 3점의 고차 세그먼트들로 분할된다. 같은 방식으로 저차 섹션이 세그먼트로 분리되면 2점의 저차 세그먼트들로 분할된다. 그리고 각각의 세그먼트들은 위치절점으로 정의되고 있다.
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<details>
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| x | y |
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|----|----|
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| 25 | 25 |
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| 26 | 26 |
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| 27 | 27 |
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</details>
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reinforcement node
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location point
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그림 2.6.1 평면응력요소에 삽입되는 철근바섹션
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그림 2.6.2는 그림 2.6.1과 같은 일련의 과정을 거쳐 최종적으로 분할된 철근세그먼트들과 모재 요소들을 보여준다. 위치절점 28, 36, 22로 정의된 세그먼트 2는 요소번호 2인 평면응력요소를 지나가고 있다. 세그먼트 2가 포함되어 있던섹션이 고차이기 때문에 세그먼트도 고차 세그먼트로 분할되어 있다. 위치절점30, 27로 정의되는 세그먼트 5는 저차 섹션으로부터 분할되었기 때문에 저차 세그먼트의 형태를 가지고 있다.
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<details>
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|---------|-------|
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| segment5 | 41 |
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| segment6 | 45 |
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</details>
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그림 2.6.2 평면응력요소에 삽입되는 철근바 세그먼트
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그림 2.6.3은 8절점 사각형 평면응력요소에 삽입되어 있는 철근세그먼트를 보이고 있다. 각각의 바 세그먼트는 2개의 적분점을 가진다.
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```mermaid
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graph TD
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```
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</details>
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||||
element node
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location point
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integration point
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그림 2.6.3 평면응력요소에 삽입되는 철근바세그먼트와 위치절점
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평면응력요소에 사용되는 철근바를 정의하기 위한 재료 물성은 단면적과 영 계수로 구성된다.
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# 2.6.2 철근격자
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철근격자는 midas FEA 의 모든 평면응력요소에 삽입이 가능하며, 3점, 4점, 6점, 혹은 8점으로 정의될 수 있다. 평면응력요소에 삽입되는 철근격자를 생성하는 방법은 철근바의 경우와 동일하다. 평면응력요소에 삽입되는 철근격자는 요
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<!-- source-page: 149 -->
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소의 표면을 완전히 덮어야 한다. 철근격자섹션이 완전히 덮고 있는 평면응력요소에만 철근격자가 삽입되게 된다.
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<details>
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24
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</details>
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그림 2.6.4 평면응력요소에 삽입되는 철근격자섹션
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그림 2.6.4에서와 같이 24, 25, 26, 27번 철근노드로 구성된 철근격자섹션이 격자모양으로 구성된 평면응력요소 메쉬 위에 정의되어 있다. X 표시를 한 평면응력요소에만 철근격자가 삽입된다.
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# 2-7 입체요소에 삽입되는 철근
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# 2-7-1 철근바
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철근바는 모든 고체요소에 삽입이 가능하며, 2점 혹은 3점으로 정의될 수 있다.철근바는 철근섹션과 철근세그먼트로 구성된다. 사용자가 철근섹션을 정의하면,전처리 과정에 의해 철근섹션과 모재요소 경계선의 교차점이 계산된다. 각각의철근섹션은 모재요소 내부에 포함되는 철근세그먼트로 분할된다. midas FEA 에서는 3차원 곡선을 정의하여 철근을 모델링 할 수 있다. 정의된 곡선을 자동메쉬 기능을 사용하여 철근섹션으로 분할한다. 철근 섹션은 2개나 3개의 철근 절점으로 정의된다. 철근세그먼트는 위치절점으로 정의된다. 철근의 위치절점의 좌표는 모재요소에 추가되는 철근의 강성과 내력의 계산에 사용된다.
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그림 2.7.1의 철근섹션은 2개의 섹션으로 구성되어 있다. 섹션 1은 철근절점 26,27, 28로 구성되어 있고 섹션 2는 철근절점 28, 29를 사용하여 구성되어 있다.첫 번째 섹션은 고차 섹션이며 두 번째 섹션은 저차 섹션이다. 사용자는 자동메쉬 기능을 사용하여 섹션을 정의할 수 있다.
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@@ -0,0 +1,471 @@
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| Point | Value |
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|-------|-------|
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</details>
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그림 2.7.1 입체요소에 삽입되는 철근바섹션
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그림 2.7.2는 그림 2.7.1과 동일한 입체요소의 메쉬와 철근바로 구성되어 있다.여기서 철근은 세그먼트로 분할되어 있다. 입체요소 2, 4번을 가로지르고 있는섹션 1은 두 세그먼트로 나누어져 있으며 4, 8, 12번을 가로지르는 섹션 2는 3조각의 세그먼트로 분할되어 있다. 고차 섹션인 섹션 1에 속해있는 세그먼트들은3개의 위치절점으로 정의되어 있으며 저차 섹션인 섹션 2에 속해있는 세그먼트들은 2개의 위치절점으로 정의되어 있다.
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<!-- source-page: 152 -->
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | X | Y |
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|-------|----|----|
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| 1 | 21 | 21 |
|
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| 2 | 28 | 28 |
|
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| 3 | 35 | 35 |
|
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| 4 | 45 | 45 |
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</details>
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그림 2.7.2 입체요소에 삽입되는 철근바의 위치절점
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그림 2.7.3은 20절점 고체요소에 삽입된 철근바세그먼트를 보이고 있다. 바세그먼트는 위치절점의 개수와 상관없이 2개의 적분점을 가지고 있다. 적분점에서의 요소좌표계 x축 방향의 응력과 변형률 ε 는 철근바의 접선방향과 같다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["•"] --> B["•"]
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B --> C["•"]
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C --> D["•"]
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D --> E["•"]
|
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E --> F["•"]
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F --> G["•"]
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G --> H["•"]
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H --> I["•"]
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I --> J["•"]
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J --> K["•"]
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K --> L["•"]
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L --> M["•"]
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M --> N["•"]
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N --> O["•"]
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P --> Q["•"]
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Q --> R["•"]
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R --> S["•"]
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T --> U["•"]
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U --> V["•"]
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V --> W["•"]
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X --> Y["•"]
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Y --> Z["•"]
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Z --> A["•"]
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
```
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</details>
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||||
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||||
element node
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||||
location point
|
||||
integration point
|
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||||
그림 2.7.3 입체요소에 삽입되는 철근바세그먼트와 위치절점
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<!-- source-page: 153 -->
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# 2-7-2 철근격자
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철근격자는 midas FEA의 모든 고체요소에 삽입이 가능하며, 3점 혹은 6점 삼각형 철근격자와 4점 혹은 8점 사각형 철근격자를 입력할 수 있다. 철근격자를 정의하는 과정은 철근바와 유사하다. 평면을 정의하고, 자동메쉬기능을 사용하여철근섹션으로 분할 한 후 전처리 과정에서 철근격자세그먼트로 분할한다. 이 때철근격자세그먼트는 모재요소 내부에 포함된다.
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<details>
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<summary>surface_3d</summary>
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| Point | X | Y |
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|-------|----|----|
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||||
| 1 | 30 | 30 |
|
||||
| 2 | 31 | 31 |
|
||||
| 3 | 32 | 32 |
|
||||
| 4 | 33 | 33 |
|
||||
| 5 | 34 | 34 |
|
||||
| 6 | 35 | 35 |
|
||||
| 7 | 36 | 36 |
|
||||
| 8 | 37 | 37 |
|
||||
| 9 | 38 | 38 |
|
||||
| 10 | 39 | 39 |
|
||||
| 11 | 40 | 40 |
|
||||
| 12 | 41 | 41 |
|
||||
| 13 | 42 | 42 |
|
||||
| 14 | 43 | 43 |
|
||||
| 15 | 44 | 44 |
|
||||
| 16 | 45 | 45 |
|
||||
| 17 | 46 | 46 |
|
||||
| 18 | 47 | 47 |
|
||||
| 19 | 48 | 48 |
|
||||
| 20 | 49 | 49 |
|
||||
| 21 | 50 | 50 |
|
||||
| 22 | 51 | 51 |
|
||||
| 23 | 52 | 52 |
|
||||
| 24 | 53 | 53 |
|
||||
| 25 | 54 | 54 |
|
||||
| 26 | 55 | 55 |
|
||||
| 27 | 56 | 56 |
|
||||
| 28 | 57 | 57 |
|
||||
| 29 | 58 | 58 |
|
||||
| 30 | 59 | 59 |
|
||||
| 31 | 60 | 60 |
|
||||
| 32 | 61 | 61 |
|
||||
| 33 | 62 | 62 |
|
||||
| 34 | 63 | 63 |
|
||||
| 35 | 64 | 64 |
|
||||
| 36 | 65 | 65 |
|
||||
| 37 | 66 | 66 |
|
||||
| 38 | 67 | 67 |
|
||||
| 39 | 68 | 68 |
|
||||
| 40 | 69 | 69 |
|
||||
| 41 | 70 | 70 |
|
||||
| 42 | 71 | 71 |
|
||||
| 43 | 72 | 72 |
|
||||
| 44 | 73 | 73 |
|
||||
| 45 | 74 | 74 |
|
||||
| 46 | 75 | 75 |
|
||||
| 47 | 76 | 76 |
|
||||
| 48 | 77 | 77 |
|
||||
| 49 | 78 | 78 |
|
||||
| 50 | 79 | 79 |
|
||||
| 51 | 80 | 80 |
|
||||
| 52 | 81 | 81 |
|
||||
| 53 | 82 | 82 |
|
||||
| 54 | 83 | 83 |
|
||||
| 55 | 84 | 84 |
|
||||
| 56 | 85 | 85 |
|
||||
| 57 | 86 | 86 |
|
||||
| 58 | 87 | 87 |
|
||||
| 59 | 88 | 88 |
|
||||
| 60 | 89 | 89 |
|
||||
| 61 | 90 | 90 |
|
||||
| 62 | 91 | 91 |
|
||||
| 63 | 92 | 92 |
|
||||
| 64 | 93 | 93 |
|
||||
| 65 | 94 | 94 |
|
||||
| 66 | 95 | 95 |
|
||||
| 67 | 96 | 96 |
|
||||
| 68 | 97 | 97 |
|
||||
| 69 | 98 | 98 |
|
||||
| 70 | 99 | 99 |
|
||||
| 71 | 100| 100 |
|
||||
The chart displays a 3D surface plot with 3D coordinates (X, Y) and the label 'reinforce node' and 'location point' at the top and bottom of the plot. The points are labeled with numbers 30 through 37.
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</details>
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||||
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<!-- source-page: 154 -->
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||||
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||||
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>natural_image</summary>
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||||
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||||
Isometric wireframe diagram of a 3D geometric structure with interconnected nodes and lines (no text or symbols)
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||||
</details>
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||||
그림 2.7.4 입체요소에 삽입되는 철근격자섹션
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그림 2.7.4는 철근절점 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37을 사용하여 정의된 사각형 철근섹션과 입체요소를 보이고 있다. 전처리 과정을 통해서 그림 2.7.4와 같이 삼각형 격자세그먼트들로 분할된다.
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||||
사용자가 전처리에 의한 분할과정을 거치지 않고 원하는 철근세그먼트를 직접입력하는 것도 가능하다. 요소에 직접 입력하기 위해서는 사용자가 입력하고자하는 요소에 완전히 포함되도록 철근격자섹션을 정의하면, 전처리에서 분할과정없이 사용자가 입력한 철근섹션을 세그먼트로 사용하게 된다.
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||||
<!-- source-page: 155 -->
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||||
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<details>
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||||
<summary>flowchart</summary>
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||||
|
||||
```mermaid
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||||
graph TD
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||||
1 --> 8
|
||||
8 --> 4
|
||||
4 --> 7
|
||||
7 --> 3
|
||||
3 --> 6
|
||||
6 --> 2
|
||||
2 --> 5
|
||||
5 --> 8
|
||||
8 -.-> 5
|
||||
5 -.-> 6
|
||||
6 -.-> 7
|
||||
7 -.-> 8
|
||||
8 -.-> 9
|
||||
9 -.-> 1
|
||||
```
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||||
</details>
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||||
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||||
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||||
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||||
<details>
|
||||
<summary>natural_image</summary>
|
||||
|
||||
3D geometric diagram of a cube with numbered vertices (1, 2, 3, 4) and solid/dashed lines indicating hidden edges (no text or symbols)
|
||||
</details>
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||||
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||||
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||||
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||||
<details>
|
||||
<summary>text_image</summary>
|
||||
|
||||
1
|
||||
2
|
||||
3
|
||||
4
|
||||
</details>
|
||||
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||||
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||||
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||||
<details>
|
||||
<summary>flowchart</summary>
|
||||
|
||||
```mermaid
|
||||
graph TD
|
||||
1 --> 2
|
||||
1 --> 3
|
||||
1 --> 4
|
||||
1 --> 5
|
||||
1 --> 6
|
||||
2 --> 3
|
||||
2 --> 4
|
||||
2 --> 5
|
||||
2 --> 6
|
||||
3 --> 4
|
||||
3 --> 5
|
||||
3 --> 6
|
||||
4 --> 5
|
||||
4 --> 6
|
||||
5 --> 6
|
||||
6 --> 1
|
||||
6 --> 2
|
||||
6 --> 3
|
||||
6 --> 4
|
||||
6 --> 5
|
||||
```
|
||||
</details>
|
||||
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||||
|
||||
|
||||
<details>
|
||||
<summary>natural_image</summary>
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||||
|
||||
Geometric diagram of a polyhedron with labeled vertices (no text or symbols)
|
||||
</details>
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||||
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||||
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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||||
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||||
1
|
||||
2
|
||||
3
|
||||
</details>
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||||
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||||
그림 2.7.5 입체요소에 삽입되는 철근격자세그먼트의 종류
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그림 2.7.5는 요소에 직접 입력하는 방식을 사용하여 모재요소에 삽입될 수 있는 모든 철근세그먼트들과 입체요소의 조합을 보이고 있다. 전처리를 사용하여세그먼트를 생성하게 되면 세그먼트는 삼각형만으로 분할되지만, 직접 입력하게되면 사용자가 원하는 모양의 세그먼트를 입력할 수 있다.
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||||
그림 2.7.6은 고체요소에 삽입된 철근격자세그먼트를 보여준다. 그림에서 x와 y는 철근격자세그먼트의 요소좌표축 방향이다.
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<!-- source-page: 156 -->
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||||
Part 1 Element Library
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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||||
Diagram showing a 3D surface with coordinate axes x and y, and marked points and triangles, likely illustrating a mathematical or geometric concept.
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</details>
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element node
|
||||
location point
|
||||
integration point
|
||||
|
||||
그림 2.7.6 입체요소에 삽입되는 철근격자세그먼트와 위치절점
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<!-- source-page: 157 -->
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# 2-8 판요소에 삽입되는 철근
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# 2-8-1 철근바
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곡면판요소나 평면판요소에 삽입되는 철근바섹션은 2점 혹은 3점으로 정의될 수있다. 철근바섹션의 위치는 철근절점으로 정의된다. 전처리과정에서 철근섹션은철근세그먼트로 분할된다. 이 때 철근세그먼트는 하나의 판요소에 포함된다. 철근세그먼트의 위치는 위치절점으로 정의된다.
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||||
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||||
<details>
|
||||
<summary>text_image</summary>
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||||
Diagram showing a curved surface with labeled points and a vector ξ, featuring geometric shapes and connecting lines.
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||||
</details>
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||||
그림 2.8.1 판요소에 삽입되는 철근바
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||||
element node
|
||||
location point
|
||||
integration point
|
||||
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||||
그림 2.8.1은 곡면판요소에 삽입된 철근바를 나타내고 있다. 철근바세그먼트는 3개의위치절점을 이용하여 정의되어 있으며 2개의 적분점을 가진다. 적분점은 위치절점을이용하여 자동적으로 계산된다.
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||||
<!-- source-page: 158 -->
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||||
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||||
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||||
<details>
|
||||
<summary>radar</summary>
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||||
|
||||
| Point | Value |
|
||||
|-------|-------|
|
||||
| 1 | 24 |
|
||||
| 2 | 25 |
|
||||
| 3 | 26 |
|
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| 4 | 27 |
|
||||
| 5 | 28 |
|
||||
</details>
|
||||
|
||||
element node
|
||||
location point
|
||||
reinforcement node
|
||||
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그림 2.8.2 곡면판에 삽입되는 철근바섹션
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철근바섹션은 사용자가 3차원 공간에서 선을 정의하여 입력할 수 있다. 그림2.8.2에서 2개의 철근바섹션을 보이고 있다. 첫 번째 섹션은 24, 25번 철근절점으로 이루어진 직선 섹션이고 두 번째 섹션은 26, 27, 28번 철근절점으로 이루어진 곡선 고차 섹션이다. 각각의 섹션은 판요소 메쉬를 통과해 지나가므로 판요소의 경계선과 섹션의 교차점을 계산하여 위치절점을 생성한다. 각각의 세그먼트는 판요소 내부에 삽입되도록 섹션에서 분할된다. 곡선 세그먼트들은 섹션에서 분리되면서 중간 위치절점을 생성하여 섹션이 가지고 있는 곡선 형상을 각각의 세그먼트도 유지한다.
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||||
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>flowchart</summary>
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||||
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||||
```mermaid
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graph TD
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||||
z1["1"] --> z2["2"]
|
||||
z1 --> z1
|
||||
z2 --> z1
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||||
style z1 fill:#f9f,stroke:#333
|
||||
style z2 fill:#f9f,stroke:#333
|
||||
```
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||||
</details>
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||||
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||||
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>flowchart</summary>
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||||
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||||
```mermaid
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||||
graph TD
|
||||
A["1"] -->|z1| B["2"]
|
||||
B -->|z2| C["3"]
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C -->|z3| A
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```
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</details>
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||||
그림 2.8.3 곡면판요소에 삽입되는 철근바세그먼트의 편심벡터
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<!-- source-page: 159 -->
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판요소에 삽입되는 철근세그먼트를 정의하는 각각의 위치절점은 판요소의 중립면에위치하며 요소좌표계의 z축방향으로 편심벡터를 가진다. 그림 2.8.3은 위치 절점의편심벡터들을 보이고 있다. 편심벡터는 판요소의 중립면에 위치하는 철근의 위치절점에서 철근이 판요소 내부의 실제 위치로의 벡터이다. 편심벡터는 전처리에서 섹션을세그먼트로 분리하는 과정에서 자동적으로 계산된다.
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# 2.8.2 철근격자
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곡면판요소나 평면판요소에 삽입되는 철근격자는 3점 혹은 6점 삼각형 철근격자나 4점 혹은 8점 사각형 철근격자로 입력할 수 있다.
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
|
||||
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||||
element node
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||||
location point
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Z
|
||||
Y
|
||||
X
|
||||
MCS
|
||||
y
|
||||
x
|
||||
z
|
||||
t
|
||||
z
|
||||
O
|
||||
</details>
|
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||||
그림 2.8.4 곡면판요소에 삽입되는 철근격자세그먼트와 위치절점에서의 편심
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||||
그림 2.8.4는 철근격자의 세그먼트를 나타내고 있다. 재료 모델은 등방성 선형탄성모델과 이방성 선형탄성모델 두 재료모델을 사용할 수 있다. 그림 2.8.4에서와 같이 철근격자는 요소축을 정의하여 철근격자의 방향성을 나타낼 수 있다. 이 때 x와 y는항상 직교한다. 이방성 선형탄성 모델을 적용할 경우 철근격자의 x와 y 방향에 대하여 서로 다른 격자 두께와 탄성계수를 적용할 수 있다.
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||||
<!-- source-page: 160 -->
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
|
||||
|
||||
24
|
||||
25
|
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26
|
||||
27
|
||||
</details>
|
||||
|
||||
reinforcement node
|
||||
|
||||
그림 2.8.5 GRID section in curved plate elements
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||||
그림2.8.5에서는 철근절점 24, 25, 26, 27으로 정의된 격자섹션을 보이고 있다. 격자섹션은 3점 혹은 6점 삼각형, 4점 혹은 8점 사각형으로 정의가 가능하다. 그림2.8.5에서와 같이 격자섹션 중 요소 전체를 완전히 덮고 있는 부분만이 철근격자세그먼트로 사용되고 있다. 음영처리가 된 부분이 철근격자가 삽입된 판요소이다.
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||||
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||||
|
||||
<details>
|
||||
<summary>radar</summary>
|
||||
|
||||
| Point | Value |
|
||||
|-------|-------|
|
||||
| 1 | 0.2 |
|
||||
| 2 | 0.2 |
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| 3 | 0.2 |
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| 4 | 0.2 |
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| 5 | 0.2 |
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| 6 | 0.2 |
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</details>
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그림 2.8.6 Eccentricities for GRID in curved plate element
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철근격자세그먼트는 판요소의 중립면에 위치한 위치절점으로 정의된다. 각각의위치절점은 요소좌표계의 z방향으로 편심거리가 계산된다. 편심거리는 앞서 철
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@@ -0,0 +1,285 @@
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<!-- source-page: 161 -->
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근바의 편심거리와 같은 의미를 가진다. 그림 2.8.6에서 2, 3번 판요소에 삽입된철근격자세그먼트의 위치절점은 같은 편심거리를 가진다. 1번 판요소에 삽입된철근격자세그먼트의 위치절점들은 각각 0.2에서 0.6사이의 편심거리를 가지고있다.
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<!-- source-page: 162 -->
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# 2-9 철근의 프리스트레스
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# 2-9-1 개요
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철근바의 세부타입으로 철근과 텐던(tendon)이 있다. 철근은 구조물에 사용되는철근을 표현하기 위한 것이고, 텐던은 프리스트레스(prestress)가 가해진 텐던을표현하기 위한 것이다. 적용할 수 있는 프리스트레스의 형태는 두 가지이다. 하나는 일정한 긴프리스트레스가 텐던 전체에 가해지는 균일 프리스트레스(uniform prestress)형태이고, 다른 하나는 곡률(curvature)에 의한 마찰(friction)과 파상(wobble)에 의한 마찰손실과 정착장치(anchorage device)의 이동(penetration)에 의한 손실(prestress loss)을 고려할 수 있는 포스트텐션(posttension) 형태이다.
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# 2-9-2 철근의 균일 프리스트레스
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균일 프리스트레스는 일정한 프리스트레스를 텐던타입의 철근에 작용시키는 것이다. 이때 철근격자는 2개의 축방향으로 각각 다른 프리스트레스를 적용할 수있고, 철근바는 한 개의 축방향으로 일정 크기의 프리스트레스를 적용할 수 있다.
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# 2-9-3 철근의 포스트텐션 프리스트레스
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# (1) 프리스트레스의 손실
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일반적으로 텐던의 프리스트레스는 텐던의 양단에 가해지는 초기 긴장력(jacking force)에 의해 발생된다. 그러나 텐던에 가해지는 긴장력에 의한 프리스트레스는 프리스트레스의 손실로 인해서 감소하게 된다. 이러한 프리스트레스의 손실은 몇 가지 요인에 의해 발생된다.
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<!-- source-page: 163 -->
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곡선형태로 배치된 텐던은 텐던의 곡률에 의한 영향으로 프리스트레스는 손실되게 되며, 이러한 프리스트레스의 손실을 곡률에 의한 마찰 손실이라 한다. 그리고 곡률에 의한 손실 외에도 파상효과에 의한 손실이 있다. 또한 텐던의 긴장이완료되고 마찰에 의한 손실이 발생한 후에도 정착장치의 이동에 의해서 손실이발생할 수 있다.
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midas FEA 에서는 이러한 손실의 예측은 콘크리트와 텐던의 모델링을 통해서구할 수 있다.
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(2) 마찰손실
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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1/k
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P
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p
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P
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</details>
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그림 2.9.1 텐던의 곡률에 의한 압력
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프리스트레스의 손실은 텐던과 이를 둘러 싼 재료와의 마찰에 의해서 발생하게된다. 이 마찰은 텐던의 곡률에 의해서 생기는 곡률마찰(curvature friction)과텐던의 길이에 의해서 생기는 파상마찰(wobble friction)로 구성된다. midasFEA에서는 두 가지 CEB-FIP 과 Korean Standard(KS) 두 가지의 설계기준을사용할 수 있다.
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곡면에 의한 마찰은 다음과 같이 구할 수 있다. 곡선 형태를 가지는 텐던의 형상을텐던의 축방향 좌표축 r 에 대해서 x(r) 로 나타낼 수 있다. 이때 외력 P 가 텐던의양단에 가해질 때 다음과 같은 압력 p 가 곡률에 의해서 생기게 된다.
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<!-- source-page: 164 -->
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$$
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p = \kappa P \tag {2.9.1}
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$$
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곡률 κ 는 다음과 같이 산정된다.
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$$
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\kappa = \left| \frac {\partial^ {2} x}{\partial r ^ {2}} \right| \tag {2.9.2}
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$$
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압력 p 에 의한 단위 길이당 프리스트레스의 감소는 마찰계수 µ (/radian)을 사용하여 구할 수 있다.
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$$
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||||
\frac {\partial P}{\partial r} = \mu p \tag {2.9.3}
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$$
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부분적인 불규칙성에 의해서 마찰이 생기는 현상을 나타내기 위해 파상효과(wobble effect)를 고려하여 해석을 수행한다. 파상효과를 고려하기 위해 CEB-FIP와 KS는 서로 다른 식을 사용한다.
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# < CEB-FIP >
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가상의 곡률 φ1 을 도입하고, 이 보조변수를 파상계수(wobble parameter)라고 한다.
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$$
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\frac {\partial P}{\partial r} = - \mu \phi_ {1} P \tag {2.9.4}
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$$
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||||
특정위치에서의 프리스트레스의 손실은 프리스트레스가 가해지는 정착구로부터시작하여 축방향으로 적분을 하여 얻어 진다.
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$$
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||||
\Delta P = \int \frac {\partial P}{\partial r} d r \tag {2.9.5}
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$$
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텐던이 일정한 곡률 κ 를 가지고 있고 정착구 에서 가해지는 힘을 P0 라고 하면,∆r 길이 만큼 시작점에서 떨어진 위치에서의 프리스트레스는 다음과 같이 얻어진다.
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$$
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||||
P (\Delta r) = P _ {0} e ^ {- \mu (\kappa + \phi_ {1}) \Delta r} \tag {2.9.6}
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$$
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||||
그리고 곡률과 파상에 의한 손실이 고려된 식 (2.9.6)을 다음과 같이 쓸 수 있다.
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$$
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||||
P (\Delta r) = P _ {0} e ^ {- \mu \Delta \phi} \tag {2.9.7}
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$$
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<!-- source-page: 165 -->
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||||
여기서 ∆φ 는 시작 점에서의 축방향 벡터와 ∆r 떨어진 위치에서의 접선 벡터의 회전각을 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Δr
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∂x/∂r(r)
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∂x/∂r(r + Δr)
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</details>
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그림 2.9.2 텐던의 회전각 변화
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식 (2.9.7)에서 사용된 ∆φ 는 다음과 같다.
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$$
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\Delta \phi = \Delta r \left(\phi_ {1} + \kappa\right) = \Delta r \phi_ {1} + \left| \Delta \frac {\partial x}{\partial r} \right| \tag {2.9.8}
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$$
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# < Korean Standard >
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파상마찰계수(wobble friction coefficient) K 를 도입하여 파상효과에 의한 단위길이당 파상에 의한 손실을 나타내면 다음과 같다.
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$$
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||||
\frac {\partial P}{\partial r} = - K P \tag {2.9.9}
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$$
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CEB-FIP와 같이 일정한 곡률 κ 를 가지고 있는 텐던에서 정착구에 가해지는 힘을P0 라고 하면, 시작점에서 ∆r 길이 만큼 떨어진 위치에서의 곡률과 파상에 의한 손실이 고려된 프리스트레스는 다음과 같다.
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$$
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P (\Delta r) = P _ {0} e ^ {- (\mu \kappa + K) \Delta r} \tag {2.9.10}
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$$
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||||
여기서 ∆φ는 시작 점에서의 축방향 벡터와 ∆r 떨어진 위치에서의 접선 벡터의 회전각을 의미하며 ∆φ는 다음과 같다.
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$$
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||||
\Delta \phi = \Delta r \kappa = \left| \Delta \frac {\partial x}{\partial r} \right| \tag {2.9.11}
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$$
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midas FEA 에서는 정착구 위치에서의 힘 P0 와 텐던의 물성치를 이용하여 각 기준에따른 손실을 고려한 프리스트레스를 각 철근세그먼트의 적분점에서 찾는다.
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<!-- source-page: 166 -->
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# (3) 정착장치의 이동
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텐던은 단부 정착구 에서의 쐐기에 의해서 정착이 된다. 그러므로 프리스트레스에 의해서 쐐기는 정착한 위치에서 안쪽으로 이동이 발생하게 된다. 이렇게 이동하여 들어간 길이를 ∆l 이라고 할 때, 정착구가 밀려들어가면서 텐던의 프리스트레스에 영향을주게 된다. 쐐기의 이동에 의해 텐던의 프리스트레스가 영향을 받는 길이를 ∆x 라고한다면, 다음과 같은 힘 평형식을 유도할 수 있다.
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$$
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\int_ {\Delta x} \Delta P (r) d r = \Delta l E A \tag {2.9.12}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P
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before penetration
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ΔP
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ΔI ×EA
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after penetration
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Δx
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anchor
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tendon
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x
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</details>
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그림 2.9.3 정착되어 있는 텐던에서의 프리스트레스 손실
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그리고 정착구로부터 시작하여 식 (2.9.13)를 만족하는 텐던의 프리스트레스를찾게 된다.
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$$
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\int_ {L} \Delta P (x) d r \geq \Delta l E A \tag {2.9.13}
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$$
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식 (2.9.13)의 적분은 사다리꼴 공식(trapezoidal rule)을 사용해 수행하며, 식
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(2.9.13)의 조건을 만족하는 적분점을 우선 찾아내게 된다. 만약 식 (2.9.13)의조건을 만족시키는 점이 텐던 내에 존재하지 않으면, 텐던의 손실을 구하는 과정은 정상적으로 수행되지 않는다.
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텐던의 양쪽 끝에서 동시에 긴장하게 되는 경우는 두 단계에 걸쳐서 텐던의 응력을 구하게 된다. 이 때의 프리스트레스 손실에 의한 영향은 양단에 대해서 각각 계산된다. 그림 2.9.4는 양단에서 정착구의 이동에 의한 프리스트레스 손실을보이고 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| penetration level | tendon | tensioning | penetration at 1 | penetration at 2 | penetration at 3 |
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| ----------------- | ------ | --------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- |
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| limited penetration | 2 | P | P | P | P |
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| limited penetration | 1 | P | P | P | P |
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| large penetration | 2 | P | P | P | P |
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| large penetration | 1 | P | P | P | P |
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| excessive penetration | 2 | P | P | P | P |
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</details>
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그림 2.9.4 정착장치의 이동에 따른 프리스트레스의 손실
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그림 2.9.4 1번 위치의 정착구로부터 시작한 프리스트레스와 2번 위치의 정착구로부터 시작한 프리스트레스를 각각 구한다. 이 때 구해진 프리스트레스는 정착구의 이동에 의한 손실을 반영하지 않은 프리스트레스다.
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양단의 정착구의 이동에 의한 손실을 각각 계산한 다음, 양단의 프리스트레스분포를 조합하여 최종적인 프리스트레스 분포를 구하게 된다.
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<!-- source-page: 168 -->
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Part 1 Element Library
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# Chapter 3. Interface Elements
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# 3-1 개요
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계면요소(interface element)는 동질재료에서의 균열면 또는 이질재료간의 경계면 활동을 해석하기 위한 요소이다. 계면요소는 콘크리트 균열을 묘사하는 이산균열(discrete-cracking), 철근과 콘크리트 사이의 부착슬립(bond-slip), 철근과콘크리트의 접합면이나 조적조의 접합면 등과 같은 구조물의 접합부를 해석하는데 주로 사용된다.
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계면요소는 일반적인 유한요소 정식화과정을 사용하지만, 요소의 두께는 0으로 가정한다. 두께가 0인 계면요소를 수치 해석적으로 정의하기 위해서 벌칙강성(penaltystiffness)을 적용한다. 만약 벌칙강성이 너무 크게 되면 수치적인 문제가 야기되고,너무 적은 경우에도 계면요소 상대변위의 정확한 결과값을 얻을 수가 없다. 그러므로사용자는 적절한 벌칙강성값을 입력하여야 한다. midas FEA에서는 벌칙강성을k E d = × × 1000 와 같이 추천한다. 이때 E 의 값은 모델의 요소 중 가장 큰 영 계수이고, d 는 대표되는 요소 크기이다.
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수치해석을 수행하기 위하여 벌칙방법에 근거하여, 상대변위(relative displacement)∆u 와 계면력(traction) t 의 관계는 식 (3.1.1)과 같은 구성방정식으로 정의된다.
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$$
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\mathbf {t} = \mathbf {D} \cdot \Delta \mathbf {u} \tag {3.1.1}
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$$
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||||
2차원의 경우 t , D , ∆u 값은 식 (3.1.2)와 같으며, 경계면상에 존재하는 적분점에서의 상대변위와 계면력을 그림 3.1.1과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\mathbf {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {t} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} & 0 \\ 0 & k _ {t} \end{array} \right], \quad \Delta \mathbf {u} = \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ \Delta u _ {t} \end{array} \right\} \tag {3.1.2}
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$$
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(a) 상대변위
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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t_n
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t_t
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</details>
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(b) 계면력
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그림 3.1.1 2차원 계면요소에서 상대변위와 계면력
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그리고 3차원인 경우는 각 성분들을 식 (3.1.3)과 그림 3.1.2와 같이 나타낼 수있다.
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$$
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||||
\mathbf {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {s} \\ t _ {t} \end{array} \right\}, \mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c c} k _ {n} & 0 & 0 \\ 0 & k _ {s} & 0 \\ 0 & 0 & k _ {t} \end{array} \right], \quad \Delta \mathbf {u} = \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ \Delta u _ {s} \\ \Delta u _ {t} \end{array} \right\} \tag {3.1.3}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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t_n
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t_t
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t_s
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</details>
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(a) 상대변위
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Δuₙ
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Δuₜ
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Δu
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</details>
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(b) 계면력
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그림 3.1.2 3차원 계면요소에서 상대변위와 계면력
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여기서,
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점선 : 경계면
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$t _ { n }$ : 법선 계면력
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$t _ { s }$ , $t _ { t }$ : 접선 계면력
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$\Delta u _ { { _ n } }$ : 법선 상대변위
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$\Delta u _ { s }$ , $\Delta u _ { \iota }$ : 접선 상대변위\`
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(3.1.2)와 (3.1.3)의 선형 구성방정식에서 상대변위와 계면력은 각 방향에 대해서상관관계를 가지지 않는다. 즉 법선방향의 계면력은 접선방향의 강성에 아무런영향을 미치지 않는다.
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@@ -0,0 +1,452 @@
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<!-- source-page: 171 -->
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# 3-2 좌표계 및 상대변위
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계면요소에서의 ∆u 는 상단(top)과 하단(bottom)에 위치하는 요소의 변위 차이를 이용하여 산정한다. 이를 위하여 계면요소의 상단 절점에서의 변위는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} ^ {t o p} = \left\{u _ {i} ^ {t o p} \quad v _ {i} ^ {t o p} \quad w _ {i} ^ {t o p} \right\} ^ {T} \tag {3.2.1}
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$$
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요소 내 임의의 좌표 x, y, z 와 이동변위 u, v, w 는 다음과 같이 나타낼 수 있다
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$$
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x ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} x _ {i} ^ {t o p}, y ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} y _ {i} ^ {t o p}, z ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} z _ {i} ^ {t o p}
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$$
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$$
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||||
u ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} u _ {i} ^ {t o p}, v ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} v _ {i} ^ {t o p}, w ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} w _ {i} ^ {t o p} \tag {3.2.2}
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$$
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또한 계면요소의 하단 절점에서의 변위 및 좌표도 동일한 방법으로 나타낼 수있다. 즉, 식 (3.2.1)과 (3.2.2)에서 위첨자 “top”을 위첨자 “bot”로 치환하여식 (3.2.3)과 (3.2.4)와 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} ^ {b o t} = \left\{u _ {i} ^ {b o t} \quad v _ {i} ^ {b o t} \quad w _ {i} ^ {b o t} \right\} ^ {T} \tag {3.2.3}
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$$
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$$
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x ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} x _ {i} ^ {b o t}, y ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} y _ {i} ^ {b o t}, z ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} z _ {i} ^ {b o t}
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$$
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$$
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||||
u ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} u _ {i} ^ {b o t}, v ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} v _ {i} ^ {b o t}, w ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} w _ {i} ^ {b o t} \tag {3.2.4}
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$$
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구조해석에서의 변위는 경계면의 요소좌표계를 사용하지만, 계면요소의 강성은 법선-접선방향으로 이루어진 좌표계를 사용한다. 그리고 계면요소는 회전강성을 전달하지 않기 때문에 식 (3.2.5)와 같이 요소축을 따라 발생하는 상대이동변위만으로 나타낸다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} = \mathbf {u} ^ {t o p} - \mathbf {u} ^ {b o t} \tag {3.2.5}
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$$
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<!-- source-page: 172 -->
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여기서,
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$$
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\mathbf {u} ^ {t o p} = \left\{u _ {n} ^ {t o p} \quad u _ {s} ^ {t o p} \quad u _ {t} ^ {t o p} \right\} ^ {T}
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$$
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$$
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\mathbf {u} ^ {b o t} = \left\{u _ {n} ^ {b o t} \quad u _ {s} ^ {b o t} \quad u _ {t} ^ {b o t} \right\} ^ {T}
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$$
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따라서 계면요소에서의 상대변위를 상대변위-요소변위 행렬을 이용하여 다음과 같이정의할 수 있다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} \mathbf {u} \tag {3.2.6}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {B} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {N} ^ {b o t} & \mathbf {N} ^ {t o p} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\mathbf {u} = \left\{\mathbf {u} ^ {b o t} \quad \mathbf {u} ^ {t o p} \right\} ^ {T}
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$$
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<!-- source-page: 173 -->
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# 3-3 점계면요소
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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u_n^top
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↑
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u_t^top
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→
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u_s^top
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n
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↑
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t
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s
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Z
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Y
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X
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u_n^bot
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↑
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u_t^bot
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→
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u_s^bot
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</details>
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그림 3.3.1 점계면요소
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점계면요소(point interface element)는 그림 3.3.1과 같이 경계면에서의 요소축과 상단과 하단의 절점으로 정의할 수 있다. 이때 상단 절점과 하단 절점은 같은 위치에정의될 수 있으므로 사용자가 직접 경계면의 요소축을 설정할 수 있도록 하였다. 그림 3.3.1에서는 설명상의 편의를 위해서 두 절점을 분리하여 나타내었다. 여기서, 주의할 점은 midas FEA에서는 사용자가 정의한 요소축에 따라서 계면요소축이 결정된다. 즉, 요소축의 x, y, z축 순으로 계면요소축의 법선(nomal), 전단(shear), 접선(tangential) 방향이 결정되므로, 점계면요소가 그림 3.3.1과 같이 떨어진 경우에는하단절점에서 상단절점으로 향하는 방향을 요소의 x축으로 설정하여야 사용자는 원하는 결과를 얻을 수 있다.
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요소의 임의의 점에서의 전체 좌표는 형상함수 ( Ni)를 이용하여 식 (3.3.1)과 같이 정의된다.
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$$
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\boldsymbol {x} ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {x} _ {1} ^ {b o t}
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$$
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$$
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x ^ {t o p} = N _ {2} ^ {t o p} \cdot x _ {2} ^ {t o p} \tag {3.3.1}
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$$
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<!-- source-page: 174 -->
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||||
그리고 어떤 점에서의 변위는 식 (3.3.2)와 같이 등매개변수 형상함수를 이용하여 정의된다.
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$$
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\boldsymbol {u} ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {u} _ {1} ^ {b o t}
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$$
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$$
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||||
u ^ {t o p} = N _ {2} ^ {t o p} \cdot u _ {2} ^ {t o p} \tag {3.3.2}
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$$
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||||
점계면요소에 대한 등매개변수 형상함수는 식 (3.3.3)과 같이 정의된다.
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$$
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||||
N _ {1} ^ {b o t} = N _ {2} ^ {t o p} = 1 \tag {3.3.3}
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$$
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||||
따라서 상대변위-요소변위 행렬을 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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\mathbf {B} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} - N _ {1} ^ {b o t} & 0 & 0 & N _ {2} ^ {t o p} & 0 & 0 \end{array} \right] \tag {3.3.4}
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||||
$$
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<!-- source-page: 175 -->
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||||
# 3-4 선계면요소
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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u_n^top u_t^top u_s^top
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n t
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s
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4
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3
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2
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u_n^bot u_t^bot u_s^bot
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1
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Z Y
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||||
X
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u_n^top u_t^top u_s^top
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6
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||||
n t
|
||||
s
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4
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||||
3
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u_n^bot u_t^bot u_s^bot
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5
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2
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Z Y
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||||
X
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</details>
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그림 3.4.1 선계면요소
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||||
midas FEA에서 선계면요소(line interface element)는 그림 3.4.1과 같이 저차와 고차요소 두가지를 제공한다. 선계면요소는 평면요소와 평면요소 사이와 평면요소와 선요소 사이에서 상대거동을 나타내기 위해서 많이 사용된다.
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||||
강성행렬 D 는 식 (3.1.2)와 동일하다.
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||||
선계면요소의 임의의 점에서의 전체 좌표는 형상함수를 이용하여 식 (3.4.1)과같이 정의된다.
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$$
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||||
x ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot x _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot x _ {2} ^ {b o t} \left(+ N _ {5} ^ {b o t} \cdot x _ {5} ^ {b o t}\right)
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$$
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$$
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x ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot x _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot x _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot x _ {6} ^ {t o p}\right)
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$$
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$$
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||||
y ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot y _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot y _ {2} ^ {b o t} \left(+ N _ {5} ^ {b o t} \cdot y _ {5} ^ {b o t}\right)
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$$
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$$
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||||
y ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot y _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot y _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot y _ {6} ^ {t o p}\right) \tag {3.4.1}
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$$
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<!-- source-page: 176 -->
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||||
여기서, 괄호안의 좌표는 고차요소를 나타낸다.
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||||
그리고 어떤 점에서의 전체 변위는 식 (3.4.2)와 같이 나타낸다.
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$$
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||||
\boldsymbol {u} ^ {\text { bot }} = N _ {1} ^ {\text { bot }} \cdot \boldsymbol {u} _ {1} ^ {\text { bot }} + N _ {2} ^ {\text { bot }} \cdot \boldsymbol {u} _ {2} ^ {\text { bot }} \left(+ N _ {5} ^ {\text { bot }} \cdot \boldsymbol {u} _ {5} ^ {\text { bot }}\right)
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
u ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot u _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot u _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot u _ {6} ^ {t o p}\right)
|
||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
v ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot v _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot v _ {2} ^ {b o t} \left(+ N _ {5} ^ {b o t} \cdot v _ {5} ^ {b o t}\right)
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
v ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot v _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot v _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot v _ {6} ^ {t o p}\right) \tag {3.4.2}
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||||
$$
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||||
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||||
선계면요소에 대한 등매개변수 형상함수는 식 (3.4.3)과 같이 정의된다.
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$$
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||||
N _ {1} ^ {b o t} (\xi) = N _ {3} ^ {t o p} (\xi) = \frac {1}{2} (1 - \xi),
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$$
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|
||||
$$
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||||
N _ {2} ^ {b o t} (\xi) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \tag {3.4.3}
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||||
$$
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||||
|
||||
그리고 고차요소는 식 (3.4.4)와 같이 나타난다.
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$$
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||||
N _ {1} ^ {b o t} (\xi) = N _ {3} ^ {t o p} (\xi) = - \frac {1}{2} (1 - \xi) \xi ,
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||||
$$
|
||||
|
||||
$$
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||||
N _ {2} ^ {b o t} (\xi) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \xi ,
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||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
N _ {5} ^ {b o t} (\xi) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi) = \left(1 - \xi^ {2}\right) \tag {3.4.4}
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$$
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||||
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||||
(5, 6절점은 2차원 선계면요소의 고차요소이다.)
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상대변위-요소변위 행렬 B 는 계면의 법선-접선방향과 요소좌표계의 상이한 점을 고려하고 있다.
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<!-- source-page: 177 -->
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# 3-5 면계면요소
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그림 3.5.1 면계면요소
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midas FEA에서 면계면요소(surface interface element)는 위 그림 3.5.1과 같이 저차, 고차의 삼각형 또는 사각형 요소를 제공한다. 입체요소(solid element)사이 혹은 판요소(shell element)와 입체요소 사이 등에서 계면거동을 해석할 때적용한다.
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||||
사각형 요소의 임의의 점에서의 전체 좌표는 형상함수를 이용하여 식 (3.5.1)과 같이정의된다.
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$$
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||||
x ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot x _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot x _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot x _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot x _ {4} ^ {b o t}
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot x _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot x _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot x _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot x _ {1 2} ^ {b o t}\right)
|
||||
$$
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||||
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||||
<!-- source-page: 178 -->
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||||
|
||||
$$
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||||
x ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot x _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot x _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot x _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot x _ {8} ^ {t o p}
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot x _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot x _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot x _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot x _ {1 6} ^ {t o p}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
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||||
y ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot y _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot y _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot y _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot y _ {4} ^ {b o t}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot y _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot y _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot y _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot y _ {1 2} ^ {b o t}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
y ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot y _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot y _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot y _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot y _ {8} ^ {t o p}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot y _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot y _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot y _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot y _ {1 6} ^ {t o p}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
z ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot z _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot z _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot z _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot z _ {4} ^ {b o t}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot z _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot z _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot z _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot z _ {1 2} ^ {b o t}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
z ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot z _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot z _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot z _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot z _ {8} ^ {t o p} \tag {3.5.1}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot z _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot z _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot z _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot z _ {1 6} ^ {t o p}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
그리고 어떤 점에서의 전체 변위는 식 (3.5.2) 와 같이 등매개변수 형상함수를이용하여 정의된다.
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||||
$$
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||||
u ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot u _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot u _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot u _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot u _ {4} ^ {b o t}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot u _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot u _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot u _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot u _ {1 2} ^ {b o t}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\boldsymbol {u} ^ {\text {top}} = N _ {5} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {5} ^ {\text {top}} + N _ {6} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {6} ^ {\text {top}} + N _ {7} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {7} ^ {\text {top}} + N _ {8} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {8} ^ {\text {top}}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot u _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot u _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot u _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot u _ {1 6} ^ {t o p}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\boldsymbol {v} ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {4} ^ {b o t}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot v _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot v _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot v _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot v _ {1 2} ^ {b o t}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\nu^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot \nu_ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot \nu_ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot \nu_ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot \nu_ {8} ^ {t o p}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot v _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot v _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot v _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot v _ {1 6} ^ {t o p}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
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||||
w ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot w _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot w _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot w _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot w _ {4} ^ {b o t}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot w _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot w _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot w _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot w _ {1 2} ^ {b o t}\right)
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
w ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot w _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot w _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot w _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot w _ {8} ^ {t o p} \tag {3.5.2}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot w _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot w _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot w _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot w _ {1 6} ^ {t o p}\right)
|
||||
$$
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3차원 면계면요소의 등매개변수 형상함수는 아래의 식과 같이 정의된다.
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8절점 형상의 계면요소의 형상함수는
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<!-- source-page: 179 -->
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$$
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N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta),
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
N _ {2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta),
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$$
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$$
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N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {7} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta),
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$$
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$$
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||||
N _ {4} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {8} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {3.5.3}
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$$
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16절점 형상의 계면요소의 형상함수는
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$$
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N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) (- \xi - \eta - 1),
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$$
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$$
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||||
N _ {2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) (\xi - \eta - 1)
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$$
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$$
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||||
N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {7} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) (\xi + \eta - 1)
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$$
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$$
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||||
N _ {4} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {8} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) (- \xi + \eta - 1)
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$$
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$$
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N _ {9} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 3} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta),
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$$
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$$
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N _ {1 0} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 4} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}),
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$$
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$$
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N _ {1 1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta),
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$$
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$$
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N _ {1 2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {3.5.4}
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$$
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6절점 삼각형 형상의 계면요소의 형상함수는
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$$
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N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 1 - \xi - \eta ,
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$$
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$$
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N _ {_ {2}} ^ {b o t} \left(\xi , \eta\right) = N _ {_ {5}} ^ {t o p} \left(\xi , \eta\right) = \xi ,
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$$
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$$
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||||
N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \eta \tag {3.5.5}
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$$
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12절점 삼각형 형상의 계면요소의 형상함수는
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$$
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N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi , \eta) = (1 - 2 \xi - 2 \eta) (1 - \xi - \eta)
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$$
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$$
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N _ {2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = (2 \xi - 1) \xi
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$$
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$$
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||||
N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = (2 \eta - 1) \eta
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$$
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$$
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N _ {7} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 0} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 4 (1 - \xi - \eta) \xi
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$$
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$$
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N _ {8} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 1} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 4 \xi \eta
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$$
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$$
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||||
N _ {9} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 2} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {3.5.6}
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$$
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midas FEA에서는 상단요소와 하단요소 사이에 존재하는 계면에 적분점 위치가존재하며, 이 때 적분법은 뉴튼-코츠법(Newton-Cotes method)을 사용하기 때문에 적분점 위치는 절점에 존재한다.
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상대변위-요소변위 행렬은 2차원에서 확장된 B 행렬과 동일하다.
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@@ -0,0 +1,387 @@
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# 3-6 유한요소 정식화
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국부좌표계에서 계면력은 국부좌표계에서의 계면요소 상대변위 ∆ux , ∆uy , ∆uz 와강성행렬 D 로부터 유도될수 있다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \mathbf {t} _ {x} \\ \mathbf {t} _ {y} \\ \mathbf {t} _ {z} \end{array} \right\} = \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \Delta \mathbf {u} _ {x} \\ \Delta \mathbf {u} _ {y} \\ \Delta \mathbf {u} _ {z} \end{array} \right\} \tag {3.6.1}
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$$
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계면요소의 변형율 에너지(strain energy) 식을 변분하여 얻어지는 강성행렬 식은 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {\text { inter }} = \int_ {\Gamma} \mathbf {B} _ {\text { inter }} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {\text { inter }} d \Gamma \tag {3.6.2}
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$$
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||||
그리고 내력(internal force)식은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {F} _ {\text { inter }} = \int_ {\Gamma} \mathbf {B} _ {\text { inter }} ^ {T} \mathbf {t} d \Gamma \tag {3.6.3}
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$$
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식 (3.6.2)를 수치적분 식으로 다시 전개하면 다음과 같은 계면요소의 강성행렬의 식으로 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {K} _ {\text { inter }} = \sum_ {j = 1} ^ {N i p} \mathbf {B} _ {\text { inter }} ^ {j} {} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {\text { inter }} ^ {j} \det \mathbf {J} ^ {j} \tag {3.6.4}
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$$
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여기서,
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Nip : 계면요소에 대한 적분점의 수
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# 3-7 계면요소 해석결과
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계면요소의 해석 결과로는 절점에서의 계면력과 상대변위를 출력하며, 부호와 방향은 요소좌표계를 따른다. 계면력과 상대변위는 계면요소의 절점에서 정의되며, 한쌍을 이루는 두 절점사이의 결과값은 동일하다.
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계면요소에서 출력되는 계면요소의 상대변위의 종류는 다음과 같다.
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\- 계면력 성분
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t _ {x}, t _ {y}, t _ {z}
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• 상대변위 성분
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\Delta u _ {x}, \Delta u _ {y}, \Delta u _ {z}
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$$
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절점에서의 계면력과 상대변위는 뉴튼-코츠 적분법을 이용하였기 때문에 적분점에서 계산된 결과가 절점의 결과와 공유되어 산출된다. 계면요소의 적분점은 다음과 같다.
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• 2절점 점계면요소 : 1절점 뉴튼-코츠 적분법
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• 4절점 선계면요소 : 2 절점 뉴튼-코츠 적분법
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- 6절점 선계면요소 : 3절점 뉴튼-코츠 적분법
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- 6절점 삼각형 면계면요소 : 3절점 뉴튼-코츠 적분법
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• 8절점 사각형 면계면요소 : 4절점 뉴튼-코츠 적분법
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• 12절점 삼각형 면계면요소 : 6절점 뉴튼-코츠 적분법
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• 16절점 사각형 면계면요소 : 8절점 뉴튼-코츠 적분법
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# Chapter 4. Geometric Nonlinearity
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# 4-1 개요
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구조물에 변형 또는 회전이 크게 발생하면 기하학적 형상이 변하게 되며, 이로인해 변형률과 변위의 관계가 비선형이 될 수 있다. 그림 4.1.1에서 상태 (A)에있던 구조물이 하중(추)에 의해 상태 (B)와 같이 크게 변형된다면 하중에 대한변위의 상관 관계는 비선형이 된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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A
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B
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F_TIP
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A
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B
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U_TIP
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</details>
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그림 4.1.1 비선형 해석의 예시
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기하비선형 해석에서는 변형이 생기는 동안 구조물의 기하학적 형상이 변하므로변형 전의 형상(초기 형상)과 변형 후의 형상은 서로 다르다는 가정을 이용하며,변형률과 회전이 미소하다는 가정은 이용하지 않는다. 따라서 기하비선형 해석에서 강성 행렬 (K) 는 변위 (u) 의 함수가 된다.
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일반적으로 기하비선형 해석에서 사용하는 정식화 방법은 TLF(total Lagrangianformulation)와 ULF(updated Lagrangian formulation)이 있다. TLF에서 사용되는 응력과 변형률은 각각 PK2 응력(2nd Piola-Kirchhoff stress), Green 변형률(Green-Lagrange strain)이며, ULF에서 사용되는 응력과 변형률은 각각Cauchy 응력(Cauchy stress), 선형변형률증분(linear Euler strain increment)이다. TLF에서 변형률과 응력은 변형전의 형상에 대해 표현하며, ULF에서는 변형 후의 형상에 대해 표현한다. 예를 들어 1차원 해석의 경우에 PK2 응력은 힘과 변형전의 면적 (F / A0) 의 관계를 나타내나, Cauchy 응력은 힘과 변형 후 면적
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( ) F / A 의 관계를 나타낸다.
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어떤 물체가 시간에 따라 변형을 일으키는 상태를 그림 4.1.2와 같이 나타낼 수있다. 그림 4.1.2에서 초기 상태(변형전의 상태)를 $\Omega _ { 0 }$ 로 표시하며, 현재 상태(변형후의 상태)를 Ω 로 표시하였다. 그리고 X 는 초기상태의 공간 좌표, x 는 t 만큼 시간이 경과된 후의 공간 좌표를 나타낸다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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y, Y
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Ø (X̄, t)
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u
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X̄
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Ω₀
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x̄
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Γ₀
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Ω
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Γ
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x, X
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</details>
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그림 4.1.2 물체의 초기 및 현재 형상
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Green 변형률은 다음 식 (4.1)과 같이 변형전의 좌표를 사용하여 정의한다.
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$$
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\begin{array}{l} \mathbf {E} = \frac {1}{2} \left(\mathbf {F} ^ {T} \mathbf {F} - \mathbf {I}\right) \text {or} E _ {i j} = \frac {1}{2} \left(u _ {i, j} + u _ {j, i} + u _ {k, i} u _ {k, j}\right) \\ \mathcal {O} (\overline {{{\mathbf {X}}}} _ {i, j}) \end{array} \tag {4.1.1}
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$$
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$$
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\mathbf {F} = \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \overline {{\mathbf {X}}}} = \frac {\partial (\overline {{\mathbf {X}}} + \mathbf {u})}{\partial \overline {{\mathbf {X}}}} = \mathbf {I} + \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \overline {{\mathbf {X}}}}
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$$
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여기서,
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E or $E _ { i j }$ : Green 변형률(Green-Lagrange strain)
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F : 변형 구배(deformation gradient)
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1차원 구조물의 경우에 식 (4.1.1)을 식 (4.1.2)와 같이 정리할 수 있다.
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$$
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||||
E _ {1 1} = \frac {1}{2} \frac {L ^ {2} - \overline {{L}} ^ {2}}{\overline {{L}} ^ {2}} \tag {4.1.2}
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$$
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<!-- source-page: 185 -->
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||||
식 (4.1.2)에서 L 는 변형전의 길이, L 은 변형후의 길이를 표시한다. 식 (4.1.2)에서 변형이 미소하다면, Green 변형률은 식 (4.1.3)과 같이 선형 변형률로 회귀하는 것을 확인할 수 있다.
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||||
$$
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||||
\begin{array}{l} E _ {1 1} = \frac {1}{2} \frac {(L - \bar {L}) (L + \bar {L})}{\bar {L} ^ {2}} = \frac {1}{2} \frac {L - \bar {L}}{\bar {L}} \left(\frac {L - \bar {L}}{\bar {L}} + \frac {2 \bar {L}}{\bar {L}}\right) = \frac {1}{2} \left(\frac {L - \bar {L}}{\bar {L}}\right) ^ {2} + \frac {L - \bar {L}}{\bar {L}} \tag {4.1.3} \\ \cong \frac {L - \overline {{L}}}{\overline {{L}}} \\ \end{array}
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$$
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일반적인 3차원 연속체에서 PK2 응력의 의미를 알아보기 위해 Cauchy 응력과의 관계를 유도한다. 에너지는 Cauchy 응력 혹은 PK2 응력 등 어떤 응력을 사용하더라도 에너지는 동일하므로 가상 일은 식 (4.1.4)와 같다.
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$$
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||||
r = \int \mathbf {S}: \delta \mathbf {E} d V _ {0} = \int \boldsymbol {\sigma}: \delta \boldsymbol {\varepsilon} d V = \int J \boldsymbol {\sigma}: \delta \boldsymbol {\varepsilon} d V _ {0}, \quad J = \det (\mathbf {F}) \tag {4.1.4}
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$$
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여기서,
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S : PK2 응력 텐서
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σ : Cauchy 응력 텐서
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8 $\boldsymbol { \varepsilon } = \frac { 1 } { 2 } \big ( u _ { i } , _ { j } + u _ { j } , _ { i } \big )$
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먼저 Green 변형률과 변형구배(deformation gradient)를 변분하면 각각 다음 식과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {E} = \frac {1}{2} \left(\delta \mathbf {F} ^ {T} \mathbf {F} + \mathbf {F} ^ {T} \delta \mathbf {F}\right) \tag {4.1.5}
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$$
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$$
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||||
\delta \mathbf {F} = \frac {\partial \delta \mathbf {u}}{\partial \overline {{{\mathbf {X}}}}} = \frac {\partial \delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}} \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \overline {{{\mathbf {X}}}}} = \frac {\partial \delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}} \mathbf {F} \tag {4.1.6}
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$$
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||||
식 (4.1.6)을 식 (4.1.5)에 대입하면, 아래 식과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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||||
\delta \mathbf {E} = \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial \delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}} \mathbf {F}\right) ^ {T} \mathbf {F} + \mathbf {F} ^ {T} \left(\frac {\partial \delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}} \mathbf {F}\right)\right) = \mathbf {F} ^ {T} \left(\frac {1}{2} \left(\frac {\partial \delta \mathbf {u} ^ {T}}{\partial \mathbf {x}} + \frac {\partial \delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}}\right)\right) \mathbf {F} = \mathbf {F} ^ {T} \delta \boldsymbol {\varepsilon} \mathbf {F} \tag {4.1.7}
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$$
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||||
식 (4.1.7)을 식 (4.1.4)에 대입하여 정리하면 식 (4.1.8)과 같다.
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$$
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||||
r = \int \mathbf {S}: \delta \mathbf {E} d V _ {0} = \int \mathbf {S}: \left(\mathbf {F} ^ {T} \delta \boldsymbol {\varepsilon} \mathbf {F}\right) d V _ {0} = \int \mathbf {F} \mathbf {S} \mathbf {F} ^ {T}: \delta \boldsymbol {\varepsilon} d V _ {0} = \int J \boldsymbol {\sigma}: \delta \boldsymbol {\varepsilon} d V _ {0} \tag {4.1.8}
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$$
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<!-- source-page: 186 -->
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||||
따라서 Cauchy 응력과 PK2 응력의 관계를 식 (4.1.9)와 같이 표현할 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \frac {1}{J} \mathbf {F} \mathbf {S} \mathbf {F} ^ {T}, \quad \mathbf {S} = J \mathbf {F} ^ {- 1} \boldsymbol {\sigma} \mathbf {F} ^ {- T} \tag {4.1.9}
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$$
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||||
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||||
시간 t t + ∆ 일때 가상 일의 정리를 PK2 응력과 Green 변형률로 표현하면 식(4.1.10)과 같다. 여기서, r 는 외부 힘에 의한 가상일이다.
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$$
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||||
{ } ^ { t + \Delta t } r = \int ^ { t + \Delta t } S _ { i j } \delta ^ { t + \Delta t } E _ { i j } d V _ { 0 } \tag {4.1.10}
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$$
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$$
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{ } ^ { t + \Delta t } S _ { i j } = { } ^ { t } S _ { i j } + \Delta S _ { i j }
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$$
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$$
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||||
{ } ^ { t + \Delta t } E _ { i j } = { } ^ { t } E _ { i j } + \Delta E _ { i j } \tag {4.1.11}
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$$
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$$
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||||
\delta^ {t + \Delta t} E _ {i j} = \frac {1}{2} \Big (\delta u _ {i, j} + \delta u _ {j, i} + ^ {t} u _ {k, i} \delta u _ {k, j} + \delta u _ {k, i} ^ {t} u _ {k, j} + \delta u _ {k, i} \Delta u _ {k, j} + \delta u _ {k, j} \Delta u _ {k, i} \Big)
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$$
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||||
위 식 (4.1.11)을 (4.1.10)에 대입하여 정리하면 다음 식을 얻을 수 있다.
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$$
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\int \Delta S _ {i j} \delta e _ {i j} d V _ {0} + \int^ {t} S _ {i j} \delta \eta_ {i j} d V _ {0} = ^ {t + \Delta t} r - \int^ {t} S _ {i j} \delta e _ {i j} d V _ {0} \tag {4.1.12}
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$$
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여기서,
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$$
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\delta e _ {i j} \quad : \frac {1}{2} \left(\delta u _ {i, j} + \delta u _ {j, i} + ^ {t} u _ {k, i} \delta u _ {k, j} + \delta u _ {k, i} ^ {t} u _ {k, j}\right) \text { 선형항 }
|
||||
$$
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||||
$$
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||||
\delta \eta_ {i j} \quad : \frac {1}{2} \left(\delta u _ {k, i} \Delta u _ {k, j} + \delta u _ {k, j} \Delta u _ {k, i}\right) \text { 비선형항 }
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$$
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||||
∆Sij 는 테일러 급수를 이용하여 다음과 같이 전개한다.
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$$
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\Delta S _ {i j} = ^ {t + \Delta t} S _ {i j} - ^ {t} S _ {i j} = \left(^ {t} S _ {i j} + \frac {\partial^ {t} S _ {i j}}{\partial^ {t} E _ {k l}} \Delta E _ {k l} + h i g h o r d e r\right) - ^ {t} S _ {i j} \tag {4.1.13}
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$$
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||||
식 (4.1.13)을 식 (4.1.12)의 첫 번째 항에 대입하고, ∆Ekl 의 2차 이상의 항을 무시하면, 첫 번째 항은 식 (4.1.14)와 같이 선형화된 식이 된다.
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<!-- source-page: 187 -->
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$$
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||||
\int \Delta S _ {i j} \delta e _ {i j} d V _ {0} = \int \left(\frac {\partial^ {t} S _ {i j}}{\partial^ {t} E _ {k l}} \Delta E _ {k l}\right) \delta e _ {i j} d V _ {0} = \int D _ {i j k l} \Delta E _ {k l} \delta e _ {i j} d V _ {0} \tag {4.1.14}
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$$
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$$
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\Delta E _ {i j} = \Delta e _ {i j} = \frac {1}{2} \left(\Delta u _ {i, j} + \Delta u _ {j, i} + ^ {t} u _ {k, i} \Delta u _ {k, j} + \Delta u _ {k, i} ^ {t} u _ {k, j}\right)
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$$
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또한 $^{t}S_{ij} = ^{t}S_{ji}$ 인 성질을 이용하여 식 (4.1.12)의 두 번째 항을 정리하면 아래와 같다.
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$$
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\int^ {t} S _ {i j} \delta \eta_ {i j} d V _ {0} = \int^ {t} \mathbf {S}: (\delta \mathbf {L} ^ {T} \Delta \mathbf {L}) d V _ {0}, \quad L _ {i j} = \frac {\partial u _ {i}}{\partial X _ {j}} \tag {4.1.15}
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$$
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식 (4.1.12)의 우변에서 각 항은 식 (4.1.16)과 같이 표현할 수 있다.
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$$
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\begin{array}{l} ^ {t + \Delta t} r = \delta \mathbf {u} ^ {T} {} ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text {ext}} \\ \int_ {t} \mathbf {s} _ {t} \mathbf {s} _ {t} - \mathbf {W} _ {t} - \int_ {t} \mathbf {s} _ {t} \mathbf {s} _ {t} - \mathbf {W} _ {t} - \mathbf {s} _ {t} ^ {T} t \mathbf {s} _ {t} \end{array} \tag {4.1.16}
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$$
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$$
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\int^ {t} S _ {i j} \delta e _ {i j} d V _ {0} = \int^ {t} \mathbf {S}: \delta \mathbf {e} d V _ {0} = \delta \mathbf {u} ^ {T} {} ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }}
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$$
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여기서,
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\delta \mathbf {u} \quad : \left[ \begin{array}{l l l l l l l l l l l} \delta u _ {1} & \delta v _ {1} & \delta w _ {1} & \delta u _ {2} & \delta v _ {2} & \delta w _ {2} & \dots & \delta u _ {N} & \delta v _ {N} & \delta w _ {N} \end{array} \right] ^ {T}
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$$
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따라서 식 (4.1.12)의 우변항을 식 (4.1.16)을 이용해서 정리하면 다음 식 (4.1.17)과 같다.
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$$
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r - \int^ {t} \mathbf {S}: \delta \mathbf {e} d V _ {0} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text {int}}\right) \tag {4.1.17}
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$$
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식 (4.1.12)에 식 (4.1.14–15,17)을 대입하면 식 (4.1.18)과 같다. 식 (4.1.18)에서 좌변의 첫째 항은 선형변형률에 의해 발생되는 가상 일이며, 두 번째 항은 비선형변형률에 의한 가상 일이다.
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$$
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\int \delta \mathbf {e} ^ {T} \mathbf {D} \Delta \mathbf {e} d V _ {0} + \int^ {t} \mathbf {S}: \delta \mathbf {L} ^ {T} \Delta \mathbf {L} d V _ {0} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }}\right) \tag {4.1.18}
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$$
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||||
식 (4.1.18)는 식 (4.1.19)과 같이 표현되며, 강성 행렬 $K_{L}^{e}$ 과 $K_{NL}^{e}$ 은 요소의 형상함수에 따라 결정되며 자세한 것은 다음 절을 참조하라.
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$$
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\left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text {int}} \tag {4.1.19}
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$$
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# 4-2 트러스요소
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트러스(Truss) 요소는 요소좌표계에서 이동변위 u , v , w 를 가지며, 변위는 형상함수 Ni 를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} w _ {i} \tag {4.2.1}
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$$
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트러스요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음 식 (4.2.2)과 같다
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$$
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \right\}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \right\} \tag {4.2.2}
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$$
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여기서,
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x : 요소 좌표계
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \left\{\delta u _ {, x} \right\} + \left\{\delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} + \delta w _ {, x} ^ {t} w _ {, x} \right\} \tag {4.2.3}
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$$
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||||
식 (4.2.3)은 다음과 같이 가상변위 항 δu 와 행렬 BL 의 곱으로 표현된다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.2.4}
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$$
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||||
증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
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$$
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\Delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \Delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.2.5}
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$$
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||||
식 (4.2.4)와 (4.2.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {B} _ {L 0} = \left\{N _ {1, x} \quad 0 \quad 0 \quad N _ {2, x} \quad 0 \quad 0 \right\} \tag {4.2.6}
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$$
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$$
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||||
\mathbf {B} _ {L 1} = \left\{^ {t} u _ {, x} N _ {1, x} \quad {} ^ {t} v _ {, x} N _ {1, x} \quad {} ^ {t} w _ {, x} N _ {1, x} \quad {} ^ {t} u _ {, x} N _ {2, x} \quad {} ^ {t} v _ {, x} N _ {2, x} \quad {} ^ {t} w _ {, x} N _ {2, x} \right\} \tag {4.2.7}
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$$
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||||
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta w _ {, x} \right\} ^ {T} \tag {4.2.8}
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$$
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식 (4.2.8)은 가상변위 항 δu 와 행렬 ${ \bf { B } } _ { N L }$ 의 곱으로 표현된다.
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$$
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\delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.2.9}
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$$
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||||
유사한 방법으로 ∆L 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.2.10}
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||||
${ \bf { B } } _ { N L }$ 은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} N _ {1, x} & 0 & 0 & N _ {2, x} & 0 & 0 \\ 0 & N _ {1, x} & 0 & 0 & N _ {2, x} & 0 \\ 0 & 0 & N _ {1, x} & 0 & 0 & N _ {2, x} \end{array} \right] \tag {4.2.11}
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$$
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||||
식 (4.2.4-5)와 (4.2.9-10)을 식 (4.1.19)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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||||
\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.2.12}
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$$
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||||
식 (4.2.12)의 각 항은 다음과 같다.
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { L _ { e } } A \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d L
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$$
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { L _ { e } } A ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d L \tag {4.2.13}
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$$
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$$
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||||
{ } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { L _ { e } } A ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d L
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$$
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여기서,
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A : 단면적(section area)
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응력 성분으로 구성된 행렬 t ˆS 는 다음과 같다.
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$$
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{ } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c } { } ^ { t } S _ { x x } \end{array} \right] \tag {4.2.14}
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$$
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||||
트러스요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 요소내력이 있으며,절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력을 표를 통해 볼 수 있다.
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@@ -0,0 +1,309 @@
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# 4-3 평면응력요소
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기하비선형성을 고려한 평면 응력(plane stress) 요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드는 사용하지 않는다.
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평면 응력 요소는 요소좌표계에서 이동변위 u, v 를 가지며, 형상함수 $N_{i}$ 를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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||||
u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {4.3.1}
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$$
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||||
평면 응력 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {x y} \right\} ^ {T}, \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {x y} \right\} ^ {T} \tag {4.3.2}
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$$
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||||
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \end{array} \right\} \tag {4.3.3}
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$$
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||||
식 (4.3.3)은 다음과 같이 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{L}$ 의 곱으로 표현된다.
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$$
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||||
\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.3.4}
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$$
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||||
|
||||
증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
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$$
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||||
\Delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \Delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.3.5}
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||||
$$
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||||
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||||
식 (4.3.4)와 (4.3.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathbf {B} _ {L 0} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \\ N _ {1, y} & N _ {1, x} & \dots & N _ {N, y} & N _ {N, x} \end{array} \right] \tag {4.3.6}
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$$
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$$
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||||
\mathbf {B} _ {L 1} = \left[ \begin{array}{c c c} ^ {t} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {1, x} & \dots \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {1, y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {1, y} & \dots \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {1, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {1, x}\right) & \dots \\ ^ {t} u _ {, x} N _ {n, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {n, x} \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {n, y y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {n, y} \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {n, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {n, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {n, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {n, x}\right) \end{array} \right] \tag {4.3.7}
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$$
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||||
식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
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$$
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||||
\delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta u _ {, y} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta v _ {, y} \right\} ^ {T} \tag {4.3.8}
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$$
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||||
식 (4.3.8)는 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{NL}$ 의 곱으로 표현된다.
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$$
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||||
\delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.3.9}
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||||
$$
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||||
|
||||
유사한 방법으로 ΔL 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.3.10}
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$$
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||||
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||||
$B_{NL}$ 은 다음과 같다.
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||||
$$
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||||
\mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ N _ {1, y} & 0 & \dots & N _ {N, y} & 0 \\ 0 & N _ {1, x} & \dots & 0 & N _ {N, x} \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \end{array} \right] \tag {4.3.11}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
식 (4.3.4-5)과 (4.3.9-10)을 식 (4.1.18)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방정식을 얻을 수 있다.
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||||
$$
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||||
\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.3.12}
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$$
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||||
식 (4.3.12)의 각 항은 다음과 같다.
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$$
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||||
{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d A
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$$
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||||
$$
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||||
{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d A \tag {4.3.13}
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||||
$$
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||||
$$
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||||
{ } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } t { } ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d A
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$$
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여기서,
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t : 두께(thickness)
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응력 성분으로 구성된 행렬 $^{t}$ S 는 다음과 같다
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$$
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||||
{ } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c } { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } \end{array} \right] \tag {4.3.14}
|
||||
$$
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||||
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||||
평면 응력 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
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# 4-4 판요소
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기하 비선형성을 고려한 판요소는 3, 4절점 요소의 경우 “감절점 이론(degenerated shell approach)”을, 6, 8절점 고차요소의 경우 “연속체 셸이론(continuum shell approach)”이용하며, 평면 응력 상태의 면내변형과 휨/전단으로 이루어진 면외변형을 고려할 수 있다. 기하 비선형을 고려한 판요소는면에 수직한 방향의 회전(drilling) 자유도를 고려하지 않으며, Mindlin 판이론(Mindlin plate theory)를 기초로 한 전단 변형을 고려한다. 요소의 종류에는 선형 해석의 경우와 같이 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다.
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기하 비선형성을 고려한 판요소는 정식화 과정이 매우 복잡하므로 연속체 셸이론에 대한 사항만 간단하게 설명하고자 한다. 판요소에서는 두께방향의 인장 응력을 무시하는 것이 일반적이지만, 연속체 셸이론에 근거한 정식화 과정에서는모든 응력과 변형률 성분을 고려한다.
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$$
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {z z} \quad S _ {x y} \quad S _ {y z} \quad S _ {z x} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {z z} \quad E _ {x y} \quad E _ {y z} \quad E _ {z x} \right\} ^ {T} \tag {4.4.1}
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$$
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요소 내부의 임의 위치에 대한 이동 변위는 다음과 같이 중립면의 이동변위와회전에 의한 효과로 구분하여 표현할 수 있다.
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$$
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\mathbf {U} = \mathbf {u} _ {0} + \mathbf {t} \tag {4.4.2}
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$$
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여기서, 벡터 t 는 회전에 의한 효과를 고려한 항이며, 다음과 같이 표현할 수있다.
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$$
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\mathbf {t} = \frac {t}{2} \zeta (\mathbf {T} - \overline {{\mathbf {T}}}) \tag {4.4.3}
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$$
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여기서,
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T : 변형후 판의 수직벡터(deformed unit shell normalvector)
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T : 변형전 판의 수직벡터(undeformed unit shell normalvector)
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 아래와 같이 표현할 수 있다.
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta \left(u _ {0, x} + t _ {x, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, y} + t _ {y, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, z} + t _ {z, z}\right) \\ \delta \left(u _ {0, y} + t _ {x, y}\right) + \delta \left(v _ {0, x} + t _ {y, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, z} + t _ {y, z}\right) + \delta \left(w _ {0, y} + t _ {z, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, x} + t _ {z, x}\right) + \delta \left(u _ {0, z} + t _ {x, z}\right) \end{array} \right\} \tag {4.4.4}
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$$
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$$
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+ \left\{ \begin{array}{c} \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, y} + \mathbf {t} _ {, y}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, y} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, y}\right) \\ \delta (\mathbf {u} _ {0, z} + \mathbf {t} _ {, z}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, x} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, x}\right) + \delta (\mathbf {u} _ {0, x} + \mathbf {t} _ {, x}) ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {u} _ {0, z} + ^ {t} \mathbf {t} _ {, z}\right) \end{array} \right\}
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$$
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {L} = \left\{ \begin{array}{l} \delta \left(u _ {0, x} + t _ {x, x}\right) \\ \delta \left(u _ {0, y} + t _ {x, y}\right) \\ \delta \left(u _ {0, z} + t _ {x, z}\right) \\ \delta \left(v _ {0, x} + t _ {y, x}\right) \\ \delta \left(v _ {0, y} + t _ {y, y}\right) \\ \delta \left(v _ {0, z} + t _ {y, z}\right) \\ \delta \left(w _ {0, x} + t _ {z, x}\right) \\ \delta \left(w _ {0, y} + t _ {z, y}\right) \\ \delta \left(w _ {0, z} + t _ {z, z}\right) \end{array} \right\} \tag {4.4.5}
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$$
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실제 계산에 필요한 행렬 $\mathbf { B } _ { L }$ 과 ${ \bf { B } } _ { N L }$ 은 본 절에서 설명하지 않는다. 요소 강성또는 내력의 계산에서는 (4.4.1)의 응력과 변형률을 요소 중립면에 접하는 좌표계로 변환하여 사용한다. 3, 4절점 요소에 사용하는 감절점 이론에서는 변형률성분을 요소 중립면에 접하는 좌표계에 대하여 정의함으로써 $E _ { z z }$ 를 제외한 5개의 성분을 직접 구할 수 있다. 회전에 의한 변위의 구현 방법과 절점 개수 별요소의 특징은 다음과 같다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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T
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U
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u₀
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x̄
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O (Ref. Frame)
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</details>
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그림 4.4.1 판의 초기 및 현재 형상
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3절점 또는 4절점을 가진 평면판은 전체좌표계에서 3개의 이동변위와 3개의 회전변위를 모두 고려한다. 단, 회전 증분변위에서 두께방향 벡터와 수직한 성분은직교화 과정을 통하여 제외된다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {X i} \quad \theta_ {Y i} \quad \theta_ {Z i} \right\} ^ {T} \tag {4.4.6}
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$$
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4절점 판요소는 라그랑지(Lagrangian) 형상함수를 이용하며, 유한회전에 의해변형된 두께방향 벡터는 T R RT= δ 와 같이 회전의 누적에 의해 계산한다. δR은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {R} = I + \frac {\sin \delta \theta}{\delta \theta} \mathbf {S} (\delta \theta) + \frac {1 - \cos \delta \theta}{\delta \theta^ {2}} \mathbf {S} (\delta \theta) \mathbf {S} (\delta \theta) \tag {4.4.7}
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$$
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여기서,
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S( ) δθ : 교대행렬(skew symmetric matrix)
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midas FEA에서는 회전행렬을 사원수(quaternion)로부터 계산하는 방법을 이용하여 계산에 효율을 기하였다. 판요소의 대회전(large rotation)은 회전에 의한변위 t 가 절점자유도에 대해 선형이 아님을 의미한다. 그러므로 δt 와 ∆t 가 명시적으로 구분되지 않기 때문에 강성의 구성에 있어서 식(4.4.4)와 (4.4.5) 이외에 δ ( ) ∆t 항이 추가됨에 주의해야 한다.
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전단변형에 의한 변형률은 그림 4.4.2와 같이 4 변에서의 ANS(assumednatural shear strain)로부터 계산하여 잠김(locking) 현상을 방지한다.
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$$
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\gamma_ {\zeta \xi} = \frac {1}{2} (1 - \eta) \gamma_ {\zeta \xi} (0, - 1) + \frac {1}{2} (1 + \eta) \gamma_ {\zeta \xi} (0, 1) \tag {4.4.8}
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$$
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$$
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\gamma_ {\zeta \eta} = \frac {1}{2} (1 - \xi) \gamma_ {\zeta \eta} (- 1, 0) + \frac {1}{2} (1 + \xi) \gamma_ {\zeta \eta} (1, 0) \tag {4.4.9}
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$$
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$$
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||||
\left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z \alpha} \\ \gamma_ {z \beta} \end{array} \right\} = \mathbf {P} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {\zeta \xi} \\ \gamma_ {\zeta \eta} \end{array} \right\} \tag {4.4.10}
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$$
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여기서,
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P : 좌표변화행렬(coordinate transform matrix)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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4
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γης
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γξς
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3
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γης
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1
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γξς
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2
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</details>
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그림 4.4.2 ANS의 내삽 점
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3절점 요소의 계산에는 4절점 요소의 4번째 절점을 3번째 절점과 같은 좌표를가지도록 하는 기법을 이용한다.
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6절점 또는 8절점을 가진 곡면판은 전체좌표계에서 3개의 이동변위와 절점에서정의된 면내 두 방향 $\mathbf { V } _ { 1 i } , \ \mathbf { V } _ { 2 i }$ 에 대한 회전변위를 갖는다. $\mathbf { V } _ { 1 i } , \ \mathbf { V } _ { 2 i }$ 의 정의는 선형 요소의 정식화를 참조하고, 본 절에서는 생략한다.
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$$
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||||
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {1 i} \quad \theta_ {2 i} \right\} ^ {T} \tag {4.4.11}
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$$
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||||
곡면판은 라그랑지(Lagrangian) 형상함수를 이용하며, 유한회전에 의해 변형된 두께방향 벡터는 평면판 요소의 경우와 동일하게 회전행렬의 누적에 의해 계산한다. 단, 회전 증분변위의 중에서 $V_{1i}$ , $V_{2i}$ 방향의 성분만을 고려함으로써 암시적으로 직교화 효과를 얻을 수 있다.
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기하비선형 판요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력/변형률, 요소 내력 등이 있으며 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 응력과 변형률은 $z$ 축을 따라 두 지점에서 계산하며, 면내거동에 대한 두께를 기준으로 상단( $z=t/2$ )과 하단( $z=-t/2$ )이 기본 위치이다. 기하비선형을 고려한 판 요소는 두께 방향으로 3점 심슨 적분(Simpson integration)을 수행하며, 면적에 대한 적분 차수는 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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# 4-5 평면변형률요소
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기하비선형성을 고려한 평면변형률(plane strain) 요소는 등매개변수 (isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드를 사용하지 않는다.
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평면변형률 요소는 요소좌표계에서 이동변위, u, v 를 가지며 평면응력 요소와 전개과정이 같다. 최종적인 평면변형률 요소의 선형화된 평형 방정식은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.5.1}
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$$
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식 (4.5.1)의 각 항은 응력-변형률의 관계를 정의하는 행렬 D 를 제외하고, 평면 응력 요소와 동일하다.
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평면변형률 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
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# 4-6 축대칭요소
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기하비선형성을 고려한 축대칭(axisymmetric) 요소는 등매개변수(isoparametric)요소로 구성되어 있으며, 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소가 있다. 각 요소는선형 요소와 동일한 형상함수를 사용한다.
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평면응력 요소는 요소좌표계에서 이동변위 u , v 를 가지며, 변위는 형상함수 Ni를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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||||
u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {4.6.1}
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$$
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||||
축대칭 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {x y} \quad S _ {z z} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {x y} \quad E _ {z z} \right\} ^ {T} \tag {4.6.2}
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$$
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 δe 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \frac {\delta u}{r} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \\ \frac {\delta u ^ {t} u}{r ^ {2}} \end{array} \right\} \tag {4.6.3}
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$$
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식 (4.6.3)은 다음과 같이 가상변위 항 δe 와 행렬 B 의 곱으로 표현된다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \frac {\delta u}{r} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} \\ \frac {\delta u ^ {t} u}{r ^ {2}} \end{array} \right\} \tag {4.6.4}
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$$
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||||
증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.6.5}
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$$
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||||
식 (4.6.4)와 (4.6.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.
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@@ -0,0 +1,276 @@
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$$
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\mathbf {B} _ {L 0} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \\ N _ {1, y} & N _ {1, x} & \dots & N _ {N, y} & N _ {N, x} \\ \frac {N _ {1}}{r} & 0 & \dots & \frac {N _ {N}}{r} & 0 \end{array} \right] \tag {4.6.6}
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$$
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$$
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||||
\mathbf {B} _ {L 1} = \left[ \begin{array}{c c c} ^ {t} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {1, x} & \dots \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {1, y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {1, y} & \dots \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {1, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {1, x}\right) & \dots \\ ^ {t} u \frac {N _ {1}}{r ^ {2}} & 0 & \dots \end{array} \right. \tag {4.6.7}
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$$
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$$
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||||
\left. \begin{array}{c c} ^ {t} u _ {, x} N _ {N, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {N, x} \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {N, y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {N, y} \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {N, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {N, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {N, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {N, x}\right) \\ ^ {t} u \frac {N _ {N}}{r ^ {2}} & 0 \end{array} \right]
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$$
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta u _ {, y} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta v _ {, y} \quad \frac {\delta u}{r} \right\} ^ {T} \tag {4.6.8}
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$$
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식 (4.6.8)은 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{NL}$ 의 곱으로 표현된다.
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$$
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\delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.6.9}
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$$
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유사한 방법으로 ΔL 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.6.10}
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$$
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$B_{NL}$ 은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ N _ {1, y} & 0 & \dots & N _ {N, y} & 0 \\ 0 & N _ {1, x} & \dots & 0 & N _ {N, x} \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \\ \frac {N _ {1}}{r} & 0 & \dots & \frac {N _ {N}}{r} & 0 \end{array} \right] \tag {4.6.11}
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$$
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식 (4.6.4-5)와 (4.6.9-10)을 식 (4.1.18)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.6.12}
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$$
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식 (4.6.12)의 각 항은 다음과 같다.
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } r \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d A
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$$
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } r ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d A \tag {4.6.13}
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$$
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||||
$$
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||||
{ } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } r ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d A
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$$
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그리고,
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$$
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{ } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } & \mathbf { 0 } \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } & 0 \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } & 0 \\ 0 & 0 & { } ^ { t } S _ { z z } \end{array} \right] \tag {4.6.14}
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$$
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축대칭 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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- 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분.
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# 4-7 입체요소
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기하비선형성을 고려한 입체(solid) 요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 4절점, 6절점, 8절점, 10절점, 15절점, 20절점 요소가 있다. 각요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드를 사용하지 않는다.
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입체요소는 요소좌표계에서 이동변위, u , v , w 를 가지며, 변위는 형상함수 Ni를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} w _ {i} \tag {4.7.1}
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$$
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입체 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {z z} \quad S _ {x y} \quad S _ {y z} \quad S _ {z x} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {z z} \quad E _ {x y} \quad E _ {y z} \quad E _ {z x} \right\} ^ {T} \tag {4.7.2}
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$$
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 는 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta w _ {, z} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \delta v _ {, z} + \delta w _ {, y} \\ \delta w _ {, z} + \delta u _ {, z} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} + \delta w _ {, x} ^ {t} w _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} + \delta w _ {, y} ^ {t} w _ {, y} \\ \delta u _ {, z} ^ {t} u _ {, z} + \delta v _ {, z} ^ {t} v _ {, z} + \delta w _ {, z} ^ {t} w _ {, z} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta w _ {, x} ^ {t} w _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} + \delta w _ {, y} ^ {t} w _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, z} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, z} + \delta w _ {, y} ^ {t} w _ {, z} + \delta u _ {, z} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, z} ^ {t} v _ {, y} + \delta w _ {, z} ^ {t} w _ {, y} \\ \delta u _ {, z} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, z} ^ {t} v _ {, x} + \delta w _ {, z} ^ {t} w _ {, x} + \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, z} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, z} + \delta w _ {, x} ^ {t} w _ {, z} \end{array} \right\} \tag {4.7.3}
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$$
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식 (4.7.3)은 다음과 같이 가상변위 항 δu 와 행렬 B 의 곱으로 표현된다.
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$$
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\delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.7.4}
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$$
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증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다.
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\Delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \Delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.7.5}
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$$
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식 (4.7.4)과 (4.7.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {B} _ {L 0} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} N _ {1, x} & 0 & 0 & N _ {2, x} & \dots & N _ {N, x} & 0 & 0 \\ 0 & N _ {1, y} & 0 & 0 & \dots & 0 & N _ {N, y} & 0 \\ 0 & 0 & N _ {1, z} & 0 & \dots & 0 & 0 & N _ {N, z} \\ N _ {1, y} & N _ {1, x} & 0 & N _ {2, y} & \dots & N _ {N, y} & N _ {N, x} & 0 \\ 0 & N _ {1, z} & N _ {1, y} & 0 & \dots & 0 & N _ {N, z} & N _ {N, y} \\ N _ {1, z} & 0 & N _ {1, x} & N _ {2, z} & \dots & N _ {N, z} & 0 & N _ {N, x} \end{array} \right] \tag {4.7.6}
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$$
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$$
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\mathbf {B} _ {L 1} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} v _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} u _ {, x} N _ {2, x} & \dots & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {N, 1} \\ ^ {\prime} u _ {, y} N _ {1, y} & ^ {\prime} v _ {, y} N _ {1, y} & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {1, y} & ^ {\prime} u _ {, y} N _ {2, y} & \dots & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {N, 2} \\ ^ {\prime} u _ {, z} N _ {1, z} & ^ {\prime} v _ {, z} N _ {1, z} & ^ {\prime} w _ {, z} N _ {1, z} & ^ {\prime} u _ {, z} N _ {2, z} & \dots & ^ {\prime} w _ {, z} N _ {N, 3} \\ ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, y} + ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} v _ {, x} N _ {1, y} + ^ {\prime} v _ {, y} N _ {1, x} & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {1, y} + ^ {\prime} w _ {, y} N _ {1, x} & ^ {\prime} u _ {, x} N _ {2, y} + ^ {\prime} u _ {, y} N _ {2, x} & \dots & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {N, y} + ^ {\prime} w _ {, y} N _ {N, x} \\ ^ {\prime} u _ {, y} N _ {1, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {1, y} & ^ {\prime} v _ {, y} N _ {1, z} + ^ {\prime} v _ {, z} N _ {1, y} & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {1, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {1, y} & ^ {\prime} u _ {, y} N _ {2, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {2, y} & \dots & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {N, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {N, y} \\ ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {1, x} & ^ {\prime} v _ {, x} N _ {1, z} + ^ {\prime} v _ {, z} N _ {1, x} & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {1, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {1, x} & ^ {\prime} u _ {, x} N _ {3, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {3, x} & \dots & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {N, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {N, x} \end{array} \right] \tag {4.7.7}
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$$
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식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다.
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\delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta u _ {, y} \quad \delta u _ {, z} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta v _ {, y} \quad \delta v _ {, z} \quad \delta w _ {, x} \quad \delta w _ {, y} \quad \delta w _ {, z} \right\} ^ {T} \tag {4.7.8}
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$$
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식 (4.7.8)은 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{NL}$ 의 곱으로 표현된다.
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$$
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\delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.7.9}
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$$
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유사한 방법으로 ΔL 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.7.10}
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} \mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \tilde {\mathbf {B}} _ {1} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {2} & \dots & \tilde {\mathbf {B}} _ {N} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {1} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {N} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {1} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {N} \end{array} \right] \\ \tilde {\mathbf {B}} _ {i} = \left\{N _ {i, x} \quad N _ {i, y} \quad N _ {i, z} \right\} ^ {T} \end{array} \tag {4.7.11}
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$$
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식 (4.7.4-5)와 (4.7.9-10)을 식 (4.1.18)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방
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정식을 얻을 수 있다.
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\delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.7.12}
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$$
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식 (4.7.12)의 각 항은 다음과 같다.
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { V _ { e } } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d V
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$$
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { V _ { e } } { } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d V \tag {4.7.13}
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$$
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { V _ { e } } { } ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d V
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$$
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여기서,
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$$
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{ } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { z x } \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } & { } ^ { t } S _ { y z } \\ { } ^ { t } S _ { z x } & { } ^ { t } S _ { y z } & { } ^ { t } S _ { z z } \end{array} \right] \tag {4.7.14}
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$$
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입체요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다.
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• 4절점 4면체 : 1 점 가우스 적분
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• 6절점 5면체 : 6 점 가우스 적분
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• 8절점 6면체 : 8 점 가우스 적분
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• 10절점 4면체 : 4 점 가우스 적분
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• 15절점 5면체 : 9 점 가우스 적분
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• 20절점 6면체 : 27 점 가우스 적분
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||||
Part 1 Element Library
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Blank white image with no visible content, text, or symbols
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</details>
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 2 Material Library
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Chapter 1. Material Models
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Chapter 2. Total Strain Crack
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Chapter 3. Interface Nonlinearities
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# Chapter 1. Material Models
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# 1-1 개요
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# 1-1-1 서론
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재료의 소성거동은 탄성거동과 달리 재하된 하중을 제거하여도 구조물에 영구변형이발생한다. 이러한 거동적 특성을 나타내기 위해 변형률은 다음과 같이 탄성과소성성분으로 나누는 변형분리가정에 따라 정식화한다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} = \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{e}} + \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} \tag {1.1.1}
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여기서,
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ε : 총 변형률
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$\pmb { \varepsilon } ^ { \mathrm { e } }$ : 탄성 변형률 (elastic strain)
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$\mathbf { \varepsilon } _ { \mathbf { \varepsilon } _ { \mathbf { \varepsilon } } } ^ { \mathrm { p } }$ : 소성 변형률 (plastic strain)
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후크의 법칙(Hook’s law)은 탄성범위에서의 변형과 응력의 관계를 정의하며, 이를식 (1.1.1)에 적용하면 응력은 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} = \mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{e}} = \mathbf {D} \left(\boldsymbol {\varepsilon} - \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}}\right) \tag {1.1.2}
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$$
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여기서,
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σ : 응력벡터
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D : 재료강성 행렬 (material stiffness matrix)
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하중을 받는 구조물 내 임의의 한 점에 발생하는 응력은 그 점의 탄-소성상태를정의하는 척도가 된다. 탄성 및 소성을 정의하는 이러한 기준은 강재나 콘크리트등 재료의 특성에 따라 다르게 정의되며, 이를 항복기준(yield criterion)이라 한다.재료의 항복기준은 다양한 응력상태에 대한 실험을 통해 정의되며, 소성흐름(plastic flow)을 유발하는 시점의 응력값들은 응력공간 상의 함수형태로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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f (\boldsymbol {\sigma}, \kappa) = 0 \tag {1.1.3}
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$$
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여기서,
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f : 항복함수 (yield function)
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κ : 경화변수 (hardening parameter)
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항복함수 f 가 0보다 작을 경우 소성흐름은 발생하지 않으며, f 가 0보다 클 경우 소성흐름이 발생한다.
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# 1-1-2 소성흐름법칙(Plastic flow rule)
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재료의 향복은 소성흐름을 유발하며 이러한 소성흐름은 재료의 평형상태를 유지하기위해 응력의 재분배를 유발한다. 이러한 소성흐름의 계산은 비선형 형태로 이루어지며 이를 위해 일반적으로 증분형태를 사용하여 정식화된다. 재료의 탄소성해석에서 소성흐름의 계산에 사용되는 일반적인 값들 중 대표적인 것은 증분응력방향, 소성변형률방향이며 이중 증분응력방향은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {n} _ {\mathrm{i}} = \frac {\partial f _ {\mathrm{i}}}{\partial \boldsymbol {\sigma}} \tag {1.1.4}
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$$
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여기서, n 은 항복면에 수직한 증분응력의 방향을 나타내는 기울기벡터를 나타내며 i 는 항복함수가 여러 개로 이루어진 경우의 항복함수개수를 의미한다.
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증분소성변형률은 코이터의 법칙(Koiter's law)에 따라 다음과 같이 크기와 방향성분으로 분리하여 나타낸다.
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$$
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\dot {\pmb {\varepsilon}} _ {\mathrm{p}} = \sum_ {\mathrm{i} = 1} ^ {\mathrm{n}} \dot {\lambda} _ {\mathrm{i}} \frac {\partial \mathbf {g} _ {\mathrm{i}}}{\partial \pmb {\sigma}} = \sum_ {\mathrm{i} = 1} ^ {\mathrm{n}} \dot {\lambda} _ {\mathrm{i}} \mathbf {m} _ {\mathrm{i}} \tag {1.1.5}
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$$
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||||
여기서, $g_{i}$ 는 소성포텐셜함수(plastic potential function)로써 응력과 경화변수 $\kappa$ 에 의한 함수 $g_{i}(\sigma,\kappa)$ 이며 일반적으로 재료실험을 통해 얻어진다. $\dot{\lambda}_{i}$ 는 소성승수(plastic multiplier)이며, 다음과 같이 쿠-터커 조건(Kuhn-Tucker condition)을 만족해야 한다.
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@@ -0,0 +1,373 @@
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$$
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f \leq 0 \quad ; \quad \dot {\lambda} _ {1} \geq 0 \quad ; \quad \dot {\lambda} _ {1} f = 0 \tag {1.1.6}
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$$
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위의 조건으로부터 항복함수 f 가 0보다 작은 경우 $\dot{\lambda}_{i}$ 은 항상 0이 되며, 소성흐름이 발생하지 않음을 알 수 있다.
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식 (1.1.6)에서 m 은 증분소성변형률의 방향을 정의하는 벡터이다. 이때 소성포텐 셔함수 g 를 사용하지 않고 항복함수 f 를 사용한 $\partial f/\partial \sigma$ 으로 증분소성변형률 방향을 정의하는 방법을 상관소성흐름법칙(associated flow rule)이라 하며, 소성포텐 셔함수를 사용하여 $\partial g/\partial \sigma$ 으로 증분소성변형률방향을 정의하는 방법을 비상관소성흐름법칙(non-associated flow rule)이라 한다. 일반적으로 von Mises나 Tresca 모델과 같이 응력공간 상에서 등압축(hydrostatic axis)을 따라 일정한 편차응력(deviatoric stress)의 분포를 나타내는 형태의 재료모델인 경우는 상관소성흐름법칙을 사용하는 것이 일반적이다.
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그러나 Mohr-Coulomb과 Drucker-Prager 모델과 같이 응력공간 상에서 편차응력이 등압축을 따라 변하는 형태의 재료모델인 경우 비상관소성흐름법칙을 사용한다. 등압축에 따라 편차응력이 변화하는 재료모델에 비상관소성흐름법칙을 적용하는 경우 응력방향과 변형률방향의 불일치로 인하여 발생되는 과도한 체적팽창현상을 억제하는 효과가 있다. 그러나 강성행렬이 비대칭이 되어 비대칭 솔버를 이용해서 계산해야 하기 때문에, 수렴속도가 느려지는 단점이 있다. 따라서 일반적인 경우 상관소성흐름법칙을 사용한다.
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예외적으로 콘크리트에 띠철근이나 강관 또는 강박스에 의한 구속현상이 크게 발생되는 경우 구속효과가 소성해석에 민감하게 작용할 수 있으므로, 이 때는 비상관소성흐름해석을 사용할 것을 권장한다.
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# 1-1-3 경화거동(Hardening behavior)
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Elasto-plastic모델에서 경화거동(hardening behavior)을 정의하는 방법으로는 변형경화가정(strain hardening hypothesis)과 소성일경화가정(plastic work hardening hypothesis)의 두 가지 방법이 있다. 변형경화가정은 등가소성변형률이 증가함에 따라 경화가 진행된다고 가정하는 방법이며 소성일경화가정은 소성일이
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증가함에 따라 경화가 진행된다고 가정하는 방법이다.
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변형경화에 사용되는 경화변수 $\kappa$ 는 무차원의 등가소성변형률(equivalent plastic strain) $\overline{\varepsilon^{p}}$ 를 사용함으로써 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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\overline {{{\varepsilon}}} ^ {\mathrm{p}} = \kappa = \sqrt {\frac {2}{3} \left(\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}}\right) ^ {\mathrm{T}} \mathbf {Q} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}}} \tag {1.1.7}
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$$
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여기서,
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {y y} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {z z} ^ {\mathrm{p}} \\ \tau_ {x y} ^ {\mathrm{p}} \\ \tau_ {y z} ^ {\mathrm{p}} \\ \tau_ {z x} ^ {\mathrm{p}} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {Q} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1}{2} \end{array} \right]
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$$
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이때 일반적으로 경화변수는 주소성변형률로부터 계산하는 경우가 편리하기 때문에 많이 쓰이며 이때의 수식은 다음과 같다.
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$$
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\overline {{{\varepsilon}}} ^ {\mathrm{p}} = \kappa = \sqrt {\frac {2}{3} \varepsilon^ {\mathrm{p}} \varepsilon^ {\mathrm{p}}} \tag {1.1.8}
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$$
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여기서,
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {p} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {1} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {2} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {3} ^ {\mathrm{p}} \end{array} \right\}
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$$
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소성일경화는 응력단위의 소성일 $W^{p}$ (plastic work)를 경화변수 $\kappa$ 로 사용하여 경화거동을 다음과 같이 정의한다.
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$$
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W ^ {p} = \kappa = \boldsymbol {\sigma} ^ {\mathrm{T}} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} \tag {1.1.9}
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$$
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위 두 가지 형태의 경화 모두 시간 t 에 대해 적분함으로써 현재 하중단계까지의 경화변수를 계산한다.
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$$
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\kappa = \int \dot {\kappa} d t \tag {1.1.10}
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$$
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경화변수 κ 를 사용하여 표현되는 경화거동은 항복면의 거동적 특성에 따라 등방경화(isotropic hardening), 이동경화(kinematic hardening), 그리고 두 가지 경화의 조합인 혼합경화(mixed hardening)로 분류된다. 등방경화는 그림 1.1.1(a)와 같이 경화변수에 따라 항복면이 등방팽창 또는 등방수축하는 거동을 보이며, 이동경화는 그림 1.1.1(b)와 같이 항복면의 팽창이나 수축없이 항복면의 원점이 이동하는거동을 보인다. 혼합경화는 그림 1.1.1(c)와 같이 위의 두 거동을 조합한 거동적 특징을 갖는다. 등방경화는 Rankine 모델, Mohr-Coulomb 모델, Drucker-Prager모델 등과 같은 취성재료에 사용되며 이동경화모델이나 혼합경화모델은 vonMises와 같은 연성거동모델에 사용된다.
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midas FEA에서는 현재 변형경화가정을 사용한 등방경화기능만을 지원하고 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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P₁
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P₂
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P₃
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O
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σ₂
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σ₃
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(a) 등방경화
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σ₁
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P
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O₂
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P
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O₁
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σ₂
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σ₃
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P
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O₃
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</details>
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(b) 이동경화
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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P₂
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P₃
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O₃
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P₁
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O
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Q₁
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σ₂
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σ₃
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</details>
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(c) 혼합경화
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그림 1.1.1 함복면의 경화거동
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# 1-1-4 선형화된 적합 조건(Linearized consistency condition)
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탄-소성 물질의 내적변화 상태는 미소증가 형태로 표현되는 점증적 구성관계에 의하여 정의된다. 소성흐름은 항복조건에 도달할 때 시작되며, κ와 같은 소성상태변수에 의해 제어된다.
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비상관소성흐름에서 미소변형상태에 대한 구성관계식은 식 (1.1.2)에 기초하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {E} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} ^ {\mathrm{p}}\right) = \mathbf {E} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {m}\right) \tag {1.1.11}
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$$
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||||
응력상태가 항복면상에 놓일 때 선형화된 일관성조건(linearized consistency condition)은 함수를 테일러 급수(Taylor series)의 1차 확장을 통해 다음과 같이 정의한다.
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$$
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||||
\dot {f} (\boldsymbol {\sigma}, \kappa) = \left(\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}\right) ^ {\mathrm{T}} \dot {\boldsymbol {\sigma}} + \frac {\partial f}{\partial \kappa} \frac {\partial \kappa}{\partial \lambda} \dot {\lambda} = \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \dot {\boldsymbol {\sigma}} - h \dot {\lambda} = 0 \tag {1.1.12}
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$$
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여기서, $n=\frac{\partial f}{\partial\sigma}$ , h 는 경화계수(hardening modulus)라고 하며, $h=-\frac{\partial f}{\partial\kappa}\frac{\partial\kappa}{\partial\lambda}$ 이다.
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이때 $\partial f/\partial\kappa$ 는 실험으로부터 $f-\kappa$ 관계를 도출하여 계산한다. $\partial\kappa/\partial\lambda$ 는 재료의
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향복모델에 따라 다르며 1.2절에서 항복모델별로 정의된 $\kappa-\lambda$ 관계식을 사용하여
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계산한다.
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위의 식 (1.1.12)에 식 (1.1.11)을 대입하여, 소성승수 $\dot{\lambda}$ 에 대하여 정리하면 다음과 같다.
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$$
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||||
\dot {\lambda} = \frac {\mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m}} \dot {\varepsilon} \tag {1.1.13}
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$$
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식 (1.1.13)을 식 (1.1.11)에 대입하면 응력과 변형률의 증분형태관계식으로 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \left(\mathbf {E} - \frac {\mathbf {E} \mathbf {m} \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m}}\right) \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} = \mathbf {E} ^ {\mathrm{ep}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} \tag {1.1.14}
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$$
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여기서, $E^{ep}$ 는 탄-소성 접선 연산자로써 재료의 접선강성행렬이다. 이때 비상관소성
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흐름법칙을 도입하면 m n ≠ 이므로, ep E 는 비대칭행렬이 된다.
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# 1-1-5 증분방정식의 적분(Integration of rate form)
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증분형태 방정식에 대한 적분방법에는 크게 명시적 전방 오일러 방법(explicitforward euler algorithm with sub-incrementation)과 암시적 후방 오일러 방법(implicit backward euler algorithm)으로 나뉜다.
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명시적 전방 오일러 방법에서 소성흐름의 방향은 증분응력과 항복면이 만나는 A점(그림 1.1.2와 1.1.3)에서 계산되지만, 암시적 후방 오일러 방법에서는 최종 응력 지점인 B점(그림 1.1.4)에서 계산된다.
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명시적 전방 오일러 방법은 상대적으로 단순하고 적분점 (integration point)에서반복계산과정이 필요하지 않지만, 다음과 같은 단점이 있다.
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-. 조건에 따라서만 안정적이다.
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-. 허용 가능한 정확도를 위해 부증분(sub-increment)이 필요하다. (그림 1.1.3).
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-. 항복면으로 되돌리기 위한 추가적 보정이 필요하다. (그림 1.1.3).
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또한, 명시적 전방 오일러 방법은 적합 강성행렬(consistent tangent stiffnessmatrix)을 구성할 수 없다. 암시적 후방 오일러 방법은 부증분이나 인위적 회귀 없이 충분히 정확한 결과를 도출하고 조건에 관계없이 안정적이지만, 적분점에서 반복계산이 필요하다. 그러나 이 방법을 사용하면 적합 강성행렬(consistent tangentstiffness matrix)을 구성할 수 있기 때문에 명시적 전방 오일러 방법보다 효율적이다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Δσₑ
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A
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B
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X
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Yield surface
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</details>
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(a) 교차 점 A의 위치
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<summary>text_image</summary>
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(1-r)Δσe
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rΔσe
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-ΔλmA
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A
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B
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C
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D
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X
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Yield surface
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</details>
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(b) A에서 접선방향으로 C로 이동한 후 D위치로 보정
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그림 1.1.2 명시적 전방 오일러 방법
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<summary>text_image</summary>
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-ΔλA mA
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-ΔλB mB
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-ΔλB mB'
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A
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B
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B'
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C
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D
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X
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Yield surface
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</details>
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그림 1.1.3 명시적 전방 오일러 방법에서의 부증분
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# 1-1-6 명시적 전방 오일러 방법(Explicit forward Euler method)
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명시적 전방 오일러 방법에서는 먼저 탄성 변형을 가정한 탄성 증분응력을 산정한다. (그림 1.1.2(a)의 B점).
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$$
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\Delta \boldsymbol {\sigma} ^ {\mathrm{e}} = \mathbf {E} \Delta \varepsilon \tag {1.1.15}
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$$
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$$
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\pmb {\sigma} _ {\mathrm{B}} = \pmb {\sigma} _ {\mathrm{X}} + \Delta \pmb {\sigma} ^ {\mathrm{e}}
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$$
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다음으로 탄성한계를 정의하는 증분응력량을 계산한다. 초기 탄성 증분응력은 탄성범위 내의 증분응력인 허용 증분 응력 ( ) e 1− r ∆σ 과 허용 불가능한 항복함수 바깥쪽의 증분응력 e r∆σ 으로 나뉜다. 탄성한계를 정의하는 증분응력은 다음 식을이용하여 계산한다(그림 1.1.2(a)의 A점).
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$$
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||||
\begin{array}{c} f \left(\boldsymbol {\sigma} _ {X} + (1 - r) \Delta \boldsymbol {\sigma} ^ {e}, \kappa\right) = 0 \\ f _ {r} \end{array} \tag {1.1.16}
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$$
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$$
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r = \frac {f _ {\mathrm{B}}}{f _ {\mathrm{B}} - f _ {\mathrm{X}}}
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$$
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식 (1.1.14)와 식 (1.1.15)의 첨자는 그림 1.1.2를 참조.
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부증분방법을 사용하기 위해서는 항복면을 벗어난 증분응력 e r∆σ 를 k개의 작은부증분응력으로 나누어 근사화한다(그림 1.1.3). 부증분의 개수는 오차의 크기에 직접적으로 관계되며, 식 (1.1.17)과 같이 계산한다.
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$$
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||||
k = \operatorname{INT} \left[ 8 \left(\sigma_ {\text { effB }} - \sigma_ {\text { effA }}\right) / \sigma_ {\text { effA }} \right] + 1 \tag {1.1.17}
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$$
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<!-- source-page: 218 -->
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여기서, $\sigma _ { \mathrm { e f f A } }$ 와 $\sigma _ { \mathrm { e f f B } }$ 는 그림 1.1.2(a)의 A점과 B점에서의 유효응력을 나타낸다.최종 응력상태가 항복면상에 있지 않을 경우, 다음의 인위적 회귀 방법을 사용하여 항복면상으로 응력상태가 옮겨지도록 한다 (그림 1.1.3의 D점).
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$$
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||||
\Delta \lambda_ {\mathrm{C}} = \frac {f _ {\mathrm{C}}}{h + \mathbf {n} _ {\mathrm{C}} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{C}}} \tag {1.1.18}
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$$
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$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{D}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{C}} - \Delta \lambda_ {\mathrm{C}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{C}}
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$$
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# 1-1-7 암시적 후방 오일러 방법(Implicit backward Euler method)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Δσ^e
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B
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-Δλm_B
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C
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D
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X
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Yield surface
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</details>
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그림 1.1.4 암시적 후방 오일러 방법
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명시적 전방 오일러 방법은 교차점 A에서의 항복면에 수직한 방향성분을 이용하여다음 응력값을 추정하기 때문에 교차점의 계산이 반드시 요구된다. 만약 항복면에수직한 방향성분을 그림 1.1.4와 같이 B점에서 추정한다면 교차점의 계산이 불필요해진다.
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$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{C}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{X}} + \Delta \boldsymbol {\sigma} ^ {\mathrm{e}} - \Delta \lambda \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{B}} - \Delta \lambda \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} \tag {1.1.19}
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$$
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이에 따라 항복함수 f 를 테일러급수를 사용하여 B점에 대해 1차항까지 확장하면
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<!-- source-page: 219 -->
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다음과 같다.
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$$
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f = f _ {\mathrm{B}} + \left(\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}\right) ^ {\mathrm{T}} \Delta \boldsymbol {\sigma} + \frac {\partial f}{\partial \kappa} \Delta \kappa = f _ {\mathrm{B}} - \Delta \lambda \mathbf {n} _ {\mathrm{B}} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} - h _ {\mathrm{B}} \Delta \lambda \tag {1.1.20}
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$$
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새로이 계산된 점에서의 항복함수값은 0이 되며 위의 수식을 Δλ 에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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||||
\Delta \lambda = \frac {f _ {\mathrm{B}}}{h _ {\mathrm{B}} + \mathbf {n} _ {\mathrm{B}} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}}} \tag {1.1.21}
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$$
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||||
이를 사용하여 암시적 후방 오일러 방법에서는 $\sigma_{c}$ 를 다음과 같이 계산한다.
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$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{C}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{B}} - \Delta \lambda \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} \tag {1.1.22}
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$$
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||||
이 때 C점에서의 응력 $\sigma_{c}$ 는 항상 항복면상에 존재하지 않으며, 이를 처리하기 위해 C점을 새로운 응력값의 추정을 위한 기준점으로 하여 위의 계산을 반복수행한다. 이러한 계산은 응력값이 항복면 위에 존재할 때까지 반복된다.
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# 1-1-8 구성행렬(constitutive matrix)
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소성 구성방정식(plastic constitutive equation)을 구성하는 방법은 다음과 같다.
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미소 증분응력은 미소 증분변형률 벡터의 탄성 부분에 의하여 결정된다. 즉,
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$$
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||||
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {E} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} ^ {\mathrm{p}}\right) = \mathbf {E} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {E} \mathbf {m} \tag {1.1.23}
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$$
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||||
현재 응력은 항상 항복면 상에 위치해야 하기 때문에 적합조건(consistency condition)을 만족해야 한다. 식 (1.1.23)에 식 (1.1.13)을 대입하고 이를 미소 증분 변형률에 대하여 정리하면, 미소 증분응력은 식 (1.1.24)와 같이 계산할 수 있다.
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$$
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||||
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \left(\mathbf {D} - \frac {\mathbf {D m n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {D}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {D m}}\right) \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} = \mathbf {D} ^ {\mathrm{ep}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} \tag {1.1.24}
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$$
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||||
명시적 전방 오일러 방법에서 뉴튼 략슨(Newton-Raphson) 반복과정이 사용될 때 적합접선강성행렬(consistent tangent stiffness matrix)을 사용하면, 뉴튼 략슨 반복과정의 2차 수렴 특성으로 인하여 더욱 빠른 수렴해를 얻을 수 있다. 이러한 2
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<!-- source-page: 220 -->
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차 특성을 고려하기 위하여 식 (1.1.20)을 미분하면 다음과 같다.
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$$
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\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {D} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {D} \mathbf {m} - \Delta \lambda \mathbf {D} \frac {\partial \mathbf {m}}{\partial \boldsymbol {\sigma}} \dot {\boldsymbol {\sigma}} - \Delta \lambda \mathbf {D} \frac {\partial \mathbf {m}}{\partial \kappa} \frac {\partial \kappa}{\partial \lambda} \dot {\lambda} \tag {1.1.25}
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$$
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||||
여기서, $\dot{\lambda}$ 은 $\Delta\lambda$ 의 변화량이다.
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식 (1.1.25)는 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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\mathbf {A} \dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {E} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {E} \overline {{\mathbf {m}}} \tag {1.1.26}
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$$
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||||
여기서, $A = I + \Delta \lambda E \frac{\partial m}{\partial \sigma}$ , $\bar{m} = m + \Delta \lambda \frac{\partial m}{\partial \kappa} \frac{\partial \kappa}{\partial \lambda}$
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이때 $H = A^{-1}E$ 라하면 식 (1.1.26)은 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {H} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \overline {{\mathbf {m}}}\right) \tag {1.1.27}
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$$
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||||
식 (1.1.27)을 선형화된 적합조건(linearized consistency condition)을 사용하여 전체 변형률항으로 정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다.
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$$
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\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \left(\mathbf {H} - \frac {\mathbf {H} \overline {{\mathbf {m}}} \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {H}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {H} \overline {{\mathbf {m}}}}\right) \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} = \mathbf {C} ^ {\mathrm{ep}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} \tag {1.1.28}
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$$
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||||
식 (1.1.24)에서 $D^{ep}$ 는 접선강성행렬(tangent stiffness matrix)이라 하며, 식 (1.1.28)의 $C^{ep}$ 은 적합접선강성행렬이라 한다.
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midas FEA의 제한사항
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Isotropic Plasticity Only
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Isotropic Hardening Only
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Strain Hardening Only
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@@ -0,0 +1,383 @@
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<!-- source-page: 221 -->
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# 1-2 항복기준(Yield Criteria)
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일반적으로 사용되는 다축상태의 응력성분으로 항복함수를 나타내는 데에는 기하학적이나 물리학적으로 많은 어려움이 따른다. 따라서 응력좌표축에 독립적인 성분을 사용하여 항복함수를 나타내는 것이 일반적이며, 다음과 같이 주응력을 사용하여 항복조건을 정의한다.
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$$
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f \left(\sigma_ {1}, \sigma_ {2}, \sigma_ {3}\right) = 0 \tag {1.2.1}
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$$
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항복함수를 표현하는 하나의 편리한 방법은 응력불변량을 사용하는 것이다.
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# 1-2-1 응력 불변량(stress invariants)
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# ■ 응력 불변량
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재료 내 임의의 점에 발생하는 응력은 응력텐서 σ ij 를 사용하여 나타내며, 주응력방향을 정의하는 방향벡터 jn 를 사용하면 다음의 식이 성립된다.
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$$
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\left(\sigma_ {i j} - \sigma \delta_ {i j}\right) n _ {j} = 0 \tag {1.2.2}
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$$
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여기서, ij δ 은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.
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위의 식 (1.2.2)에서 0 jn ≠ 이며, 식 (1.2.2)를 만족하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
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$$
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\left| \sigma_ {i j} - \sigma \delta_ {i j} \right| = 0 \tag {1.2.3}
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$$
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행렬식 (1.2.3)는 주응력에 대한 3차방정식으로 나타낼 수 있으며 다음과 같다.
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$$
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\sigma^ {3} - I _ {1} \sigma^ {2} + I _ {2} \sigma - I _ {3} = 0 \tag {1.2.4}
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$$
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여기서,
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<!-- source-page: 222 -->
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$$
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I _ {1} = \sigma_ {x} + \sigma_ {y} + \sigma_ {z} = \sigma_ {i i}
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$$
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$$
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I _ {2} = \left(\sigma_ {x} \sigma_ {y} + \sigma_ {y} \sigma_ {z} + \sigma_ {z} \sigma_ {x}\right) - \left(\tau_ {x y} ^ {2} + \tau_ {y z} ^ {2} + \tau_ {z x} ^ {2}\right) = \frac {1}{2} \left(I _ {1} ^ {2} - \sigma_ {i j} \sigma_ {j i}\right) \tag {1.2.5}
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$$
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$$
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I _ {3} = \left| \begin{array}{c c c} \sigma_ {x} & \tau_ {x y} & \tau_ {x z} \\ \tau_ {y x} & \sigma_ {y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {z y} & \sigma_ {z} \end{array} \right| = \frac {1}{3} \sigma_ {i j} \sigma_ {j k} \sigma_ {k i} - \frac {1}{2} I _ {1} \sigma_ {i j} \sigma_ {j i} + \frac {1}{6} I _ {1} ^ {3}
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$$
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1I , 2I , 3I 를 주응력 σ1 , σ 2 , σ 3 을 사용하여 나타내면 다음과 같다.
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$$
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I _ {1} = \sigma_ {1} + \sigma_ {2} + \sigma_ {3}
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$$
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$$
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I _ {2} = \sigma_ {1} \sigma_ {2} + \sigma_ {2} \sigma_ {3} + \sigma_ {3} \sigma_ {1} \tag {1.2.6}
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$$
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$$
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I _ {3} = \sigma_ {1} \sigma_ {2} \sigma_ {3}
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$$
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# ■ 편차응력 불변량
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응력텐서 $\sigma _ { i j }$ 는 정수압과 편차응력성분으로 나누어 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\sigma_ {i j} = s _ {i j} + \sigma_ {m} \delta_ {i j} \tag {1.2.7}
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$$
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여기서, $\sigma _ { { } _ { m } } = \left( \sigma _ { { } _ { x } } + \sigma _ { { } _ { y } } + \sigma _ { { } _ { z } } \right) / 3 = I _ { 1 } / 3$ 이며, 평균응력을 의미한다. 그리고$s _ { i j } = \sigma _ { i j } - \sigma _ { m } \delta _ { i j }$ 는 편차응력이라 하며, 순수전단상태를 나타낸다.
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식 (1.2.3)에서 주응력에 대한 불변량을 계산한 것처럼, 편차응력에 대한 불변량을계산하기 위해서는 다음과 같은 수식을 풀어야 한다.
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$$
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\left| s _ {i j} - s \delta_ {i j} \right| = 0 \tag {1.2.8}
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$$
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식 (1.2.8)를 방정식형태로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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s ^ {3} - J _ {1} s ^ {2} + J _ {2} s - J _ {3} = 0 \tag {1.2.9}
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$$
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여기서,
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<!-- source-page: 223 -->
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$$
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\begin{array}{l} J _ {1} = s _ {i i} = s _ {x} + s _ {y} + s _ {z} = 0 \\ J _ {2} = \frac {1}{2} s _ {i j} s _ {j i} \\ = \frac {1}{6} \left[ \left(\sigma_ {x} - \sigma_ {y}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {y} - \sigma_ {z}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {z} - \sigma_ {x}\right) ^ {2} \right] + \tau_ {x y} ^ {2} + \tau_ {y z} ^ {2} + \tau_ {z x} ^ {2} \tag {1.2.10} \\ \end{array}
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$$
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$$
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||||
J _ {3} = \frac {1}{3} S _ {i j} S _ {j k} S _ {k i} = \left| \begin{array}{c c c} s _ {x} & \tau_ {x y} & \tau_ {x z} \\ \tau_ {y x} & s _ {y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {z y} & s _ {z} \end{array} \right|
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$$
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1J , 2J , 3J 를 편차주응력 $s _ { 1 }$ , $s _ { 2 }$ , $s _ { 3 }$ 로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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\begin{array}{l} J _ {1} = s _ {1} + s _ {2} + s _ {3} = 0 \\ J _ {2} = \frac {1}{2} \left(s _ {1} ^ {2} + s _ {2} ^ {2} + s _ {3} ^ {2}\right) = \frac {1}{6} \left[ \left(\sigma_ {1} - \sigma_ {2}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {2} - \sigma_ {3}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {3} - \sigma_ {1}\right) ^ {2} \right] \tag {1.2.11} \\ \end{array}
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$$
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$$
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J _ {3} = \frac {1}{3} \left(s _ {1} ^ {3} + s _ {2} ^ {3} + s _ {3} ^ {3}\right) = s _ {1} s _ {2} s _ {3}
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$$
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1I , 2I , 3I , 1J , 2J , 3J 는 모두 스칼라로 표현되는 불변량으로써 좌표축에 독립적인 특성을 갖는다. 이중 항복함수를 기하학적으로 편리하게 나타내기 위하여 $I _ { 1 }$ ,$J _ { 2 \mathrm { ~ , ~ } } J _ { 3 }$ 의 세 불변량을 주로 사용하며 $I _ { 1 } \equiv 1 \bar { \pi } \mathsf { k }$ 불변량, $J _ { 2 }$ 는 2차 불변량, $J _ { 3 }$ 는3차 불변량이라 한다.
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# ■ 세 응력 불변량이 가지는 기하학적 의미
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대부분의 재료모델들에서 항복은 편차응력에 의해 주로 지배된다. 따라서 항복함수를 정수압성분과 편차응력성분으로 나누어 나타내는 것은 항복함수의 기하학적형상을 정의하는데 매우 편리하게 사용된다.
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다음은 임의의 응력상태를 나타내는 한 점 $\mathbf { P } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } \right) \mathbf { \equiv }$ 등압축과 편차축 성분으로 나누어 표현하는 방법에 대해 설명한다.
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<!-- source-page: 224 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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P(σ₁, σ₂, σ₃)
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θ₀
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r
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ξ
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N
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σ₁ = σ₂ = σ₃
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e
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O
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σ₃
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σ₂
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</details>
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그림 1.2.1 주응력공간에서의 응력상태 정의
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그림 1.2.1에서와 같이 주응력 공간상에 임의의 응력상태로 표현되는 점$P ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } )$ 가 정의되는 경우 벡터 OP 를 정의할 수 있다. 벡터 OP 는 정수압축을 따르는 벡터 ON 과 정수압축에 수직인 편차평면상에 존재하는 벡터 NP 로나누어 질 수 있으며, 그 크기는 다음과 같다.
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$$
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\left| \mathbf {O N} \right| = \xi = \frac {1}{\sqrt {3}} I _ {1} \tag {1.2.12}
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$$
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$$
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\left| \mathbf {N P} \right| = r = \sqrt {2 J _ {2}}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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P(σ₁, σ₂, σ₃)
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θ₀
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r
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N
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σ₂
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σ₃
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</details>
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그림 1.2.2 편차평면상에서의 응력상태 정의
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<!-- source-page: 225 -->
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그림 1.2.2는 등압축에 수직인 평면인 편차평면을 나타낸다. 앞에서 정의된 벡터NP 는 편차편차평면 상에서 점 P 를 정의하기 위해 $\sigma _ { 1 } \bar { \Xi } \underline { { { Q } } }$ 로부터 $\theta _ { 0 }$ 만큼 회전되어야 한다. 이때 $\theta _ { 0 } \equiv$ 상이각(similarity angle)이라 하며 다음과 같다.
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$$
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\theta_ {0} = \frac {1}{3} \cos^ {- 1} \left(\frac {3 \sqrt {3}}{2} \frac {J _ {3}}{J _ {2} ^ {3 / 2}}\right) \tag {1.2.13}
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$$
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이때 $\theta _ { 0 } \cong \mathtt { L } | \frac { \circ } { \boxtimes } \frac { \circ } { }$ 범위를 갖는다.
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$$
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0 \leq \theta_ {0} \leq \frac {\pi}{3} \tag {1.2.14}
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$$
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수치해석을 위해서는 $\theta _ { 0 }$ 보다는 로데의 각(Lode’s angle) θ 를 사용하는 것이 편리하며 다음과 같이 정의한다.
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$$
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\theta = \frac {1}{3} \sin^ {- 1} \left(- \frac {3 \sqrt {3}}{2} \frac {J _ {3}}{J _ {2} ^ {3 / 2}}\right) \tag {1.2.15}
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$$
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이때 $\theta = \theta _ { 0 } - \frac { \pi } { 6 }$
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$$
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- \frac {\pi}{6} \leq \theta \leq \frac {\pi}{6} \tag {1.2.16}
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$$
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재료의 항복함수를 정의하는데에는 종종 주응력을 응력불변수로 나타내는 것이 편리할 때가 있으며 로데의 각을 사용하여 이를 정리하면 다음과 같다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \end{array} \right\} = \frac {2 \sqrt {J _ {2}}}{\sqrt {3}} \left\{ \begin{array}{l} \sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right) \\ \sin (\theta) \\ \sin \left(\theta + \frac {4}{3} \pi\right) \end{array} \right\} + \frac {I _ {1}}{3} \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right\} \tag {1.2.17}
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$$
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<!-- source-page: 226 -->
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# 1-2-2 Rankine 모델
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Rankine 모델은 취성재료의 인장거동을 정의하는데 사용되는 모델로서 토목분야에서는 주로 암석의 인장에 의한 파괴거동이나 콘크리트의 인장균열 또는 고체요소의 압축전담거동을 정의할 때 사용된다. Rankine 모델은 외력에 의한 최대 주응력(maximum principal stress) σ1 과 실험을 통해 정의된 인장강도(tensilestrength) σ t 를 사용하여 재료의 항복을 정의하는 모델로서 최대 주응력 항복기준(maximum principal stress criterion)이라고도 하며 최대 주응력이 인장강도를 초과하는 경우 항복이 진행된다고 가정하여 항복함수를 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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f (\boldsymbol {\sigma}, \kappa) = \sigma_ {1} - \sigma_ {t} (\kappa) = 0 \tag {1.2.18}
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$$
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Rankine 모델은 주로 인장절단(tension cutoff)거동을 묘사하는데 사용되며, 뒤에서 거론될 전단거동을 정의하는 Mohr-Coulomb이나 Drucker-Prager 모델과 함께 복합항복모델로 사용되는 것이 일반적이다.
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식 (1. 2.18)을 불변량 1 2I J , , θ 및 경화변수 κ 를 사용하여 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta , \kappa\right) = \frac {2}{\sqrt {3}} \sqrt {J _ {2}} \left(\sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right)\right) + \frac {I _ {1}}{3} - \sigma_ {t} (\kappa) = 0 \tag {1.2.19}
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$$
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또한 식 (1.2.18)을 ξ, , , r θ κ 의 항으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f (\xi , r, \theta , \kappa) = \frac {2}{\sqrt {6}} r \left(\sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right)\right) + \frac {\xi}{\sqrt {3}} - \sigma_ {t} (\kappa) = 0 \tag {1.2.20}
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$$
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그림 1.2.3은 응력 공간상에서 Rankine 모델의 3차원 형상을 보여준다. 그림 1.2.4에서와 같이 π 평면 상에서의 형상은 정삼각형 형상이며, 메리디안 평면(meridianplane)상에서는 등압축(hydrostatic axis)에 대한 선형함수로 정의할 수 있다.
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# ■ 경화거동
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Rankine 모델의 경화거동을 정의하기 위한 등가소성변형률의 계산에 사용되는 주소성변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right\} \tag {1.2.21}
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$$
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식 (1.2.21)을 식 (1.1.8)에 대입하여 정리하면 다음과 같이 경화변수와 소성승수의관계를 구할 수 있다.
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$$
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\kappa = \sqrt {\frac {2}{3}} \lambda \tag {1.2.22}
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$$
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midas FEA에서는 Rankine 모델에 대해 인장응력 σ t 에 대한 경화거동을 지원하며, 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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-σ₁
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-σ₃
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-σ₂
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</details>
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그림 1.2.3 주응력공간에서의 Rankine 항복면 형상
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<!-- source-page: 228 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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θ
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r
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rₜ
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r꜀
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σ₂
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σ₃
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</details>
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(a) π 평면에서의 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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θ = -π/6
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1
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√2
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r_t = √(3/2) f_t'
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√3 f_t'
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hydrostatic axis
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θ = π/6
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1
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√2
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r_c = √6 f_t'
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</details>
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(b) $\theta = - { \frac { \pi } { 6 } }$
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그림 1.2.4 π 평면과 메리디안 평면에서의 Rankine 항복면 형상
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# 1-2-3 Tresca 모델
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Tresca 모델은 연성재료인 금속재료의 탄-소성 비선형 거동을 묘사하기 위해서개발되었으며, 지반에서는 연약지반의 전단강도를 정의하기 위한 φ = 0 해석에도사용된다. Tresca는 외력에 의해 물체의 한 점에서 발생하는 최대 전단응력이 재료의 전단강도 τ (κ ) 에 도달하였을 때 항복이 발생되는 것으로 간주하여 항복함수를 다음과 같이 정의한다.
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$$
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f (\sigma , \kappa) = \frac {1}{2} \left| \sigma_ {1} - \sigma_ {3} \right| - \tau_ {y} (\kappa) = 0 \tag {1.2.23}
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$$
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여기서, $\sigma _ { 1 } \geq \sigma _ { 2 } \geq \sigma _ { 3 }$ 이다. 식 (1.2.23)의 양변에 2를 곱하여 응력불변량 $J _ { 2 } , \theta$ 의항으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(J _ {2}, \theta\right) = \frac {2}{\sqrt {3}} \sqrt {J _ {2}} \left[ \sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right) - \sin \left(\theta + \frac {4}{3} \pi\right) \right] - 2 \tau_ {y} (\kappa) \tag {1.2.24}
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$$
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$$
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= 2 \sqrt {J _ {2}} \cos \theta - \sigma_ {y} (\kappa) = 0
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$$
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여기서, $\sigma _ { y } ( \kappa ) = 2 \tau _ { y } \left( \kappa \right)$ 이며, 일축항복응력을 나타낸다.
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<!-- source-page: 229 -->
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또한 식 (1.2.23)을 불변량 r, θ 로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f (r, \theta) = \sqrt {2} r \cos \theta - \sigma_ {y} (\kappa) = 0 \tag {1.2.25}
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$$
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Tresca 모델에서는 항복면에 작용하는 정수압의 영향을 고려하지 않으므로, 식(1.2.24)에서와 같이 정수압을 정의하는 응력 불변수 I 에 무관하며, 그림 1.2.6(a)와 같이 편차평면 상에서 로데의 각 θ에 따라 편차응력 r 의 크기가 달라지는 형태를 가지게 된다. 정수압에 무관하다는 의미는 등방적으로 동일한 하중이 작용되는 경우 즉, 삼축 등인장이나 삼축 등압축이 작용하는 경우에는 하중의 크기가 무한대로 커진다고 할지라도 재료가 항복하지 않는다는 것을 뜻한다. 이는 정수압축과 항복면이 만나지 않는다는 것을 뜻하며, 이에 따라 Tresca 항복기준은 그림1.2.5와 같이 주응력 공간에서 정수압축에 평행한 정육면체 기둥이 되고, 편차평면에서는 정육각형으로 묘사된다. 그림 1.2.6은 π 평면과 메리디안 평면에서의 항복면 형상을 보여준다.
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# ■ 경화거동
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Tresca 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array} \right\} \tag {1.2.26}
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$$
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위의 식 (1.2.26)을 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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\kappa = \frac {2}{\sqrt {3}} \lambda \tag {1.2.27}
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$$
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midas FEA에서는 Tresca 모델에 대해 항복응력 σ y 에 대한 경화거동을 지원하며,경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.
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<!-- source-page: 230 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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-σ₁
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hydrostatic axis
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-σ₂
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-σ₃
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</details>
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그림 1.2.5 주응력공간에서의 Tresca 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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θ
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r_c
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r_t
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σ₂
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σ₃
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</details>
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(a) π 평면에서의 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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deviatoric axis
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r_c
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θ = -π/6
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hydrostatic axis
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r_t
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θ = π/6
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</details>
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(b) $\theta = - { \frac { \pi } { 6 } }$
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그림 1.2.6 π 평면과 메리디안 평면에서의 Tresca 항복면 형상
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@@ -0,0 +1,347 @@
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<!-- source-page: 231 -->
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# 1-2-4 Von Mises 모델
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Von Mises 모델은 연성재료인 금속재료의 해석에서 가장 많이 사용되는 모델로서,정팔면체 전단응력 $\tau _ { o c t }$ 가 순수전단에서의 항복응력 $\tau _ { y }$ 에 도달했을 때 항복이 일어난다는 가정을 적용하여 다음과 같이 수식화한다.
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$$
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f \left(\tau_ {o c t}\right) = \tau_ {o c t} - \sqrt {\frac {2}{3}} \tau_ {y} = 0 \tag {1.2.28}
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$$
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||||
일축압축의 경우를 고려하여 응력불변수를 사용하여 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(J _ {2}, \kappa\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \sigma_ {y} (\kappa) = 0 \tag {1.2.29}
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$$
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||||
여기서, $\sigma _ { y } \left( \kappa \right) \in ~ \sigma _ { y } \left( \kappa \right) = \sqrt { 3 \tau _ { y } }$ 이며, 일축거동에 대한 항복응력을 나타낸다.
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||||
가장 많이 사용되는 형태는 식 (1.2.29)이며, 응력불변량 $J _ { 2 }$ 에만 종속적인 모델로서 $J _ { 2 }$ theory라고도 불린다. Von Mises 항복면은 그림 1.2.7과 같이 주응력공간에서 정수압축에 평행한 원주형상을 나타낸다. 만약, von Mises와 Tresca 기준을압축과 신장자오선 즉, ( / 6) cr θ π = − 및 ( / 6) tr θ π = 에서 서로 일치시키면, 편차평면에서의 von Mises 곡면은 Tresca의 육각형을 외접하는 원이 된다. (그림1.2.8(a)).
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이 경우 예상되는 항복응력의 최대차는 순수전단자오선 ( 0) θ = 을 따라서 일어나며,von Mises와 Tresca 기준의 항복전단응력의 비는 $2 / \sqrt { 3 } = 1 . 1 5$ 이다. 다른 한편으로 만약 두 기준을 순수전단자오선에 일치시키면 von Mises원은 Tresca 육각형을내접하게 되며, 두 기준간의 최대 예상오차는 압축자오선 ( / 6) θ = −π 과 신장자오선$\left( \theta = \pi / 6 \right)$ 을 따라 생긴다(그림 1.1.8(b)).
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<!-- source-page: 232 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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-σ₁
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hydrostatic axis
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-σ₃
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-σ₂
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</details>
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그림 1.2.7 주응력공간에서의 von Mises 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Von mises
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Tresca
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θ
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rc
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ri
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σ₁
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σ₂
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σ₃
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</details>
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(a) π 평면에서 외접한 경우 Tresca와의 관계
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Tresca
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Von mises
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θ
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r
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σ₁
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σ₂
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σ₃
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</details>
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(b) π 평면에서 내접한 경우 Tresca와의 관계
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<!-- source-page: 233 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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deviatoric axis
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r_c
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θ = - π/6
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hydrostatic axis
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r_t
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θ = π/6
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</details>
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(c) $\theta = - { \frac { \pi } { 6 } }$
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그림 1.2.8 π 평면과 메리디안 평면에서의 von Mises 항복면 형상
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# ■ 경화거동
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Von Mises 모델의 변형경화거동을 정의하기 위한 소성 주 변형률은 다음과 같다.
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$$
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||||
\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \frac {1}{2 \sigma_ {e}} \left\{ \begin{array}{c c c} 2 \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & + 2 \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & + 2 \sigma_ {3} \end{array} \right\} \tag {1.2.30}
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$$
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||||
여기서,
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$$
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||||
\sigma_ {e} = \sqrt {\frac {1}{2} \pmb {\sigma} ^ {T} \mathbf {P} \pmb {\sigma}}
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$$
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||||
$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right]
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$$
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||||
윗 식을 적절히 정리하면 다음과 같다.
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<!-- source-page: 234 -->
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$$
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||||
\kappa = \lambda \tag {1.2.31}
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$$
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midas FEA에서는 von Mises 모델에 대해 항복응력 σ y 에 대한 경화거동을 지원하며, 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.
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# 1-2-5 Mohr-Coulomb 모델
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Mohr(1900)의 기준에 의하면 재료의 항복은 다음과 같이 정의된다.
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$$
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||||
\left| \tau \right| = F (\sigma) \tag {1.2.32}
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$$
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여기서, 임의 평면에서의 한계전단응력 τ 는 동일평면상의 수직응력 σ 에만 관계된다고 가정한다. 식 (1.2.32)는 대응하는 Mohr원의 항복면을 나타내며 항복함수F( ) σ 는 실험으로 결정되는 함수이다. Mohr의 기준에 의하면 재료의 항복은 가장큰 Mohr원이 Coulomb의 항복면에 접하는 순간 발생된다고 가정한다. 이것은 중간주응력 $\sigma _ { { } _ { 2 } } ( \sigma _ { { } _ { 1 } } \geq \sigma _ { { } _ { 2 } } \geq \sigma _ { { } _ { 3 } } )$ 가 항복조건에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.Coulomb 항복면의 가장 간단한 형상은 직선이며 이 직선 포락선의 방정식은 다음과 같다.
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$$
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||||
\left| \tau \right| = c + \sigma \tan \phi \tag {1.2.33}
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$$
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여기서, c, φ = 재료의 강도변수
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$$
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c = \text { 점착력 }
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$$
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$$
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||||
\phi = \text { 내부마찰각 }
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$$
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식 (1.2.33)의 항복기준을 Mohr-Coulomb 기준이라 하며, 간단하고 정확성이 높은장점 때문에 압축응력에 따라 전단강도가 달라지는 재료모델에 현재까지 널리 사용되고 있다.
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||||
Mohr-Coulomb 식을 주응력의 항으로 나타내면, 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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||||
\sigma_ {1} \frac {(1 + \sin \phi)}{2 c \cos \phi} - \sigma_ {3} \frac {(1 - \sin \phi)}{2 c \cos \phi} = 1 \tag {1.2.34}
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$$
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<!-- source-page: 235 -->
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||||
식 (1.2.34)를 1 2I J, 및 θ 의 항으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta\right) = - \frac {1}{3} I _ {1} \sin \phi + \sqrt {J _ {2}} \left(\cos \theta + \frac {1}{\sqrt {3}} \sin \theta \sin \phi\right) - c \cos \phi = 0 \tag {1.2.35}
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$$
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||||
Mohr-Coulomb 기준은 그림 1.2.9에서 보는 바와 같이 주응력공간에서 불규칙 육각형 피라미드 형상이고, 자오선은 직선이다. 그리고 π 평면 $( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } = 0 )$ 상의편차형상은 그림 1.2.10(a)와 같이 불규칙 육각형이 된다. 불규칙 육각형을 그리기위해서는 θ = −π / 6 에서의 메리디안 평면에 대한 그림 1.2.10(b)에서와 같이 $r _ { t 0 }$ 와$r _ { c 0 }$ 의 길이가 필요하며, 이들 길이는 다음과 같다.
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$$
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||||
r _ {t 0} = \frac {2 \sqrt {6} c \cos \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.36}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
r _ {c 0} = \frac {2 \sqrt {6} c \cos \phi}{3 - \sin \phi} \tag {1.2.37}
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$$
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||||
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||||
식 (1.2.36)과 식 (1.2.37)로부터 $r _ { t 0 } / r _ { c 0 }$ 는 다음과 같다.
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$$
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||||
\frac {r _ {t 0}}{r _ {c 0}} = \frac {3 - \sin \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.38}
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$$
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||||
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||||
등압축을 따라 Mohr-Coulomb 항복면의 편차평면형상은 모두 기하학적으로 닮은꼴이기 때문에 임의의 편차평면에 대한(즉, I 또는 ξ 의 다른 값에 대한) $r _ { t } / r _ { c }$ 비는 항상 일정하게 유지된다.
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$$
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||||
\frac {r _ {t}}{r _ {c}} = \frac {r _ {t 0}}{r _ {c 0}} = \frac {3 - \sin \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.39}
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$$
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||||
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||||
또한 과도한 체적팽창현상을 제어할 목적으로 비상관소성흐름법칙을 적용할 수 있으며, 이를 위해 소성포텐셜함수는 내부마찰각 φ 대신 팽창각 ψ 를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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||||
g \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta\right) = - \frac {1}{3} I _ {1} \sin \psi + \sqrt {J _ {2}} \left(\cos \theta + \frac {1}{\sqrt {3}} \sin \theta \sin \psi\right) \tag {1.2.40}
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||||
$$
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<!-- source-page: 236 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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-σ₁
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hydrostatic axis
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-σ₃
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-σ₂
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</details>
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그림 1.2.9 주응력공간에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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θ
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r₀
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r₀
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x
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σ₂
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</details>
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(a) π 평면 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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θ = -π/6
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r₁₀ = 2√6c cosφ/3 + sinφ
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√3c cotφ
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hydrostatic axis
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r_c0 = 2√6c cosφ/3 - sinφ
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σ₃ θ = π/6
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</details>
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(b) $\theta = - { \frac { \pi } { 6 } }$
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그림 1.2.10 π 평면과 메리디안 평면에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상
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<!-- source-page: 237 -->
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# ■ 경화거동
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Morh-Coulomb 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} \frac {1}{2} (1 + \sin \psi) \\ 0 \\ - \frac {1}{2} (1 - \sin \psi) \end{array} \right\} \tag {1.2.41}
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$$
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||||
위의 식 (1.2.41)을 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ 와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의된다.
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||||
$$
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||||
\kappa = \lambda \sqrt {\frac {1}{3} \left(1 + \sin^ {2} \psi\right)} \tag {1.2.42}
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$$
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||||
midas FEA에서는 Mohr-Coulomb 모델에 대해 점착력 c , 내부마찰각 φ , 팽창각수 있다.
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<!-- source-page: 238 -->
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# 1-2-6 Drucker-Prager 모델
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Drucker-Prager 모델은 Drucker와 Prager(1952)가 von Mises 모델을 수정하여확장시킨 파괴 기준으로써 실무 문제에 널리 적용되고 있으며, 확장 von Mises(extended von Mises)기준이라고도 불리운다. Drucker-Prager모델의 항복함수와소성포텐셜함수를 응력 불변량 $I _ { 1 }$ 및 $J _ { 2 }$ 의 항으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(I _ {1}, J _ {2}\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \alpha I _ {1} - \beta c = 0 \tag {1.2.43}
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$$
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$$
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||||
g \left(I _ {1}, J _ {2}\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \gamma I _ {1}
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$$
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여기서, $\alpha = \frac { 2 \sin \phi } { 3 - \sin \phi } ~ , ~ \beta = \frac { 6 \cos \phi } { 3 - \sin \phi } ~ , ~ \gamma = \frac { 2 \sin \psi } { 3 - \sin \psi }$
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이때, 재료상수 α 와 k 는 응력상태를 일치시킴으로써, Mohr-Coulomb 기준의 점착력과 내부마찰각인 c 와 φ 에 관련지어 나타낼 수 있다. α 가 ‘0(zero)’이면 식(1.2.43)은 von Mises 항복기준으로 환원된다. 소성포텐셜함수 g 의 β 값을 정의하기 위해서는 팽창각 ψ 값이 추가로 필요하다.
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||||
Drucker-Prager 항복면을 주응력공간에 나타내면 그림 1.2.11과 같다. 이 항복면은 공간대각선(정수압면 응력축, $\sigma _ { 1 } = \sigma _ { 2 } = \sigma _ { 3 }$ )을 축으로 하는 정원추형 형상을 나타낸다.
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Drucker-Prager 항복면은 콘크리트나 지반재료의 거동에 맞추어 von Mises 항복면을 정수압에 따라 변화하도록 확장한 것으로 생각할 수 있다.
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<!-- source-page: 239 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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-σ₁
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hydrostatic axis
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-σ₃
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-σ₂
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</details>
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그림 1.2.11 주응력공간에서의 Drucker-Prager 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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θ
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r
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r₀
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σ₂
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σ₃
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</details>
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(a) π 평면에서의 항복면 형상
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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θ = - π/6
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√6α
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1
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r₀ = √2βc
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hydrostatic axis
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βc/√3α
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r₀ = √2βc
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θ = π/6
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√6α
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1
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</details>
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(b) 메리디안 평면에서의 항복면 형상
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그림 1.2.12 π 평면과 메리디안 평면에서의 Drucker-Prager 항복면 형상
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<!-- source-page: 240 -->
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# ■ 경화거동
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||||
Drucker-Prager 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.
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$$
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||||
\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left(\frac {1}{2 \sigma_ {e}} \left\{ \begin{array}{l l l} 2 \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & + 2 \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & + 2 \sigma_ {3} \end{array} \right\} + \gamma \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right\}\right) \tag {1.2.44}
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$$
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여기서,
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$$
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\sigma_ {e} = \sqrt {\frac {1}{2} \boldsymbol {\sigma} ^ {T} \mathbf {P} \boldsymbol {\sigma}}
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$$
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$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right]
|
||||
$$
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||||
위의 식 (1.2.44)를 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의된다.
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$$
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||||
\kappa = \lambda \sqrt {1 + 2 \gamma^ {2}} \tag {1.2.45}
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$$
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||||
midas FEA에서는 Drucker-Prager 모델에 대해 점착력 c , 내부마찰각 φ , 팽창각 ψ 에 대한 경화거동을 지원하며, 각 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.
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@@ -0,0 +1,253 @@
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<!-- source-page: 241 -->
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# Chapter 2. Total Strain Crack
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# 2-1 개요
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# 2.1.1 콘크리트 균열모델
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콘크리트의 균열에 대한 해석 방법은 그림 2.1.1과 같이 이산균열모델(discretecrack model)과 분산균열모델(smeared crack model)로 구분할 수 있다. 이산균열모델은 균열을 경계로 분리된 유한요소를 사용하는 방법이며, 분산균열모델은균열이 분산 분포된 것으로 가정하여 균열 위치에 분리된 요소를 사용하지 않는방법이다.
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Discrete Crack
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fct σnσ
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Gf w
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Smeared Crack
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σnσ
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fct σnσ
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Gf/h εnσ
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그림 2.1.1 콘크리트 균열 모델
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이산균열모델은 콘크리트 균열에 의한 물리적인 불연속 및 철근의 파단과 미끄러짐 등의 거동을 구체적으로 모사할 수 있는 장점이 있다. 그러나 해석에 필요한 물성치에 따라 해석의 정밀도가 크게 좌우되거나, 유한요소 모델링이 상당히 복잡하다는 단점이 있다. 모델링 방법으로는 균열 발생 위치에서 요소를 자동으로 분할하게 하거나, 균열이 예상되는 부위에 계면 요소(interface element)를 미리 추가하는 방법 등이 있다.
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분산균열모델은 국부적으로 발생하는 균열이 넓은 면에 고르게 분산된 것으로 가정하는 방법을 사용한다. 일반적으로 철근이 많이 배근된 철근 콘크리트 구조물의해석에 적합하다고 알려져 있으며, 유한요소 모델링이 비교적 간단하다. 분산균열
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모델은 발생 균열의 각도를 가정하는 방법에 따라 균열 방향이 서로 직교하는 직교 균열(orthogonal crack)모델과 균열 방향이 서로 직교하지 않는 비직교 균열(non-orthogonal crack)모델로 구분하기도 한다. 또한 균열에 대한 수치적 해석방법에 따라 변형률 분해 모델(decomposed-strain model), 전변형률 모델(totalstrain model) 및 기타 다양한 모델로 구분된다.
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분산균열모델에서의 변형률분해 모델은 전변형률을 재료변형률(material strain)과균열변형률(crack strain)로 분리하여 계산을 수행한다. 재료변형률은 선형변형률(elastic strain), 소성변형률(plastic strain), 크리프변형률(creep strain), 열변형률(thermal strain) 등을 포함할 수 있기 때문에 다양한 확장성을 가지고 있다. 그리고 균열 변형률은 다른 각도를 가진 여러 개의 균열변형률을 포함할 수 있어 비직교 다방향균열모델(non-othogonal multi-directional crack model)로의 확장도가능하다. 그러나 알고리즘이 복잡하고, 물성치 선정이 어려우며, 수렴 성능이 낮아질 수 있는 단점이 있다.
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분산균열모델에서의 전변형률 모델은 변형률 성분을 분리하지 않고 전변형률을 사용하므로 비교적 간단한 방법으로 수식화할 수 있다. 또한 균열을 포함한 인장 및압축 거동 모두에 대하여 각각 한가지만의 응력-변형률 관계를 사용하기 때문에알고리즘의 이해가 쉽다. 그리고 비선형 거동을 정의하기 위한 물성치의 입력이비교적 단순하여 실무에서 사용하기 쉬운 장점이 있다.
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# 2.1.2 전변형률 균열모델
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midas FEA에서는 분산균열모델의 전변형률 균열모델(total strain crack model)을 사용하고 있다. 그리고 그림 2.1.2와 같이 균열 축을 취급하는 방법에 따라 고정균열모델(fixed crack model) 및 회전균열모델(rotating crack model)로 구분되는 두 가지 방법을 제공한다. 전자는 균열 축이 한번 결정되면 변화하지 않는 것으로 가정하는 방법이며, 후자는 주변형률의 변화에 따라 균열 방향이 계속해서 회전한다고 가정하는 방법이다.
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σc2
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τ
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ε1
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ε2
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τ
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σc1
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y
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x
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(a）fixed crack model
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σc2 ε2
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σc1 ε1
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y
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x
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(b）rotating crack model
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그림 2.1.2 직교균열모델
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고정균열모델과 회전균열모델 모두 적분점에서의 첫번째 균열은 항상 주변형률 방향에서 발생한다. 콘크리트는 균열 발생 전에는 등방성(isotropic)의 특성을 가지지만 균열 발생 이후에는 이방성(anisotropic) 특징을 가지게 된다. midas FEA에서는 균열 이후 콘크리트의 특성을 직교이방성(orthotropic)의 재료로 취급하며 균열면에서 수직응력(normal stress)과 전단응력(shear stress)을 산정한다. 고정균열모델에서는 초기 균열의 방향이 변하지 않는 것으로 가정하기 때문에 그림2.1.2(a)와 같이 균열면에 수직응력과 전단응력이 존재한다. 그러나 회전균열모델에서는 전단계에서 발생한 균열을 무시하고, 현재의 주변형률 방향에서 새로운 균열이 발생하는 것으로 가정한다. 따라서 그림 2.1.2(b)와 같이 균열 면에서 수직응
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력만이 발생한다. midas FEA의 고정균열모델과 회전균열모델에서는 균열각이 수직인 경우만을 고려하기 때문에 직교균열모델로 분류할 수 있다.
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고정균열모델은 균열 현상에 대한 물리적 특성을 구체적으로 반영할 수 있는 있지만 직교균열모델인 경우 비직교균열모델에 비하여 강성과 강도를 약간 과대 평가하는 경향이 있다. 반면에 회전균열모델은 이전의 균열 상태를 기억할 필요가 없으므로 알고리즘이 비교적 단순하며 수렴성도 좋다. 이러한 장점으로 인하여 회전균열모델은 철근콘크리트 구조물의 비선형 해석 방법으로 오랫동안 사용되어 왔다.전변형률을 바탕으로 한 구성 모델(constitutive model)은 Vecchio와 Collins1 가제안한 수정압축장 이론(modified compression field theory)에 이론적인 바탕을두고 있다. 이 이론은 기본적으로 2차원 기반이다. 따라서 3차원으로의 확장 모델은 Selby와 Vecchio2 가 제안한 이론에 준하여 프로그램을 구현하였다.
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1 Vecchio, F. J., and Collins, M. P. “The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear”. ACI Journal 83, 22 (1986), 219–231.
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2 Selby, R. G., and Vecchio, F. J., “Three-dimensional Constitutive Relations for Reinforced Concrete”. Tech. Rep. 93-02, Univ. Toronto, dept. Civil Eng., Toronta, Canada, 1993.
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# 2-2 기본특성
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전변형률 균열모델 해석을 수행하기 위해서는 다음과 같은 값을 정의하여야 한다.
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- 균열모델타입(crack model type)
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- 일반적인 콘크리트 특성(general concrete properties )
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- 인장거동(tensile behavior)
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- 압축거동(compression behavior)
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- 전단거동(shear behavior)
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- 횡방향영향(lateral influences)
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# 2.2.1 균열모델타입
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midas FEA에서 구현하고 있는 전변형률 균열모델은 분산 고정균열모델 과 분산회전균열모델 두 종류이다. 회전균열모델과 고정균열모델 은 일반적인 철근 콘크리트 구조물의 균열 거동 모사에 탁월한 것으로 알려져 있으며, 특히 고정균열모델은 콘크리트 균열의 물리적인 거동을 적절히 모사하고 있는 것으로 평가 받고있다. 두 모델의 차이는 균열 방향을 결정하는 과정에 있다.
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# 2.2.2 일반 콘크리트 특성
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균열해석에 필요한 물성치는 직접 수치로 입력할 수도 있고, 시방서에서 제안하는값을 사용할 수도 있다.(현재 midas FEA 에서는 CEB-FIP 1990기준을 적용하고있음).
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# 1) 사용자입력
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사용자가 직접 수치로 입력해야 하는 경우, 다음과 같은 물성치를 입력하여야 한다.
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(1) 영 계수(Young’s modulus)
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(2) 포아송비(Poisson’s ratio) [default = 0. 0]
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(3) 인장강도(tensile strength)
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(4) 압축강도(compressive strength)
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(5) 파괴에너지(fracture energy) [if necessary]
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# 2) 설계 기준 입력
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설계기준에서 제시하는 값을 적용하고자 할 때 사용하는 방식이며, 현재는 CEB-FIP 1990 기준으로 물성치를 계산하여 해석에 적용한다. 전변형률 균열모델에서필요한 물성치를 적절히 입력하기 위해서 사용자는 콘크리트 강도등급과 콘크리트최대 골재크기를 입력해야 하며 입력된 두 값을 이용하여 CEB-FIP 1990에서 제시하는 압축강도와 인장강도 사이의 관계식 뿐만 아니라, 압축강도와 파괴에너지사이의 관계식을 통해 물성치를 계산한다.
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$$
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\begin{array}{l l} \text {Grade} & : \text {콘크리트 강도등급} \\ D _ {\max} & : \text {콘크리트 최대골재 크기} \end{array}
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$$
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콘크리트 강도등급은 특성압축강도, ckf (characteristic compressive strength)로 구분하며 다음과 같다.
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$$
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\text { 콘크리트 강도등급 }: \mathrm{C12,C20,C30,C40,C50,C60,C70,C80}
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$$
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$\Theta \vert 7 \vert k \vert ~ \subset 6 0 \{ \underline { { \circ } } _ { k } ~ f _ { c k } = 6 0 [ \mathsf { N / \bar { \ m } } ] ~ \equiv ~ \underline { { \underline { { \ o } } } } | \mathsf { D } | \bar { \underline { { \varphi } } } \vdash \mathsf { L } .$
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CEB-FIP 1990에서는 입력된 콘크리트 등급과 최대골재 크기를 사용하여 영 계수,평균압축강도(mean compressive strength), 평균인장강도(mean tensile strength),그리고 파괴에너지를 산정하게 된다.
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평균압축강도는 다음과 같이 계산된다.
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$$
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f _ {c m} = f _ {c k} + \Delta f \tag {2.2.1}
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$$
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여기서 $\Delta f = 8$ [MPa] 이다.
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영 계수는 평균압축강도를 이용하여 아래의 식으로 구하게 된다.
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$$
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E _ {c} = E _ {c 0} \left(\frac {f _ {c m}}{f _ {c m 0}}\right) ^ {\frac {1}{3}} \tag {2.2.2}
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$$
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여기서 $E_{c0}=2.15\times10^{4}$ [N/mm²]이며, 기준 평균압축강도, fcm0 는 10 [N/mm²]이다.
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평균인장강도는 아래와 같이 계산된다.
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$$
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f _ {c t, m} = f _ {c t k 0, m} \left(\frac {f _ {c k}}{f _ {c k 0}}\right) ^ {\frac {2}{3}} \tag {2.2.3}
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$$
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여기서, $f_{ctk0}$ 는 1.40 $[N/mm^{2}]$ , $f_{ck0}$ 는 10 $[N/mm^{2}]$ 이다.
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파괴에너지는 압축강도와 최대골재 크기와 관계가 있으며, 아래와 같은 관계식을 사용하고 있다.
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$$
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G _ {f} = G _ {f 0} \left(\frac {f _ {c m}}{f _ {c m 0}}\right) ^ {0. 7} \tag {2.2.4}
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$$
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여기서, $f_{cm0}$ 는 10 $[N/mm^{2}]$ , $G_{f0}$ 는 아래 표와 같이 최대 골재 크기와 관련 있다.
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<table><tr><td>Dmax[mm]</td><td>Gf0[J/m2]</td></tr><tr><td>8</td><td>25</td></tr><tr><td>16</td><td>30</td></tr><tr><td>32</td><td>58</td></tr></table>
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# 2-3 재하 및 제하
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midas FEA에서 구현하고 있는 전변형률 균열모델은 균열(cracking)과 압괴(crushing)와 같은 재료적 극한 상태를 모두 모사하고 있으며, 특히 전단 거동은전단 응력과 전단 변형률간의 관계를 통해 명시적으로 모사할 수 있다. 전변형률균열모델은 하중이 제하(unloading)되는 경우 응력-변형률 관계에서 원점을 지향하도록 하였다. 해석적인 구현 과정을 자세히 살펴보면 다음과 같다.
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하중을 받는 콘크리트는 인장력이나 압축력에 저항하게 되며, 균열과 압괴 같은재료적 극한 상태에 이르기도 한다. 고정균열모델을 사용할 경우 전단 거동을 명시적으로 모사할 수 있다. 콘크리트의 균열과 압괴에 의한 재료의 열화는 여섯 개의 손상 변수(damage variables) k ( 1,...,2 strk n ( nstr = 주응력 개수))에 의해평가될 수 있다. 내부 손상 변수들은 벡터 α 를 구성한다. 최대 인장 변형률에 관한 변수들 $( \mathbf { \nabla } k = 1 , . . , n _ { s t r } ) \supseteq \mathbf { \nabla } ^ { \circ } \cdot \mathbf { 0 } ^ { \circ }$ 이상의 값을 갖게 된다. 최소 압축 변형률을 파악해주는 변수들 $( \textit { \textbf { k } } = 1 + n _ { s t r } , . . . , 2 \times n _ { s t r } \textit { \textbf { ) } } \stackrel { \mathrm { { O } } } { = } \textit { \mathrm { { \Omega } } } ^ { , }$ 이하의 값을 갖는다. 손상의 복원(damage recovery)은 일어날 수 없다고 가정하기 때문에 손상 변수들의 절대값은증가하기만 한다.
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하중의 재하-제하-재재하(loading-unloading-reloading) 조건은 추가적인 제하제한(unloading constraints)변수 kr 에 의해 파악한다. 제하 제한 변수는 인장과 압축 영역 각각에서 결정되고, 각 영역의 강성 저감(stiffness degradation)을 모사하는데 사용된다.
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인장영역에서 제하 제한 변수는 다음과 같다.
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r _ {k} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k} > \alpha_ {k} \\ 1 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k} \leq \alpha_ {k} \end{array} \right. (k = 1,..., n _ {s t r}) \tag {2.3.1}
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$$
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압축영역에서 제하 제한 변수는 다음과 같다.
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$$
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r _ {k} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k - 3} < \alpha_ {k} \\ 1 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k - 3} \geq \alpha_ {k} \end{array} \right. (k = 1 + n _ {s t r}, \dots , 2 \times n _ {s t r}) \tag {2.3.2}
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$$
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그리고 내부 변수들의 갱신은 다음과 같이 수행된다.
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$$
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{ } _ { i + 1 } ^ { t + \Delta t } \boldsymbol { \alpha } = { } ^ { t } \boldsymbol { \alpha } + \mathbf { W } \Delta \boldsymbol { \varepsilon } \tag {2.3.3}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {W} = \left\{ \begin{array}{c c} W _ {k, k} = 1 - r _ {k} & k = 1, \dots , n _ {s t r} \\ W _ {k + n _ {s t r}, k} = 1 - r _ {k} & k = 1 + n _ {s t r}, \dots , 2 \times n _ {s t r} \end{array} \right. \tag {2.3.4}
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$$
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손상 복원이 일어나지 않는다는 가정하에, j 방향 응력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\sigma_ {j} = f _ {j} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \cdot g _ {j} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \tag {2.3.5}
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$$
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일축 응력-변형률 관계를 나타내는 j 방향의 내부 변수 j 뿐만 아니라 나머지 방향들의 내부 변수들과 변형률에 의한 영향을 받기 때문에 위와 같이 α와 ε의 함수로 표현된다. 제하와 재재하가 각 방향의 최대, 최소 변형률을 고려한 할선 (secant) 방식으로 모사가 된다면, $g_{j}$ 로 명명된 재하-제하 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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g _ {j} = \left\{ \begin{array}{c c c} 1 - \frac {\alpha_ {j} - \varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j}} = \frac {\varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j}} & \text { if } & \varepsilon_ {j} > 0 \\ 1 - \frac {\alpha_ {j + n s t r} - \varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j + n s t r}} = \frac {\varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j + n s t r}} & \text { if } & \varepsilon_ {j} < 0 \end{array} \right. \quad \left[ 0 \leq g \leq 1 \right] \tag {2.3.6}
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$$
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일축 응력-변형률 관계식은 균열 방향의 기본 강도를 의미하는 재하-제하 함수를 곱하여 얻어진다. midas FEA에서 구현된 재료 모델은 구속 효과(confinement effect)와 횡균열(lateral cracking)이 강도에 미치는 영향을 고려하고 있다. 왜냐하면 이들 요인이 최대 강도 및 응력-변형률 곡선의 개형에 영향을 미치기 때문에 적절히 고려될 필요가 있기 때문이다.
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# 2-4 균열변형률 변화
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전변형률 균열모델의 구성 모델은 응력을 전변형률의 함수로서 정의하고 있다.midas FEA에서는 하중재하와 제하를 각기 다른 경로상에서 일어나는 것으로 모사되고 있으며 특히 하중제하는 할선 기울기를 가지고 일어난다고 본다. 전변형률 균열모델의 응력-변형률 관계을 위해서는 midas FEA가 제공하는 이력 모델을사용할 수 있다.
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본 절에서 설명할 직교균열모델개념은 균열 해석에서 널리 사용되고 있는 대표적인 방식으로서 변형률 벡터의 주방향(principal direction)에 따라 응력-변형률 관계를 정의한다.
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회전균열모델은 철근콘크리트 구조물의 거동 예측에 탁월한 것으로 알려져 있다.한편 고정균열모델은 초기 균열 방향에 따른 고정된 좌표 축을 기초로 응력-변형률 관계를 정의한다. 이상 두 가지 개념은 균열 방향들이 고정되어 있는지, 회전하는지의 차이가 있을 뿐 공통적으로 비슷한 틀 안에서 비교적 용이하게 설명될 수있다.
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전변형률 균열모델의 기본적인 개념은 균열 방향들을 고려하여 응력들이 산정된다는 점이다. 요소 좌표계에서의 변형률은 변형률 증분량 xyz 을 고려하여 다음과같이 갱신된다.
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$$
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{ } _ { i + 1 } ^ { t + \Delta t } \varepsilon _ { x y z } = { } ^ { t } \varepsilon _ { x y z } + { } _ { i + 1 } ^ { t + \Delta t } \Delta \varepsilon _ { x y z } \tag {2.4.1}
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$$
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균열 방향의 변형률은 요소좌표계의 변형률에 변환행렬을 곱하여 다음과 같이 구해진다.
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$$
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\mathbf {\Sigma} _ {i + 1} ^ {t + \Delta t} \varepsilon_ {n s t} = \mathbf {T} _ {i + 1} ^ {t + \Delta t} \varepsilon_ {x y z} \tag {2.4.2}
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$$
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회전균열모델에서 변환 행렬 T 는 다음과 같이 현재 변형률에 의해 결정된다.
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$$
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\mathbf {T} = \mathbf {T} \left( \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {x y z}\right) \tag {2.4.3}
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$$
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반면 고정균열모델에서 변환 행렬은 초기 균열 방향에 의해 고정되며 변형률 텐서(strain tensor)가 다음과 같을 때,
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@@ -0,0 +1,319 @@
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$$
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\mathbf {E} = \left[ \begin{array}{l l l} \varepsilon_ {x x} & \varepsilon_ {x y} & \varepsilon_ {x z} \\ \varepsilon_ {y x} & \varepsilon_ {y y} & \varepsilon_ {y z} \\ \varepsilon_ {z x} & \varepsilon_ {z y} & \varepsilon_ {z z} \end{array} \right] \tag {2.4.4}
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$$
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고유벡터(eigenvector)는 아래와 같은 회전 행렬(rotation matrix) R 에 저장된다.
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$$
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\mathbf {R} = \left[ \begin{array}{l l l} \mathbf {n} & \mathbf {s} & \mathbf {t} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} c _ {x n} & c _ {x s} & c _ {x t} \\ c _ {y n} & c _ {y s} & c _ {y t} \\ c _ {z n} & c _ {z s} & c _ {z t} \end{array} \right] \tag {2.4.5}
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$$
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여기서 $c_{xn} = \cos\phi_{ij}$ 로서 i 축과 j 축 사이의 코사인을 의미한다. 그리고 적절한 연산과정을 통해 다음과 같은 일반 3-D기준의 변환 행렬 T 를 얻게 된다.
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$$
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\mathbf {T} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} c _ {x n} ^ {2} & c _ {y n} ^ {2} & c _ {z n} ^ {2} & c _ {x n} c _ {y n} & c _ {y n} c _ {z n} & c _ {z n} c _ {x n} \\ c _ {x s} ^ {2} & c _ {y s} ^ {2} & c _ {z s} ^ {2} & c _ {x s} c _ {y s} & c _ {y s} c _ {z s} & c _ {z s} c _ {x s} \\ c _ {x t} ^ {2} & c _ {y t} ^ {2} & c _ {z t} ^ {2} & c _ {x t} c _ {y t} & c _ {y t} c _ {z t} & c _ {z t} c _ {x t} \\ 2 c _ {x n} c _ {x s} & 2 c _ {y n} c _ {y s} & 2 c _ {z n} c _ {z s} & c _ {x n} c _ {y s} + c _ {y n} c _ {x s} & c _ {y n} c _ {z s} + c _ {z n} c _ {y s} & c _ {z n} c _ {x s} + c _ {x n} c _ {z s} \\ 2 c _ {x s} c _ {x t} & 2 c _ {y s} c _ {y t} & 2 c _ {z s} c _ {z t} & c _ {x s} c _ {y t} + c _ {y s} c _ {x t} & c _ {y s} c _ {z t} + c _ {z s} c _ {y t} & c _ {z s} c _ {x t} + c _ {x s} c _ {z t} \\ 2 c _ {x t} c _ {x n} & 2 c _ {y t} c _ {y n} & 2 c _ {z t} c _ {z n} & c _ {x t} c _ {y n} + c _ {y t} c _ {x n} & c _ {y t} c _ {z n} + c _ {z t} c _ {y n} & c _ {z t} c _ {x n} + c _ {x t} c _ {z n} \end{array} \right] \tag {2.4.6}
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$$
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구성 모델은 균열 좌표계를 기준으로 구성되며 다음과 같이 표현된다.
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\sigma_ {n s t} ^ {t + \Delta t} = \sigma \left(_ {i + 1} ^ {t + \Delta t} \varepsilon_ {n s t}\right) \tag {2.4.7}
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$$
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최종적으로 균열 좌표계 기준의 응력벡터는 요소 좌표계 기준으로 변환, 갱신된다.
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$$
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\mathbf {\Sigma} _ {i + 1} ^ {t + \Delta t} \sigma_ {x y z} = \mathbf {T} _ {i + 1} ^ {T} \mathbf {\Sigma} _ {n s t} ^ {t + \Delta t} \sigma_ {n s t} \tag {2.4.8}
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$$
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회전균열모델에서는 변환 행렬 T 가 현재 변형률에 의해 $\mathbf{T}^{T}\left(\begin{array}{c}t+\Delta t\\ i+1\end{array}\varepsilon_{xyz}\right)$ 와 같이 결정된다. 한편 고정균열모델에서는 초기 균열(incipient cracking)에 의해 정의된 변환 행렬을 그대로 준용한다.
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# 2-5 강성 행렬
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콘크리트 균열해석은 비선형 해석이므로 반복 해법을 사용한다. 증분 반복 해법을통한 해석에서 외력 벡터와 내력 벡터의 평형은 뉴튼 랩슨(Newton-Raphson)법과같은 방식을 통해 찾게 된다. 이때 평형 조건을 만족하기 위해 구성 모델을 적절한강성 행렬로 정의해야 한다.
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midas FEA에서는 강성 행렬을 구하기 위하여 할선강성(secant stiffness) 기법과접선강성(tangent stiffness) 기법을 사용한다. 할선강성 기법은 균열이 광범위하게발생하는 철근 콘크리트 구조물의 해석에 특히 탁월하고 안정적인 해를 구하는 것으로 알려져 있다. 접선강성 기법은 국부적인 균열이나 균열 전파(crackpropagation)와 같은 해석에 탁월한 것으로 알려져 있다.
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# 2.5.1 접선강성 행렬
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요소 좌표계에서 접선강성행렬은 다음과 같다.
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\mathbf {D} = \mathbf {T} ^ {T} \mathbf {D} _ {\text { tangent }} \mathbf {T} \tag {2.5.1}
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$$
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여기서, T 는 변형률 변환행렬을 의미하고, $\mathbf { D } _ { \mathrm { t a n g e n t } }$ 는 균열 좌표계 기준 접선강성행렬을 의미한다.
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접선강성행렬은 다음과 같이 네 개의 부분 행렬로 분할할 수 있다.
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\mathbf {D} _ {\text {tangent}} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {D} _ {\mathrm{nn}} & \mathbf {D} _ {\mathrm{n} \theta} \\ \mathbf {D} _ {\theta \mathrm{n}} & \mathbf {D} _ {\theta \theta} \end{array} \right] \tag {2.5.2}
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$$
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여기서 $\mathsf { D } _ { \mathsf { n } \mathsf { n } } \mathsf { \stackrel { \circ } { = } }$ 접선강성성분 중 국부균열 변형률의 수직 성분을 나타내는 부분행렬이다. $\sf D _ { \sf \theta \Theta } \equiv$ 접선강성성분 중 국부균열 변형률의 전단 성분을 의미한다. $\mathsf { D } _ { \mathsf { n } \theta } .$ 와 $\mathsf { D } _ { \mathsf { { \theta } n } }$ 는 접선 강성성분 중 수직과 전단 변형률 간의 커플링 관계를 나타내는 부분 행렬이다.
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여러 연구자들 $^{3}$ 에 의하면 $D_{\theta\theta}$ 가 주응력 성분에만 영향을 받으며 커플링 부분 행렬은 없다고 본다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\mathbf {D} _ {\theta \theta} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\sigma_ {1} - \sigma_ {2}}{2 \left(\varepsilon_ {1} - \varepsilon_ {2}\right)} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\sigma_ {2} - \sigma_ {3}}{2 \left(\varepsilon_ {2} - \varepsilon_ {3}\right)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\sigma_ {3} - \sigma_ {1}}{2 \left(\varepsilon_ {3} - \varepsilon_ {1}\right)} \end{array} \right] \tag {2.5.3}
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$$
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위의 관계식에서 알 수 있듯이 전단강성은 주응력들의 영향을 받는 것을 알 수 있다. 이것은 주방향 좌표계의 회전에 의한 직접적 결과이다.
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한편 고정균열모델에서는 커플링 부분행렬이 0 이 아닐 수가 있으며, 전단 지연 (shear-retention)과 수직 변형률 성분간의 관계에 의해 결정된다. 일반적으로 전단 성분이 수직 응력 성분에 미치는 영향은 없다고 보기 때문에 $D_{n\theta}$ 은 0 이 된다. 반면에 $D_{n\theta}$ 은 다음과 같이 주어진다.
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$$
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\mathbf {D} _ {\theta \mathrm{n}} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial \sigma_ {n s}}{\partial \varepsilon_ {n n}} & \frac {\partial \sigma_ {n s}}{\partial \varepsilon_ {s s}} & \frac {\partial \sigma_ {n s}}{\partial \varepsilon_ {t t}} \\ \frac {\partial \sigma_ {s t}}{\partial \varepsilon_ {n n}} & \frac {\partial \sigma_ {s t}}{\partial \varepsilon_ {s s}} & \frac {\partial \sigma_ {s t}}{\partial \varepsilon_ {t t}} \\ \frac {\partial \sigma_ {t n}}{\partial \varepsilon_ {n n}} & \frac {\partial \sigma_ {t n}}{\partial \varepsilon_ {s s}} & \frac {\partial \sigma_ {t n}}{\partial \varepsilon_ {t t}} \end{array} \right] \tag {2.5.4}
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$$
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3 Crisfield, M. A., and Wills, J., “Analysis of R/C panels using different concrete models”, J. Eng. Mech. Div., ASCE 115, 3 (1989), 578–597.
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Feenstra, P. H., “Computational Aspects of Biaxial Stress in Plain and Reinforced Concrete”, PhD thesis, Delft University of Technology, 1993.
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Rots, J. G., “Computational Modeling of Concrete Fracture”, PhD thesis, Delft University of Technology, 1988.
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Willam, K. J., Pramono, E., and Sture, S., “Fundamental issues of smeared crack models”, In Proc. SEM/RILEM Int. Conf. on Fracture of Concrete and Rock, Houston 1987 (New York, 1989), S. P. Shah and S. E. Schwartz, Eds., Springer-Verlag, pp. 142–157.
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위 행렬은 전단 지연이 수직 균열 변형률에 독립적인 경우에는 0 이 된다.
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한편 접선강성행렬의 전단 항들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\mathbf {D} _ {0 0} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial \sigma_ {n s}}{\partial \gamma_ {n s}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial \sigma_ {s t}}{\partial \gamma_ {s t}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial \sigma_ {t n}}{\partial \gamma_ {t n}} \end{array} \right] \tag {2.5.5}
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$$
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수직 강성 항들을 의미하는 $D_{nn}$ 성분은 다음과 같이 편미분 항들로 구성 된다. $D_{nn}$ 은 횡방향 변형률에 의한 상호 영향이 주 응력의 연산에 반영되기 때문에, 다음과 같이 비대각항들이 0이 아니며 비대칭 행렬이 된다.
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$$
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\mathbf {D} _ {\mathrm{nn}} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial \sigma_ {n n}}{\partial \varepsilon_ {n n}} & \frac {\partial \sigma_ {n n}}{\partial \varepsilon_ {s s}} & \frac {\partial \sigma_ {n n}}{\partial \varepsilon_ {t t}} \\ \frac {\partial \sigma_ {s s}}{\partial \varepsilon_ {n n}} & \frac {\partial \sigma_ {s s}}{\partial \varepsilon_ {s s}} & \frac {\partial \sigma_ {s s}}{\partial \varepsilon_ {t t}} \\ \frac {\partial \sigma_ {t t}}{\partial \varepsilon_ {n n}} & \frac {\partial \sigma_ {t t}}{\partial \varepsilon_ {s s}} & \frac {\partial \sigma_ {t t}}{\partial \varepsilon_ {t t}} \end{array} \right] \tag {2.5.6}
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$$
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편미분을 통해 강성 행렬을 유도하기 위하여 먼저 응력-변형률 관계를 다시 적어 보면 다음과 같다.
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\sigma_ {i} = f _ {i} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \cdot \boldsymbol {g} _ {i} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \tag {2.5.7}
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$$
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주변형률 벡터 $\varepsilon_{nst}$ 에 대해 편미분을 취하면,
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\begin{array}{l} \frac {\partial \sigma_ {i}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} = \boldsymbol {g} _ {i} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \left\{\frac {\partial \boldsymbol {\alpha} ^ {\mathrm{T}}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} \frac {\partial f _ {i}}{\partial \boldsymbol {\alpha}} + \frac {\partial f _ {i}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} \right\} + f _ {i} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \left\{\frac {\partial \boldsymbol {\alpha} ^ {\mathrm{T}}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} \frac {\partial \boldsymbol {g} _ {i}}{\partial \boldsymbol {\alpha}} + \frac {\partial \boldsymbol {g} _ {i}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} \right\} \\ = \mathbf {g} _ {i} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \left\{\mathbf {W} ^ {\mathrm{T}} \frac {\partial f _ {i}}{\partial \boldsymbol {\alpha}} + \frac {\partial f _ {i}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} \right\} + f _ {i} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \left\{\mathbf {W} ^ {\mathrm{T}} \frac {\partial g _ {i}}{\partial \boldsymbol {\alpha}} + \frac {\partial g _ {i}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} \right\} \tag {2.5.8} \\ \end{array}
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여기서, $W = \frac{\partial \alpha^{T}}{\partial \varepsilon_{nst}}$
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위의 식을 정리하면 다음과 같다.
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\mathbf {D} _ {n s t} = \left[ \begin{array}{c c c} \left\{m _ {1} r _ {1} + \left(1 - m _ {1}\right) r _ {4} \right\} \overline {{E _ {1}}} & 0 & 0 \\ 0 & \left\{m _ {2} r _ {2} + \left(1 - m _ {2}\right) r _ {5} \right\} \overline {{E _ {2}}} & 0 \\ 0 & 0 & \left\{m _ {3} r _ {3} + \left(1 - m _ {3}\right) r _ {6} \right\} \overline {{E _ {3}}} \end{array} \right]
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$$
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$$
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+ \left[ \begin{array}{c c c} g _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & g _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & g _ {3} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial f _ {1}}{\partial \varepsilon_ {1}} & \frac {\partial f _ {1}}{\partial \varepsilon_ {2}} & \frac {\partial f _ {1}}{\partial \varepsilon_ {3}} \\ \frac {\partial f _ {2}}{\partial \varepsilon_ {1}} & \frac {\partial f _ {2}}{\partial \varepsilon_ {2}} & \frac {\partial f _ {2}}{\partial \varepsilon_ {3}} \\ \frac {\partial f _ {3}}{\partial \varepsilon_ {1}} & \frac {\partial f _ {3}}{\partial \varepsilon_ {2}} & \frac {\partial f _ {3}}{\partial \varepsilon_ {3}} \end{array} \right]
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$$
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$$
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+ \left[ \begin{array}{c c c} g _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & g _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & g _ {3} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial f _ {1}}{\partial \alpha_ {1}} & \frac {\partial f _ {1}}{\partial \alpha_ {2}} & \dots & \frac {\partial f _ {1}}{\partial \alpha_ {6}} \\ \frac {\partial f _ {2}}{\partial \alpha_ {1}} & \frac {\partial f _ {2}}{\partial \alpha_ {2}} & \dots & \frac {\partial f _ {2}}{\partial \alpha_ {6}} \\ \frac {\partial f _ {3}}{\partial \alpha_ {1}} & \frac {\partial f _ {3}}{\partial \alpha_ {2}} & \dots & \frac {\partial f _ {3}}{\partial \alpha_ {6}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} 1 - r _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 - r _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 - r _ {3} \\ 1 - r _ {4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 - r _ {5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 - r _ {6} \end{array} \right]
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$$
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(2.5.9)
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여기서 상태 표시를 의미하는 $m_{i}$ 가 추가되었는데, 이는 변형률의 상태에 따라 다음과 같은 값을 갖는다.
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m _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text { if } \quad \varepsilon_ {i} > 0 \\ 0 & \text { if } \quad \varepsilon_ {i} < 0 \end{array} \right. \tag {2.5.10}
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또한 인장과 압축 영역 각각에 대해 할선강선항은 다음과 같이 정의 된다.
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\overline {{{E}}} _ {j} = \frac {f _ {j} (\boldsymbol {\alpha} , \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t})}{\alpha_ {j}} \quad , \quad \overline {{{E}}} _ {j} = \frac {f _ {j} (\boldsymbol {\alpha} , \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t})}{\alpha_ {j + n s t r}} \tag {2.5.11}
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$$
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접선강성 항들은 전향차분(forward-difference) 기법을 통해 계산된다. 즉 j 번째 성분은 미소한 값 h을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\begin{array}{l} \frac {\partial f _ {i}}{\partial \varepsilon_ {j}} = \frac {f _ {i} \left(\boldsymbol {\alpha} , \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t} + h \boldsymbol {\varepsilon} _ {j}\right) - f _ {i} \left(\boldsymbol {\alpha} , \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}\right)}{h} \tag {2.5.12} \\ \frac {\partial f _ {i}}{\partial \alpha_ {j}} = \frac {f _ {i} (\mathbf {a} + h \mathbf {a} _ {j} , \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) - f _ {i} (\mathbf {a} , \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t})}{h} \\ \end{array}
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$$
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여기서 벡터 $a_{j}$ , $e_{j}$ 는 j번째 항을 제외하고는 모두 0이다.
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강성 행렬 $D_{nst}$ 의 대각 항들은 다음과 같이 명료하게 표현할 수 있다.
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\begin{array}{l} \frac {\partial \sigma_ {i}}{\partial \varepsilon_ {i}} \\ = \left\{m _ {i} r _ {i} + (1 - m _ {i}) r _ {i + n s t r} \right\} \overline {{E _ {i}}} + g _ {i} \left\{(1 - r _ {i}) \frac {\partial f _ {i}}{\partial \alpha_ {i}} + (1 - r _ {i + n s t r}) \frac {\partial f _ {i}}{\partial \alpha_ {i + n s t r}} \right\} \end{array} \tag {2.5.13}
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인장 상태, 즉 $m_{i}=1$ 그리고 $r_{i+nsrt}=1$ 인 경우에 강성 항은 다음과 같이 축약된다.
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\frac {\partial \sigma_ {i}}{\partial \varepsilon_ {i}} = r _ {i} \overline {{{E _ {i}}}} + g _ {i} (1 - r _ {i}) \frac {\partial f _ {i}}{\partial \alpha_ {i}} \tag {2.5.14}
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$$
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\frac {\partial \sigma_ {i}}{\partial \varepsilon_ {i}} = \left\{ \begin{array}{l l} \overline {{E _ {i}}} & \text { if unloading, } \left(r _ {i} = 1, g _ {i} \leq 1\right) \\ \frac {\partial f _ {i}}{\partial \alpha_ {i}} & \text { if loading, } \left(r _ {i} = 0, g _ {i} = 1\right) \end{array} \right. \tag {2.5.15}
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$$
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압축 상태, 즉 $m_{i}=1$ 그리고 $r_{i+nsrt}=1$ 인 경우에 강성 항은 다음과 같이 축약된다.
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\frac {\partial \sigma_ {i}}{\partial \varepsilon_ {i}} = r _ {i + n s t r} \overline {{E _ {i}}} + g _ {i} (1 - r _ {i + n s t r}) \frac {\partial f _ {i}}{\partial \alpha_ {i + n s t r}} \tag {2.5.16}
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$$
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$$
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\frac {\partial \sigma_ {i}}{\partial \varepsilon_ {i}} = \left\{ \begin{array}{l l} \overline {{E _ {i}}} & \text { if unloading, } \left(r _ {i + n s t r} = 1, g _ {i} \leq 1\right) \\ \frac {\partial f _ {i}}{\partial \alpha_ {i + n s t r}} & \text { if loading, } \left(r _ {i + n s t r} = 0, g _ {i} = 1\right) \end{array} \right. \tag {2.5.17}
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$$
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# 2.5.2 할선강성 행렬
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할선강성 방식은 모든 방향의 포아송비를 0으로 갖는 직교 이방성 재료 (orthotropic material)의 강성행렬을 사용한다. 따라서 강성 행렬은 주 방향 좌표계(principal coordinate system)에서 다음과 같이 표현할 수 있다.
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\mathbf {D} _ {\text {secant}} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \overline {{E}} _ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & \overline {{E}} _ {2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & \overline {{E}} _ {3} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \overline {{G}} _ {1 2} & 0 & 0 \\ & \text {sym.} & & & \overline {{G}} _ {2 3} & 0 \\ & & & & & \overline {{G}} _ {3 1} \end{array} \right] \tag {2.5.18}
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# 2-6 압축모델
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# 2.6.1 전변형률 균열모델의 압축 모델
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압축 응력하의 콘크리트가 횡방향 구속이 되면, 등방성 응력(isotropic stress)들이증가하고, 이로 인하여 강도(strength)와 연성(ductility)이 증가하게 된다. 이러한등방성 응력의 영향을 반영하기 위해 압축 응력-변형률 관계가 적절히 수정된다.즉, 압축 응력-변형률 함수의 인자들인 피크 응력(peak stress) fcf와 피크 변형률(peak strain) p 들은 파괴를 일으키는 압축 응력들을 나타내는 파괴 함수(failurefunction)로부터 결정된다. 이 파괴 함수는 횡방향 구속응력들의 함수이다. 압축응력의 직교방향으로 균열이 발생하면 피크 변형률과 피크 응력이 감소하게 된다.피크 변형률은 계수 $\beta _ { \mathrm { { \varepsilon c r } } }$ 를 사용하여 감소되며, 피크 응력은 계수 $\beta _ { \mathrm { o c r } }$ 을 사용하여감소되게 된다. 이들 감소계수에 대한 자세한 식은 이후 절 횡방향 영향에서 설명하고 있다.
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f _ {p} = \beta_ {\sigma_ {c r}} \cdot f _ {c f} \quad \alpha_ {p} = \beta_ {\varepsilon_ {c r}} \cdot \varepsilon_ {p} \tag {2.6.1}
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압축부의 기본 함수는 $\mathrm { f _ { p } } \underline { { \boldsymbol { \mathcal { R } } } } \mathrm { | }$ $\alpha _ { \mathrm { { p } } }$ 들로 표현되며, 기 정의된 곡선들을 활용할 수 있다.기 정의된 곡선의 종류로는 불변(constant), 선형(linear), 선형경화(linearhardening), 포화경화(saturation hardening), 다중선형(multi-linear) 곡선들이 있으며 압축부에 사용 가능한 경화-연화(hardening-softening) 곡선은 포물선(parabolic), Thorenfeldt et. al.4 의 경화 곡선들이다.
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4 Thorenfeldt, E., Tomaszewicz, A., and Jensen, J. J., “Mechanical properties of high-strength concrete and applications in design”, In Proc. Symp. Utilization of High-Strength Concrete (Stavanger, Norway) (Trondheim, 1987), Tapir.
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σ
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ε
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(a) elastic
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(b) constant
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(c) Thorenfeldt
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ε
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E_har
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f_t
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</details>
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(d) linear
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε | σ |
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|-------|-------|
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| (ε₀, σ₀) | 0 |
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| (ε₁, σ₁) | 0 |
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| (ε₂, σ₂) | 0 |
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| (εₙ, σₙ) | 0 |
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</details>
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(e) mult-linear
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε | σ |
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| ------- | ------- |
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| -1/γ | -1/γ |
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| ε | σ |
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| f_c0 | f_c0 |
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| f_c∞ | f_c∞ |
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</details>
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(f) saturation type
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(g) parabolic
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그림 2.6.1 압축 모델
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# 탄성 모델
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일반적인 탄성 모델은 영 계수를 사용한다. 그림 2.6.1(a).
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# 불변 모델
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압축강도를 초과 하면 더 이상 압축응력 증가가 없는 모델이다. 그림 2.6.1(b).
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압축강도 : fc 0.0 의 값을 입력한다.
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# Thorenfeldt 모델
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압축강도 : fc 0.0 의 값을 입력한다. (그림 2.6.1(c)).
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<!-- source-page: 260 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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αp
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f
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α
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fp
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</details>
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그림2.6.2 Thorenfeldt 압축곡선
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Thorenfeldt 곡선 식은 다음과 같다.
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$$
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||||
f = - f _ {p} \frac {\alpha_ {i}}{\alpha_ {p}} \left(\frac {n}{n - 1 + \left(\frac {\alpha_ {i}}{\alpha_ {p}}\right) ^ {n k}}\right) \tag {2.6.2}
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$$
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||||
$$
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||||
\text { 에기서 } n = 0. 8 0 + \frac {f _ {c c}}{1 7}, k = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text { if } 0 > \alpha > \alpha_ {p} \\ 0. 6 7 + \frac {f _ {c c}}{6 2} & \text { if } \alpha \leq \alpha_ {p} \end{array} \right.
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$$
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# - 선형경화 모델
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1차 압축 항복 후 저감된 강성, $E_{har}$ 으로 압축거동을 계속하는 모델이다. (그림 2.6.1(d)).
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$$
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||||
f _ {c} > 0. 0, E _ {h a r} > 0. 0 \text { 의 값을 입력한다. }
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$$
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# - 다중 선형경화 모델
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사용자가 임의의 응력-변형률 값들을 입력하여 응력 곡선을 정의할 수 있다. 최대
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@@ -0,0 +1,388 @@
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<!-- source-page: 261 -->
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30개의 좌표를 입력할 수 있으며, 최초 좌표는 0.d0 이어야 한다. (그림 2.6.1(e)).[조건 < 0.d0 , 변형률은 단조 감소의 값을 입력하여야 한다.]
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# 포화 모델
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본 모델을 사용하기 위해 입력해야 하는 물성치들은 다음과 같다. (그림 2.6.1(f)).
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초기압축강도(initial compressive strength) : fco 0.0
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극한압축강도(ultimate compressive strength) : fc 0.0
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불변경화계수(constant hardening modulus) : Ehar 0.0
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붕괴 계수(decaying factor) : 0.0
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# 포물선 모델
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포물선(parabolic) 모델은 Feenstra5 가 제안한 모델로서 파괴 에너지에 근거하여유도되었다. 본 곡선은 아래 그림과 같이 세 개의 특성 값으로 표현될 수 있다.(그림 2.6.1(g)).
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압축강도(compressive strength) : fc 0.0
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압축파괴에너지(compressive fracture energy) : Gc 0.0
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특성요소길이(characteristic element length) : h 0.0
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||||
5 FEENSTRA, P. H., “Computational Aspects of Biaxial Stress in Plain and Reinforced Concrete”, PhD thesis, Delft University of Technology, 1993.
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<!-- source-page: 262 -->
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | f | Gc/h |
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|-------|-------|-------|
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| αu | - | - |
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| αc | - | - |
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| αc/3 | - | - |
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| fc/3 | - | - |
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</details>
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그림 2.6.3 포물선 압축곡선
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최대 압축강도 $f_{c}$ 의 1/3 에 도달하는 지점의 변형률은 다음과 같다.
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$$
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||||
\alpha_ {c / 3} = \frac {1}{3} \frac {f _ {c}}{E} \tag {2.6.3}
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$$
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||||
최대 압축 강도에 해당하는 변형률은 다음과 같다.
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$$
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||||
\alpha_ {c} = - \frac {4}{3} \frac {f _ {c}}{E} = 4 \alpha_ {c / 3} \tag {2.6.4}
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$$
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||||
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||||
위 값들은 요소 크기나 압축 파괴 에너지와는 무관하게 결정됨을 알 수 있다. 끝으로 압축부에서 연화가 완료된 상태를 의미하는 극한 변형률은 다음과 같다.
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$$
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||||
\alpha_ {u} = \alpha_ {c} - \frac {3}{2} \frac {G _ {c}}{h f _ {c}} \tag {2.6.5}
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$$
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||||
이상의 변수들을 바탕으로 아래와 같은 곡선 관계식을 얻을 수 있다.
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$$
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||||
f = \left\{ \begin{array}{l l} - f _ {c} \frac {1}{3} \frac {\alpha_ {j}}{\alpha_ {c / 3}} & \text { if } \quad 0 \leq \alpha_ {j} < \alpha_ {c / 3} \\ - f _ {c} \frac {1}{3} \left(1 + 4 \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c / 3}}{\alpha_ {c} - \alpha_ {c / 3}}\right) - 2 \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c / 3}}{\alpha_ {c} - \alpha_ {c / 3}}\right) ^ {2}\right) & \text { if } \quad \alpha_ {c / 3} \leq \alpha_ {j} < \alpha_ {c} \\ - f _ {c} \left(1 - \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {c}}\right) ^ {2}\right) & \text { if } \quad \alpha_ {c} \leq \alpha_ {j} < \alpha_ {u} \\ 0 & \text { if } \quad \alpha_ {u} \leq \alpha_ {j} \end{array} \right. \tag {2.6.6}
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$$
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<!-- source-page: 263 -->
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||||
한편, 파괴에너지 Gc 와 특성요소길이 h 가 연화부분에서 지배적임을 다음과 같이유도할 수 있다.
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$$
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||||
\int_ {\alpha_ {c}} ^ {\alpha_ {u}} f d \alpha_ {j} = f _ {c} \left(\alpha_ {j} - \frac {1}{3} \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {c}}\right) ^ {3}\right) \Bigg | _ {\alpha_ {c}} ^ {\alpha_ {u}} = \frac {G _ {c}}{h} \tag {2.6.7}
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$$
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||||
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||||
<!-- source-page: 264 -->
|
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||||
# 2-7인장 모델
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||||
# 2.7.1 인장연화에 대한 배경이론
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균열의 수직방향 응력과 변형률 사이의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\sigma_ {n n} ^ {c r} (\mathcal {E} _ {n n} ^ {c r}) = f _ {t} \cdot y \left(\frac {\mathcal {E} _ {n n} ^ {c r}}{\mathcal {E} _ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) \tag {2.7.1}
|
||||
$$
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||||
|
||||
여기서 $f_{t}$ 는 인장강도를 의미하고, $\varepsilon_{nn.ult}^{cr}$ 는 극한균열변형률을 의미한다.
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||||
함수 $y(\cdot)$ 는 다양한 연화 도식(softening diagram)을 모사하게 된다.
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||||
응력과 변형률 관계에 있어서 연화 거동이 균열폭(crack bandwidth) h 를 통해 Mode-I 파괴에너지, $G_{f}^{I}$ 와 연관이 있다고 보면, 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있다.
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||||
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||||
$$
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||||
G _ {f} ^ {I} = h \int_ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} ^ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = \infty} \sigma_ {n n} ^ {c r} (\varepsilon_ {n n} ^ {c r}) d \varepsilon_ {n n} ^ {c r} \tag {2.7.2}
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||||
$$
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|
||||
식 (2.45)을 식 (2.46)에 대입하면,
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$$
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||||
G _ {f} ^ {I} = h f _ {t} \int_ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} ^ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = \infty} y \left(\frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) d \varepsilon_ {n n} ^ {c r} \tag {2.7.3}
|
||||
$$
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||||
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||||
여기서 $f_{t}$ 는 상수라고 보았다.
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||||
식 (2.7.4)와 같이 치환을 하고 $\varepsilon_{nn.ult}^{cr}$ 을 유한하다고 가정하면, 식 (2.7.5) 를 얻을 수 있다.
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||||
$$
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||||
x = \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \tag {2.7.4}
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$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
G _ {f} ^ {I} = h f _ {t} \left(\int_ {x = 0} ^ {x = \infty} y (x) d x\right) \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} \tag {2.7.5}
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||||
$$
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||||
|
||||
이상의 과정을 통해 최종적인 극한균열변형률, $\varepsilon_{nn.ult}^{cr}$ 을 식 (2.7.6)과 같이 얻을 수 있다.
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<!-- source-page: 265 -->
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||||
|
||||
이 값은 해석 수행 도중에는 일정하다고 보며, 식 (2.7.6) 에 나타난 바와 같이 요소의 물성치와 인장강도, 파괴에너지, 균열폭을 고려하여 계산된다.
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||||
|
||||
$$
|
||||
\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = \frac {1}{\alpha} \times \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.6}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\alpha = \int_ {x = 0} ^ {x = \infty} y (x) d x \tag {2.7.7}
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||||
$$
|
||||
|
||||
인장강도가 초과되거나 변형이 특정요소에 집중되는 경우 Mode-I 파괴에너지는소산되게 된다. 이러한 해석 기법에서는 유한 요소 망의 정밀도(mesh refinement)와 해석결과는 밀접한 관계를 가지게 된다. 경우에 따라 요소 분할이 너무 크게 되어 구성모델상에서 스냅백(snap-back) 문제가 야기될 수 있다. 결과적으로 본해석기법에서 가정된 객관적인 파괴에너지 개념이 만족되지 않을 수 있다.
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|
||||
구성 모델에서의 스냅백 문제는 연화 도식(softening diagram)의 초기 기울기가영 계수보다 절대값으로 클 경우 발생할 수 있다. 여기서 전제로 된 가정은 인장연화 도식(tension softening diagram)의 초기 접선 기울기가 가장 큰 절대값을 가진다고 본 것이다. 이러한 조건을 수식으로 표현해 보면 아래와 같다.
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||||
$$
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||||
\left. \frac {d \sigma_ {n n} ^ {c r}}{d \varepsilon_ {n n} ^ {c r}} \right| _ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} \geq - E \tag {2.7.8}
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$$
|
||||
|
||||
위 식은 식 (2.7.9) 와 같이 다시 표현될 수 있다.
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식 (2.7.9)에 식 (2.7.6)의 극한균열변형률을 대입하고, 다시 정리하면 식 (2.7.10)을 얻을 수 있다.
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|
||||
$$
|
||||
\left. \frac {f _ {t}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} \geq - E \tag {2.7.9}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} \geq - \frac {f _ {t}}{E} \left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = \varepsilon_ {n n. u l t. \min} ^ {c r} \tag {2.7.10}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
만약 식 (2.7.10)의 조건이 만족되지 못할 경우, 이를 해결하기 위한 몇 가지 대안이 있다.
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먼저 균열폭을 줄이는 방법이다. 그러나 이 값은 요소의 고유한 값이며 일정하게유지되어야 한다. 다음으로는 파괴에너지, I Gf 를 증가시키는 방법이 있다. 이것은
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<!-- source-page: 266 -->
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결국 재료의 연성을 증가시키는 역할을 하게 된다. 마지막으로는 인장 강도 tf 를감소시키는 방법이 있다. 이는 파괴에너지는 일정하게 하면서 재료의 연성을 증가시키는 역할을 하게 된다.
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||||
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||||
이상 제시된 방안들 중 가장 효율적인 방법은 물리적인 의미를 고려할 때, 인장강도를 감소시키는 방법이다. 고려되는 영역이 클수록 인장강도가 감소될 확률은 높아진다. 이는 곳 요소가 큰 요소의 경우 적절히 인장강도가 감소되어야 함을 의미한다. 왜냐하면 이렇게 큰 요소의 경우에는 응력집중이 나타나기 힘들기 때문이다.따라서 만약 식 (2.7.10) 이 만족되지 않는 경우 다음과 같이 인장강도는 감소되어야 한다.
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|
||||
$$
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||||
f _ {t, r e d} ^ {2} = - \frac {G _ {f} ^ {\prime} E}{\alpha h \frac {d y}{d x} \Big | _ {x = 0}} \tag {2.7.11}
|
||||
$$
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||||
다른 대안으로는 균열폭이 아래와 같은 값을 갖도록 요소 크기를 줄여주는 방법도있다.
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$$
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||||
h _ {\max} = - \frac {G _ {f} ^ {I} E}{\left. \alpha f _ {t} ^ {2} \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0}} \tag {2.7.12}
|
||||
$$
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||||
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<!-- source-page: 267 -->
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# 2.7.2 전변형률 균열모델의 인장 모델
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||||
전변형률 균열모델에서 제공하는 인장 거동 모델은 탄성(elastic), 불변(constant),취성(brittle), 선형(linear), 지수(exponential), Hordijk, 다중선형(multi-linear)이다.이들은 다음과 같이 이론적 차이를 바탕으로 구분할 수 있다.
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||||
전변형률 균열모델에서는 파괴에너지에 근거한 연화 함수들을 구현하고 있다. 이연화함수들을 바탕으로 모델을 구분해보면, 선형 연화 곡선(linear softeningcurve), 지수 연화 곡선(exponential softening curve), 비선형 연화 곡선(nonlinear softening curve - Hordijk6 )이 있다. 이들 모델들은 분산균열모델에서와 마찬가지로 균열폭과 연관을 가진다.
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||||
다음으로, 파괴에너지에 직접적으로 상관관계가 없는 인장 거동이 있다. 이들은 전변형률 개념 안에서 적절히 모사될 수 있다. 이들은 불변, 다중선형, 취성 거동들이다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ
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ε
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</details>
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||||
(a) elastic
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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||||
σ
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fₜ
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</details>
|
||||
|
||||
(b) constant
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||||
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<details>
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||||
<summary>line</summary>
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||||
|
||||
| ε | σ |
|
||||
| ---- | ----- |
|
||||
| 0 | 0 |
|
||||
| 0.5 | 1 |
|
||||
| 1 | 0 |
|
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</details>
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||||
|
||||
(c) brittle
|
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|
||||
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||||
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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|
||||
σ
|
||||
fₜ
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||||
Gₙ/h
|
||||
ε
|
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</details>
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||||
(d) linear
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<details>
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||||
<summary>line</summary>
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||||
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||||
| f_t | σ |
|
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|-----|-------|
|
||||
| 0 | 0 |
|
||||
| Peak| 1 |
|
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| 1 | 0 |
|
||||
| 2 | 0 |
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</details>
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|
||||
(e) exponential
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||||
|
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<details>
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||||
<summary>line</summary>
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||||
|
||||
| ε | σ |
|
||||
| ------- | ----- |
|
||||
| 0 | 0 |
|
||||
| G_f^I / h | Peak |
|
||||
| (σ₀, ε₀) | (σ₀, ε₀) |
|
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</details>
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||||
(f) Hordijk
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<details>
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<summary>line</summary>
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||||
| ε | σ |
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|---|---|
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| (ε₁, σ₁) | |
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||||
| (ε₂, σ₂) | |
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| (εₙ, σₙ) | |
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</details>
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||||
(g) multi-linear
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그림 2.7.1 인장 모델
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<!-- source-page: 268 -->
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||||
# 탄성 모델
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일반적인 탄성 모델로서 영 계수를 사용한다. (그림 2.7.1(a)).
|
||||
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||||
# 불변 모델
|
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|
||||
인장강도를 초과 하면 더 이상 인장응력 증가가 없는 모델이다. (그림 2.7.1(b)).
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||||
|
||||
인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력한다.
|
||||
|
||||
# 취성 모델
|
||||
|
||||
인장강도를 초과 하면 더 이상 인장응력 증가가 없고, 저항 응력이 0 이 되는 모델이다. (그림 2.7.1(c)).
|
||||
|
||||
인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력한다.
|
||||
|
||||
그림 2.7.2 에서 알 수 있듯이 파괴 에너지 소산과 피크 변형률, peaknn 의 관계는다음 식과 같다.
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$$
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||||
G _ {f} = \frac {1}{2} f _ {t} \varepsilon_ {n n} ^ {\text { peak }} h \tag {2.7.13}
|
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$$
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
<details>
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||||
<summary>line</summary>
|
||||
| ε_nn | σ_nn |
|
||||
|------|------|
|
||||
| 0 | 0 |
|
||||
| peak | 1 |
|
||||
</details>
|
||||
|
||||
그림 2.7.2 취성 균열거동
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<!-- source-page: 269 -->
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||||
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# - 선형연화 모델
|
||||
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||||
인장강도를 초과 하면 선형 연화(linear softening)가 일어난다고 본 모델이다. (그림 2.7.1(d)).
|
||||
|
||||
입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.
|
||||
|
||||
인장강도: $f_{t} > 0.0$ 의 값을 입력한다.
|
||||
|
||||
인장 파괴에너지: $G_{f}^{I} > 0.0$
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||||
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균열폭: h > 0.0
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε_cr_nn | σ_cr_nn |
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| ------- | ------- |
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| f_t | σ_cr_nn |
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| ε_cr_nn, ult | σ_cr_nn, G_f^I / h |
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</details>
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그림 2.7.3 선형 인장연화
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균열응력(crack stress)의 관계식과 α 은 아래와 같이 주어진다.
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$$
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\frac {\sigma_ {n n} ^ {c r} \left(\varepsilon_ {n n} ^ {c r}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} & \left(i f \quad 0 < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r}\right) \\ 0 & \left(i f \quad \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < \infty\right) \end{array} \right. \tag {2.7.14}
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$$
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$$
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||||
\alpha = \int_ {0} ^ {\infty} y (x) d x = \int_ {0} ^ {1} y (x) d x + \int_ {0} ^ {\infty} 0 d x = \int_ {0} ^ {1} (1 - x) d x = \frac {1}{2} \tag {2.7.15}
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$$
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||||
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||||
이상의 유도 과정을 통해 극한균열변형률을 다음과 같이 얻을 수 있다.
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<!-- source-page: 270 -->
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$$
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\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = 2 \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.16}
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$$
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||||
여기서 간단히 식 (2.7.17) 을 유도할 수 있으며, 이를 통해 극한균열변형률의 최소값을 식 (2.7.18) 과 같이 얻을 수 있다. 또한 감소된 인장 강도도 식 (2.7.19) 와같이 얻을 수 있다.
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$$
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\left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = - 1 \tag {2.7.17}
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {\mathrm{nn.ult.min}} ^ {c r} = \frac {f _ {t}}{E} \tag {2.7.18}
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$$
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||||
$$
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||||
f _ {t} = \sqrt {2 \frac {G _ {f} ^ {I} E}{h}} \tag {2.7.19}
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$$
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# 지수연화 모델
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인장강도를 초과하면 지수연화(exponential softening)가 일어난다고 본 모델이다.(그림 2.7.1(e)).
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||||
입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.
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인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력한다.
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인장 파괴에너지 : 0.0 I Gf
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균열폭 : h 0.0
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# Hordijk 모델
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인장강도를 초과하면 Hordijk이 제안한 연화가 일어난다고 본 모델이다. (그림2.7.1(f)).
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||||
입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.
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||||
인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력하면 된다.
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@@ -0,0 +1,348 @@
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<!-- source-page: 271 -->
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||||
인장 파괴에너지 : 0.0 I Gf
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||||
균열폭 : h 0.0
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본 모델의 연화거동은 Hordijk7 , Cornelissen 그리고 Reinhardt8 가 제안한 모델이다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε_cr_nn | σ_cr_nn |
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| ------- | ------- |
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| 0 | 0 |
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| ε_cr_nn.ult | 0 |
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</details>
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그림 2.7.4 비선형 인장연화 (Hordijk et al.)
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본 모델의 기본 함수는 다음과 같다.
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7 HORDIJK, D. A. Local Approach to Fatigue of Concrete. PhD thesis, Delft University of Technology, 1991.
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||||
8 CORNELISSEN, H. A. W., HORDIJK, D. A., AND REINHARDT, H. W.
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Experimental determination of crack softening characteristics of normalweight and lightweight concrete.
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||||
Heron 31, 2 (1986).
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<!-- source-page: 272 -->
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$$
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||||
\frac {\sigma_ {n n} ^ {c r} \left(\varepsilon_ {n n} ^ {c r}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{c c} \left(1 + \left(c _ {1} \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2} \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) \dots & \\ - \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) & \left(i f 0 < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r}\right) \\ 0 & \left(i f \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < 0\right) \end{array} \right\} \tag {2.7.20}
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$$
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||||
|
||||
여기서 $c_{1}=3,\quad c_{2}=6.93$ 이다.
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본 모델에서 α 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\begin{array}{l} \alpha = \int_ {0} ^ {\infty} y (x) d x = \int_ {0} ^ {1} y (x) d x + \int_ {1} ^ {\infty} 0 d x \\ = \int_ {0} ^ {1} \left(1 + \left(c _ {1} x\right) ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2} x\right) - x \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) d x \\ = \frac {- 1 2 c _ {1} ^ {3} - 1 2 c _ {1} ^ {3} c _ {2} - 6 c _ {1} ^ {3} c _ {2} ^ {2} - 2 c _ {2} ^ {3} - 2 c _ {1} ^ {3} c _ {2} ^ {3}}{\dots} \dots \tag {2.7.21} \\ \dots \frac {- c _ {2} ^ {4} - c _ {1} ^ {3} c _ {2} ^ {4} + 1 2 c _ {1} ^ {3} \exp (c _ {2}) + 2 c _ {2} ^ {3} \exp (c _ {2})}{\cdots 2 c _ {2} ^ {4} \exp (c _ {2})} \\ \end{array}
|
||||
$$
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||||
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||||
위 관계식을 통해 $c_{1}=3,\quad c_{2}=6.93$ 인 경우에 $\alpha=0.195$ 를 얻을 수 있다.
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||||
극한균열변형률은 다음과 같이 얻을 수 있다.
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$$
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||||
\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = 5. 1 3 6 \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.22}
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||||
$$
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||||
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||||
Hordijk 등이 제안한 연화 도식(softening diagram)에 의해 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
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$$
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\left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = \left(3 c _ {1} \left(c _ {1} x\right) ^ {2} - c _ {2} \left(1 + \left(c _ {1} x\right) ^ {3}\right)\right) \exp \left(- c _ {2} x\right) - \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) \big | _ {x = 0} \tag {2.7.23}
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
= - c _ {2} - \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right)
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||||
$$
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||||
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||||
이상의 관계식들을 통해, 최소 극한균열변형률과 감소된 인장강도는 다음과 같이 얻을 수 있다.
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<!-- source-page: 273 -->
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$$
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||||
\varepsilon_ {n n. u l t. \min} ^ {c r} = 6. 9 5 7 \frac {f _ {t}}{E} \tag {2.7.24}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
f _ {t} = \left(0. 7 3 9 \frac {G _ {f} ^ {I} E}{h}\right) ^ {\frac {1}{2}} \tag {2.7.25}
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$$
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||||
# 다중선형모델
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인장강도를 초과 하면 사용자가 입력한 연화가 일어난다고 본 모델이다, (그림2.7.1(g)).
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최대 30개의 좌표를 입력할 수 있으며, 최초 좌표는 무조건 0.d0 이어야 한다.[조건 > 0.d0 , 변형률은 단조 증가의 값을 입력하여야 한다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| εₙₙᶜʳ | σₙₙᶜʳ |
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| ------ | ------ |
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||||
| 0 | 0 |
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| fₜ,₁ | εₙₙ,₁ᶜʳ |
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||||
| fₜ,ₙ | εₙₙ,ₙᶜʳ |
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</details>
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그림 2.7.5 다중 인장연화
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초기 접선 기울기는 아래와 같은 조건을 만족해야 한다.
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$$
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\frac {f _ {t , 1} - f _ {t , 0}}{\varepsilon_ {n n , 1} ^ {c r}} \geq - E \tag {2.7.26}
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$$
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<!-- source-page: 274 -->
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# 2-8 전단 모델
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전단 거동의 모사는 균열발생 이후에 전단 강성이 일반적으로 감소하는 고정균열에서만 필요하며 회전균열에서는 효과가 없다. midas FEA에서 균열 발생 이후에전단 강성이 전단지연계수(shear retention factor) 만큼 저감되게 구현되어 있다.현재 midas FEA에서는 불변모델과 다중선형 모델이 구현되어 있다.
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# 2.8.1 전변형률 균열모델의 전단 모델
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Elastic Modulus G
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τ
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γ
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||||
Elastic Modulus
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τ
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||||
βG
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||||
γ
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</details>
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<details>
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<summary>line</summary>
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| γ | τ |
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| ------- | ------- |
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| γ₀ | τ₀ |
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| γ₁ | τ₁ |
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| γ₂ | τ₂ |
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</details>
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | γ | β |
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|---|---|---|
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| (γ₀, β₀) | 0 | |
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| (γ₁, β₁) | 0 | |
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| (γ₂, β₂) | 0 | |
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</details>
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그림 2.8.1 전단모델
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<!-- source-page: 275 -->
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# 탄성모델
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일반적인 전단 모델로 전단 강성의 감소가 없다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Elastic Modulus G
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τ
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||||
γ
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</details>
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그림 2.8.2 탄성모델
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# 불변모델
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전단지연계수만큼 전단 강성이 감소한다.
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$$
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G ^ {c r} = \beta G [ 0 \leq \beta \leq 1 ] \tag {2.8.1}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Elastic Modulus
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βG
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τ
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||||
γ
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</details>
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그림 2.8.3 불변모델
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여기서 는 전단지연계수이다.
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<!-- source-page: 276 -->
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# 다중선형모델
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midas FEA는 두 가지 다중선형 모델을 제공한다. 하나는 전단응력과 전단변형률이 다중 선형으로 표현한 것이고 다른 하나는 전단지연계수와 전단변형률의 관계를 표현한 것이다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| γ | β |
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| ------- | ------- |
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| (γ₀, β₀) | (γ₀, β₀) |
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| (γ₁, β₁) | (γ₁, β₁) |
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| (γ₂, β₂) | (γ₂, β₂) |
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</details>
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그림 2.8.4 다중선형(전단변형률, 전단지연계수)
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<details>
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||||
<summary>line</summary>
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| γ | τ |
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| ------- | ------- |
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||||
| (γ₀, τ₀) | (γ₀, τ₀) |
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| (γ₁, τ₁) | (γ₁, τ₁) |
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||||
| (γ₂, τ₂) | (γ₂, τ₂) |
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</details>
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그림 2.8.5 다중선형(전단변형률, 전단응력)
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<!-- source-page: 277 -->
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# 2-9 횡방향 영향
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# 2.9.1 포아송비에 의한 횡방향 확장
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포아송 효과(Poisson effect)는 일축 인장이나 압축력을 받는 시편의 횡방향 변형을 결정한다. 횡 변형이 구속된 시편에는 횡방향 구속효과가 발생하게 되며 이러한 효과는 철근콘크리트 부재의 3차원적 모사에 있어서 상당히 중요하다. Selby와 Vecchio $^{9}$ 는 횡방향 팽창효과를 구조물에 추가적으로 가해지는 외력으로 대체해 설명했으며 이 개념은 유한요소 해석 절차의 적절한 수정을 요하게 된다.
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포아송 효과는 등가의 일축 변형률 개념을 통해 해석에 반영되었다. 선형-탄성 (linear-elastic) 거동의 경우 3차원 응력-변형률 관계는 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} _ {n s t} = \frac {E}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c} 1 - \nu & \nu & \nu \\ \nu & 1 - \nu & \nu \\ \nu & \nu & 1 - \nu \end{array} \right] \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t} \tag {2.9.1}
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$$
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이 식은 아래와 같이 표현될 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} _ {n s t} = \left[ \begin{array}{l l l} E & 0 & 0 \\ 0 & E & 0 \\ 0 & 0 & E \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \end{array} \right] \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t} \tag {2.9.2}
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||||
$$
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||||
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||||
위 관계식은 등가 일축 변형률을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
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<!-- source-page: 278 -->
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$$
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||||
\boldsymbol {\sigma} _ {n s t} = \left[ \begin{array}{l l l} E & 0 & 0 \\ 0 & E & 0 \\ 0 & 0 & E \end{array} \right] \tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t} \tag {2.9.3}
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$$
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||||
여기서 등가 일축 변형률 벡터는 다음과 같이 정의된다.
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$$
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||||
\begin{array}{l} \tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t} = \left\{ \begin{array}{c} \tilde {\mathcal {E}} _ {1} \\ \tilde {\mathcal {E}} _ {2} \\ \tilde {\mathcal {E}} _ {3} \end{array} \right\} \\ = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {1} \\ \varepsilon_ {2} \\ \varepsilon_ {3} \end{array} \right\} \tag {2.9.4} \\ \end{array}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t} = \mathbf {P} \quad \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t} \tag {2.9.5}
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$$
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||||
이 개념은 비선형 재료 모델에도 적용되었다. 주 방향 좌표계에서 응력 벡터는 주변형률에 의해 계산되는 것이 아니라, 위에서 설명한 등가의 일축 변형률 벡터에 의해 계산된다. 등가의 일축 변형률 벡터는 포아송비와 주변형률을 통해 결정될 수 있다.
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접선 강성 행렬의 하위 행렬인 $D_{nst}$ 는 등가 일축 변형률 개념에서 다음과 같이 약간의 수정이 필요하게 된다.
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$$
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||||
\mathbf {D} _ {n s t} = \frac {\partial \boldsymbol {\sigma} _ {n s t}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} = \frac {\partial \boldsymbol {\sigma} _ {n s t}}{\partial \tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t}} \mathbf {P} \tag {2.9.6}
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$$
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<!-- source-page: 279 -->
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# 2.9.2 횡방향 구속하의 압축거동
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등방성 응력(isotropic stress)의 증가에 따른 강도의 증가는 4개의 인자를 가지는 Hsieh-Ting-Chen 파괴면(failure surface)에 의해 모사된다. 이 파괴면의 정의는 다음과 같다.
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$$
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f = 2. 0 1 0 8 \frac {J _ {2}}{f _ {c c} ^ {2}} + 0. 9 7 1 4 \frac {\sqrt {J _ {2}}}{f _ {c c}} + 9. 1 4 1 2 \frac {f _ {c 1}}{f _ {c c}} + 0. 2 3 1 2 \frac {I _ {1}}{f _ {c c}} - 1 = 0 \tag {2.9.7}
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$$
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||||
여기서 응력 불변수 J₂와 I₁은 다음과 같이 콘크리트 주 응력들로 표현된다.
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$$
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||||
J _ {2} = \frac {1}{6} \left\{\left(\sigma_ {c 1} - \sigma_ {c 2}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {c 2} - \sigma_ {c 3}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {c 3} - \sigma_ {c 1}\right) ^ {2} \right\} \tag {2.9.8}
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$$
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$$
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||||
I _ {1} = \sigma_ {c 1} + \sigma_ {c 2} + \sigma_ {c 3} \tag {2.9.9}
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$$
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||||
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||||
한편 $f_{c1}$ 은 다음과 같이 콘크리트의 최대 인장응력이 아닌 최대 주응력을 의미한다. $^{10}$
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$$
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||||
f _ {c 1} = \max (\sigma_ {c 1}, \sigma_ {c 2}, \sigma_ {c 3}) \tag {2.9.10}
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$$
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||||
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||||
위 파괴면의 인자들은 콘크리트 시편의 일축 인장, 압축 강도, 이축 압축 강도, 3 축 실험 자료들의 보정을 통해 결정된다. 응력 $f_{c3}$ 는 파괴를 일으킨다고 가정되고, 아래와 같이 선형 탄성 응력 벡터에 적절한 비례계수를 곱하여 얻게 된다. 이때 앞서 Hsieh-Ting-Chen의 파괴면 조건식을 만족해야 한다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} _ {c} = s E \varepsilon_ {n s t} \tag {2.9.11}
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$$
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그렇다면 다축 응력 하에서 압축 파괴 응력은 다음과 같다.
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$$
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f _ {c 3} = s \cdot \min (\sigma_ {c 1}, \sigma_ {c 2}, \sigma_ {c 3}) \tag {2.9.12}
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$$
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만약 비례 계수 s 가 음수이고 결과적으로 양의 파괴 응력 $f_{c3}$ 이 얻어지게 되면,
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<!-- source-page: 280 -->
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응력 벡터는 파괴면의 인장부를 기준으로 비례 조정되고, 파괴 강도는 상당히 큰음수 값인 (-30fcc) 로 맞추어 지게 된다. 파괴강도 fcf는 아래와 같이 얻어진다.
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$$
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f _ {c f} = - f _ {c 3} \tag {2.9.13}
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$$
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피크 응력 계수 $K _ { \sigma } \cong \mathsf { S e l b y } ^ { 1 1 } \supset \mathsf { I }$ 제안한 식에 의하면 아래와 같다.
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$$
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K _ {\sigma} = \frac {f _ {c f}}{f _ {c c}} \geq 1 \tag {2.9.14}
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$$
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한편 피크 변형률 계수는 아래와 같다.
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$$
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K _ {\varepsilon} = K _ {\sigma} \tag {2.9.15}
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$$
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비 구속된 압축 상태에서 피크위치의 값들은 일축 압축 강도와 같다고 보고, 피크응력 계수는 ‘1’로 본다. 이런 조건 하에서 압축 응력-변형률 함수의 인자들은 다음과 같다.
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$$
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f _ {c f} = K _ {\sigma} f _ {c c}, \quad \varepsilon_ {p} = K _ {\sigma} \varepsilon_ {0} \tag {2.9.16}
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$$
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여기서 초기 변형률은 다음과 같은 관계식을 가진다.
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$$
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\varepsilon_ {0} = - \frac {n}{n - 1} \times \frac {f _ {c c}}{E _ {c}} \tag {2.9.17}
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$$
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위의 관계식은 구속된 압축 하중 하에서 최대 강도의 점진적인 증가를 반영하며,응력-변형률 그래프의 초기 기울기를 영 계수와 같게 만든다. 완전한 삼축 응력상태에서 파괴면까지의 도달은 가능하지 않으며, 아래 그림과 같이 선형 응력-변형률 관계가 얻어지게 된다.
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@@ -0,0 +1,291 @@
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<!-- source-page: 281 -->
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Category | f |
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| ------------------------- | ----- |
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| unconfined | 0.0 |
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| low lateral confinement | 0.0 |
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| medium lateral confinement| 0.0 |
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| triaxial loading | 0.0 |
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</details>
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그림 2.9.1 응력-변형률 곡선의 횡방향 구속영향
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구속 콘크리트 연성의 증가는 아래 식과 같이 Thorenfeldt 곡선의 하강 지점을 선형 보간하여 표현하게 된다.
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$$
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f _ {j} = - f _ {p} \left(1 - (1 - r) \frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {p}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {p}}\right) \leq - r f _ {p} \tag {2.9.18}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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α_u
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α_p
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f
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α
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rf_p
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f_p
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</details>
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그림 2.9.2 횡 향 구속하의 압축거동
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여기서 계수 r은 재료의 잔존 강도(residual strength)를 표현하기 위한 값이다. 압축부에서 극한 변형률은 피크 변형률에 다음과 같은 피크 강도와 압축 강도의 비를 곱하여 결정한다.
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<!-- source-page: 282 -->
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$$
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\alpha_ {u} = \left(\frac {f _ {p}}{f _ {c c}}\right) ^ {\gamma} \alpha_ {p} \tag {2.9.19}
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$$
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숫자 γ 는 따로 결정되어야 하지만 여기서는 ‘3’으로 가정되었다. 잔존 강도 또한 피크 강도와 압축 강도의 비에 다음과 같이 영향을 받는다.
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$$
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r = \left(\frac {f _ {p}}{f _ {c c}}\right) ^ {\gamma} r _ {0} \tag {2.9.20}
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$$
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잔존강도의 초기 값인 r₀는 여기서 '0.1'로 가정되었다.
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만약 피크강도가 압축 강도에 비해 현저히 큰 경우(fp / fcc > 1.05), 선형 압축-연화(compression-softening) 관계식은 Thorenfeldt 곡선에만 적용될 수 있다. 횡 압축과 횡 균열로 인하여 fp / fcc < 1.05 가 되게 되면, 재료의 연성은 증가하지 않는다.
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<!-- source-page: 283 -->
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# 2.9.3 횡방향 균열과 압축거동
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균열이 발생한 콘크리트에서 주 압축 방향에 수직으로 발생한 큰 인장 변형률은 콘크리트의 압축 강도를 감소시킨다. 결과적으로 압축 강도 $f_{p}$ 는 내부 변수 $\alpha_{j}$ 의 함수일 뿐만 아니라 횡방향으로 인장 손상(tensile damage)를 야기하게 되는 내부 변수들인 $\alpha_{1,1}$ $\alpha_{1,2}$ 의 함수이기도 하다. 횡 균열에 의한 감소 계수들은 다음과 같다.
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$$
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\beta_ {\varepsilon c r} = \beta_ {\varepsilon c r} (\alpha_ {l a t}), \quad \beta_ {\sigma c r} = \beta_ {\sigma c r} (\alpha_ {l a t}) \tag {2.9.21}
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$$
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여기서 평균 횡방향 손상 변수 $\alpha_{lat}$ 는 다음과 같다.
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$$
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\alpha_ {l a t} = \sqrt {\alpha_ {l , 1} ^ {2} + \alpha_ {l , 2} ^ {2}} \tag {2.9.22}
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$$
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횡 균열에 의한 감소 관계식은 Vecchio와 Collins $^{12}$ 가 제안한 다음의 모델을 채용한다.
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$$
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\beta_ {\sigma c r} = \frac {1}{1 + K _ {c}} \leq 1 \tag {2.9.23}
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$$
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여기서 $K_{c}=0.27\left(-\frac{\alpha_{lat}}{\varepsilon_{0}}-0.37\right)$ 이며, $\beta_{\varepsilon cr}=1$ 로 본다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| x | y |
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|---|------|
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| 0 | 1.0 |
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| 1 | 0.85 |
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| 2 | 0.75 |
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| 3 | 0.65 |
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| 4 | 0.55 |
|
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| 5 | 0.45 |
|
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| 6 | 0.35 |
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| 7 | 0.3 |
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| 8 | 0.25 |
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</details>
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그림 2.9.3 횡방향 균열에 의한 감소계수
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<!-- source-page: 284 -->
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Part 2 Material Library
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# Chapter 3. Interface Nonlinearities
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# 3-1 개요
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midas FEA에서는 그림 3.1.1과 같이 점요소, 선요소, 면요소 3가지 계면요소(interface element)를 제공한다. 이 때 점요소를 제외한 선요소와 면요소는 고차와 저차요소로 사용이 가능하다.
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그림 3.1.1 midas FEA 계면요소
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본 매뉴얼에서는 이해의 편의성을 위해 2차원 해석에 대한 수식 전개를 기본으로한다. 또한 첨자 n 은 법선방향을 정의하며, t , s 는 접선방향을 정의한다.계면요소에 발생하는 계면력 벡터(traction vector)는 법선과 접선방향으로 나누어
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<!-- source-page: 286 -->
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식 (3.1.1)과 같이 정의된다. 이때 계면력의 단위는 “힘/면적”이며 응력 단위와 같다.
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$$
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\boldsymbol {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {t} \end{array} \right\} \tag {3.1.1}
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$$
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계면요소에 발생하는 상대변위(relative displacement)는 다음과 같으며 단위는 길이이다.
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$$
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\Delta u = \left\{ \begin{array}{c} \Delta u _ {n} \\ d t \end{array} \right\} \tag {3.1.2}
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$$
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여기서, 계면력 벡터와 상대변위와의 관계를 선형구성관계로 정의할 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {t} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} & 0 \\ 0 & k _ {t} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ d t \end{array} \right\} \tag {3.1.3}
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$$
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여기서,
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$$
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k _ {n} \quad : \text { 법선방향 벌칙강성(penalty stiffness) } (\text { 단위 }: N / m ^ {3})
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$$
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$$
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||||
k _ {t} \quad : \text { 접선방향 벌칙강성(단위 : } N / m ^ {3})
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$$
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계면요소에서 비선형 조건은 절점에 적용되므로 가우스 적분법을 사용하면 정확한거동을 표현할 수 없으며 결과값이 계면을 따라 진동하게 된다. midas FEA에서는이를 극복하기 위해 뉴튼-코츠(Newton-Cotes) 적분법을 사용하였다.
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위의 초기 연속체 선형구성관계에 의한 계면력 벡터와 상대변위 관계식을 증분형태로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {t} = \boldsymbol {D} \Delta \boldsymbol {u} \tag {3.1.4}
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$$
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여기서,
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t : 계면력 벡터
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∆u : 상대변위의 증분량
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이 때 구성행렬 D 는 식 (3.1.5)와 같다.
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$$
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||||
\boldsymbol {D} = \left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} & D _ {1 2} \\ D _ {2 1} & D _ {2 2} \end{array} \right] \tag {3.1.5}
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$$
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<!-- source-page: 287 -->
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# 3-2 이산균열
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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f_n
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f_t
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k_n
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Δu_n
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</details>
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그림 3.2.1 이산균열에서 상대변위와 계면력의 관계
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이산균열(discrete cracking)의 구성방정식은 전체 변위를 사용하여 계면력을 정의하는 총 변형이론(total deformation theory)을 기초로 한다. 총 변형이론은 법선 방향과 접선 방향의 비선형 거동을 모두 정의할 수 있으며 이는 식 (3.2.1)과같이 비선형 함수로 정의한다.
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$$
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t _ {n} = f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right) \tag {3.2.1}
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$$
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$$
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||||
t _ {t} = f _ {t} (d t)
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$$
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위의 식은 결국 다음과 같이 접선강성계수들을 사용하여 식 (3.2.2)와 같이 정의할수 있다.
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$$
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||||
\left[ \begin{array}{c c} D _ {1 1} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {1 2} = 0 \\ D _ {2 1} = 0 & D _ {2 2} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial d t} \end{array} \right] \tag {3.2.2}
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$$
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<!-- source-page: 288 -->
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일반적으로 법선 방향 계면력 nt 은 모드-I형식의 균열을 유발하며, 주로 인장 연화관계식에 의해 지배된다. midas FEA에서는 다음과 같이 세 가지 형태의 인장연화 모델을 지원하고 있습니다.
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1. 취성 균열모델 (brittle cracking model)
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2. 선형 인장연화모델 (linear tension softening model)
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3. 비선형 인장연화모델 (nonlinear tension softening model)
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# 3-2-1 취성 균열모델
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취성 균열모델은 일반적인 완전취성모델을 사용하였으며 최대응력점 이후 거동을그림 3.2.2와 같이 정의한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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tₙ
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fₜ
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Δuₙ
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</details>
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그림 3.2.2 취성 균열 거동
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$$
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\frac {f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text { if } \quad \Delta u _ {n} \leq 0 \\ 0 & \text { if } \quad 0 < \Delta u _ {n} < \infty \end{array} \right. \tag {3.2.3}
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$$
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<!-- source-page: 289 -->
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# 3-2-2 선형 인장연화모델
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선형 인장연화모델은 법선 방향의 균열 응력과 변위와의 관계는 그림 3.2.3과 같이 표현된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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t_n
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f_t
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G_f^I
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Δu_n,ult
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Δu_n
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</details>
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그림 3.2.3 선형 인장 연화 거동
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$$
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\frac {f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{c c} 1 - \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}} & \text { if } 0 < \Delta u _ {n} < \Delta u _ {n, u l t} \\ 0 & \text { if } \Delta u _ {n, u l t} < \Delta u _ {n} < \infty \end{array} \right. \tag {3.2.4}
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$$
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여기서,
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$$
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\Delta u _ {n, u l t} \quad := 2 \frac {G _ {f} ^ {I}}{f _ {t}}
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$$
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$$
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G _ {f} ^ {I} \quad : \text { 모드 - 1 파괴 에너지 }
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$$
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$$
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f _ {t} \quad : \text { 인장강도 }
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$$
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선형 연화모델에서 제하와 재하는 할선접근방법(secant approach)과 탄성접근방법(elastic approach)의 두가지 모델을 제공한다. 할선접근방법은 제하시 원점을지나는 직선의 강성으로 제하되며 원점을 지나서는 초기강성이 복원되는 것으로
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<!-- source-page: 290 -->
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가정하는 방법이다. 탄성접근방법은 제하시 바로 초기강성값으로 제하되는 것을가정하는 방법이다.
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# 3-2-3 비선형 인장연화모델
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Hordijk, Cornelissen과 Reinhardt는 콘크리트 연화거동을 그림 3.2.4와 같이 지수함수 형태로 나타내었다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Δuₙ | tₙ |
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| --- | --- |
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| 0 | fₜ |
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| Δuₙ,ult | 0 |
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</details>
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그림 3.2.4 비선형 인장 연화 거동
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$$
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||||
\frac {f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{l l} \left(1 + \left(c _ {1} \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}}\right) ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2} \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}}\right) \\ - \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}} \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) & \text { if } 0 < \Delta u _ {n} < \Delta u _ {n, u l t} \\ 0 & \text { if } \Delta u _ {n, u l t} < \Delta u _ {n} < \infty \end{array} \right. \tag {3.2.5}
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$$
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@@ -0,0 +1,267 @@
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<!-- source-page: 291 -->
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여기서,
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$$
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\Delta u _ {n, u l t} \quad := 5. 1 3 6 \frac {G _ {f} ^ {I}}{f _ {t}}
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$$
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$$
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c _ {1} \quad := 3
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$$
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$$
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c _ {2} \quad := 6. 9 3
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$$
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재하와 제하에서 할선접근방법과 탄성접근방법외 아래그림에 표현된 이력모델(hysteresis model)을 사용할 수 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Δu_n | t_n |
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|------|-----|
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| 0 | 1 |
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| Δu_n,ult | 0 |
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</details>
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그림 3.2.5 이력모델
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<!-- source-page: 292 -->
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# 3-2-4 전단지연법(Shear Retention)
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모드-I형태의 균열 후 전단 계면력 tt 값은 줄어들게 되며 이는 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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t _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} k _ {t} d t & \text { if } \Delta u _ {n} < \frac {t _ {t}}{k _ {n}} \\ \beta k _ {t} d t & \text { if } \Delta u _ {n} \geq \frac {t _ {t}}{k _ {n}} \end{array} \right. \tag {3.2.6}
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$$
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여기서,
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$\beta k _ { t }$ : 감소 전단강성(reduced shear stiffness)
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$\beta \supseteq ~ 0 \leq \beta \leq 1$ 는 β = 0 이며 콘크리트와 같이 매끈하지 않을 경우는 $0 < \beta \leq 1 0 |$ 된다. 일반적으로 β는 0.1에서 0.3사이의 값을 사용한다.
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<!-- source-page: 293 -->
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# 3-3 균열팽창
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계면에서의 균열은 법선방향 상대변위 $\Delta u _ { n }$ 값이 $\Delta u _ { _ { n , u l t } }$ 보다 클 경우 발생한다. 또한 콘크리트와 같이 균열면이 매끈하지 않은 재질에서는 거친 균열면의 골재 맞물림 현상으로 접선방향의 상대변위로 인해서 법선방향의 팽창(dilatancy)이 발생한다. 따라서 법선방향의 변위와 접선방향의 변위는 독립적이지 않으며, 강성행렬은대각방향 이외에도 값을 가지게 된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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dt
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t_n
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t_t
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Δu_n
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t_t
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t_n
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n
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t
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</details>
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그림 3.3.1 거친 균열(Rough crack)
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} t _ {n} = f _ {n} \left(\Delta u _ {n}, d t\right) \\ t _ {t} = f _ {t} \left(\Delta u _ {n}, d t\right) \end{array} \right. \tag {3.3.1}
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$$
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||||
식 (3.3.1)를 상대변위에 대해 편미분할 경우 기울기 함수는 식 (3.3.2).와 같다.
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$$
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\left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {1 2} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial d t} \\ D _ {2 1} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {2 2} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial d t} \end{array} \right] \tag {3.3.2}
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$$
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균열 팽창 모델은 수식이 복잡하여, 여러 학자들에 의해 제안되었으며, 크게 두가지 형태로 분류된다. 첫 번째는 주로 실험결과에 의존한 경험적 균열모델(empirical crack models)이며, 다른 하나는 균열면의 형상을 가정하는데 기초한이론적 수치모델인 물리적 균열 모델(physical crack models)이다. midas FEA에서 지원하는 균열 팽창모델은 다음과 같다.
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# 경험적 균열모델 :
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1. 거친 균열모델 I(rough crack model (Bazant와 Gambarova))
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2. 거친 균열모델 II(rough crack model (Gambarova와 Karakoc))
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3. 골재 맞물림모델(aggregate interlock model (Walraven과 Reinhardt))
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# 물리적 균열모델 :
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1. 2상모델(two-phase model (Walraven))
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2. 접촉 밀도모델(contact density model (Li et al.))
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# 3-3-1 거친 균열모델 I (Bazant와 Gambarova)
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Bazant와 Gambarova는 균열면을 균일한 사다리꼴 형상의 요철로 가정한 거친균열모델을 제안하였다. 그림 3.3.2.는 거친 균열모델의 응답 그래프를 나타내며,아래에 열거한 가정사항을 바탕으로 한다.
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1. 계면의 쐐기 효과로 인하여, 전단 응력은 변위 비율( / nr dt u = ∆ )과 가장 큰연관관계를 지닌다.
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2. 대변위 비율에 대한 전단력은 골재 주위 모르타르의 미소 균열 때문에 근사값을 사용한다.
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3. 법선방향의 균열 대변위에 대해서 계면의 접촉효과는 고려하지 않는다.
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$$
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||||
\left(\Delta u _ {n} > \frac {1}{2} D _ {\max}, \text { 여기서, } D _ {\max} \text { 는 최대 골재크기이다. }\right)
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$$
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그림 3.3.2 거친 균열모델
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Paulay와 Loeber의 테스트 결과를 기초로 한 수식은 식 (3.3.3).과 같다.
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$$
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f _ {t} = \tau_ {u} r \frac {a _ {3} + a _ {4} | r | ^ {3}}{1 + a _ {4} r ^ {4}} \tag {3.3.3}
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$$
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||||
$$
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||||
f _ {n} = - \frac {a _ {1}}{\Delta u _ {n}} \left(a _ {2} \mid f _ {t} \mid\right) ^ {p}
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$$
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여기서,
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$$
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p = 1. 3 0 \times \left(1 - \frac {0 . 2 3 1}{1 + 0 . 1 8 5 \Delta u _ {n} + 5 . 6 3 \left(\Delta u _ {n}\right) ^ {2}}\right)
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$$
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$$
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||||
r = \frac {\delta t}{\Delta u _ {n}}
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$$
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$$
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||||
\tau_ {u} = \frac {\tau_ {0} a _ {0}}{a _ {0} + \left(\Delta u _ {n}\right) ^ {2}}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
a _ {0} = 0. 0 1 D _ {\mathrm{max}} ^ {2}
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$$
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$$
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||||
a _ {1} = 0. 0 0 0 5 3 4
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$$
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||||
$$
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||||
a _ {2} = 1 4 5. 0
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$$
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||||
$$
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||||
a _ {3} = \frac {2 . 4 5}{\tau_ {0}}
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$$
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||||
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$$
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||||
a _ {4} = 2. 4 4 \times \left(1 - \frac {4}{\tau_ {0}}\right)
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$$
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$$
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||||
\tau_ {0} = 0. 2 4 5 f _ {c} = 0. 1 9 5 f _ {c c}
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$$
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||||
그리고,
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cf : 원통 공시체의 일축압축강도
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cc f : 입방 공시체의 일축압축강도
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<!-- source-page: 297 -->
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3-3-2 거친 균열 모델 II (Gambarova와 Karakoc)
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그림 3.3.3 거친 균열모델 II
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Bazant와 Gambarova 모델을 좀 더 향상시킨 것으로 Daschner와 Kupfer의 일정구속압상태에서의 실험결과에 맞추어 법선 계면력과 균열변위사이의 관계를 개선했기 때문에 Bazant와 Gambarova 모델 보다 더 좋은 결과를 얻을 수 있다고 알려져 있다. 추가적으로 이 수식은 골재 크기효과가 고려된다.
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$$
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||||
f _ {t} = \tau_ {0} \left(1 - \sqrt {\frac {2 \Delta u _ {n}}{D _ {\max}}}\right) r \frac {a _ {3} + a _ {4} | r | ^ {3}}{1 + a _ {4} r ^ {4}} \tag {3.3.4}
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$$
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||||
$$
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||||
f _ {n} = - a _ {1} a _ {2} \sqrt {\Delta u _ {n}} \frac {r}{\left(1 + r ^ {2}\right) ^ {0 . 2 5}} f _ {t}
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$$
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<!-- source-page: 298 -->
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여기서,
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$$
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a _ {1} a _ {2} = 0. 6 2
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$$
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$$
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||||
a _ {3} = \frac {2 . 4 5}{\tau_ {0}}
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$$
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||||
$$
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||||
a _ {4} = 2. 4 4 \times \left(1 - \frac {4}{\tau_ {0}}\right)
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$$
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$$
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||||
\tau_ {0} = 0. 2 5 f _ {c} = 0. 2 f _ {c c}
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$$
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# 3-3-3 골재 맞물림 (Walraven과 Reinhardt)
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Walraven과 Reinhardt는 경량, 자갈 콘크리트 실험결과를 통해 계면력과 상대 변위의 선형관계를 도출하였다. 이 모델은 자갈 콘크리트에 사용할 경우 매우 정확한 결과를 도출하는 것으로 알려져 있지만, 자갈 콘크리트 모델에만 적용되는 한계가 있다.
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그림 3.3.4 골재 맞물림 거동
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<!-- source-page: 299 -->
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$$
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f _ {t} = - \frac {f _ {c c}}{3 0} + \left(1. 8 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 8 0} + \left(0. 2 3 4 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 7 0 7} - 0. 2 0\right) f _ {c c}\right) d t \tag {3.3.5}
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$$
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$$
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||||
f _ {n} = \frac {f _ {c c}}{2 0} - \left(1. 3 5 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 6 3} + \left(0. 1 9 1 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 5 5 2} - 0. 1 5\right) f _ {c c}\right) d t
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$$
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여기서,
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$$
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d t \geq 0
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$$
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$$
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f _ {t} \geq 0
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$$
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$$
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f _ {n} \leq 0
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$$
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# 3-3-4 2상 모델(Walraven)
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Walraven이 제기한 2상(two-phase) 모델은 다음의 가정에 기초한다.
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1. 콘크리트는 강체의 원형 함유물과 완전소성체의 2상재료로 가정한다.
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2. 골재의 입도는 Fuller 곡선과 일치한다.
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3. 함유물(inclusion)과 모체(matrix) 사이의 활동 접촉 면적은 계면 변위와 기하적인 형태와 관련이 있고, 골재분포의 통계를 고려한다.
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4. 모체에 대한 압축 접촉강도는 콘크리트 강도와 관련이 있다. 반면에 전단 접촉강도는 마찰계수를 고려한 압축 접촉 강도와 선형 관계가 있다.
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||||
Walraven은 철근이 포함되어있지 않은 균열 내 골재의 맞물림 현상을 이론적으로전개하여 나타내었으며 식 (3.3.6)과 같다.
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<!-- source-page: 300 -->
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그림 3.3.5 2상 모델
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$$
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f _ {t} = \sigma_ {p u} \left(A _ {n} + \mu A _ {t}\right) \tag {3.3.6}
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$$
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||||
$$
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||||
f _ {n} = - \sigma_ {p u} \left(A _ {t} - \mu A _ {n}\right)
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$$
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여기서,
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An, At : n 과 t 방향에 대한 함유물과 모체사이의 평균 접촉면적
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$\sigma _ { p u }$ Opt ：
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$\mu$ ：
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이 모델은 접선강성항이 전단방향 균열변위 dt 와 법선방향 균열변위 $\Delta u _ { n }$ 및 골재 분포에 대한 함수로 이루어진 특징을 지닌다.
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@@ -0,0 +1,245 @@
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<!-- source-page: 301 -->
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# 3-3-5 접촉 밀도모델(Li et al.)
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접촉 밀도모델은 아래와 같은 가정을 바탕으로 하였다.
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1. 균열면은 여러 경사면의 조합으로 이루어져 있다. 경사각(θ )은 접촉면 밀도 확률 함수 ( Ω( ) θ )로 표현 가능하다.
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2. 접촉 응력의 방향은 초기 접촉 방향에 법선 방향으로 고정되어있다.
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||||
3. 밀도 함수 ( Ω( ) θ )는 삼각법에 의한 함수로 가정되었고, 골재의 크기와 입도 그리고 굵은 골재의 강도와 종류와는 독립적이다.
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||||
4. 접촉력은 완전 탄소성 모델에 의해서 산정된다.
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||||
5. 유효 접촉면적 비율 $K ( \Delta u _ { n } )$ 은 균열면의 거칠기에 비해 법선 방향의 균열 변위$( \Delta u _ { n }$ )가 충분히 클 때 접촉면에 손실을 야기한다.
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그림 3.3.6 접촉밀도모델
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<!-- source-page: 302 -->
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접촉밀도모델에 대한 수식은 식 (3.3.7)과 같다.
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$$
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||||
f _ {t} = \int_ {- \frac {1}{2} \pi} ^ {\frac {1}{2} \pi} \sigma_ {c o n} K (\Delta u _ {n}) A _ {t} \Omega (\theta) \sin \theta d \theta \tag {3.3.7}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
f _ {n} = \int_ {- \frac {1}{2} \pi} ^ {\frac {1}{2} \pi} \sigma_ {c o n} K (\Delta u _ {n}) A _ {t} \Omega (\theta) \cos \theta d \theta
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||||
$$
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||||
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||||
여기서,
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At : 균열 단면적 (균열면의 1.27배)
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<!-- source-page: 303 -->
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# 3-4 부착슬립
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철근콘크리트 구조물에서 철근과 콘크리트 사이의 계면거동은 이차 종, 횡방향 균열에 지배된다. 이러한 거동은 부착슬립(bond-slip)으로써 규정할 수 있으며 이는두께가 0인 계면요소를 사용하여 모델링하는 것이 일반적이다.
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||||
midas FEA에서는 총 변형이론에 근거한 구성모델을 사용하여 부착슬립모델을 표현한다. 이때 법선방향 거동은 선형탄성거동, 접선방향거동은 비선형거동을 하는것으로 가정하며 이를 수식화 하면 다음과 같다.
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$$
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||||
\begin{array}{l} t _ {n} = k _ {n} \Delta u _ {n} \\ \text { and } f (t _ {n}) \end{array} \tag {3.4.1}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
t _ {t} = f _ {t} (d t)
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$$
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||||
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식 (3.19)의 우변을 상대변위에 대해 일차 미분하여 계산한 접선 강성은 다음과 같다.
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$$
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||||
\left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} = k _ {n} & D _ {1 2} = 0 \\ D _ {2 1} = 0 & D _ {2 2} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial d t} \end{array} \right] \tag {3.4.2}
|
||||
$$
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||||
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||||
<!-- source-page: 304 -->
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||||
# 3-4-1 입방함수(Cubic Function (Dorr))
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Dorr은 전단응력과 슬립의 관계를 그림 3.4.1과 같이 표현하였으며, 수식은 식(3.4.3)와 같다.
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그림 3.4.1 부착슬립의 입방함수
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$$
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f _ {t} = \left\{ \begin{array}{c c} c \left(5 \left(\frac {d t}{d t ^ {0}}\right) - 4. 5 \left(\frac {d t}{d t ^ {0}}\right) ^ {2} + 1. 4 \left(\frac {d t}{d t ^ {0}}\right) ^ {3}\right) & i f \quad 0 \leq d t \leq d t ^ {0} \\ 1. 9 c & i f \quad d t \geq d t ^ {0} \end{array} \right. \tag {3.4.3}
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$$
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|
||||
여기서,
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c : 실험데이타에 의한 상수
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0 dt : 전단슬립(shear slip)
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제하와 재하는 할선 접근방법을 사용한다.
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<!-- source-page: 305 -->
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# 3-4-2 거듭제곱 법칙(Power Law (Noakowski))
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||||
Noakowski 모델은 식 (3.4.4)와 같이 지수형태로 부착슬립거동을 정의하였다. 그림 3.4.2와 같이 슬립이 초기 변위 ( 0 dt ) 보다 작은 경우에는 비정상적으로 초기전단강성 값이 커지는 것을 방지하기 위해 선형 거동하는 것으로 가정한다.
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그림 3.4.2 부착슬립의 거듭제곱 법칙
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$$
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||||
f _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} a (d t) ^ {b} & \text { if } \quad d t \geq d t ^ {0} \\ a (d t) ^ {b - 1} \Delta u _ {t} & \text { if } \quad 0 \leq d t \leq d t ^ {0} \end{array} \right. \tag {3.4.4}
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$$
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여기서,
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$$
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a, b \quad : \text { 실험데이터에 의한 상수 } (b < 1)
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$$
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$$
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||||
d t ^ {0} \quad : \text { 전단슬립(shear slip) }
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$$
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||||
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||||
제하와 재하는 할선 접근방법을 사용한다.
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<!-- source-page: 306 -->
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# 3-5 쿨롱마찰
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midas FEA에서는 마찰 거동에 지배되는 이질적 또는 동질적인 재료의 경계면을표현하기 위해, 계면요소의 거동을 쿨롱마찰이론(coulomb friction theory)을 사용하여 정의한다. 미소 상대변위 ∆u 를 변위분리 가정에 따라 탄성과 소성에 대한미소증분형태로 분리하여 나타내면 다음과 같다.
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$$
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||||
\Delta \dot {\mathbf {u}} = \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {e} + \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} \tag {3.5.1}
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$$
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||||
계면에 발생하는 응력의 증분량은 다음과 같이 정의된다.
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$$
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||||
\dot {\mathbf {t}} = \mathbf {D} ^ {e} \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {e} = \mathbf {D} ^ {e} \left(\Delta \dot {\mathbf {u}} - \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p}\right) \tag {3.5.2}
|
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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t_t
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c / tanø
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c
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||||
Ø
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t_n
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</details>
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그림 3.5.1 쿨롱마찰 기준
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쿨롱마찰모델의 파괴함수 f 와 포텐셜함수 g 는 마찰각을 나타내는 φ 와 점착력
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<!-- source-page: 307 -->
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을 나타내는 c 값으로 구성된 2계수를 사용하여 식 (3.5.3)과 같이 정의하며 응력면상에서의 형상은 그림 3.5.1과 같다.
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$$
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||||
\left\{ \begin{array}{l} f = \sqrt {t _ {t} ^ {2}} + t _ {n} \tan \phi (\kappa) - c (\kappa) = 0 \\ g = \sqrt {t _ {t} ^ {2}} + t _ {n} \tan \varphi \end{array} \right. \tag {3.5.3}
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$$
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||||
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여기서,
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k）：
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c k( ) : 내부변수 κ 의 함수로 정의되는 점착계수
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소성상대변위 p ∆u 는 다음과 같이 크기를 나타내는 소성승수와 소성방향을 나타내는 성분으로 구분하여 정의할 수 있다.
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$$
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||||
\Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} = \dot {\lambda} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} \tag {3.5.4}
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$$
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||||
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||||
외력에 저항하는 구조체의 소성응답거동을 정의하기 위해 Taylor series 1차 확장을 사용하여 파괴함수 f 를 확장하면 다음과 같이 증가률형태로 수식화할 수 있다.
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||||
|
||||
$$
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||||
\dot {f} = \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \dot {\mathbf {t}} + \frac {\partial f}{\partial \kappa} \dot {\kappa} = 0 \tag {3.5.5}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
이때 소성승수 λ 는 식(3.5.5)에 식 (3.5.2), (3.5.4)를 대입하여 λ 에 대해 정리하면 다음과 같다.
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||||
$$
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||||
\dot {\lambda} = \frac {\frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e}}{- \frac {\partial f}{\partial \kappa} + \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}} \Delta \dot {\mathbf {u}} = \frac {\frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e}}{- h + \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}} \Delta \dot {\mathbf {u}} \tag {3.5.6}
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||||
$$
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||||
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||||
내부변수 증가량 κ 과 소성승수 증가량 λ 의 관계는 다음과 같다.
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||||
<!-- source-page: 308 -->
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||||
$$
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||||
\dot {\kappa} = \left| \Delta \dot {\mathbf {u}} _ {t} ^ {p} \right| = \dot {\lambda} \left| \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} \right| = \dot {\lambda} \sqrt {\left(\frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}\right) ^ {T} \cdot \left(\frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}\right)} = \dot {\lambda} \sqrt {1 + \tan^ {2} \varphi} = \dot {\lambda} \quad \because \tan \varphi < < 1 \tag {3.5.7}
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$$
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여기서,
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$$
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\partial \mathbf {g} / \partial \mathbf {t} = \left\{\tan \varphi \quad t _ {t} / \mid t _ {t} \mid \right\}
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$$
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||||
최종적으로 응력증가량은 식(3.5.2)에 식(3.5.4), (3.5.6)을 대입하여 정리하면 다음과 같이 식 (3.5.8)로 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\dot {\mathbf {t}} = \left\{\mathbf {D} ^ {e} - \frac {\mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial \mathbf {g}}{\partial \mathbf {t}} \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e}}{- h + \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial \mathbf {g}}{\partial \mathbf {t}}} \right\} \Delta \dot {\mathbf {u}} \tag {3.5.8}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {D} ^ {e} = \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} & 0 \\ 0 & k _ {t} \end{array} \right]
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$$
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$$
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||||
h = \frac {\partial f}{\partial \kappa} = \frac {\partial f}{\partial \mathbf {t}} \frac {\partial \mathbf {t}}{\partial \Delta \mathbf {u} _ {t} ^ {p}} \frac {\partial \Delta \mathbf {u} _ {t} ^ {p}}{\partial \kappa}
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$$
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$$
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||||
\frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} = \left\{\tan \varphi \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} \right\}
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$$
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$$
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||||
\frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} = \left\{\tan \phi (k) \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} \right\}
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$$
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||||
위의 식을 정리하여 다시 쓰면 다음과 같다.
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$$
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\dot {\mathbf {t}} = \frac {1}{- h + k _ {n} \tan \phi \tan \varphi + k _ {t}} \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} (h + k _ {t}) & - k _ {n} k _ {t} \tan \varphi \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} \\ - k _ {n} k _ {t} \tan \phi (k) \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} & k _ {t} (h + k _ {n} \tan \phi \tan \varphi) \end{array} \right] \Delta \dot {\mathbf {u}} \tag {3.5.9}
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$$
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<!-- source-page: 309 -->
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이때 φ ≠ ϕ 인 경우 식 (3.5.9)에서 대괄호⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 안의 행렬은 비대칭이 되어 비상관소성흐름이 발생하며 φ = ϕ 인 경우 식 (3.5.9)에서 대괄호⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 안의 행렬은 대칭이 되어 상관소성흐름이 발생한다. 상관소성흐름해석을 수행할 경우 계면에 수직한 방향으로 과도한 열림현상이 발생하게 되며 이는 실제거동과 맞지 않게 된다. 그러나 비상관소성흐름해석을 수행할 경우 강성행렬의 저장량이 커짐에 따라 메모리와수행속도가 증가하여 해석이 느리게 진행될 수 있다. 특히 φ 값과 ϕ 값의 차이가클 경우, 즉 비상관성이 큰 해석의 경우에는 수렴이 잘 되지 않는 현상이 관찰된다. 이를 위해 midas FEA에서는 φ −ϕ ≤ ° 20 가 되도록 권장하고 있다.
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<!-- source-page: 310 -->
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# 3-6 복합파괴 모델 (Combined Cracking-Shearing-Crushing)
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계면 재료 모델 중 ‘복합파괴모델(Combined Cracking-Shearing-Crushing)’은조적식 구조물의 결합부와 같은 모델의 파괴, 마찰슬립(frictional slip)과압괴파괴(crushing) 거동을 해석하는데 적합하다. 그림 3.6.1 과 같은 일반적인경우에 단위 벽돌은 선형 탄성 또는 점탄성으로 모델링하고, 모르타르와 같은결합부는 Lourenco 와 Rots 와 van Zijl 이 제시한 ‘복합파괴모델’ 계면요소로모델링한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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mortar
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interface
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interface
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brick
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potential brick crack
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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joint / interface
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joint / interface
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brick
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potential brick crack
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</details>
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그림 3.6.1 조적식 구조물의 모델링 방법
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# 3-6-1 2차원 계면모델
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midas FEA에서 2차원 계면모델은 Lourenco와 Rots 모델과 이를 개선한 van Zijl의 모델을 이용하여 정의하였다. 이 모델은 인장한계(tension cutoff) 및 타원형의압축 캡모델(Elliptical compression cap model)과 결합된 쿨롬 마찰모델에 기초하여 다중면 소성모델을 사용한다. 그림 3.6.12와 같이 연화과정은 쿨롱 마찰모드,인장모드와 캡모드 3방향으로 일어나며, 경화과정은 캡모드에서만 고려된다. 계면모델에서 응력, 변형률 벡터는 다음과 같다.
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@@ -0,0 +1,346 @@
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<!-- source-page: 311 -->
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$$
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\mathbf {t} = \binom {t _ {n}} {t _ {t}} = \binom {\sigma} {\tau}, \quad \Delta \mathbf {u} = \binom {\Delta u _ {n}} {d t} \tag {3.6.1}
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$$
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여기서,
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nt , un : 계면 법선방향의 응력과 상대변위
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tt , dt : 접선방향의 전단력과 상대변위
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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compression cap mode
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coulomb friction mode
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|τ|
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θ
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tension mode
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intermediate yield surface
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residual yield surface
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initial yield surface
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σ
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</details>
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그림 3.6.2 2 차원 계면 모델
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탄성영역에서 구성방정식은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {t} = \mathbf {D} \Delta \mathbf {u} \tag {3.6.2}
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$$
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여기서, 강성 행렬의 대각행렬은 다음과 같이 구성된다.
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$$
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\mathbf {D} = \operatorname{diag} \left[ \begin{array}{l l} k _ {n} & k _ {s} \end{array} \right] \tag {3.6.3}
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$$
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<!-- source-page: 312 -->
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# 전단 슬립
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초기 쿨롱 마찰항복한계(coulomb friction yield criterion)는 다음과 같다.
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$$
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f = \left| t _ {t} \right| + t _ {n} \Phi - c \tag {3.6.4}
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$$
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여기서,
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tt : 접선방향의 전단슬립응력
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nt : 경계면에 수직방향의 법선 응력
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Φ = tanφ : 마찰각
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c : 점착력
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쿨롱 마찰항복한계에서 연화거동은 내부변수 κ 를 사용하여 점착력 c 와 마찰계수Φ 값을 감소시킴으로써 나타내며 다음과 같이 수식화한다.
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$$
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c \left(t _ {n}, \kappa\right) = c _ {0} e ^ {- \frac {c _ {0}}{G _ {f} ^ {l l}} \kappa}, \quad \Phi \left(t _ {n}, \kappa\right) = \Phi_ {0} + \left(\Phi_ {r} - \Phi_ {0}\right) \frac {c _ {0} - c}{c _ {0}} \tag {3.6.5}
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$$
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여기서,
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$c _ { 0 }$ : 초기 점착력
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$G _ { f } ^ { I I }$ : 모드-II 형식의 전단슬립 파괴에너지
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$\Phi _ { 0 }$ Φ : 초기 마찰계수
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$\Phi _ { r }$ : 잔류 마찰계수
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여기서, 파괴에너지는 법선방향의 구속 응력과 선형관계가 있으며, 둘 사이의 관계는 다음과 같다.
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$$
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||||
G _ {f} ^ {I I} = \left\{ \begin{array}{c c} a t _ {n} + b & \text { if } t _ {n} < 0 \\ b & \text { if } t _ {n} \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.6.6}
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$$
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여기서, a , b 는 실험 데이터를 바탕으로 선형 회기 분석에 의해 결정된다.
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<!-- source-page: 313 -->
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# 팽창
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소성상대변위 p ∆u 는 식 (3.5.4)와 같이 포텐셜 함수로 나타낼 수 있다.
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$$
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\Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} = \dot {\lambda} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} \tag {3.6.7}
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$$
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||||
그리고 포텐셜 함수는 식 (3.6.8)과 같다.
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$$
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||||
\frac {\partial g}{\partial t _ {n}} = \left\{ \begin{array}{c} \Psi \\ \text { sign } (t _ {t}) \end{array} \right\} \tag {3.6.8}
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$$
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||||
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||||
위 식 (3.6.7)과 (3.6.8)을 이용하여 팽창 계수(ψ = tanϕ )를 나타내면 식 (3.6.9)와같다.
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$$
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||||
\psi = \frac {\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p}}{\Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}} \text { sign } (t _ {t}) \tag {3.6.9}
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||||
$$
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||||
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||||
실험에 의해 팽창 계수가 구속응력과 전단 슬립에 의한 함수임이 입증되었으며,식 (3.6.10)과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\psi = \psi_ {1} (\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p}) \psi_ {2} (t _ {t} ^ {p}) \tag {3.6.10}
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$$
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따라서 포텐셜 함수는 다음과 같이 나타난다.
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$$
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g = \int \left(\frac {\partial g}{\partial t _ {n}}\right) ^ {T} d \mathbf {t} = \left| t _ {t} \right| + \psi_ {2} \left(\Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}\right) \int \psi_ {1} \left(t _ {n}\right) d t _ {n} \tag {3.6.11}
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$$
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||||
접선 슬립에 의한 법선 방향의 상대 변위는 다음과 같다.
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$$
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\Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} = \left\{ \begin{array}{c c} 0 & \text { if } t _ {n} < \sigma_ {u} \\ \frac {\psi_ {0}}{\delta} \left(1 - \frac {t _ {n}}{\sigma_ {u}}\right) \left(1 - e ^ {- \delta \Delta u _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } \sigma_ {u} \leq t _ {n} < 0 \\ \frac {\psi_ {0}}{\delta} \left(1 - e ^ {- \delta \Delta u _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } t _ {n} \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.6.12}
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$$
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||||
그리고 미분 이후 팽창 계수는 다음과 같이 유도된다.
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<!-- source-page: 314 -->
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$$
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||||
\psi = \left\{ \begin{array}{c c} 0 & \text { if } t _ {n} < \sigma_ {u} \\ \psi_ {0} \left(1 - \frac {t _ {n}}{\sigma_ {u}}\right) \left(1 - e ^ {- \delta \Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } \sigma_ {u} \leq t _ {n} < 0 \\ \psi_ {0} \left(1 - e ^ {- \delta \Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } t _ {n} \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.6.13}
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$$
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여기서,
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$\psi _ { 0 }$ 초기 팽창 계수
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$\sigma _ { u }$ O ：
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$\delta$
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# 연화거동
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변형연화가정을 따르며 전단슬립에 의해 정의되는 연화는 다음과 같다.
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$$
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\Delta \kappa = \left| \Delta \dot {u} _ {t} ^ {p} \right| = \Delta \lambda \tag {3.6.14}
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$$
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소성 변형률 증가( ∆κ, ∆λ)는 뉴튼 랩슨법에 의해 산정된다.
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# 인장 한계 거동
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인장 한계에 대한 파괴규준은 다음과 같이 랭킨 기준(Rankine criterion)을 사용한다.
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$$
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f _ {2} = t _ {n} - \sigma_ {t} \tag {3.6.15}
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$$
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여기서, $\sigma _ { t }$ 는 벽돌 모르타르 부착강도(brick-mortar bond strength)이며 다음과같다.
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<!-- source-page: 315 -->
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$$
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\sigma_ {t} = f _ {t} e ^ {- \frac {f _ {t}}{G _ {f} ^ {I}} \kappa_ {2}} \tag {3.6.16}
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$$
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여기서,
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$$
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f _ {t} \quad : \text { 부착 강도 }
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$$
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$$
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G _ {f} ^ {I} \quad : \text { 모드-1 파괴 에너지 }
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$$
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이때 내부변수 κ 2 는 다음과 같다.
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$$
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\Delta \kappa_ {2} = \left| \Delta u _ {p} \right| \tag {3.6.17}
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$$
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||||
상관소성흐름법칙을 적용하면 다음과 같다.
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$$
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\Delta u _ {p} = \Delta \lambda_ {2} \frac {\partial f _ {2}}{\partial t} \tag {3.6.18}
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$$
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그러므로 결과적으로 다음의 결론을 도출한다.
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$$
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\Delta \kappa = \Delta \lambda_ {2} \tag {3.6.19}
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$$
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# 압축 캡거동
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압축 캡에 대한 파괴규준은 다음과 같다.
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$$
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f _ {3} = t _ {n} ^ {2} + C _ {s} t _ {t} ^ {2} - \sigma_ {c} ^ {2} \tag {3.6.20}
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$$
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여기서,
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$$
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C _ {s} \quad : \text { 파괴시 전단응력 분포를 나타내는 계수 }
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$$
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$$
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\sigma_ {c} \quad : \text { 압축강도 }
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$$
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압축 캡거동에 사용되는 내부변수 κ 3는 다음과 같다.
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<!-- source-page: 316 -->
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$$
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\Delta \kappa_ {3} = \sqrt {\Delta u _ {p} ^ {T} \Delta u _ {p}} \tag {3.6.21}
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$$
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여기서,
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$$
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||||
\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p} = \Delta \lambda_ {3} \frac {\partial f _ {3}}{\partial t _ {n}}
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$$
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||||
그러므로
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$$
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||||
\Delta \kappa_ {3} = 2 \Delta \lambda_ {3} \sqrt {t _ {n} ^ {2} + \left(C _ {s} t _ {t}\right) ^ {2}} \tag {3.6.22}
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||||
$$
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||||
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | K3 | σc |
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|-------|----|----|
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| σ₁ | Kp | f_c |
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| σ₂ | Km | σ_m |
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| σ₃ | Km | σ_r |
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| σ_i | Kp | σ_i |
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</details>
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그림 3.6.3 계면의 압축 캡에서 경화-연화 법칙
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캡모델은 그림 3.6.3에서와 같이 최대 강도( f )까지는 경화거동을 하며, 그 이후부터는 연화거동을 한다.
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<!-- source-page: 317 -->
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||||
위 그림과 같이 3가지 영역에 따라 내부변수에 따른 응력은 식 (3.6.23)과 같다.
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$$
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||||
\overline {{{{\sigma_ {1}}}}} \left(\kappa_ {3}\right) = \overline {{{{\sigma_ {i}}}}} + \left(f _ {c} - \overline {{{{\sigma_ {i}}}}}\right) \sqrt {\frac {2 \kappa_ {3}}{\kappa_ {p}} - \frac {\kappa_ {3} ^ {2}}{\kappa_ {p} ^ {2}}}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
\overline {{{\sigma_ {2}}}} \left(\kappa_ {3}\right) = f _ {c} + \left(\overline {{{\sigma_ {m}}}} - f _ {c}\right) \left(\frac {\kappa_ {3} - \kappa_ {p}}{\kappa_ {m} - \kappa_ {p}}\right) ^ {2} \tag {3.6.23}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\overline {{\sigma_ {3}}} \left(\kappa_ {3}\right) = \overline {{\sigma_ {r}}} + \left(\overline {{\sigma_ {m}}} - \overline {{\sigma_ {r}}}\right) \exp \left(2 \left(\frac {\overline {{\sigma_ {m}}} - f _ {c}}{\kappa_ {m} - \kappa_ {p}}\right) \left(\frac {\kappa_ {3} - \kappa_ {m}}{\overline {{\sigma_ {m}}} - \overline {{\sigma_ {r}}}}\right)\right)
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$$
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||||
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||||
식 (3.54)에서 $\overline { { \sigma _ { i } } } = \frac { 1 } { 3 } f _ { c } , \overline { { \sigma _ { m } } } = \frac { 1 } { 2 } f _ { c } , \overline { { \sigma _ { r } } } = \frac { 1 } { 1 0 } f _ { c }$ 이다.
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||||
# 교차점(Corner) 거동
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쿨롱 마찰한계과 인장한계 또는 압축 캡과의 교차지점에서 소성 변위 증가율은 식(3.6.24)와 같다.
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$$
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||||
\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p} = \Delta \lambda_ {1} \frac {\partial g _ {1}}{\partial t _ {n}} + \Delta \lambda_ {i} \frac {\partial g _ {i}}{\partial t _ {n}} \tag {3.6.24}
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$$
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여기서,,
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아래 첨자 1 : 전단 한계
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i가 2인 경우 : 인장한계
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i가 3인 경우 : 압축 캡
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# 3-6-2 3차원 계면모델
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3차원 문제에 있어서 midas FEA에는 인장한계모델만이 고려되며 압축 캡모델은고려하지 않는다. 삼차원문제는 단순히 2차원 문제의 확장으로써 다음과 같이 나타낸다.
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<!-- source-page: 318 -->
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$$
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||||
\boldsymbol {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {s} \\ t _ {t} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {u} = \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ \Delta u _ {s} \\ \Delta u _ {t} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {D} = \left[ \begin{array}{c c c} k _ {n} & 0 & 0 \\ 0 & k _ {s} & 0 \\ 0 & 0 & k _ {t} \end{array} \right] \tag {3.6.25}
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||||
$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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τs
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C0
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τt ← C0
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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τs
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ft
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σ
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τt
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</details>
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그림 3.6.4 3차원 계면 항복 함수
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파괴함수는 다음과 같다.
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$$
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f = \sqrt {t _ {s} ^ {2} + t _ {t} ^ {2}} + t _ {n} \Phi - c \tag {3.6.26}
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$$
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||||
$$
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||||
\Delta \dot {\boldsymbol {u}} ^ {p} = \Delta \lambda \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {t}} = \Delta \lambda \left[ \begin{array}{c} \varphi \\ \frac {t _ {s}}{\sqrt {t _ {s} ^ {2} + t _ {t} ^ {2}}} \\ \frac {t _ {t}}{\sqrt {t _ {s} ^ {2} + t _ {t} ^ {2}}} \end{array} \right] \tag {3.6.27}
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||||
$$
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||||
위 식 (3.6.28)에서 ϕ 는 비상관 팽창각이며 ∆κ은 내부변수 증가량으로써 다음과같다.
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$$
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||||
\Delta \kappa = \sqrt {\left(\Delta \dot {u} _ {s} ^ {p}\right) ^ {2} + \left(\Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}\right) ^ {2}} = \Delta \lambda \tag {3.6.28}
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$$
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<!-- source-page: 319 -->
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 3 General Algorithms
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Chapter 1. Load and Boundary
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Chapter 2. Equation Solver
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Chapter 3. Iteration Methods
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<!-- source-page: 320 -->
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@@ -0,0 +1,270 @@
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<!-- source-page: 321 -->
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# Chapter 1. Load and Boundary
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# 1-1 자유도 구속조건
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자유도 구속(constraint) 기능은 임의 절점의 변위를 구속시키거나 자유도가 부족한 요소(truss, plane stress 요소 등)끼리 접합될 때 해당 자유도성분을 구속하는데 사용된다. 자유도 구속조건은 전체좌표계(global coordinate system) 또는 절점좌표계(nodal coordinate system)를 기준으로 절점당 6개 자유도에 대해 입력된다.
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예를 들어 그림 1.1.1과 같은 평면골조모델에 자유도 구속조건을 부여하는 방법은다음과 같다. 이 모델은 전체좌표계 X Z− 평면내에서만 거동이 허용되는 2차원모델이기 때문에 모든 절점에 대해 전체좌표계 Y 방향 변위자유도와 X 방향 및Z 방향에 대한 회전자유도를 구속해야 한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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N2
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N4
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N6
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N1
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N3
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z
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y
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x
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angle of
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inclination
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Y
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X
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• : fixed support condition
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: pinned support condition
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: roller support condition
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</details>
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그림 1.1.1 자유도 구속조건이 고려된 평면골조모델
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고정지지조건인 절점 N1은 전체좌표계 X , Z 방향 변위자유도와 Y 방향에 대한회전자유도를 추가로 구속한다. 핀접합이면서 롤러 지지조건인 N3에 대해서는 Z
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<!-- source-page: 322 -->
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방향 변위자유도를 추가로 구속한다. 절점좌표계에 대해 로울러 지지조건이 부여된 절점 N5에 대해서는 전체좌표계 X 축에 대해 경사각만큼 회전한 절점좌표계를설정한 다음, 전체좌표계 Z 축 방향 변위자유도를 구속한다. 절점좌표계가 선언되어 있는 절점에 입력되는 구속조건은 절점좌표계를 따라 구속을 수행하게 된다.
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절점변위를 구속하는 기능은 변위를 무시할 수 있는 지지조건(supports) 등에 주로 이용되며 임의 절점에 대해 구속조건이 주어지면 해당절점에 대한 반력이 발생하게 된다. 절점에서의 반력은 전체좌표계를 기준으로 출력된다.
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그림 1.1.2는 구속조건이 부족한 자유도에 구속조건을 사용한 예 이다. 그림 1.1.2(a)의 경우는 트러스요소가 축방향의 변위자유도만 가지기 때문에 연결절점에서의X 방향 변위와 모든 회전방향 변위성분은 구속되어있다. 그림 1.1.2 (b)는 상·하부플랜지를 보요소로 대신한 예로써 보요소가 절점당 6개의 자유도를 가지기 때문에보요소와 연결되는 절점에서는 별도의 구속조건이 필요 없다. 그러나 평면응력요소만으로 구성된 절점에 대해서는 평면응력요소가 면내의 거동에 대한 자유도만가지고 있기 때문에 면외변위성분인 Y 방향 변위자유도와 모든 회전자유도를 구속하여야 한다. 구조물이 충분한 강성을 가지지 못하는 경우에는 원활한 해석을 위해서 전체구조물의 해석에 영향을 거의 주지 않은 작은 강성을 부여할 수도 있다.
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<!-- source-page: 323 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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connecting node
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(DX, RX, RY and RZ are constrained)
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supports (all degrees of
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freedom are constrained)
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</details>
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(a) 트러스요소끼리 접합된 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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supports (all degrees of freedom are constrained)
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top flange (beam element)
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web (plane stress element)
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Y
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Z
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X
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bottom flange (beam element)
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in-plane vertical load
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● : nodes without constrains
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○ : DY, RX, RY and RZ are constrained
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DX : displacement in the GCS X direction
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DY : displacement in the GCS Y direction
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DZ : displacement in the GCS Z direction
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RX : rotation about the GCS X-axis
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RY : rotation about the GCS Y-axis
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RZ : rotation about the GCS Z-axis
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</details>
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(b) H형 캔틸레버를 상/하부 플랜지를 보요소로 모델링하고 웨브를 평면응력요소로 모델링한 경우
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그림 1.1.2 자유도 구속조건의 사용 예
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<!-- source-page: 324 -->
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# 1-2 경사 지지조건
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그림 1.2.1과 같이 경사지지(skewed support) 조건을 갖는 구조물의 경계조건은자유도 구속조건과 절점좌표계를 사용하여 모델링 한다. 구속 자유도는 자유도 구속조건에서 입력된 방향을 사용하고, 해당자유도의 좌표축은 절점좌표계를 따른다.경사지지조건이 입력된 절점의 반력은 전체좌표계를 기준으로 출력된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z
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N
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X
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N
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X
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X
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θ
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Y
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X
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X
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</details>
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그림 1.2.1 경사지지조건의 예
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<!-- source-page: 325 -->
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# 1-3 구속 방정식
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구속방정식(constraint equation)은 구조물의 특정 절점이 다른 절점들의 거동에종속적으로 움직이도록 구속하는 기능이다. 여기서, 구속하고자 하는 특정 절점을구속절점(constraint node)이라 하고, 자유도가 독립적인 절점을 독립절점(independent node)이라 한다. 구속방정식에 의한 구속절점과 독립절점간의 관계는 다음과 같다.
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$$
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U _ {M, m} = a _ {1} U _ {I, i} + a _ {2} U _ {J, j} + \dots + b _ {1} R _ {I, i} + b _ {2} R _ {J, j} + \dots \quad - \text { 이동변위 구속 } \tag {1.3.1}
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
R _ {M, m} = c _ {1} U _ {I, i} + c _ {2} U _ {J, j} + \dots + d _ {1} R _ {I, i} + d _ {2} R _ {J, j} + \dots \quad - \text { 회전변위 구속 } \tag {1.3.2}
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||||
$$
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||||
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||||
여기서,
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||||
$$
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||||
U _ {M, m} \quad : \text { 구속절점 } m \text { 의 } M \text { 방향 이동변위 }
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
U _ {I, i} \quad : \text { 독립절점 } i \text { 의 } I \text { 방향 이동변위 }
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
R _ {M, m} \quad : \text { 구속절점 } m \text { 의 } M \text { 방향 회전변위 }
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||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
R _ {I, i} \quad : \text { 독립절점 } i \text { 의 } I \text { 방향 회전변위 }
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
a _ {i}, b _ {i}, c _ {i}, d _ {i} \quad : \text { 자유도 간의 상호관계를 정의하는 계수 }
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||||
$$
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||||
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||||
구속방정식은 식 (1.3.1) 또는 식 (1.3.2)와 같이 임의 절점, 임의의 자유도를 상호구속할 수 있기 때문에 적용 범위가 매우 넓다. 구속방정식은 전체좌표계에서 정의된 자유도에 대해 적용된다.
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||||
그림 1.3.1은 입체요소로 이루어진 3차원 구조물과 판요소로 이루어진 얇은 판의접합 부분에 적용한 예이다. 입체요소는 회전자유도에 대한 강성이 없기 때문에접합되어 있는 판의 회전거동을 구속하지 못한다. 구속방정식을 이용하여 접합 부분의 회전자유도를 식(1.3.3)과 같이 구속하게 되면, 판요소가 접합면에 대체로 수
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<!-- source-page: 326 -->
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직을 이룬 상태에서 거동하게 된다.
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$$
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||||
R _ {Y, 3} = \frac {1}{h} U _ {X, 1} - \frac {1}{h} U _ {X, 2} \tag {1.3.3}
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||||
$$
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||||
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>natural_image</summary>
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||||
3D wireframe diagram of a curved surface with a dotted circular feature and arrow indicating direction (no text or symbols)
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</details>
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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||||
U_{X,1}
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N1
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Ry_3
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||||
N3
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||||
N2
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||||
U_{X,2}
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</details>
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||||
그림 1.3.1 구속방정식의 적용 예
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구속방정식은 강체연결(rigid link)과 혼동을 일으키기 쉽기 때문에 상호간의 차이점을 정확하게 인지해야 한다. 강체연결에 의한 연결은 하나의 절점 거동에 의해다른 여러 절점이 종속적으로 움직이도록 하는 반면, 구속방정식에 의한 구속조건
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<!-- source-page: 327 -->
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||||
은 하나의 절점이 다른 여러 절점의 거동에 종속되도록 한다.
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||||
구속방정식을 부가하는 방법에는 두 가지가 있다. 식 (1.3.1) 또는 식 (1.3.2)의 모든 자유도와 계수를 직접 입력하여 구속방정식을 생성하는 방법을 명시적 방법(explicit method)이라 하고, 구속절점의 움직임을 독립절점의 평균 변위와 같게하는 방법을 가중변위 방법(weighted displacement)라 한다. 각각의 방법으로 구속방정식을 부가하는 과정은 다음과 같다.
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# 명시적 방법
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- 구속절점 및 자유도(복수 선택 불가) 선택
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- 독립절점 및 자유도(복수 선택 불가) 선택, 계수( ,i ia b 또는 ,i ic d ) 입력
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독립절점에 대한 정보는 반복적으로 입력할 수 있으며, 이러한 과정으로 식(1.3.1)또는 식(1.3.2)를 생성한다.
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# 가중변위 방법
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||||
- 구속절점 선택
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- 구속절점과 독립절점에 공통으로 적용할 자유도(복수 선택 가능) 선택
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||||
- 독립절점 선택, 가중치 w 입력
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||||
독립절점에 대한 정보는 반복적으로 입력할 수 있으며, 다음과 같은 구속방정식이생성된다.
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$$
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||||
U _ {I, m} = \sum_ {i} \frac {w _ {i}}{S} U _ {I, i} \text { 또는 } R _ {I, m} = \sum_ {i} \frac {w _ {i}}{S} R _ {I, i}
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$$
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여기서,
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S : 가중치( w )를 모두 더한 값
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이 방법을 이용하면 이동변위와 회전변위간의 연관(coupling)이 발생하지 않는다.
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<!-- source-page: 328 -->
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||||
# 1-4 절점하중
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절점하중(nodal load)은 가장 기본적인 하중으로 절점별로 6개 방향의 하중값을입력할 수 있다. 절점하중의 방향은 임의의 좌표계에 대하여 정의할 수 있다.
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<!-- source-page: 329 -->
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# 1-5 요소압력하중
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요소압력 하중(element pressure load)은 요소의 면(surface)이나 변(edge)에 분포하중의 형태로 입력된다. 2차원 요소(판요소, 평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소)와 3차원 요소(입체요소)에 입력이 가능하고 요소강성 구성 시에 절점자유도의 하중으로 변환되어 해석에 사용된다. 하중의 입력방향은 요소좌표계나 전체좌표계 방향으로 입력할 수 있고, 임의 방향인 벡터 형태의 입력도 가능하다. 그림1.5.1은 요소압력하중의 예를 나타내고 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P₁
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P₁
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N₄
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Edge 3
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N₃
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P₂
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Edge 4
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Edge 2
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N₁
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Edge 1
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N₂
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P₁
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P₂
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P₁
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P₂
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</details>
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(a) 판요소, 평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소의 각 변에수직방향으로 작용하는 압력하중
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<!-- source-page: 330 -->
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<details>
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||||
<summary>natural_image</summary>
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||||
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||||
Isometric diagram of a rectangular frame with vertical arrows indicating force or direction (no text or symbols)
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</details>
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(b) 판요소와 평면응력요소의 면에 작용하는 압력하중
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<details>
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||||
<summary>natural_image</summary>
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Isometric line drawing of a 3D cube with internal vertical supports and hatched walls (no text or symbols)
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</details>
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(c) 입체요소의 각 면에 수직방향으로 작용하는 압력하중
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그림 1.5.1 각 요소에 작용하는 압력하중
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@@ -0,0 +1,212 @@
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<!-- source-page: 331 -->
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# 1-6 체적력
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체적력(body force)은 주로 구조물의 자중이나 관성력을 모델링하는데 사용된다.모든 요소에 재하가 가능하고, 전체좌표계 X , Y , Z 에 대하여 입력이 가능하다.체적력의 기본 적분식은 식 (1.6.1)와 같고, , , ωx y zω ω 의 크기는 밀도와 방향별 중력 계수(gravitational force factor)로부터 계산된다. 형상함수( Ni )는 요소별 강성계산에 사용한 것과 동일하다.
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$$
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||||
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {V _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d V \tag {1.6.1}
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$$
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||||
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여기서,
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$$
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||||
\begin{array}{l} \mathbf {F} _ {i} \quad : \text { 체적력 } \\ \omega_ {x} \quad : x \text { 방향 단위중량 } \\ \omega_ {y} \quad : y \text { 방향 단위중량 } \\ \omega_ {z} \quad : z \text { 방향 단위중량 } \\ N _ {i} \quad : \text { 형상함수 } \\ \end{array}
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$$
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<!-- source-page: 332 -->
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# 1-7 강제변위
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강제변위(prescribed displacement)는 특정 절점에 대한 변형 후 위치를 알고 있을 때 사용된다. 강제변위는 기본적으로 전체좌표계에 대하여 정의되지만, 절점좌표계와 함께 사용하면 임의의 방향으로의 변위를 모사할 수 있다. 강제변위는 구조물의 변형을 발생시키기 때문에 하중으로 분류되어 있으나, 반력이 발생하는 등경계조건과 유사한 측면이 있다. 특히 강제변위가 적용된 절점과 해당 요소의 강성이 변화되기 때문에, 여러 하중조건을 동시에 푸는 경우 각별한 주의가 필요하다. 예를 들어, 동일한 구조물과 경계조건을 이용하여 여러 하중조건을 동시에 해석하는 경우, 특정 하중조건에서 사용된 임의 절점의 강제변위는 다른 하중조건에의한 결과에서도 그 절점의 변위가 구속된 것과 같은 효과를 야기한다.
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<!-- source-page: 333 -->
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# Chapter 2. Equation Solver
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# 2-1 개요
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선형연립방정식의 해법은 식 (2.1.1)과 같은 선형 행렬식의 해 u 를 구하는 방법이다.
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$$
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||||
\mathbf {K} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {2.1.1}
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$$
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||||
선형연립방정식 해법은 선형 해석뿐만 아니라, 고유치/좌굴 해석, 동적 해석, 비선형 해석 등 거의 모든 해석군에 이용되며, 해법은 크게 직접해법(direct method)과 반복해법(iterative method)으로 분류할 수 있다. midas FEA에서 사용할 수 있는 방법과 선택사항은 다음과 같다.
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||||
<table><tr><td rowspan="2">직접해법</td><td colspan="2">스카이라인(skyline)</td></tr><tr><td colspan="2">다중프런트법(multi frontal)</td></tr><tr><td rowspan="4">반복해법</td><td rowspan="2">컬레 구배법(conjugate gradient)</td><td>ILUT 예조건화</td></tr><tr><td>자코비 예조건화</td></tr><tr><td rowspan="2">GMRES(generalized minimal residual)</td><td>ILUT 예조건화</td></tr><tr><td>자코비 예조건화</td></tr></table>
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||||
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<!-- source-page: 334 -->
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||||
# 2-2 직접해법
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||||
직접해법에서는 방정식의 해를 두 단계에 걸쳐 구하게 된다. 첫 번째 단계는 행렬분해(decomposition)이고, 두 번째 단계는 전-후진 대입(forward-backwardsubstitution : FBS) 과정이다.
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||||
행렬 분해 과정에서는 대칭인 강성행렬 K 를 T LL 또는 T LDL 형태로 분해한다.
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||||
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||||
$$
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||||
\mathbf {L} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \quad \text { or } \quad \mathbf {L} \mathbf {D} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {2.2.1}
|
||||
$$
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||||
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||||
여기서, L 은 하삼각행렬(lower-triangular matrix)이고 D 는 대각행렬(diagonalmatrix)이다. 일반적으로 D 가 포함된 분해법은 행렬이 양의 정부호(positivedefinite)가 아닌 경우에 필요하다. 분해된 행렬 K ( T = LL 또는 T = LDL )는 FBS과정을 통하여 해를 구하는데 이용된다. 먼저 T v L u = 또는 T v DL u = 로 치환하면식 (2.2.1)을 다음과 같이 나타낼 수 있고
|
||||
|
||||
$$
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||||
\mathbf {L} \mathbf {v} = \mathbf {p} \tag {2.2.2}
|
||||
$$
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||||
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||||
Lv p = 의 해 v 는 L 의 하삼각 특성을 이용하여 구할 수 있다. 그리고 v 가 계산되면 T v L u = 또는 T v DL u = 를 이용하여 u 를 계산한다.
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||||
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직접해법 적용시 중요한 점은 행렬의 희소성(sparsity)을 적절히 이용해야 하는 것이다. 일반적으로 유한요소해석 시에 발생하는 행렬 K 는 희소행렬(sparsematrix)이며, 희소성을 활용하는 방법에 따라 계산 시간과 요구되는 메모리 양이현저하게 달라진다. midas FEA에서는 단일 프런트를 이용하는 스카이라인 방법과다중 프런트 행렬을 이용하는 다중프런트법을 제공하고 있다.
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# 2-2-1 스카이라인 방법
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스카이라인 방법은 단일 프런트 행렬을 이용하여 행렬 분해를 수행하며, 행렬의저장 방식으로 스카이라인 형태를 이용한다.
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P₁ P₂ P₃
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그림 2.2.1 3 영역으로 구분되어 있는 요소망
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그림 2.2.1과 같은 요소망의 강성행렬을 3개의 부분으로 나누어 표현하면 식(2.2.3)과 같고
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$$
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\mathbf {K} = \left[ \begin{array}{c c c} \mathbf {K} _ {1 1} & \mathbf {K} _ {2 1} ^ {T} & \mathbf {0} \\ \mathbf {K} _ {2 1} & \mathbf {K} _ {2 2} & \mathbf {K} _ {3 2} ^ {T} \\ \mathbf {0} & \mathbf {K} _ {3 2} & \mathbf {K} _ {3 3} \end{array} \right] \tag {2.2.3}
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$$
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이를 P P P 1 2 3→ → 순서로 분해한다고 가정하면, P1의 분해와 이에 따른 P2 의 갱신은 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {1 1} = \mathbf {L} _ {1 1} \mathbf {L} _ {1 1} ^ {T}
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$$
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$$
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\mathbf {L} _ {2 1} \mathbf {L} _ {1 1} ^ {T} = \mathbf {K} _ {2 1} \tag {2.2.4}
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$$
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$$
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\mathbf {K} _ {2 2} - \mathbf {L} _ {2 1} \mathbf {L} _ {2 1} ^ {T} = \mathbf {K} _ {2 2} ^ {*} (= \mathbf {L} _ {2 2} \mathbf {L} _ {2 2} ^ {T})
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$$
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같은 방법으로 P 의 분해와 P 의 갱신 및 분해를 할 수 있다. 이와 같이 단일 프런트 행렬에 의한 순차적인 행렬의 분해는 그 자유도의 재배치(renumbering)에 따라 계산의 효율성이 크게 좌우된다. 그림 2.2.2는 직사각형 요소망에서 효과적인계산 순서를 도식적으로 표현한 것이다. 자유도 재배치를 구현하기 위한 알고리즘은 Sloan1 이 제안한 프런트 감소법(wavefront reduction method)을 이용한다. 전
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진 대입(forward substitution)은 행렬의 분해와 같은 순서로 이루어지고, 후진 대입(backward substitution)은 그 역순으로 계산하게 된다.
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<summary>text_image</summary>
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그림 2.2.2 스카이라인 방법에서 사용하는 자유도 배치 순서
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# 2-2-2 다중프런트법
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다중프런트법은 여러 개의 프런트 행렬을 동시에 고려하여 행렬의 분해를 수행하며, 행렬을 요소 단위로 저장하여 계산하는 방법2 을 이용한다. 그림 2.2.1과 같은요소망에 대하여 식 (2.2.5)과 같이 배치하고
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$$
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\mathbf {K} = \left[ \begin{array}{c c c} \mathbf {K} _ {1 1} & \mathbf {0} & \mathbf {K} _ {2 1} ^ {T} \\ \mathbf {0} & \mathbf {K} _ {3 3} & \mathbf {K} _ {2 3} ^ {T} \\ \mathbf {K} _ {2 1} & \mathbf {K} _ {2 3} & \mathbf {K} _ {2 2} \end{array} \right] \tag {2.2.5}
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$$
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이를 1 3 2( , ) P P P → 순서로 분해하게 되면, 아래의 식 (2.2.6), (2.2.7)과 같이 표현할 수 있다.
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$$
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\mathbf {K} _ {1 1} = \mathbf {L} _ {1 1} \mathbf {L} _ {1 1} ^ {T}
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$$
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$$
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\mathbf {L} _ {2 1} \mathbf {L} _ {1 1} ^ {T} = \mathbf {K} _ {2 1} \tag {2.2.6}
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$$
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$$
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\mathbf {K} _ {2 2} - \mathbf {L} _ {2 1} \mathbf {L} _ {2 1} ^ {T} = \mathbf {K} _ {2 2} ^ {*}
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$$
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$$
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\mathbf {K} _ {3 3} = \mathbf {L} _ {3 3} \mathbf {L} _ {3 3} ^ {T}
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$$
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$$
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\mathbf {L} _ {2 3} \mathbf {L} _ {3 3} ^ {T} = \mathbf {K} _ {2 3} \tag {2.2.7}
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$$
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$$
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\mathbf {K} _ {2 2} ^ {*} - \mathbf {L} _ {2 3} \mathbf {L} _ {2 3} ^ {T} = \mathbf {K} _ {2 2} ^ {* *}
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$$
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다중 프런트 행렬에 의한 행렬의 분해 역시 자유도 재배치가 필요하다. 그림 2.2.3은 직사각형 요소망에서 효과적인 계산 순서를 도식적으로 표현한 것이다. 자유도재배치를 구현하기 위한 알고리즘은 재귀 이분할법(recursive bisection)을 이용한다. 전진 대입은 행렬의 분해와 같은 순서로 이루어지고, 후진 대입은 그 역순으로계산하게 된다.
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<summary>text_image</summary>
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1
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2 1 4 1 2
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3
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3
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1 2 1 1 2 1
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그림 2.2.3 다중프런트법에서 사용하는 자유도 분할법
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# 2-3 반복해법
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반복해법(iterative method)은 현 단계의 해 ui 와 잉여값( r p - Ku i i= )을 이용하여식 (2.1.1)의 정해에 가까운 값을 찾아가는 방법이다. ui+1을 계산하는 방법을 간략하게 표현하면 식 (2.3.1)와 같다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {u} _ {i} + \boldsymbol {\Gamma} _ {i} \mathbf {Q} (\mathbf {p} - \mathbf {K} \mathbf {u} _ {i}) \tag {2.3.1}
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$$
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여기서, Γi 는 반복법의 종류에 따라 결정되는 행렬 연산자이고, Q 는 수렴 속도를 좌우하는 예조건화 기법(pre-conditioner)이다. 반복해법에서 반복 계산의 지속여부는 최대 반복 회수(maximum iteration)와 잉여값 r p - Ku i i= 의 수렴 허용범위(convergence tolerance)를 기준으로 결정한다. midas FEA 에서는 이 값을 사용자가 결정할 수 있으며, 그 기본값은 다음과 같다.
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<table><tr><td rowspan="2">최대 반복 회수</td><td> $N/4 >1000$ </td><td> $N/4$ </td></tr><tr><td> $N/4 < 1000$ </td><td>1000</td></tr><tr><td>수렴 허용범위</td><td colspan="2"> $\|\mathbf{r}_{i}\| < 10^{-6} \|\mathbf{f}\|$ </td></tr></table>
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# 2-3-1 켤레구배법과 GMRES
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midas FEA에서는 행렬이 대칭이며 양의 정부호인 경우에 사용하는 켤레구배법3 (CG:conjugate gradient) 방법과 일반적인 행렬에 적합한 GMRES4 (generalizedminimal residual) 방법을 사용할 수 있다. 켤레구배법과 GMRES 방법 모두 잉여값 ir 가 Krylov 부분공간(subspace) $s p a n \{ \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { K } \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { K } ^ { 2 } \mathbf { r } _ { 0 } , \ldots \}$ 내에서 직교하도록 해
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의 탐색 방향을 설정한다. 따라서 수치적으로 오차가 없는 계산을 하게 되면 이론적으로 N(구조물의 자유도 개수)회의 반복 계산을 통해 정해를 구할 수 있다.
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켤레구배법은 켤레 방향(conjugated direction : $\mathbf { d } _ { i } = \mathbf { r } _ { i } + \beta _ { i } \mathbf { d } _ { i - }$ −1)을 탐색 방향으로설정하여 해를 찾아가는 방법이다. 켤레구배법은 K 의 대칭성을 이용하여 잉여값의 직교성을 쉽게 얻을 수 있는 특징이 있다. GMRES 방법에서는 잉여값 ir 가Krylov 부분공간 에서 직교하는 성질을 가지도록 반복계산의 매 단계마다 Gram-Schmidt 직교화(orthogonalization)을 수행한다. Gram-Schmidt 직교화는 반복 회수가 늘어남에 따라 계산량이 증가하기 때문에 적정 회수의 반복계산 이후에Krylov 부분공간을 새롭게 구축하는 방법을 이용한다.
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# 2-3-2 예조건화 기법
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식 (2.3.1)에서 $\mathbf { K } ^ { - 1 } \equiv \mathbf { 0 }$ 대신 사용하게 되면 1회 반복 계산으로 정해를 얻을 수있는 것과 같이 예조건화 기법은 적은 양의 계산으로 −1 K 와 유사한 행렬$( { \bf \nabla Q } \approx { \bf K } ^ { - 1 }$ )을 얻음으로써 수렴 속도를 증가시키는 역할을 한다. midas FEA에서는ILUT 5 (incomplete LU decomposition with threshold) 예조건화 기법과 자코비(Jacobi) 예조건화 기법을 이용할 수 있다. ILUT 기법은 행렬의 분해 과정에서 발행하는 Fill-In에 허용치를 적용한 불완전 LU 분해를 이용하는 것이다. 자코비 예조건화 기법은 행렬 K 의 대각항만을 고려하여 Q K = diag( ) 를 이용한다.
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# 2-4 특징
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선형연립방정식의 해법은 다음과 같이 해석하고자 하는 문제에 따라 midas FEA프로그램이 자동으로 결정하는 경우가 있다.
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<table><tr><td>좌굴해석 또는 Lanczos 방법 이용</td><td>다중프런트법</td></tr><tr><td>반복법을 이용한 동해석</td><td>다중프런트법</td></tr><tr><td>구속방정식(constraint equation)이 포함된 문제</td><td>다중프런트법</td></tr><tr><td>비대칭 강성 발생(반복법을 사용할 경우)</td><td>GMRES</td></tr></table>
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선형 연립방정식의 해법은 해석하고자 하는 문제에 따라 크게 성능이 달라지므로각각의 경우에 적절한 해법을 선택하는 것이 필요하다. 각 해법의 특징 및 성능은다음과 같다.
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직접해법 : 행렬의 상태(condition)에 관계 없이 안정적으로 해를 계산하지만, 메모리 요구량이 많다. 사용자의 시스템 메모리가 부족한 경우에는 자동적으로 디스크저장소(disk storage)를 이용한다.
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- 스카이라인 방법 : 1차원 형상의 구조물 해석에 적합
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- 다중프런트법 : 2,3차원 형상의 구조물 해석에 적합
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반복해법 : 메모리 요구량이 적은 반면, 행렬의 상태에 따라 계산 시간이 매우 상이하다. 입체요소가 많은 경우에 적합하다.
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\- ILUT 예조건화 : 반복 회수가 적음
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-자코비 예조건화 : 예조건화 작업이 빠르고 메모리 요구량이 적음
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@@ -0,0 +1,306 @@
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# Chapter 3. Iteration Methods
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# 3-1 개요
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선형해석에서는 변위가 미소변위이고 재료의 특성이 선형이라는 가정이 필요하다.변위가 대변위이고 재료가 비선형성을 가지게 되면 선형해석에서와 같이 한번의해석으로 해를 구할 수 없게 된다. 따라서 비선형해석에서 올바른 해를 얻기 위해반복법(iteration method)을 사용한다. 반복법에서 비선형해석의 해가 되는 변위는매 반복해석 증분변위의 누적으로 나타나게 된다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| u | f |
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| ------- | ----- |
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| t | f_ext |
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| t+Δt | f_ext |
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| g_i | f_int,i |
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| K_{i+1} | K_{i+1} |
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| Δu_i | Δu_{i+1} |
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| δu_{i+1} | δu_{i+1} |
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| t+Δt | t+Δt |
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</details>
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그림 3.1.1 반복과정
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반복계산은 그림 3.1.1에서와 같이 진행된다. ${ } ^ { t } \mathbf { f } _ { e x t }$ 와 t t ext+∆ f 는 각각 시간 t 와 시간t t+∆ 에서의 외력을 의미한다. 시간 t 와 시간 t t+∆ 사이에서의 변위 및 변위 증분의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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{ } ^ { t + \Delta t } \mathbf { u } = { } ^ { t } \mathbf { u } + \Delta \mathbf { u } \tag {3.1.1}
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$$
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여기서,
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$$
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\Delta \mathbf {u} \quad : \text { 시간증분 } \Delta t \text { 사이에서 발생하는 전체변위증분 } (\text { total displacement increment })
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$$
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시간증분 ∆t 구간에서 비선형 해석을 위한 반복계산이 이루어지게 되며, 이는 다음과같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \delta \mathbf {u} _ {i} \quad \text { or } \quad \Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \delta \mathbf {u} _ {i + 1} \tag {3.1.2}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l l} \Delta \mathbf {u} _ {i} & : i \text { 번째 까지의 누적증분변위 } \\ & \text {(cumulated incremental displacement)} \\ \delta \mathbf {u} _ {i + 1} & : i + 1 \text { 번째의 반복계산에서 발생하는 증분변위 } \\ & \text {(incremental displacement)} \end{array}
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$$
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증분변위 $\delta \mathbf { u } _ { i + 1 }$ 는 접선강성행렬(tangent stiffness matrix) $\mathbf { K } _ { i + 1 }$ 을 사용하여 다음과 같은 선형해석을 통하여 구해진다.
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$$
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\delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \mathbf {g} _ {i} \tag {3.1.3}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {g} _ {i} \quad : i \text { 번째 단계에서의 불평형력(out - of - balance force) }
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$$
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불평형력 gi는 다음과 같이 계산된다.
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$$
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\mathbf {g} _ {i} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i} \tag {3.1.4}
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$$
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최종적인 누적증분변위(total incremental displacement)는 시간 t 에서 시간t t + ∆ 까지 증분변위 ∆u 이며, 시간 t t + ∆ 까지 모든 증분변위를 더한 값 u 가 외력 ${ { t + \Delta t } _ { } } { { \bf \Delta f } _ { e x t } }$ 이 가해졌을 때의 전체변위이다. 이 때 $\mathbf { f } _ { \mathrm { i n t } , i }$ 는 내력을 의미하며, 이는 재료의 성질에 따른 경로의 존재(path-dependent)특성을 가지고 있다. 따라서 요소의 변형률을 시간 t 로부터 누적된 변위를 사용하여 구하여야 하며, 최종적인 수렴
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상태인 t t+∆ 에 도달하였을 때 결정된 상태(status)를 저장하게 된다. 이상 일련의반복계산에서 사용자가 지정한 수렴 조건(convergence tolerance)를 통과하게 되면 반복계산을 멈춘다.
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midas FEA에서 사용 가능한 반복법으로는 초기강성법(initial stiffness method),뉴튼 랩슨법(Newton-Raphson method), 수정 뉴튼 랩슨법, 호장법(arc-lengthmethod)이 있다.
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# 3-2 초기강성법
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초기강성법은 비선형 수치해석에 있어서 다른 반복법을 사용할 경우 불안정한 경향을 보이는 해석에 대해서 사용된다. 해가 안정적으로 구해지지만, 증분구간의 크기가 뉴튼 랩슨법이나 수정 뉴튼 랩슨법보다는 상대적으로 작아서 수렴속도가 느리다. 반복법이 진행되어 가면서 접선강성이 업데이트 될 때 상태가 변하는 요소가 포함되어 있는 모델의 경우 접선강성 업데이트가 무의미해 질 수 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| u | f_ext | f_int,i | Δu_i | δu_{i+1} | Δu_{i+1} |
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|---------|-------|---------|------|----------|----------|
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| t+Δt | f_ext | f_int,i | Δu_i | δu_{i+1} | Δu_{i+1} |
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| t+Δt_t | f_ext | f_int,i | Δu_i | δu_{i+1} | Δu_{i+1} |
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</details>
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그림 3.2.1 초기강성법의 반복해석
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초기강성법에서는 그림 3.2.1과 같이 해석의 전 과정에서 초기 강성을 사용한다.따라서 최초의 해석단계에서 만들어진 강성을 수정하지 않고 사용하게 된다. 따라서 접선강성의 업데이트를 위해 수행되는 계산이 필요 없다는 장점이 있다.
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# 3-3 뉴튼 랩슨법
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뉴튼 랩슨법은 그림 3.3.1과 같이 매 반복단계마다 접선강성으로 강성이 갱신된다.따라서 수렴속도가 빠르고 적은 수의 반복을 통해서도 수렴이 가능하다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| u | f_ext | f_int,i | g_i |
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|---------|-------|---------|---------|
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| t_u | 0 | 0 | 0 |
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| t+Δt | 1 | 1 | 1 |
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</details>
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그림 3.3.1 뉴튼 랩슨법의 반복해석
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뉴튼 랩슨법은 해석모델이 클 경우 접선강성을 구하기 위해 많은 계산을 필요로한다. 최초의 반복단계에서 구해진 해와 최종적으로 구해진 해의 경향이 많이 다를 경우 수렴에 실패할 수도 있다. 따라서 뉴튼 랩슨법은 수렴하는데 드는 반복 회수는 적은 반면에, 각 반복 단계에서 드는 계산비용이 초기강성법이나 수정 뉴튼랩슨법보다 상대적으로 높다.
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# 3-4 수정 뉴튼 랩슨법
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수정 뉴튼 랩슨법은 뉴튼 랩슨법의 계산비용을 줄이기 위한 동기에서 도입되었다.뉴튼 랩슨법에서는 매 증분변위를 구할 때마다 새로운 접선강성과 내력을 구하는것에 반해, 수정 뉴튼 랩슨법은 접선강성을 다시 구하는 과정을 생략하고 내력만을 갱신 한다. 수정 뉴튼 랩슨법은 뉴튼 랩슨법보다 더 많은 반복단계를 거쳐야 하므로 수렴속도가 더 느리지만, 각각의 반복단계에서 걸리는 시간이 더 짧은 장점이 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| t | f |
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|-------|-------|
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| t+Δt | f_ext |
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| f_int,i | f_int,i |
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| g_i | f_int,i |
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| t+Δt | f_ext |
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| f_ext | f_int,i |
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| t+Δt | f_ext |
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| Δu_i | f_ext |
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| δu_{i+1} | f_ext |
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| Δu_{i+1} | f_ext |
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</details>
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그림 3.4.1 수정 뉴튼 랩슨법의 반복해석
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뉴튼 랩슨법을 사용하여 정상적으로 수렴하지 못하는 문제에 대해서 수정 뉴튼 랩슨법이 유용하게 사용될 수 있다. 초기강성법은 매 하중단계에서 같은 접선강성을사용하지만 수정 뉴튼 랩슨법은 매 하중단계의 최초 반복에서 업데이트한 강성을사용하게 된다.
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# 3-5 호장법
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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A
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B
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C
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</details>
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(a) 스냅스루
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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A
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B
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C
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</details>
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(b): 스냅백
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그림 3.5.1 변위-하중 곡선
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비선형 해석에서 변위-하중 곡선의 최대점 근처에서 그림 3.5.1과 같은 스냅스루(snap-through)나 스냅백(snap-back)이 발생할 경우 접선강성을 사용한 반복법으로는 국부최대 점에 도달한 다음 올바른 방향을 찾아가지 못하게 된다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Load Step | f |
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| --------- | ----- |
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| Load Step1 | 1/2 |
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| Load Step2 | 1/2 |
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| Load Step3 | 1/2 |
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</details>
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그림 3.5.2 호장법의 반복해석 진행과정
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그림 3.5.2는 호장법의 진행과정을 간략하게 보여주고 있다. 3개의 하중단계(number of load step)를 진행하며 반복해석을 수행하며, 초기하중계수(initialload step)는 0.5을 사용하고 있다. 호장법에서는 하중계수와 외력을 곱한 벡터의크기의 반지름을 가지는 호와 변위-하중 곡선이 교차하는 점을 반복을 통해 찾으며 수렴조건을 만족하게 되면 수렴한 위치에서 새로운 하중계수를 산정한 다음 하중단계로 넘어가게 된다. 하중계수의 크기는 고정되어 있지 않고, 다음 하중단계에서 사용자가 입력한 적정 반복횟수(desired number of iterations)에 근접한 반복을 하도록 적절한 크기로 산정된다.
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하중 단계의 증분 단계(incremental step)내에서 평형을 이루기 위해 계산되는 반복해석 시 i 번째 반복계산에 대한 구조물의 선형대수방정식은 다음과 같이 계산된다.
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$$
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\delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \mathbf {g} _ {i} \tag {3.5.1}
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$$
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여기서,
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$$
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\delta \mathbf {u} _ {i + 1} \quad : i + 1 \text { 번째 반복계산에서의 증분변위 }
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$$
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$$
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\mathbf {g} _ {i} \quad : i \text { 번째 반복계산에서의 불평형력 }
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$$
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불평형력 ig 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {g} _ {i} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {f} _ {e q} \tag {3.5.2}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {f} _ {e q} \quad : \text { 사용자 선택에 의한 단위하중(reference force) }
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$$
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$$
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\delta \lambda_ {i} \quad : \text { 하중계수증분 }
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$$
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위 식 (3.5.2)를 식 (3.5.1)에 대입하면 현재 반복계산에서의 증분변위는 다음과 같다.
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<!-- source-page: 349 -->
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$$
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\begin{array}{l} \delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {f} _ {e q}\right) \\ = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i}\right) + \delta \lambda_ {i} \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \mathbf {f} _ {e q} \tag {3.5.3} \\ = \mathbf {u} _ {I} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {u} _ {I I} \\ \end{array}
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$$
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하중증분과 반복계산을 수행할 때 하중과 변위의 증분량과의 관계는 다음과 같다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \delta \mathbf {u} _ {i + 1} \tag {3.5.4}
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$$
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따라서
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$$
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\Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {u} _ {I I} \tag {3.5.5}
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$$
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반복해석 시 부여되는 변위에 대한 구속조건은 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} _ {i + 1} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta l ^ {2} \tag {3.5.6}
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$$
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위 식 (3.5.6)에 식 (3.5.5)를 대입하여 정리하면 i 번째 반복계산에서 δλi 에 대한2차방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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a _ {1} \delta \lambda_ {i} ^ {2} + a _ {2} \delta \lambda_ {i} + a _ {3} = 0 \tag {3.5.7}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} a _ {1} \quad : \quad \mathbf {u} _ {I I} ^ {T} \mathbf {u} _ {I I} \\ a _ {2} \quad : \quad 2 \mathbf {u} _ {I I} ^ {T} \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right) \\ a _ {3} \quad : \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right) ^ {T} \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right) - \Delta l ^ {2} \\ \end{array}
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$$
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식 (3.5.7)은 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 0$ 인 경우 $\delta \lambda _ { _ i } = - a _ { 3 } / a _ { 2 }$ 의 선형근을 가지며 $a _ { \mathrm { 1 } } \neq 0$ 인 경우 두 개의 실근, 중근 혹은 허근의 경우를 가지게 된다. 허근을 가질 경우는 초기 호길이를 반으로 줄여서 다시 해석을 수행하도록 하고 있으며, 두 개의 실근을 가질 경우는 다음의 식을 사용하여 $\Delta \pmb { u } _ { i }$ 와 $\Delta \pmb { u } _ { i + }$ +1사이의 각이 최소가 되는 해를 찾도록 하고있다.
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<!-- source-page: 350 -->
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$$
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\cos \theta = \frac {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i + 1}}{\Delta l ^ {2}} = \frac {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right)}{\Delta l ^ {2}} + \delta \lambda_ {i} \frac {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {u} _ {I I}}{\Delta l ^ {2}} \tag {3.5.8}
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$$
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$$
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= \frac {a _ {4} + a _ {5} \delta \lambda_ {i}}{\Delta l ^ {2}}
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$$
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여기서,
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$$
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a _ {4} \quad : \Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {u} _ {I} + \Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i}
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$$
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$$
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a _ {5} \quad : \Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {u} _ {I I}
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$$
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식 (3.5.7)에서 두 개의 실근이 나올 경우 각각의 해를 δλi,1 , δλi,2 라고 하면
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$$
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\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} = a _ {4} + a _ {5} \delta \lambda_ {i, 1} \tag {3.5.9}
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$$
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$$
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\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2} = a _ {4} + a _ {5} \delta \lambda_ {i, 2}
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$$
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이므로
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \delta \lambda_ {i} = \delta \lambda_ {i, 1} \quad \left(\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} > \Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2}\right) \\ \delta \lambda_ {i} = \delta \lambda_ {i, 1} = \delta \lambda_ {i, 2} \left(\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} = \Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2}\right) \\ \delta \lambda_ {i} = \delta \lambda_ {i, 2} \quad \left(\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} < \Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2}\right) \end{array} \right. \tag {3.5.10}
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$$
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식 (3.5.10)을 사용하여 δλi 을 구할 수 있고, 식 (3.5.5)를 이용하여 현재의 변위를구할 수 있다.
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@@ -0,0 +1,258 @@
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<!-- source-page: 351 -->
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# 3-6 수렴조건
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비선형해석에서 해는 반복법을 사용하여 얻어진다. 이 때 일정한 기준을 통과하게되면 반복법을 사용하여 얻어진 해가 수렴하였다고 간주하게 된다. 이러한 수렴판단기준을 제공하기 위해서 수렴조건을 적용하게 된다. 수렴조건으로는 부재력기준(force norm), 변위 기준(displacement norm), 에너지 기준(energy norm) 등이 있으며, 이들 값이 허용값보다 작아지면 해가 수렴되었다고 판단하게 된다.
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$$
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\text { Force norm ratio } = \frac {\sqrt {\delta \mathbf {g} _ {i} ^ {T} \delta \mathbf {g} _ {i}}}{\sqrt {\Delta \mathbf {g} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {g} _ {i}}} \tag {3.6.1}
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$$
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$$
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\text { Displacement norm ratio } = \frac {\sqrt {\delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \delta \mathbf {u} _ {i}}}{\sqrt {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i}}} \tag {3.6.2}
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$$
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$$
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\text { Energy norm ratio } = \left| \frac {\left(\delta \mathbf {u} _ {i} \delta \mathbf {g} _ {i}\right) \left(\delta \mathbf {u} _ {i} \delta \mathbf {g} _ {i}\right) ^ {T}}{\left(\Delta \mathbf {u} _ {i} \Delta \mathbf {g} _ {i}\right) \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} \Delta \mathbf {g} _ {i}\right) ^ {T}} \right| \tag {3.6.3}
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$$
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수렴여부를 판단하기 위하여 선택하는 기준은 해석종류에 따라 다르다. 구조물이자유롭게 변형될 수 있는 구조로 되어 있는 경우 부재력 기준은 부적절할 수 있다.재료의 연화(softening)거동은 경화(hardening)거동보다 수렴조건이 더 까다롭다.어떤 모델을 해석하는 경우에도 수렴기준이 되는 수렴조건의 선택은 타당한 이유를 가지고 있어야 한다. 그리고 비선형모델에서 수렴조건을 선택하는데 어려움이있다면, 두 개의 수렴조건을 사용하여 각각의 결과를 비교해 보는 것이 좋다.
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<!-- source-page: 352 -->
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# 3-7 자동전환기능
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midas FEA에서는 반복해석을 진행하는 도중 호장법으로 전환하여 계속적으로 진행시키는 자동전환(auto-switching)기능을 제공한다. 반복해석을 진행하는 과정에서 수렴성의 문제가 발생하는 경우에 자동으로 호장법으로 반복법을 바꿔주는 것은 매우 유용하다.
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자동전환기능을 사용하기 위해서는 기울기 예측을 수행하여야 하며, 다음과 같은식이 사용된다.
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$$
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k _ {i} = \frac {\mathbf {g} _ {i} \Delta \mathbf {u} _ {i}}{\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i}} \tag {3.7.1}
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$$
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식 (3.7.1)에서 얻어진 $k _ { i }$ 와 초기 1k 값을 사용하여 강성매개변수 $C _ { s }$ 를 산정한다.
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$$
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C _ {s} = \frac {k}{k _ {1}} \tag {3.7.2}
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$$
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한 하중 구간 동안의 $C _ { s }$ 의 변화량을 $\Delta C _ { s }$ 라고 할 때, 현재의 하중 구간에서의 변화량을 $\Delta C _ { s d }$ 라고 하고, 초기 $C _ { s }$ 변화량을 $\Delta C _ { s 1 }$ 라고 하면 현재의 변화와 초기의변화의 비를 $\Delta C _ { s d } / \Delta C _ { s 1 }$ 로 표현할 수 있다.
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$\Delta C _ { s d } / \Delta C _ { s 1 }$ 값을 하중스텝에 따라 갱신하게 되면 최대값에 다가가게 되면서 $\Delta C _ { s d }$ 는 0에 근접하게 된다. $\Delta C _ { s d } / \Delta C _ { s 1 }$ 값이 사용자가 정의한 허용 오차허용범위 이내로 들어가게 되면 호장법으로 자동 전환된다.
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<!-- source-page: 353 -->
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 4 Linear Analysis
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Chapter 1. Linear Static Analysis
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Chapter 2. Modal Analysis
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Chapter 3. Time History Analysis
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Chapter 4. Response Spectrum Analysis
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Chapter 5. Linear Buckling Analysis
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# Chapter 1. Linear Static Analysis
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# 1-1 개요
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midas FEA의 선형정적해석(linear static analysis)에 사용된 기본방정식은 다음과같다. 구조물의 강성, 하중, 변위는 전체좌표계를 기준으로 계산되고, 절점좌표계의변위는 전체좌표계의 변위를 변환하여 구한다. 구조해석시 강성이나 경계조건의부족으로 특이성오류(singular error)가 발생할 수 있으므로 입력에 주의해야 한다.
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$$
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\mathbf {K} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {1.1.1}
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$$
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여기서,
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K : 구조물의 강성행렬
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u : 전체좌표계의 변위벡터
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p : 하중벡터
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# 1-2 비선형요소의 선형정적해석
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midas FEA에서는 인장 또는 압축전담 요소를 사용한 구조물의 선형정적해석은아래의 순서도와 같이 반복적인 해석으로 해를 구한다. 탄성연결요소(elastic link)의 인장 또는 압축 전담요소를 사용한 경우에는 프로그램 내부적으로 자동 반복선형해석을 수행하여 해를 얻는다. 비선형 부재의 강성은 해석 결과의 영향을 받기 때문에 반복 수렴과정을 통하여 구조물의 강성과 하중에 맞는 비선형부재의 강성을 결정해야 한다. 비선형 부재를 사용한 해석의 결과는 다른 하중조건의 결과와 선형조합을 하지 않아야 한다. 조합된 하중에 대한 결과를 구하고자 할 경우에는 하중을 조합하여 독립적으로 해석을 수행하여 결과를 얻어야 한다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["해석모델 입력"] --> B["선형 및 비선형 부재<br>강성, 불평형력 계산"]
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B --> C["선형 방정식의 해<br>(K + Kₙ,ₛ) ΔU = ΔP"]
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C --> D{증분 변위를
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사용한 수렴여부 판단}
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D -->|Yes| E["누적된 변위를 사용한결과 계산<br>U = ΣΔU"]
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D -->|No| B
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```
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</details>
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여기서,
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K : 선형부재의 강성
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${ \bf K } _ { n , s }$ K n s, : 비선형부재의 강성
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∆U U, : 불평형력에 의한 증분변위와 누적변위
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∆P : 불평형력(외력-내력)
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<!-- source-page: 357 -->
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# Chapter 2. Modal Analysis
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# 2-1 개요
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고유치해석은 구조물 고유의 동적 특성을 분석하는데 사용되며, 자유진동해석(free vibration analysis) 이라고도 한다. 비감쇠 자유진동(undamped free vibration) 조건하의 운동 방정식은 식 (2.1.1)과 같은 선형 2차 미분방정식이다.
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$$
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||||
\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {K} \mathbf {u} (t) = \mathbf {0} \tag {2.1.1}
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$$
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여기서,
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K : 구조물의 강성행렬
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M : 구조물의 질량행렬
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변위 u 를 형상 행렬 Φ와 시간의 함수로 이루어진 벡터 $\mathbf{Y}(t)$ 의 곱( $\mathbf{u}=\mathbf{\Phi}\mathbf{Y}(t)$ )으로 표현하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
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$$
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||||
\mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \ddot {\mathbf {Y}} + \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} \mathbf {Y} = \mathbf {0} \tag {2.1.2}
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$$
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||||
시간의 함수 $\mathbf{Y}(t)$ 를 다음과 같이 가정한다.
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$$
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||||
\mathbf {Y} (t) = \left\{y _ {1} (t) \quad \dots \quad y _ {m} (t) \quad \dots \quad y _ {n} (t) \right\} ^ {T} \tag {2.1.3}
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$$
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||||
여기서,
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||||
n : 전체 자유도 개수
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$$
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||||
y _ {m} (t) \quad : \cos (\omega_ {m} t + \beta_ {m})
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$$
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||||
식 (2.1.3)을 (2.1.2)에 대입하면 다음과 같다.
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$$
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||||
(- \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \boldsymbol {\Lambda} + \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi}) \mathbf {Y} = \mathbf {0} \tag {2.1.4}
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$$
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||||
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||||
행렬 Λ와 Φ는 다음과 같이 구성된다.
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<!-- source-page: 358 -->
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||||
$$
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||||
\boldsymbol {\Lambda} = \left[ \begin{array}{c c c c c} \lambda_ {1} & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & \lambda_ {m} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \lambda_ {n} \end{array} \right], \quad \lambda_ {m} = \omega_ {m} ^ {2} \tag {2.1.5}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\boldsymbol {\Phi} = \left[ \begin{array}{l l l l l} \phi_ {1} & \dots & \phi_ {m} & \dots & \phi_ {n} \end{array} \right] \tag {2.1.6}
|
||||
$$
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||||
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||||
식 (2.1.4)를 만족하는 해는 각각의 $y_{m}(t)$ 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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||||
\mathbf {K} \phi_ {m} - \lambda_ {m} \mathbf {M} \phi_ {m} = 0 \tag {2.1.7}
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||||
$$
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||||
|
||||
식 (2.1.7)은 고유치 문제이며, 자유진동 운동방정식에서 변위가 의미 있는 해를 갖기 위해서는 식 (2.1.8)의 조건을 만족해야 한다.
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||||
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||||
$$
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||||
\left| \mathbf {K} - \lambda_ {m} \mathbf {M} \right| = 0 \tag {2.1.8}
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||||
$$
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||||
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||||
식 (2.1.8)은 행렬 크기인 n 개의 해를 가지며, 작은 값부터 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 이라한다. 또한 m 번째 고유치 $\lambda_{m}$ 에는 이에 대응하는 고유모드를 $\phi_{m}$ 이 존재한다. 식 (2.1.7)에서 질량행렬 M 과 강성행렬 K 는 대칭(symmetric) 행렬이므로 고유치 $\lambda_{m}$ 와 고유모드 $\phi_{m}$ 은 실수이다. 또한 질량행렬은 양의 정부호(positive definite)이고, 강성행렬은 양의 준정부호(positive semi-definite)이므로 $\lambda_{m} \geq 0$ 이다. 그러므로 비감쇠 자유진동 조건에서의 회전진동수 $\omega_{m}$ 은 실수이다.
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||||
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||||
외력이 존재하지 않는 상태에서 구조물은 고유모드 $\phi_{m}$ 의 형상으로 진동하며, 그 속도는 회전진동수(circular frequency) $\omega_{m}$ (radian/time) 과 같다. 구조물의 진동 속도는 고유진동수 $f_{m}$ (cycle/time) 또는 고유주기 $t_{m}$ (time/cycle) 으로 나타내기도 한다. $\omega_{m}$ , $f_{m}$ 과 $T_{m}$ 은 다음과 같은 관계를 가진다.
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$$
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T _ {m} = \frac {1}{f _ {m}}, \quad f _ {m} = \frac {\omega_ {m}}{2 \pi} \tag {2.1.9}
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$$
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일반적으로 고유치 $\lambda_{m}$ 은 m 차 모드 형상에서 운동 에너지에 대한 변형에너지의 비율이며, 그 값이 작은 것부터 1차 모드, 2차 모드, ..., n 차 모드라 한다. 그림 2.1.1은 캔틸레버(cantilever)의 진동모드를 1차모드부터 순차적으로 나타낸 것이다.
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u
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t
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u
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t
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u
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t
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그림 2.1.1 캔틸레버의 진동모드
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midas FEA에서 구조물의 동특성을 나타내는 지표로 모드기여계수(modalparticipation factor), 모드참여질량(effective modal mass), 모드별 방향계수(modal direction factor)등을 출력하고 있다.
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모드기여계수의 방향별 값은 식 (2.1.10)과 같이 계산되고, 응답스펙트럼해석이나지진하중을 받는 구조물의 시간이력해석에 사용된다.
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$$
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\Gamma_ {m X} = \frac {\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {X}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, \Gamma_ {m Y} = \frac {\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {Y}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, \Gamma_ {m Z} = \frac {\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {Z}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}} \tag {2.1.10}
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$$
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$$
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\Gamma_ {m R X} = \frac {\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M 1} _ {R X}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, \Gamma_ {m R Y} = \frac {\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M 1} _ {R Y}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, \Gamma_ {m R Z} = \frac {\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M 1} _ {R Z}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}
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$$
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$$
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\begin{array}{l} \Gamma_ {m X}, \Gamma_ {m Y}, \Gamma_ {m Z} \quad \begin{array}{l} \text { : } m \text { 번째 모드의 전체좌표계 } X, Y, Z \text { 이동 방향 } \\ \text { 모드기여계수 } \end{array} \\ \Gamma_ {m R X}, \Gamma_ {m R Y}, \Gamma_ {m R Z} \quad \begin{array}{l} \text { : } m \text { 번째 모드의 전체좌표계 } X, Y, Z \text { 회전 방향 } \\ \text { 모드기여계수 } \end{array} \\ \end{array}
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$$
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$$
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\begin{array}{l} \mathbf {1} _ {X}, \mathbf {1} _ {Y}, \mathbf {1} _ {Z} \quad : \text { 전체좌표계 } X, Y, Z \text { 이동 방향 자유도만 단위 } \text { 값을 갖는 방향 벡터 } \\ \mathbf {1} _ {R X}, \mathbf {1} _ {R Y}, \mathbf {1} _ {R Z} \quad : \text { 전체좌표계 } X, Y, Z \text { 회전 방향 자유도만 단위 } \text { 값을 갖는 방향 벡터 } \\ \phi_ {m} \quad : m \text { 번째 모드의 형상 } \\ \end{array}
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$$
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모드참여질량의 방향별 값은 모드형상에 따른 방향별 질량의 참여를 나타내는 것으로 식 (2.1.11)과 같이 계산된다. 모드의 부호가 계산에 포함되기 때문에 모드형상에 따라서 영의 값으로 계산될 수 있다. 모든 모드의 방향별 참여질량의 합은 구조물의 방향별 전체질량과 같다. 일반내진설계기준에서는 해석에 포함되는 모드참여질량의 방향별 합이 전체 질량의 90% 이상을 확보하도록 요구하고 있다. 이는해석결과에 영향을 주는 대부분의 주요 모드를 포함하도록 하기 위한 것이다.
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$$
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M _ {m X} ^ {*} = \frac {\left[ \phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {X} \right] ^ {2}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, M _ {m Y} ^ {*} = \frac {\left[ \phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {Y} \right] ^ {2}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, M _ {m Z} ^ {*} = \frac {\left[ \phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {Z} \right] ^ {2}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}} \tag {2.1.11}
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$$
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$$
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M _ {m R X} ^ {*} = \frac {\left[ \phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {R X} \right] ^ {2}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, M _ {m R Y} ^ {*} = \frac {\left[ \phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {R Y} \right] ^ {2}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}, M _ {m R Z} ^ {*} = \frac {\left[ \phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {1} _ {R Z} \right] ^ {2}}{\phi_ {m} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {m}}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} M _ {m X} ^ {*}, M _ {m Y} ^ {*}, M _ {m Z} ^ {*} \quad : m \text { 번째 모드의 전체좌표계 } X, Y, Z \text { 이동방향 참여질량 } \\ M _ {m R X} ^ {*}, M _ {m R Y} ^ {*}, M _ {m R Z} ^ {*}: m \text { 번째 모드의 전체좌표계 } X, Y, Z \text { 회전방향 참여질량 } \\ \end{array}
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$$
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모드별 방향계수는 해당모드의 전체참여질량에 대한 방향별 참여질량의 비율을 나타낸 것이다. midas FEA에서는 식 (2.1.7)과 같은 고유치문제를 해석하는데 있어서 대형구조물의 해석에 적합한 Lanczos반복법1 과 Subspace반복법2 을 이용한다.
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@@ -0,0 +1,270 @@
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# 2-2 Lanczos 반복법
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Lanczos반복법은 Krylov 부분공간(subspace) span( $V_1, V_2, ..., V_k$ ) 을 생성하는 과정을 통하여 발생하는 삼중 대각행렬 $T_k$ 를 이용하여 고유치의 근사값을 구하는 방법이다. 구조물의 진동해석에서 발생하는 고유치 문제 식 (2.1.7)에 Lanczos반복법을 효과적으로 적용하기 위해서는 고유치 $\lambda_m$ 을 $\lambda_m = \sigma + 1/\theta_m$ 로 치환하여야 한다. 이러한 방법을 Shift-invert 기법이라 하며, $\sigma$ 는 첫번째 고유치로 예상되는 값이다. Shift-invert 기법을 적용한 Lanczos 반복계산 과정을 간단하게 요약하면 다음과 같다.
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- 첫 번째 반복계산의 경우 블록(block) 벡터의 초기값 $V_{1}$ 을 가정
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- 질량 행렬 곱셈 $U_{k} = MV_{k}$
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- 선형 연립 방정식 풀이 $(\mathbf{K}-\sigma\mathbf{M})\mathbf{W}_{k}=\mathbf{U}_{k}$
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- 직교화 $\mathbf{W}_{k}^{*} = \mathbf{W}_{k} - \mathbf{V}_{k-1} \mathbf{B}_{k-1}^{T}$
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- 행렬 $C_{k}$ 계산 $C_{k}=V_{k}MW_{k}^{*}$
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- 직교화 $\mathbf{W}_{k}^{**} = \mathbf{W}_{k}^{*} - \mathbf{V}_{k} \mathbf{C}_{k}$
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- 블록 벡터 내 정규화 $\mathbf{W}_{k}^{**} = \mathbf{V}_{k+1} \mathbf{B}_{k}$
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midas FEA에서는 효과적인 고유치 계산을 위하여 블록 벡터 $V_{m}$ 를 이용하며, 이를 블록 Lanczos 방법이라 한다. 위의 반복계산 과정을 통하여 발생하는 블록 삼중 대각 행렬 $T_{k}$ 는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {T} _ {k} = \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {C} _ {1} & \mathbf {B} _ {1} ^ {T} & & & \\ \mathbf {B} _ {1} & \mathbf {C} _ {2} & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \mathbf {C} _ {k - 1} & \mathbf {B} _ {k - 1} ^ {T} \\ & & & \mathbf {B} _ {k - 1} ^ {T} & \mathbf {C} _ {k} \end{array} \right] \tag {2.2.1}
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$$
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$T_{k}$ 를 이용하여 고유치 문제 $T_{k}\psi_{m}=\theta_{m}^{*}I$ 를 풀게 되면 $\lambda_{m}^{*}=\sigma+1/\theta_{m}^{*}$ 을 이용하여 $\lambda_{m}^{*}$ 을 구할 수 있으며, $\lambda_{m}^{*}$ 은 본래의 고유치 문제 식 (2.1.7)의 근사값이다. $V_{k}$ 의 블록 크기를 $N_{b}$ 이라 할 때, 반복계산 과정의 반복 회수가 늘어날 수록 $T_{k}$ 의 크
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기는 Nb 만큼 커지게 되며, \* λm 는 λm 으로 수렴한다. 고유모드 φ m 의 근사값 \* φm 는다음 식을 통하여 구할 수 있으며, \* λ 과 함께 수렴한다.
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$$
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\phi_ {m} ^ {*} = \left[ \begin{array}{l l l l l} \mathbf {V} _ {1} & \mathbf {V} _ {2} & \mathbf {V} _ {3} & \dots & \mathbf {V} _ {k} \end{array} \right] \psi_ {m} ^ {*} \tag {2.2.2}
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$$
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Lanczos 반복법으로 계산된 고유치와 고유모드의 수렴 여부는 다음과 같이 확인할 수 있다.
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$$
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\frac {\left\| \mathbf {K} \phi_ {m} ^ {*} - \lambda_ {m} ^ {*} \mathbf {M} \phi_ {m} ^ {*} \right\|}{\left\| \mathbf {K} \right\|} \leq \varepsilon \tag {2.2.3}
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$$
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여기서, . 은 2-norm을 의미한다. midas FEA에서는 16 ε 2.22 10− = × 를 이용한다.
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# 2-3 Subspace 반복법
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Subspace 반복법은 부분공간 $E_{k}$ 를 이루는 $N_{s}$ 개의 벡터 $X_{k}$ 가 반복계산과정을 통하여 고유모드 $\left[\phi_{1} \quad \phi_{2} \quad \ldots \quad \phi_{N_{s}}\right]$ 에 수렴하도록 하는 방법이다. 부분공간 $E_{k}$ 를 구성하는 벡터 $X_{k}$ 를 반복적으로 계산해 나가는 과정은 다음과 같다.
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\- 첫 번째 반복계산의 경우 $E_{1}$ 을 구성하는 $N_{s}$ 개의 초기 벡터 $X_{1}$
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-선형 연립 방정식 풀이 $\mathbf{K}\mathbf{Y}_{k}=\mathbf{M}\mathbf{X}_{k}$
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\- 강성 행렬의 투영(projection) $\mathbf{K}_{k+1}=\mathbf{Y}_{k}^{T}\mathbf{K}\mathbf{Y}_{k}$
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\- 질량 행렬의 투영(projection) $\mathbf{M}_{k+1}=\mathbf{Y}_{k}^{T}\mathbf{M}\mathbf{Y}_{k}$
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\- 투영된 고유치 문제 풀이 $K_{k+1}Q_{k+1}=M_{k+1}Q_{k+1}\Lambda_{k+1}$
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$$
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\mathbf {Q} _ {k + 1} = \left[ \begin{array}{c c c c} \psi_ {1} ^ {*} & \psi_ {2} ^ {*} & \dots & \psi_ {N _ {s}} ^ {*} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\boldsymbol {\Lambda} _ {k + 1} = \left[ \begin{array}{c c c c} \lambda_ {1} ^ {*} & & & \\ & \lambda_ {2} ^ {*} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_ {N _ {s}} ^ {*} \end{array} \right]
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$$
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$$
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- \mathbf {X} _ {k + 1} \text { 의 계산 } \quad \mathbf {X} _ {k + 1} = \mathbf {Y} _ {k} \mathbf {Q} _ {k + 1}
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$$
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위의 반복계산과정을 통하여 계산되는 $\lambda_{n}^{*}$ 와 $X_{k}$ 는 다음과 같이 고유치와 고유모드로 각각 수렴하게 된다.
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$$
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\lambda_ {m} ^ {*} \rightarrow \lambda_ {m}, \quad \mathbf {X} _ {k} \rightarrow \left[\begin{array}{c c c c}\phi_ {1}&\phi_ {2}&\dots&\phi_ {N _ {s}}\end{array}\right] \tag {2.3.1}
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$$
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$X_{k}$ 가 $N_{s}$ 개의 벡터로 이루어져 있을 때, 반복계산과정의 반복 회수와 관계 없이 $K_{k}$ 와 $M_{k}$ 의 크기는 $N_{s} \times N_{s}$ 로 고정된다. Subspace 반복법으로 계산된 고유치의 수렴 여부는 근사값 $\lambda_{m}^{*}$ 이 변화하는 정도에 의하여 다음과 같이 판단한다.
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Part 4 Linear Analysis
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$$
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\left\| \frac {\lambda_ {m} ^ {(k + 1)} - \lambda_ {m} ^ {(k)}}{\lambda_ {m} ^ {(k + 1)}} \right\| \leq \varepsilon \tag {2.3.2}
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$$
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# 2-4 관련기능
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# 2-4-1 질량 행렬
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고유치 해석에서 사용할 수 있는 질량행렬의 종류에는 분포(consistent) 질량과 집중(lumped) 질량이 있다. 분포 질량을 사용하게 되면 이론 해에 비하여 고유치가크게 계산되며, 집중 질량의 경우는 일반적으로 고유치가 작게 계산된다. 분포질량은 집중질량에 비하여 요소수에 따른 고유치의 수렴성이 더 좋은 것으로 알려져있으나, 계산량과 메모리 요구량이 많은 단점이 있다. 이와 같은 특징들은 그림2.4.1을 통하여 알 수 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Number of Element | Lumped Mass | Consistent Mass |
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| ----------------- | ----------- | --------------- |
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| 0 | Low | High |
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| 1 | Medium | Medium |
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| 2 | High | Low |
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| 3 | High | Low |
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| 4 | High | Low |
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| 5 | High | Low |
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| 6 | High | Low |
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| 7 | High | Low |
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| 8 | High | Low |
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| 9 | High | Low |
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| 10 | High | Low |
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</details>
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그림 2.4.1 집중질량과 분포질량의 진동수 비교
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# 2-4-2 Lanczos 반복법 관련기능
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midas FEA에서 사용하는 Lanczos 반복법은 두 개의 진동수 1f , 2f 에 의해 계산하고자 하는 진동수의 관심영역(range of interest)을 결정할 수 있다. 그리고 진동수의 관심 영역은 Shift-invert 기법에서 고유치 예상값을 $\sigma = ( 2 \pi f _ { 1 } ) ^ { 2 }$ 로 설정함으로써 계산에 반영할 수 있다. 그림 2.4.2는 1f 과 2f 의 관계에 따라 계산하게 되는고유치의 영역과 순서를 그린 것이다. 계산하고자 하는 고유치 개수를 $N _ { f }$ 이라 할때, 1f , 2f 의 크기에 따라 다음과 같이 고유치를 계산한다.
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- 1 2f = f 인 경우 : 1f 에 가까운 진동수 $N _ { f }$ 개를 계산
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- 1 2f < f 인 경우 : 영역 1 2[ , ] f f 에서 1f 에 가까운 진동수 $N _ { f }$ 개를 계산
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- 1 2f > f 인 경우 : 영역 2 1[ , ] f f 에서 1f 에 가까운 진동수 $N _ { f }$ 개를 계산
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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f₁=f₂
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④ ①②③
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←→
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f
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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f₁
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①②
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③④
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f₂
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f
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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f₂
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④
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③②①
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f₁
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f
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</details>
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그림 2.4.2 고유치 검색 방향
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진동수의 관심영역 1f , 2f 의 기본값은 f f 1 2= = 0 이다.
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# 2-4-2-1 Sturm Sequence
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반복법을 이용하여 고유치를 계산하게 되면 낮은 차수의 고유치보다 높은 차수의고유치가 먼저 수렴하는 경우가 발생한다. midas FEA에서는 이와 같은 현상을 고려하여 진동수의 누락을 방지하는 기능을 제공하며, 그 방법은 다음과 같다.Lanczos 반복계산 과정 중에는 다음과 같은 연립 방정식의 해법이 필요하다.
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$$
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(\mathbf {K} - \sigma \mathbf {M}) \mathbf {W} _ {k} = \mathbf {U} _ {k} \tag {2.4.1}
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$$
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이 방정식의 풀이를 위하여 T LDL 행렬 분해를 수행하고, 행렬 D의 대각항 중 음수의 개수를 계산한다. 이 개수가 σ 보다 작은 고유치 λn 의 개수이다. 예를 들어$\boldsymbol { \sigma } = \lambda _ { N _ { f } } + \delta \underline { { \boldsymbol { \circ } } } \underline { { \boldsymbol { \mathbf { \Pi } } } }$ 두고 행렬을 분해하면 $\lambda _ { N _ { f } } + \delta$ 보다 작은 고유치 개수를 알 수 있다. $\lambda _ { N _ { f } } + \delta$ 가 보다 작은 고유치 개수가 $N _ { f }$ 보다 크면, 누락된 고유치가 모두 수렴할 때까지 Lanczos 반복계산 과정을 지속한다. 이 때 δ는 다음의 관계를 만족하도록 결정한다.
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$$
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\lambda_ {N _ {f}} < \lambda_ {N _ {f}} + \delta < \lambda_ {N _ {f} + 1} \tag {2.4.2}
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$$
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midas FEA에서는 “Sturm Sequence Check”를 수행할 경우 Lanczos 블록 벡터$\mathbf { V } _ { k }$ 의 크기를 $N _ { b } = 7$ 로 하여 계산 속도를 높이도록 하였다. 그러나 T LDL 분해를추가적으로 수행해야 하는 계산 부담을 고려하여 “Sturm Sequence Check”를 생략할 수 있도록 선택사항을 제공하고 있으며, 이 경우에는 $N _ { b } = 1$ 로 계산하기 때문에 고유치의 누락을 최소화할 수 있다.
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# 2-4-2-2 강체 모드
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진동 특성을 분석하고자 하는 구조물의 경계조건이 부족한 경우에는 K 가 특이(singular) 행렬이 되기 때문에 σ = 0 으로 계산을 진행할 수 없다. 이러한 경우에는 0보다 작은 σ 를 가정하여 Shift-invert 기법을 적용하며, 계산된 고유치는 부족한 경계조건 개수 만큼의 0을 포함한다. midas FEA에서는 행렬 K 와 M 의 대각항을 이용하여 1차 모드로 예상되는 진동수 $\overline { { \lambda } } _ { 1 } \equivq$ 예측하고, $\sigma = - \overline { { \lambda } } _ { 1 }$ 로 설정한다.
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<!-- source-page: 368 -->
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# 2-4-3 Subspace 반복법 관련기능
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midas FEA에서 사용하는 Subspace 반복법에서는 Subspace $\mathbf { X } _ { k } \ \underline { { \circ } } | \ \exists 7 | \ N _ { s }$ ,최대 반복 회수 $N _ { I }$ , 그리고 식 (2.3.2)의 수렴 허용오차 $\varepsilon \ { \stackrel { \circ } { \equiv } }$ 설정할 수 있다.$N _ { s }$ 의 기본값은 0이며, 실제로 계산에 사용되는 Subspace의 크기 $ { N _ { s } } \equiv \ { \mathbb { L } } | \mathbf { { \frac { \mathrm { ~ o ~ } } { \mathrm { ~ \scriptstyle { \Xi ~ } } } } } { \mathbf { \vec { \imath } } } |$ 같다.
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$$
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N _ {s} = \max \left\{N _ {s}, \min (2 N _ {f}, N _ {f} + 8) \right\} \tag {2.4.3}
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$$
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Subspace 반복계산 과정의 최대 반복 회수 기본값은 $N _ { \mathit { I } } = 3 0 \ 0 | \mathbb { H }$ , 수렴 허용오차 기본값은 $\varepsilon = 1 . 0 \times 1 0 ^ { - 6 } 0$ 다.
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# Chapter 3. Time History Analysis
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# 3-1 개요
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시간이력해석은 구조물에 동적하중이 작용할 때 식(3.1.1)과 같은 동적 평형방정식의 해를 구하는 것이다.
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$$
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\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {C} \dot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {K} \mathbf {u} (t) = \mathbf {F} (t) \tag {3.1.1}
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$$
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여기서,
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M : 질량행렬
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C : 감쇠행렬
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K : 강성행렬
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$\mathbf{F}(t)$ : 동적하중
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u(t) : 상대변위
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$\dot{\mathbf{u}}(t)$ : 속도
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$\ddot{\mathbf{u}}(t)$ : 가속도
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식 (3.1.1)에서 $\mathbf{F}(t)=0$ 이면 자유진동에 대한 방정식이 되고, C=0 인 조건을 추가하면 비감쇠 자유진동방정식이 된다. 그리고 $\mathbf{F}(t)$ 가 임의 시간에 대한 기진력(또는 기진변위, 속도, 가속도 등)이면 강제진동 해석문제가 된다. midas FEA에서는 식(3.1.1)로 표현되는 시간이력해석을 위해 모드중첩법(modal superposition method)과 직접적분법(direct integration method)을 사용한다
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<!-- source-page: 370 -->
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# 3-2 모드중첩법
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모드종첩법에서는 고유모드의 직교성을 이용하여, 식(3.1.1)을 모드별로 서로 독립된 방정식으로 분해하여 계산을 수행한다. 이를 위하여 모드종첩법에서는 감쇠행렬은 질량행렬과 강성행렬의 선형조합으로 이루어진다는 가정을 사용한다. 그리고 모드별 응답이 얻어지면 이들을 식(3.2.1)와 같이 선형조합하여 해를 구한다.
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$$
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\mathbf {u} (t) = \boldsymbol {\Phi} \mathbf {Y} (t) = \sum_ {i = j} ^ {n} \boldsymbol {\phi} _ {i} Y _ {i} (t) \tag {3.2.1}
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$$
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식(3.2.1)을 식(3.1.1)에 대입하면 식(3.2.2)와 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \ddot {\mathbf {Y}} (t) + \mathbf {C} \boldsymbol {\Phi} \dot {\mathbf {Y}} (t) + \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} \mathbf {Y} (t) = \mathbf {F} (t) \tag {3.2.2}
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$$
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식(3.2.2)에 $\phi_{m}^{T}$ (m번째 모드형상)을 곱하면 식(3.2.3)가 얻어진다.
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$$
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\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \ddot {\mathbf {Y}} (t) + \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\Phi} \dot {\mathbf {Y}} (t) + \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} \mathbf {Y} (t) = \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {F} (t) \tag {3.2.3}
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$$
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고유모드의 질량행렬과 강성행렬에 대한 직교성은 다음과 같이 표현할 수 있다.
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$$
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\phi_ {i} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {j} = m _ {i j} \delta_ {i j} \tag {3.2.4}
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$$
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$$
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\boldsymbol {\phi} _ {i} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\phi} _ {j} = k _ {i j} \boldsymbol {\delta} _ {i j}
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$$
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여기서,
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$$
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\delta_ {i j} \quad : \text { 크로네커 델타(Kronecker delta) } \quad (i = j; \delta_ {i j} = 1, i \neq j; \delta_ {i j} = 0)
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$$
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고유모드의 질량 및 강성행렬에 대한 직교성을 이용하면, 동적평형방정식(3.2.2)은식(3.2.5)과 같이 서로 독립된 n개의 독립된 방정식으로 분해할 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\phi} _ {m} \ddot {Y} (t) + \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\phi} _ {m} \dot {Y} (t) + \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\phi} _ {m} Y (t) = \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {F} (t) \quad (m = 1, 2, \dots \dots , n) \tag {3.2.5}
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$$
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따라서 모드별로 분해된 m개의 식은 일반화 좌표계(general coordinate)에서의 단자유도계에 대한 동적평형방정식이 된다. 그리고 식(3.2.5)를 변형하면 식(3.2.6)
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@@ -0,0 +1,340 @@
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<!-- source-page: 371 -->
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과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\ddot {Y} _ {m} (t) + 2 \xi_ {m} \omega_ {m} \dot {Y} _ {m} (t) + \omega_ {m} ^ {2} Y _ {m} (t) = \frac {\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {F} (t)}{\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\phi} _ {m}}
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$$
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$$
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2 \xi_ {m} \omega_ {m} \dot {Y} _ {m} (t) = \frac {\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\phi} _ {m}}{\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\phi} _ {m}} \tag {3.2.6}
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$$
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$$
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||||
\omega_ {m} ^ {2} Y _ {m} (t) = \frac {\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\phi} _ {m}}{\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\phi} _ {m}}
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$$
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여기서,
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$$
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\xi_ {m} \quad : m \text { 차 모드의 감쇠비 }
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$$
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$$
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\omega_ {m} \quad : m \text { 차 모드의 고유진동수 }
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$$
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$$
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q _ {m} (t) \quad : m \text { 차 모드의 일반화 변위 }
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$$
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$$
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\dot {q} _ {m} (t) \quad : m \text { 차 모드의 속도 }
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$$
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$$
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\ddot {q} _ {m} (t) \quad : m \text { 차 모드의 가속도 }
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$$
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일반화 좌표계에서의 변위응답은 식(3.2.7)에 의해 구할 수 있다.
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$$
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\begin{array}{l} q _ {m} (t) = e ^ {- \xi_ {m} \omega_ {m} t} \left[ q _ {m} (0) \cos \omega_ {D m} t + \frac {\xi_ {m} \omega_ {m} q _ {m} (0) + q _ {m} (0)}{\omega_ {D m}} \sin \omega_ {D m} t \right] \\ + \frac {1}{m _ {m} \omega_ {D m}} \int_ {0} ^ {t} P _ {m} (\tau) e ^ {- \xi_ {m} \omega_ {m} (t - \tau)} \sin \omega_ {D m} (t - \tau) d \tau \tag {3.2.7} \\ \end{array}
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$$
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$$
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\omega_ {D m} = \omega_ {m} \sqrt {1 - \xi_ {m} ^ {2}}
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$$
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구조물의 변위응답은 단일자유도계 방정식(3.2.7)에 의해 구한 각 모드별 일반화 변위를 식(3.2.1)에 대입하여 구할 수 있다. 모드종첩법에서의 변위응답의 정확성은 사용하는 모드 수에 영향을 받는다. 모드종첩법은 구조해석 프로그램에서 가장 많이 사용되는 것으로 대형구조물의 선형 동적해석에 매우 효과적인 방법이다. 그러나 비선형 동적해석이나 특별한 감쇠장치가 포함되어 감쇠를 강성과 질량의 선형조합으로 가정할 수 없을 경우에는 사용할 수 없다.
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<!-- source-page: 372 -->
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# 3-3 직접적분법
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직접적분법은 전체해석의 시간 구간을 여러 개의 미소 시간 구간으로 분할한 후, 각 시간구간에서 동적평형방정식에 대한 수치적분(numerical integration)을 수행하는 방법이다. 직접적분법은 강성이나 감쇠의 비선형성을 고려한 비선형 해석에도 적용 가능하며, 모든 시간 단계에 대하여 해석을 수행하기 때문에 시간 단계의 수에 비례하여 해석시간이 소요된다.
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수치적분법은 사용방법에 따라 다양한 적분방법이 사용될 수 있다. midas FEA에서는 Newmark-β법의 평균가속도법(average acceleration method)을 사용한다. 평균가속도법에서는 시간 구간 $t_{i} < t < t_{i+1}$ 에서의 가속도 $\ddot{\mathbf{u}}(t)$ 는 식(3.3.1)와 같이 $\ddot{\mathbf{u}}_{i}$ 과 $\ddot{\mathbf{u}}_{i+1}$ 의 평균치로서 일정하다고 가정한다.
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$$
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\ddot {\mathbf {u}} (t) = \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}}{2} = c o n s t. \tag {3.3.1}
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$$
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따라서 시간 $t_{i+1}$ 에서의 속도와 변위는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\dot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}}{2} \Delta t \tag {3.3.2}
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$$
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$$
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\mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {u} _ {i} + \dot {\mathbf {u}} _ {i} \Delta t + \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}}{4} \Delta t ^ {2} \tag {3.3.3}
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$$
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||||
식(3.3.2)와 (3.3.3)을 Newmark-β법의 적분변수에 의해 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\dot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {i} + (1 - \gamma) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \gamma \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1} \tag {3.3.4}
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$$
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$$
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\mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {u} _ {i} + \Delta t \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {1}{2} - \beta\right) \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \beta \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1} \tag {3.3.5}
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$$
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여기서,
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$$
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\beta \quad : 0. 2 5
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$$
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$$
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\gamma \quad : 0. 5
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$$
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<!-- source-page: 373 -->
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||||
식(3.3.5)을 가속도에 관해서 정리하면 다음과 같다.
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$$
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||||
\ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \left\{\mathbf {u} _ {i + 1} - \mathbf {u} _ {i} - \Delta t \dot {\mathbf {u}} _ {i} - \left(\frac {1}{2} - \beta\right) \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \right\} \tag {3.3.6}
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$$
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||||
식(3.3.6)을 식(3.3.4)에 대입하여 속도에 관해 정리하면 다음과 같다.
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$$
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||||
\dot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i + 1} - \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i} + \left(1 - \frac {\gamma}{\beta}\right) \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(1 - \frac {\gamma}{2 \beta}\right) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \tag {3.3.7}
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$$
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||||
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||||
식(3.3.6)과 (3.3.7)을 동적평형방정식에 대입하여, 시간 $t_{i+1}$ 에서의 변위응답 $u_{i+1}$ 예관해 정리하면 다음과 같다.
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$$
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\begin{array}{l} \left(\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {M} + \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {C} + \mathbf {K}\right) \mathbf {u} _ {i + 1} \\ = \mathbf {F} + \mathbf {M} \left\{\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {u} _ {i} + \frac {1}{\beta \Delta t} \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {1}{2 \beta} - 1\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \right\} + \mathbf {C} \left\{\frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{\beta} - 1\right) \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{2 \beta} - 1\right) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \right\} \\ \end{array}
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$$
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||||
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||||
(3.3.8)
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식 (3.3.8)에 의해 구한 시간 $t_{i+1}$ 에서의 변위 $u_{i+1}$ 를 식 (3.3.6)과 (3.3.7)에 대입하여, 속도와 가속도를 구할 수 있다.
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직접적분법에서 감쇠는 식 (3.3.9)과 같이 Rayleigh 감쇠를 사용한다.
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$$
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\text { Rayleigh 감쇠 }: \mathbf {C} = a _ {0} \mathbf {M} + a _ {1} \mathbf {K} \tag {3.3.9}
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$$
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여기서,
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$a_{0}$ : 감쇠계산을 위한 질량
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$a_{1}$ : 감쇠계산을 위한 강성의 비례상수
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식 (3.3.8)에 식(3.3.9)를 대입하여 정리하면 동적평형방적식은 다음과 같이 표현된다.
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<!-- source-page: 374 -->
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$$
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\begin{array}{l} \left\{\left(\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} + \frac {\mathbf {a} _ {1} \gamma}{\beta \Delta t}\right) \mathbf {M} + \left(\frac {\mathbf {a} _ {2} \gamma}{\beta \Delta t} + 1\right) \mathbf {K} \right\} \mathbf {u} _ {i + 1} \\ = \mathbf {F} + \mathbf {M} \left\{\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {u} _ {i} + \frac {1}{\beta \Delta t} \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {1}{2 \beta} - 1\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \mathbf {a} _ {1} \overline {{\mathbf {D}}} \right\} + \mathbf {a} _ {2} \mathbf {K} \overline {{\mathbf {D}}} \tag {3.3.10} \\ \end{array}
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$$
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$$
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||||
\overline {{{\mathbf {D}}}} = \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{\beta} - 1\right) \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{2 \beta} - 1\right) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i}
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$$
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시간이력해석을 통하여 구하는 동적 평형방정식의 해는 상대변위 $\mathbf{u}(t)$ ，상대속도 $\dot{\mathbf{u}}(t)$ ，상대가속도 $\ddot{\mathbf{u}}(t)$ 이다.
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||||
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||||
지반가속도와 같은 동적하중을 받을 때 구조물의 절대응답은 식 (3.3.11)에 나타낸 것과 같이 상대응답과 지반의 응답을 더하여 구할 수 있다.
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$$
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\ddot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}: \text { 절대가속도 }
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$$
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$$
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||||
\dot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} + \dot {\mathbf {u}} _ {i + 1}: \text {절대속도} \tag {3.3.11}
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$$
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||||
$$
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||||
\mathbf {u} _ {g, i + 1} + \mathbf {u} _ {i + 1}: \text { 절대변위 }
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$$
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||||
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여기서,
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$$
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\ddot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} \quad : \text { 지반가속도 }
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$$
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$$
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||||
\dot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} \quad : \text { 속도 }
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$$
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$$
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||||
\mathbf {u} _ {g, i + 1} \quad : \text { 변위 }
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$$
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midas FEA에서 지반가속도에 의한 지반속도, 변위는 선형가속도법에 의해 식(3.3.12)로 계산되며, 모드종첩법과 직접적분법의 절대응답계산시에 적용된다.
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||||
$$
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||||
\dot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \frac {1}{2} \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {g , i + 1} - \ddot {\mathbf {u}} _ {g , i}}{\Delta t} \Delta t ^ {2} \tag {3.3.12}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\mathbf {u} _ {g, i + 1} = \mathbf {u} _ {g, i} + \Delta t \dot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \frac {1}{2} \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \frac {1}{6} \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {g , i + 1} - \ddot {\mathbf {u}} _ {g , i}}{\Delta t} \Delta t ^ {3}
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$$
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||||
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<!-- source-page: 375 -->
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# 3-4 감쇠
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midas FEA는 동적해석의 해석방법에 따라서, 다음의 감쇠방법을 사용한다.
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응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정
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\- Modal
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\- 질량 & 강성 비례 (Rayleigh 감쇠)
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직접 적분법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정
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\- 질량 & 강성 비례 (Rayleigh 감쇠)
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# 3-4-1 Rayleigh 감쇠
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Rayleigh 감쇠는 그림 3.4.1(a)에 나타낸 것과 같이 감쇠행렬을 구조물의 질량행렬과 강성행렬의 선형합으로써 구성한다. r차모드의 감쇠정수 ξr 와 고유진동수 ωr및 s차 모드의 감쇠정수 ξ s 와 고유진동수 ωs 가 주어졌을 때 Rayleigh 감쇠의 감쇠행렬은 다음과 같이 표현된다. 단, r, s차 모드는 구조물의 주요한 2개의 모드를의미한다.
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$$
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||||
\mathbf {C} = a _ {0} \mathbf {M} + a _ {1} \mathbf {K} \tag {3.4.1}
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$$
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$$
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||||
\xi_ {i} = \frac {1}{2} \left(\frac {a _ {0}}{\omega_ {i}} + a _ {1} \cdot \omega_ {i}\right) \tag {3.4.2}
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$$
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||||
여기서
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$$
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a _ {0} \quad : \frac {2 \cdot \omega_ {r} \cdot \omega_ {s} \left(\xi_ {r} \cdot \omega_ {s} - \xi_ {s} \cdot \omega_ {r}\right)}{\left(\omega_ {s} ^ {2} - \omega_ {r} ^ {2}\right)}
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$$
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$$
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a _ {1} \quad : \frac {2 \left(\xi_ {s} \cdot \omega_ {s} - \xi_ {r} \cdot \omega_ {r}\right)}{\left(\omega_ {s} ^ {2} - \omega_ {r} ^ {2}\right)}
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||||
$$
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||||
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||||
<!-- source-page: 376 -->
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||||
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||||
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||||
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<details>
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||||
<summary>line</summary>
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||||
| Natural frequencies ωi | Mass Proportional ξi | Stiffness Proportional ξi |
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||||
| --------------------- | --------------------- | -------------------------- |
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||||
| ω₁ | ξi = a₀M | ξi = a₀/2ωi |
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||||
| ω₂ | ξi = a₁K | ξi = a₁·ωi/2 |
|
||||
| ω₃ | ξi = a₁K | ξi = a₁·ωi/2 |
|
||||
| ω₄ | ξi = a₁K | ξi = a₁·ωi/2 |
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||||
</details>
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||||
|
||||
(a) 질량 비례 감쇠와
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||||
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||||
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||||
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||||
<details>
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||||
<summary>line</summary>
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||||
|
||||
| Natural frequencies ωi | Rayleigh Damping ξi | Rayleigh Damping ξi |
|
||||
| --------------------- | ------------------- | ------------------- |
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||||
| ωr | High | Low |
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| ωs | Low | High |
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||||
</details>
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(b) Rayleigh 감쇠
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강성 비례 감쇠
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그림 3.4.1 모드별 감쇠율과 고유진동수와의 관계
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# 3-4-2 Modal 감쇠
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모드별 감쇠는 각 모드별로 사용자가 직접 감쇠비를 정의하고 정의된 모드별 감쇠비에 따라서 모드별 응답을 계산한다. 모드별 감쇠는 응답 스펙트럼해석 및 모드중첩법에 의한 시간이력해석에서 사용이 가능하다.
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응답스펙트럼해석과 모드중첩법에 의한 해석에서는 구조물의 운동 방정식을 모드별로 분해하여, 각 모드의 운동 방정식에 사용자가 직접 입력한 모드별 감쇠비를적용하여 해를 구한다.
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# 3-5 주의사항
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해석에 사용되는 시간 간격은 결과의 정확도에 상당한 영향을 미칠 수 있으며, 시간 간격이 부적절한 경우 부정확한 결과를 나타낼 수 있다. 또한 시간 간격의 크기는 구조물의 고차모드의 주기나 하중의 주기와 밀접한 관계를 갖는다. 일반적으로해석 시간 간격은 고려하고자 하는 최고차 모드 주기의 1/10 정도의 시간 간격이타당하며, 입력된 하중의 시간 간격보다는 작아야 한다. 그리고 동적하중은 전체하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 한다. midas FEA에서 입력되지 않은 시간에서의 하중 값은 선형보간하여 사용한다.
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Part 4 Linear Analysis
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# Chapter 4. Response Spectrum Analysis
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# 4-1 개요
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응답스펙트럼해석(response spectrum analysis)은 지진하중에 의한 구조물의 응답을 평가하기 위한 방법중의 하나로 내진설계시 사용하는 가장 보편화된 방법이다. 이는 다자유도 구조물의 응답을 단자유도계의 응답스펙트럼함수(response spectrum function)를 이용하여 근사적으로 구하는 방법으로 크게 다음의 두 단계로 설명할 수 있다.
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- 1단계 : 전체 구조물에 대한 하나의 다자유도 동적 평형방정식을 여러 개의 단자유도 평형방정식으로 분리한다.
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- 2단계 : 응답스펙트럼함수를 이용해 단자유도 평형방정식의 최대응답을 구하고 이를 조합하여 다자유도에 대한 최대응답을 구한다.
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응답스펙트럼해석을 위한 지반운동이 가해지는 구조물에 대한 동적 평형방정식은 식 (4.1.1)과 같다.
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$$
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\mathbf {M} [ \ddot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t) ] + \mathbf {C} \dot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {K} \mathbf {u} (t) = \mathbf {0} \tag {4.1.1}
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$$
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$$
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\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {C} \dot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {K} \mathbf {u} (t) = - \mathbf {M} \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t)
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$$
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여기서,
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M : 질량행렬 (mass matrix)
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C : 감쇠행렬 (damping matrix)
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K : 강성행렬 (stiffness matrix)
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r : 지반가속도의 방향벡터
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$\ddot{u}_{g}(t)$ : 지반가속도의 시간이력
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u(t) : 상대변위
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$\dot{\mathbf{u}}(t)$ : 속도
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$\ddot{\mathbf{u}}(t)$ : 가속도
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비감쇠 자유진동해석에서 얻은 고유모드 형상(Φ)을 사용하여 변위 u(t) 를 모드 변위 y(t) 의 조합으로 나타내면 식 (4.1.2)와 같다.
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$$
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\mathbf {u} (t) = \boldsymbol {\Phi} \mathbf {y} (t) \tag {4.1.2}
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$$
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식 (4.1.2)를 식 (4.1.1)에 대입하고, 양변에 $\Phi^{T}$ 를 곱하여 정리하면 식 (4.1.3)과 같이 된다.
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$$
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\boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \ddot {\mathbf {y}} (t) + \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\Phi} \dot {\mathbf {y}} (t) + \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} \mathbf {y} (t) = - \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t) \tag {4.1.3}
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$$
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고유벡터 $\phi$ 는 직교성으로 인하여 다음과 같은 관계를 가진다.
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$$
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\phi_ {i} (\mathbf {M} \text { or } \mathbf {C} \text { or } \mathbf {K}) \phi_ {j} = 0 (i \neq j) \tag {4.1.4}
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$$
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따라서 질량에 대하여 무차원화( $\Phi^{T}M\Phi=1$ )된 고유모드 형상과 $\zeta_{m}=\phi_{m}^{T}C\phi_{m}$ , $\omega_{m}=\phi_{m}^{T}K\phi_{m}$ 을 식 (4.1.3)에 적용하면, 식 (4.1.5)와 같이 모드 별로 독립적인 연립 미분방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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\left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{array} \right] \dot {\mathbf {y}} (t) + \left[ \begin{array}{c c c c c} 2 \xi_ {1} \omega_ {1} & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 2 \xi_ {m} \omega_ {m} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 2 \xi_ {n} \omega_ {n} \end{array} \right] \dot {\mathbf {y}} (t) + \left[ \begin{array}{c c c c c} \omega_ {1} ^ {2} & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & \omega_ {m} ^ {2} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \omega_ {n} ^ {2} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\mathbf {y} (t) = - \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t) \tag {4.1.5}
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$$
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그리고 식 (4.1.5)에서 m 번째 모드에 대한 수식을 정리하면 식 (4.1.6)과 같다.
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$$
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\ddot {y} _ {m} (t) + 2 \xi_ {m} \omega_ {m} \dot {y} _ {m} (t) + \omega_ {m} ^ {2} y _ {m} (t) = - \Gamma_ {m} \ddot {u} _ {g} (t) \tag {4.1.6}
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$$
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$$
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\Gamma_ {m} = \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {r}
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$$
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식 (4.1.6)에서 모드기여계수 $\Gamma_{m}$ 는 질량에 대하여 무차원화된 모드형상과 질량 그리고 지반가속도의 방향벡터의 곱으로 정의된다. 지반가속도의 방향벡터는 지반의
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@@ -0,0 +1,293 @@
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가속도 방향의 자유도만 1을 갖는 벡터이다. 지반가속도가 작용하는 구조물의 동적 평형방정식의 해는 식 (4.1.6)과 같은 n 개의 방정식의 해를 계산하여 식 (4.1.7)과 같은 방법으로 조합하여 구한다.
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$$
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\mathbf {u} (t) = \boldsymbol {\Phi} \mathbf {y} (t), \dot {\mathbf {u}} (t) = \boldsymbol {\Phi} \dot {\mathbf {y}} (t), \ddot {\mathbf {u}} (t) = \boldsymbol {\Phi} \ddot {\mathbf {y}} (t) \tag {4.1.7}
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$$
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응답스펙트럼해석에서 지반가속도를 받는 동적 평형방정식의 개념은 식 (4.1.1)\~식 (4.1.7)을 따른다. 응답스펙트럼 해석에서는 지진가속도를 특정한 함수로 정의하지 않고, 스펙트럼 함수를 사용하여 모드별 결과를 구한다. 일반적으로 스펙트럼 함수는 식 (4.1.5)의 주기별 최대값을 의미하는데, 시방서나 기준에서는 지진가속도의 여러 가지 가능성과 지역의 특성 또는 구조물의 중요도 등을 고려하여 정한다. 식 (4.1.6)과 같은 임의 모드 m 번째에 해당하는 단자유도시스템의 해는 스펙트럼 함수로부터 구한 변위, 속도, 가속도에 해당 차수의 모드기여계수를 곱하여 식 (4.1.8)과 같이 구한다.
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$$
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S _ {d m} = \frac {S _ {a m}}{\omega_ {m} ^ {2}}, \quad S _ {v m} = \frac {S _ {a m}}{\omega_ {m}} \tag {4.1.8}
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$$
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$$
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y _ {m} = \Gamma_ {m} S _ {d m}, \dot {y} _ {m} = \Gamma_ {m} S _ {v m}, \ddot {y} _ {m} = \Gamma_ {m} S _ {a m}
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$$
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각 모드별 결과는 식 (4.1.7)의 결과에 모드 형상을 곱하여 식 (4.1.9)와 같이 계산한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {m} = \phi_ {m} \Gamma_ {m} S _ {d m}, \quad \dot {\mathbf {u}} _ {m} = \phi_ {m} \Gamma_ {m} S _ {v m}, \quad \ddot {\mathbf {u}} _ {m} = \phi_ {m} \Gamma_ {m} S _ {a m} \tag {4.1.9}
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$$
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여기서,
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$S_{dm}$ : m번째 모드의 변위 스펙트럼 값
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$S_{vm}$ : m번째 모드의 속도 스펙트럼 값
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$S_{am}$ : m번째 모드의 가속도 스펙트럼 값
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모드별 해석결과는 최대값만을 가지고 있기 때문에 시간이력해석과 같이 모드별선형조합을 할 수가 없다. 그러므로 응답스펙트럼해석의 최종적인 결과는 식 (4.1.9)의 각 모드별 해석 결과를 적절한 방법으로 조합하여 구한다.
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midas FEA에서는 전체좌표계 X-Y 평면의 임의의 방향과 Z방향에 대한 응답스펙트럼해석이 가능하다. 그리고 모드별 해석결과의 조합(modal combination)은 사용자의 선택에 따라 ABS(absolute sum)방법, SRSS(square root of the sum ofthe squares)방법과 CQC(complete quadratic combination)방법 등을 사용할 수있다.
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ABS (absolute sum)
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$$
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R _ {\max} = \left| R _ {1} \right| + \left| R _ {2} \right| + \dots + \left| R _ {n} \right| \tag {4.1.10}
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$$
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SRSS (square root of the sum of the squares)
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$$
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R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + \dots + R _ {n} ^ {2} \right] ^ {1 / 2} \tag {4.1.11}
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$$
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CQC (complete quadratic combination)
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$$
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R _ {\max} = \left[ \sum_ {i = 1} ^ {N} \sum_ {j = 1} ^ {N} R _ {i} \rho_ {i j} R _ {j} \right] ^ {1 / 2} \tag {4.1.12}
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$$
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$$
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\rho_ {i j} = \frac {8 \sqrt {\xi_ {i} \xi_ {j}} \left(\xi_ {i} + r _ {i j} \xi_ {m}\right) r _ {i j} ^ {3 / 2}}{\left(1 - r _ {i j} ^ {2}\right) ^ {2} + 4 \xi_ {i} \xi_ {j} r _ {i j} \left(1 + r _ {i j} ^ {2}\right) + 4 \left(\xi_ {i} ^ {2} + \xi_ {j} ^ {2}\right) r _ {i j} ^ {2}}
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$$
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$$
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\rho_ {i j} = \frac {8 \xi^ {2} \left(1 + r _ {i j}\right) r _ {i j} ^ {3 / 2}}{\left(1 - r _ {i j} ^ {2}\right) ^ {2} + 4 \xi^ {2} r _ {i j} \left(1 + r _ {i j}\right) ^ {2}} \quad \left(\xi_ {i} = \xi_ {i} = \xi\right)
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$$
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$$
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r _ {i j} = \frac {\omega_ {i}}{\omega_ {j}} \quad \omega_ {j} > \omega_ {i}
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$$
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$$
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0 \leq \rho_ {i j} \leq 1 \quad \rho_ {i j} = 1 (i = j)
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$$
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여기서,
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$R _ { \mathrm { m a x } }$ Rmax : 최종 결과 값
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$R _ { i }$ : 임의 i 번째 모드의 스펙트럼 값
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$r _ { i j }$ : i 번째 모드에 대한 j 번째 모드의 고유치 비율
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$$
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\omega_ {i}, \omega_ {j} \quad : i, j \text { 번째 모드의 고유치 값 }
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$$
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$$
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\xi_ {i}, \xi_ {j} \quad : i, j \text { 번째 모드의 감쇠비 }
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$$
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식 (4.1.12)에서 i j = 이면, 감쇠비( ξi , ξ j )에 관계없이 ρij = 1이 되고, 감쇠비가 0인 경우 CQC와 SRSS의 결과가 동일한 값을 갖는다. 모드별 조합 방법 중에서ABS가 가장 큰 조합치를 산출한다. SRSS는 고유진동수들이 근접한 값을 가질 경우, 조합결과가 과대 또는 과소평가 되는 경향이 있다. 예를 들어, 감쇠비가 0.05이고 3개의 자유도를 가진 구조물의 고유진동수와 각 모드별 변위가 다음과 같이계산되었을 경우, SRSS와 CQC의 적용결과를 비교하면 다음과 같다.
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고유진동수
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$$
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\omega_ {1} = 0. 4 6, \omega_ {2} = 0. 5 2, \omega_ {3} = 1. 4 2
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$$
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모드별 응답스펙트럼 값 : $D _ { i j }$ ( j 번째 모드에 대한 i 자유도의 변위성분)
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$$
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\left[ D _ {i j} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 0. 0 3 6 & 0. 0 1 2 & 0. 0 1 9 \\ - 0. 0 1 2 & 0. 0 4 4 & - 0. 0 0 5 \\ 0. 0 4 9 & 0. 0 0 2 & - 0. 0 1 7 \end{array} \right]
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$$
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SRSS 방법의 결과
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$$
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R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + R _ {3} ^ {2} \right] ^ {1 / 2} = \left\{0. 0 4 2 \quad 0. 0 4 6 \quad 0. 0 5 2 \right\}
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$$
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CQC 방법의 결과
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$$
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\rho_ {1 2} = \rho_ {2 1} = 0. 3 9 8 5
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$$
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$$
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\rho_ {1 3} = \rho_ {3 1} = 0. 0 0 6 1
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$$
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$$
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\rho_ {2 3} = \rho_ {3 2} = 0. 0 0 8 0
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$$
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$$
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R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + R _ {3} ^ {2} + 2 \rho_ {1 2} R _ {1} R _ {2} + 2 \rho_ {1 3} R _ {1} R _ {3} + 2 \rho_ {2 3} R _ {2} R _ {3} \right] ^ {1 / 2}
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$$
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$$
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= \left\{ \begin{array}{l l l} 0. 0 4 6 & 0. 0 4 1 & 0. 0 5 3 \end{array} \right\}
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$$
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위의 두 가지 결과를 비교해보면 SRSS 방법을 사용할 경우가 CQC에 비해 첫 번째 자유도 성분에 대해서는 과소평가되고, 두 번째 자유도 성분에 대해서는 과대평가 되었다고 할 수 있다. 따라서 고유진동수들이 상대적으로 근접한 값을 가질때 SRSS 방법은 과소 또는 과대평가 된 결과를 산출함을 알 수 있다.
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# 4-2 스펙트럼 함수
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Period(Sec) | Spectral Data |
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|---|---|
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| T1 | S1 |
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| T2 | S2 |
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| T3 | S3 |
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| T4 | S4 |
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| T5 | S5 |
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| T6 | S6 |
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| T7 | S7 |
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| Sn-1 | Sn-1 |
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| Tn | Sn |
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S6 = (S7 - S6)/(T7 - T6) × (Tx - T6) + S6
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S7 = (S7 - S6)/(T7 - T6) × (Tx - T6) + S6
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</details>
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그림 4.2.1 스펙트럼함수와 임의 주기에 대한 스펙트럼 값의 보간 방법
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응답스펙트럼해석에서는 각 모드별 해석결과를 스펙트럼 함수(spectrum function)를 사용하여 구한다. 일반적인 의미에서의 스펙트럼함수는 식 (4.1.6)의 시간이력해석결과 중에서의 최대값으로 구성된다. 구조물의 감쇠(ξ)와 시간에 따른 지진하중 ( $\ddot{u}_{g}(t)$ )이 정해지면 구조물의 고유주기(ω)에 따라 식 (4.1.6)의 해를 구할 수 있다. 구조물의 주기를 가로축으로 하고 변위, 속도, 가속도 등의 결과를 세로축에 표시하면 그림 4.2.1과 같은 스펙트럼 함수를 얻을 수 있다. 응답스펙트럼해석에 사용되는 스펙트럼함수는 주로 각종 기준에서 제공하는 값을 사용하게 된다. midas FEA에서는 설계응답스펙트럼함수(design response spectrum function)생
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성기능을 이용하여 지진해석시 사용되는 스펙트럼함수를 설계기준에 따라 동적계수, 지반계수, 지역계수, 중요도계수, 반응수정계수 등의 입력으로 쉽게 생성할 수있다. 구조물의 고유주기에 해당하는 스펙트럼 값을 구하기 위해 보간법(linear orlog scale interpolation)을 사용하기 때문에 스펙트럼 값의 변화가 심한 부분은가능한 세분화된 데이터를 사용하는 것이 바람직하다. 그리고 스펙트럼 함수의 범위는 고유치 해석에서 산출된 최대, 최소 주기범위를 포함할 수 있도록 입력되어야 한다. midas FEA에서는 고유치 해석의 주기가 입력된 스펙트럼 함수의 범위를초과하는 경우에는 스펙트럼 함수의 최대 또는 최소값을 사용한다.
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# Chapter 5. Linear Buckling Analysis
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# 5-1 개요
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선형좌굴해석(linear buckling analysis) 기능은 구조물의 임계하중계수(criticalload factor)와 그에 해당하는 좌굴모드형상(buckling mode shape)을 구하는데사용된다. 선형좌굴해석을 위하여 응력에 의한 기하강성(geometric stiffness)을고려한 구조물의 평형방정식을 기술하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} \mathbf {u} + \overline {{\mathbf {K}}} _ {G} \mathbf {u} = \overline {{\mathbf {p}}} \tag {5.1.1}
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$$
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여기서,
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$\mathbf { K }$ : 탄성강성행렬
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$\bar { \mathbf { K } } _ { G }$ : 응력에 의한 기하강성행렬
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||||
$\mathbf { u }$ : 구조물의 전체변위
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$\overline { { \mathbf { p } } }$ : 구조물에 작용하는 하중
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선형해석에서 구조물의 응력은 하중에 비례하고, 기하강성행렬은 응력에 비례한다.그러므로 하중 p 가 기준하중 p 에 비례한다고 가정하면, 기하강성행렬 $\overline { { \mathbf { K } } } _ { G } \triangleqq$ 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\overline {{{\mathbf {K}}}} _ {G} = \alpha \mathbf {K} _ {G} \tag {5.1.2}
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$$
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$$
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\overline {{{\mathbf {p}}}} = \alpha \mathbf {p} \tag {5.1.3}
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$$
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여기서,
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$\mathbf { p }$ : 기준하중
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KG $\mathbf { K } _ { G }$ : 기준하중에 대응하는 기하강성 행렬
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||||
$\alpha$ ：
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식 (5.1.2)와 (5.1.3)을 식 (5.1.1)에 대입하면 다음과 같다.
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<!-- source-page: 388 -->
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$$
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\mathbf {K} \mathbf {u} + \alpha \mathbf {K} _ {G} \mathbf {u} = \alpha \mathbf {p} \tag {5.1.4}
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$$
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식 (5.1.4)와 같은 평형 상태는 하중계수 α 의 크기에 따라 안정하거나 불안정할수 있다. 안정성(stability)을 판단하기 위하여 평형상태 u 에 섭동(perturbation)u.
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$$
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||||
\mathbf {K} (\mathbf {u} + \delta \mathbf {u}) + \alpha \mathbf {K} _ {G} (\mathbf {u} + \delta \mathbf {u}) = \alpha \mathbf {p} \tag {5.1.5}
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$$
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평형방정식 (5.1.4)를 이용하여 식 (5.1.5)에서 섭동 이외의 항을 소거하면 다음과같은 고유치 문제를 얻을 수 있다.
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$$
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(\mathbf {K} + \alpha \mathbf {K} _ {G}) \delta \mathbf {u} = \mathbf {0} \tag {5.1.6}
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$$
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여기서, 평형상태의 안정성은 다음과 같이 행렬식을 통해 판단할 수 있다.
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$$
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\left| \mathbf {K} + \alpha \mathbf {K} _ {G} \right| > 0 \quad : \text { 안정한 상태 }
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$$
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$$
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\left| \mathbf {K} + \alpha \mathbf {K} _ {G} \right| \leq 0 \quad : \text { 불안정한 상태 }
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$$
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그러므로 식 (5.1.6)을 만족하는 고유치 α 는 평형상태의 불안정성이 시작되는 임계하중계수(critical load factor)라 할 수 있으며, 이에 대응하는 고유모드중(critical load)은 임계하중계수와 기준하중을 고려하여 αp 로 표현할 수 있다.그림 5.1.1은 압축 하중을 받는 기둥의 평형상태와 임계하중에 의한 좌굴 형상을나타내고 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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αP
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u
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αP
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δu
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δu
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</details>
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그림. 5.1.1 압축하중을 받는 기둥의 좌굴
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선형좌굴해석에는 기하강성행렬 $\mathbf { K } _ { G } \ \underline { { \circ } } \mathbf { | }$ 계산 과정과 고유치 문제 식 (5.1.6)의 해법이 필요하다. midas FEA에서는 요소 별로 응력 또는 요소내력에 기반한 기하강성을 이용하며, 고유치 문제는 Lanczos 반복(iteration)법으로 계산한다.
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# 5-2 기하강성
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midas FEA에서 응력에 의한 기하강성을 고려하는 요소는 다음과 같다.
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트러스요소, 보요소, 평면응력요소, 판요소, 입체요소
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구조물의 유한요소 모델에 기하강성을 고려하는 요소가 존재하지 않으면 좌굴해석을 위한 고유치 문제가 성립되지 않음에 주의해야 한다.
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각각의 요소에 대한 기하강성의 일반적인 형태는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {G} ^ {e} = \int \mathbf {G} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} d V \tag {5.2.1}
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$$
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여기서, S 는 응력 또는 요소내력이고, G 는 절점 변위와 변위 도함수(displacement derivative)의 관계를 정의하는 행렬이다.
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# 5-2-1 트러스요소
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트러스요소의 기하강성 계산할 때는 요소좌표계에서 y , z 방향 이동변위만을 고려한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.2}
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$$
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$$
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||||
v = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.3}
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$$
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여기서,
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Ni : 2 절점 형상함수
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S 의 구성에 있어서는 축방향 응력 σ xx 만을 고려한다.
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@@ -0,0 +1,257 @@
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$$
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\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & 0 \\ 0 & \sigma_ {x x} \end{array} \right] \tag {5.2.4}
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$$
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||||
절점변위-변위도함수의 관계 Gi 는 식 (5.2.5)와 같다.
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$$
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {5.2.5}
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$$
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||||
행렬 Gi 를 이용하여 트러스요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {K} _ {G i j} = A \int_ {L _ {e}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d L \tag {5.2.6}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} A \quad : \text { 단면적 } \\ L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 } \\ \end{array}
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$$
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식 (5.2.6)을 정리하여 트러스요소의 요소강성행렬을 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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\mathbf {K} _ {G} = \frac {N _ {x}}{L _ {e}} \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \tag {5.2.7}
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$$
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여기서,
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Nx : 축방향 내력
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# 5-2-2 보요소
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선형좌굴해석에서 보요소의 기하강성 중 축방향 힘 Nx 를 고려한 부분은 트러스요소와 유사한 과정으로 계산할 수 있다. 보요소에서는 y , z 방향 이동변위를 다음과 같이 회전을 고려한 절점 자유도로 표현한다.
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$$
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||||
\mathbf {u} _ {i} = \left\{v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.8}
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$$
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$$
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||||
v = \sum_ {i = 1} ^ {2} (H _ {0 i} v _ {i} + H _ {1 i} \theta_ {z i}) , \quad w = \sum_ {i = 1} ^ {2} (H _ {0 i} w _ {i} - H _ {1 i} \theta_ {y i}) \tag {5.2.9}
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$$
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||||
$H _ { 0 i }$ 과 $H _ { 1 i }$ 는 다음과 같은 Hermite 3차 형상함수이다.
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$$
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H _ {0 1} = 1 - 3 \xi^ {2} + 2 \xi^ {3}, \quad H _ {0 2} = 3 \xi^ {2} - 2 \xi^ {3}, \quad H _ {1 1} = L _ {e} (\xi - 2 \xi^ {2} + \xi^ {3}),
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$$
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$$
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H _ {0 2} = L _ {e} (- x ^ {2} + x ^ {3})
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$$
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여기서,
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$$
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\xi \quad : 0 \leq \xi \leq 1
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$$
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$$
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L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 }
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$$
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따라서 절점변위-변위도함수의 관계 $\mathbf { G } _ { i }$ 는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial H _ {0 i}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac {\partial H _ {1 i}}{\partial x} \\ 0 & \frac {\partial H _ {0 i}}{\partial x} & - \frac {\partial H _ {1 i}}{\partial x} & 0 \end{array} \right] \tag {5.2.10}
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$$
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||||
행렬 S 는 트러스요소와 같으므로 보요소의 기하강성 행렬을 다음과 같이 계산할수 있다.
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$$
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||||
\mathbf {K} _ {G} = N _ {x} \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \frac {6}{5 L _ {e}} & & & & & & \\ 0 & \frac {6}{5 L _ {e}} & & & & \text {symm.} \\ 0 & - \frac {1}{1 0} & \frac {2 L _ {e}}{1 5} & & & \\ \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & \frac {2 L _ {e}}{1 5} & & \\ - \frac {6}{1 5 L _ {e}} & 0 & 0 & - \frac {1}{1 0} & \frac {6}{5 L _ {e}} & & \\ 0 & - \frac {6}{1 5 L _ {e}} & \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & \frac {6}{5 L _ {e}} & & \\ 0 & - \frac {1}{1 0} & - \frac {L _ {e}}{3 0} & 0 & 0 & \frac {1}{1 0} & \frac {2 L _ {e}}{1 5} & \\ \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & - \frac {L _ {e}}{3 0} & - \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & \frac {2 L _ {e}}{1 5} \end{array} \right]
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$$
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(5.2.11)
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보요소의 기하강성에는 축방향 내력 이외에 휨모멘트, 전단력, 비틀림모멘트 등에의해 발생하는 부분이 있다. midas FEA에서는 이와 같은 형태의 하중에 의한 다양한 좌굴(lateral-torsional, axial-torsional) 형태를 고려한 해석을 수행할 수 있다.
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# 5-2-3 평면응력요소
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평면응력요소의 기하강성 계산에서는 요소좌표계에서 x, , y z 방향 이동변위를 모두고려한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.12}
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$$
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$$
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||||
u = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.13}
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$$
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여기서,
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n : 절점 개수
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$N _ { i }$ : 절점 개수에 따른 형상함수
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S 의 구성에 있어서는 면내방향 응력을 고려한다.
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$$
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\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{l l l} \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} \end{array} \right], \quad \overline {{{\mathbf {S}}}} = \left[ \begin{array}{l l} \sigma_ {x x} & \tau_ {x y} \\ \tau_ {x y} & \sigma_ {y y} \end{array} \right] \tag {5.2.14}
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$$
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||||
절점변위-변위도함수의 관계 Gi 는 식 (5.2.15)과 같다.
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$$
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \end{array} \right] ^ {T} \tag {5.2.15}
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$$
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행렬 $\mathbf { G } _ { i }$ 를 이용하여 평면응력요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathbf {K} _ {G i j} = t \int_ {A _ {o}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d A \tag {5.2.16}
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$$
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여기서,
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t : 두께
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Ae : 요소 면적
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# 5-2-4 판요소
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판요소에서는 요소좌표계의 x, , y z 방향 이동변위를 다음과 같이 회전을 고려한 절점 자유도로 표현한다.
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$$
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||||
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.17}
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$$
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$$
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||||
u = \sum_ {i = 1} ^ {n} (N _ {i} u _ {i} + z N _ {i} \theta_ {y i}), v = \sum_ {i = 1} ^ {n} (N _ {i} v _ {i} - z N _ {i} \theta_ {x i}), w = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.18}
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$$
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여기서,
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n : 절점 개수
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$N _ { i }$ : 절점 개수에 따른 형상함수
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식 (5.2.18)는 요소의 곡률을 고려하고 있지 않으므로 저차 판요소에만 적용할 수있다.
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S 의 구성에 있어서는 $\sigma _ { z z } \frac { \equiv } { \equiv }$ 제외한 모든 성분의 응력을 고려한다.
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$$
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||||
\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{l l l} \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} \end{array} \right], \quad \overline {{{\mathbf {S}}}} = \left[ \begin{array}{l l l} \sigma_ {x x} & \tau_ {x y} & \tau_ {z x} \\ \tau_ {x y} & \sigma_ {y y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {y z} & 0 \end{array} \right] \tag {5.2.19}
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$$
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||||
절점변위-변위도함수의 관계 $\mathbf { G } _ { i } \equiv$ 식 (5.2.20)과 같다.
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$$
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||||
\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - z \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & - z \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & - N _ {i} & 0 & 0 & 0 \\ z \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & z \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & N _ {i} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ^ {T} \tag {5.2.20}
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$$
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||||
행렬 Gi 를 이용하여 판요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathbf {K} _ {G i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d V \tag {5.2.21}
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$$
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고차 판요소의 경우에는 요소의 곡률을 고려하며, 절점마다 회전 자유도에 대한좌표계가 정의된다는 점 이외에는 유사한 과정으로 기하강성을 계산할 수 있다.
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# 5-2-5 입체요소
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입체요소의 기하강성 계산시에는 요소좌표계에서 x, , y z 방향 이동변위를 모두 고려한다.
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$$
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||||
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.22}
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||||
$$
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$$
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||||
u = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.23}
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$$
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여기서,
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n : 절점 개수
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N i : 절점 개수에 따른 형상함수
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S 의 구성에 있어서는 모든 성분의 응력을 고려한다.
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$$
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||||
\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{l l l} \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} \end{array} \right], \quad \overline {{{\mathbf {S}}}} = \left[ \begin{array}{l l l} \sigma_ {x x} & \tau_ {x y} & \tau_ {z x} \\ \tau_ {x y} & \sigma_ {y y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right] \tag {5.2.24}
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$$
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||||
절점변위-변위도 함수의 관계 Gi 는 식 (5.2.25)와 같다.
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$$
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||||
\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \end{array} \right] ^ {T} \tag {5.2.25}
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$$
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||||
행렬 Gi 를 이용하여 입체요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathbf {K} _ {G i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d V \tag {5.2.26}
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$$
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# 5-3 임계하중계수 추출방법
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선형좌굴해석에서의 고유치 문제인 식 (5.1.6)은 다음과 같은 형태로 간략하게 표현할 수 있다.
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$$
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(\mathbf {K} + \lambda_ {m} \mathbf {K} _ {G}) \phi_ {m} = \mathbf {0} \tag {5.3.1}
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$$
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여기서,
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$\lambda _ { m }$ ：
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$\phi _ { m }$
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midas FEA에서는 식 (5.3.1)과 같은 고유치 문제를 해석할 때 Lanczos 반복(iteration)법을 이용한다. 그리고 Lanczos 반복법은 고유치 해석에서 설명하고 있다.
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식 (5.3.1)은 자유진동해석의 고유치 문제와 유사하지만, 질량 행렬과는 다르게 기하강성 ${ \bf K } _ { G } \equiv \mathbf { \Delta } _ { \mathbf { O } } ^ { \mathrm { o p s o l } }$ 정부호(positive definite)가 아니다. 따라서 선형좌굴해석에서는 $\lambda _ { m } = \sigma \theta _ { m } / ( 1 - \theta _ { m } ) \underline { { \circ } } \underline { { \Xi } }$ 치환하여 Shift-invert 기법을 적용한 Lanczos 반복법을이용한다. 계산된 임계하중계수들은 절대값이 작은 것부터 순차적으로 출력된다.
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# 5-4 관련 기능
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선형좌굴해석에서 임계하중계수 α 는 기준하중 p 의 방향에 따라 “+” 또는 “-“ 부호를 갖는다. 유한요소 모델과 하중이 복잡한 경우에는 임계하중계수의 부호가좌굴모드에 따라 바뀌는 경우도 발생한다. 따라서 midas FEA에서는 필요에 따라“+” 부호를 갖는 임계하중만을 계산할 수 있도록 하는 기능을 제공하고 있다.
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자중(self-weight)과 같은 특정 하중은 일반적으로 기준하중 p 와는 다르게 고정된 크기를 유지하지만, 응력을 발생시키기 때문에 기하강성을 유발한다. midasFEA에서는 하중의 종류를 선택하여 기준하중 또는 고정하중(constant load)으로사용할 수 있는 기능을 제공한다. 고정하중으로 선택된 하중은 하중계수 α 와 무관하게 일정한 값을 가지며, 이에 따른 기하강성만을 발생시킨다. 고정하중이 포함된 선형좌굴해석은 다음과 같은 형태의 고유치 문제가 된다.
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$$
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(\mathbf {K} + \mathbf {K} _ {G} ^ {*} + \lambda_ {m} \mathbf {K} _ {G}) \phi_ {m} = \mathbf {0} \tag {5.4.1}
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$$
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여기서,
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\* KG : 고정하중으로부터 발생한 응력에 대한 기하강성
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z 방향 회전자유도를 고려하지 않은 판요소는 요소좌표계 z 방향 회전에 대한 탄성강성과 기하강성이 모두 존재하지 않는다. 이러한 경우 Lanczos 반복계산 과정중 수치오류가 발생하여 의미 없는(trivial) 임계하중계수 α 가 발생할 수 있다.midas FEA에서는 인접한 판요소 간의 각도를 고려하여 z 방향 회전에 대한 강성이 발생하지 않으면 이를 구속하는 기능을 제공한다.
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 5 Construction Stage Analysis
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Chapter 1. Construction Stage Analysis
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@@ -0,0 +1,208 @@
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# Chapter 1. Construction Stage Analysis
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# 1-1 개요
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구조물은 여러 단계의 시공과정을 거치면서 완성된다. 시공단계에서는 구조물의형상, 하중, 경계조건의 변화뿐 만 아니라, 시간에 따른 구조부재의 물리적 성질변화까지도 발생한다. 구조물의 시공과정에서 필요로 하는 임시 구조물의 설치와제거, 구조부재의 단계적인 설치 등이 구조계의 변화를 유발한다. 그리고 콘크리트의 경우에는 시간에 따른 물성의 변화를 나타낸다. 이와 같이 시공의 진행에 따라지속적으로 구조계가 변화할 경우에 실제 구조물의 거동은 시공단계를 고려하지않은 경우와 다를 수 있다. 또한 부재설계에 사용되는 최대 부재력이 시공이 완료된 시점이 아니라 시공 중간에도 발생할 수 있다.
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구조물이 완성되기까지 다양한 시공과정을 거치는 구조물의 경우에는 시공단계를고려한 시간의존해석(time-dependent analysis)을 수행하여 완성된 후의 부재력뿐 아니라 시공과정에서 발생하는 부재력을 설계에 포함하여야 한다. 콘크리트의시간의존 특성에는 탄성계수의 변화, 크리이프(creep), 건조수축(shrinkage) 등이있다. 이러한 시공단계를 고려해야 하는 경우는 신규 구조물뿐 만 아니라 기존 구조물의 보수나 보강과정에서도 발생한다.
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midas FEA의 시공단계 해석에서 고려하는 구조계의 변화는 다음과 같다.
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\- 구조 부재의 생성 및 제거
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\- 하중의 재하 및 제거
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\- 경계조건의 변화
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midas FEA의 시공단계 해석에서 고려하는 콘크리트의 시간의존 특성은 다음과같다.
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\- 시간에 따른 콘크리트 부재의 강도발현
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\- 콘크리트 부재의 크리이프 변형
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\- 콘크리트 부재의 건조수축 변형
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midas FEA에서 콘크리트의 시간의존 특성을 고려한 시공단계 해석을 위한 절차는 다음과 같다.
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1. 구조물을 모델링한다. 이때 임의의 시공단계에서 함께 생성 또는 제거할 요소,하중 및 경계조건들을 그룹으로 지정한다.
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2. 크리이프나 건조수축과 같은 시간의존적 재질 특성을 정의한다. 시간의존적 재질은 ACI209나 CEB-FIP 등과 같은 기준을 선택하여 생성하거나 사용자가 직접 정의할 수 있다.
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3. 실제 시공순서에 따른 시공단계를 구성한다.요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹을 이용하여 시공단계를 정의한다.
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4. 선택사항들을 지정하여 해석의 조건을 구성하고 구조해석을 수행한다.
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# 1-2 시공단계의 구성
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시공단계 모델의 구성에 필요한 것은 기본모델(base model)의 생성과 세부 시공단계(construction stage)의 구성이다.
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# 1-2-1 기본모델의 생성
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구재부재가 단계별로 생성과 제거 가능하도록 전체 구조물을 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹으로 분리하여 모델링한다.
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# 1-2-2 시공단계의 구성
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각각의 시공단계를 구성하는 부분으로 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹의 추가와삭제를 통하여 사용자가 원하는 시공단계를 구성한다. 시공단계는 하위의 시간구간을 추가할 수 있고, 각 구간에는 하중 그룹의 추가와 삭제가 가능하다. 구조계의변화를 유발하는 요소그룹과 경계조건그룹의 추가나 삭제는 시공단계의 첫 번째시간구간에만 입력이 가능하다. 시간의존 특성을 반영하지 않아도 되는 구조물인경우에는 시공단계에 시간을 입력할 필요는 없다. 그러나 한 개의 시공단계에 여러 개의 하중그룹을 순차적으로 재하 할 경우에는 시간구간을 입력하여야 한다.
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각 시공단계는 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹의 활성화(activation)와 비활성화(deactivation) 정의에 의하여 구성된다. 각 시공단계는 이전 시공단계의 구조물에추가나 제거되는 요소, 경계조건, 하중 그룹을 누적한 구조물로 구성된다.
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각각의 시공단계별로 반영할 수 있는 내용은 다음과 같다.
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- 임의의 재령을 가지는 부재의 생성 및 제거
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- 임의의 재하시점을 가지는 하중의 재하 및 제거
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\- 경계조건의 변화
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midas FEA에서 사용하는 시공단계 구성의 개념도는 그림 1.2.1과 같다. 시공단계는 각 단계별 기간(duration)만 가지고 쉽게 정의된다. 기간이 ‘0’인 시공단계도 가능하며, 시공단계가 정의되면 기본적으로 시간구간인 first step과 last step이 생성된다. 실질적인 요소, 경계조건 및 하중의 생성과 제거는 각각의 시간구간에서이루어진다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["0days"] --> B["10days"]
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B --> C["20days"]
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C --> D["30days"]
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D --> E["40days"]
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F["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"] --> G["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"]
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H["Additional Load Activate & Deactivate"] --> I["Additional Load Activate & Deactivate"]
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J["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"] --> K["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"]
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L["First Step"] --> M["Additional Step"]
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N["Last Step"] --> O["First Step"]
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P["Last Step"] --> Q["..."]
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style A fill:#f9f,stroke:#333
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style B fill:#f9f,stroke:#333
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style C fill:#f9f,stroke:#333
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style D fill:#f9f,stroke:#333
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style E fill:#f9f,stroke:#333
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style F fill:#f9f,stroke:#333
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style G fill:#f9f,stroke:#333
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style H fill:#f9f,stroke:#333
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style I fill:#f9f,stroke:#333
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style J fill:#f9f,stroke:#333
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style K fill:#f9f,stroke:#333
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```
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</details>
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그림 1.2.1 시공단계 구성의 개념
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기본적으로 요소의 생성 및 제거, 경계조건의 변화, 하중의 재하 및 제거 등의 모든 변경사항은 매 시공단계의 first step에서 이루어진다. 따라서 실제 시공중에 여러가지 원인에 의하여 구조계의 변화가 발생하면, 구조계의 변화가 발생하는 시기를 반영하는 시공단계를 생성하여야 한다. 즉 구조계의 변화가 잦을수록 시공단계의 수는 많아지게 된다.
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요소 및 경계조건 등 구조계의 변화는 매 시공단계의 first step에서만 이루어진다.그러나 하중의 변화는 해석의 편의를 위하여 시공단계 내에 추가적인 단계를 만들
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<!-- source-page: 405 -->
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어서 하중을 재하 및 제거할 수 있다. 즉, 임의의 시공단계에서 지연시간을 가지는하중을 가할 수 있다. 이 기능을 사용하면 구조계의 변화 없이 가설재의 설치나 소거로 인한 하중의 변화를 새로운 시공단계를 만들지 않고 쉽게 고려할 수 있다.또한 크리이프와 건조수축을 고려한 시간의존해석에서 시공단계 내에 추가적인 시간구간을 많이 정의하면 보다 정확한 해석결과를 얻을 수 있다. 그러나 추가 시간구간을 너무 많이 정의하면 해석시간이 증가하여 비효율적일 수 있으므로 주의해야 한다. 특히 시공단계해석 조건에서 시간의존적 특성을 고려하지 않도록 설정하고 해석을 수행하면 추가 시간구간이 많더라도 해석결과에는 영향을 주지 않는다.
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임의의 시공단계에서 지정한 재령을 가진 요소는 생성된 후에 매 시공단계마다 지속기간 만큼의 재령을 추가로 얻게 된다. 콘크리트 부재의 재령에 따른 물리적 특성의 변화는 각 시공단계에서 누적된 재령을 기준으로 계산하여 고려한다.
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임의의 시공단계에서 요소를 생성하는 경우에는 생성되는 요소의 재령을 지정하여야 한다. 재령이 ‘0’인 요소를 생성한다는 것은 콘크리트의 타설 순간부터 모사를하는 것이다. 그러나 일반적으로 구조물을 해석할 때 거푸집 등의 가설구조물은모델에 포함시키지 않기 때문에 경화되지 않은 상태의 콘크리트를 해석한다는 것은 의도하지 않은 결과를 가져올 수 있다. 특히 재령이 ‘0’인 요소를 생성시키고시간에 따른 강도발현을 고려하여 해석을 하면, 콘크리트 타설 후 24시간까지는강도를 발현하지 못하므로 의미 없는 큰 변위가 계산될 수 있다. 일반적으로 경화되기 전의 콘크리트는 가설 구조물과 함께 하중으로 고려하고, 거푸집을 제거한후에 실질적인 요소가 생성된다고 가정하는 것이 적절하다.
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임의의 시공단계에서 생성되는 요소는 이전 시공단계에서 발생한 변위나 내부응력에 영향을 받지 않는다. 즉, 새롭게 생성되는 요소는 그 시공단계에서 구조물이 이전에 어떠한 하중을 받고 있는지에 관계없이 요소의 내부 응력이 ‘0’인 상태에서생성된다.
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임의의 시공단계에서 하중을 재하하면 이후의 시공단계에서는 재하된 하중을 소거하지 않는 한 계속해서 하중이 가해진 상태가 된다. 요소의 생성도 임의의 시공단
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계에서 필요한 모든 요소를 생성하는 것이 아니라, 그 시공단계에 필요한 요소만생성한다. 요소는 한번 생성이 되면 다시 생성할 수 없으며, 이미 생성된 요소만을제거할 수 있다.
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# 1-3 요소의 생성 및 제거
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요소의 추가 및 제거는 시공단계 구조물의 강성과 자중 및 경계조건에 영향을 준다. 여기서 자중 및 경계조건의 영향은 이어지는 장에서 설명하며, 이 장에서는 요소의 생성 및 제거에 대해서만 설명하도록 한다.
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현재 시공단계의 구조물 강성은 식 (1.3.1)과 같이 현재 시공단계에서 사용되는 요소들의 강성을 조합하여 계산한다. 전체 시공단계에 걸쳐 사용되는 모든 요소는데이타베이스로 저장되며, 현재 시공단계에 사용되는 요소정보는 전체 시공단계의요소 데이타베이스를 검색하여 초기단계부터 현재단계까지 활성화된 모든 요소를추가하고 비활성화된 모든 요소를 제거함으로써 정의한다.
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$$
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\mathbf {K} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \mathbf {L} _ {i} ^ {T} \mathbf {k} _ {i} \mathbf {L} _ {i} \tag {1.3.1}
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$$
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여기서,
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K : 현재 시공단계의 구조물 강성
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$\mathbf { L } _ { \boldsymbol { i } }$ : 구조물 강성 내 요소 강성의 위치를 나타내는 행렬
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$\mathbf { k } _ { i }$ : 현재 시공단계에 활성화된 요소 강성
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n : 현재 시공단계에 활성화된 요소 개수
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요소 강성은 요소가 가지고 있는 모든 절점자유도 사이의 강성관계로 이산화되어계산된다. 계산된 요소강성은 식 (1.3.1)과 같이 동일한 절점자유도를 가지는 인접요소의 해당 강성에 누적함으로써 전체 구조물 강성으로 조합된다. 이때 인접 요소와의 절점자유도 관계를 나타내는 정보는 식 (1.3.1)의 행렬 $\mathbf { L } _ { i }$ 로 정의한다. 행렬 L 는 현재 시공단계에서 사용되는 절점의 절점자유도정보를 이용하여 요소 별로 정의되며, 매 시공단계마다 요소가 추가 및 제거됨으로써 새로이 갱신된다.
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현재 시공단계에서 새롭게 활성화된 요소는 내부적으로 초기응력이 0으로 초기화되며, 전 단계에서 이미 활성화된 요소의 초기응력은 전 단계에서 해석된 최종 응력값을 초기응력(initial stress)으로 사용한다.
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# 1-4 하중의 재하 및 제거와 적용
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시공단계해석은 단계별 증분형태의 해석으로 구성되며, 이러한 증분해석을 위해현재 시공단계의 증분하중이 요구된다. 현재 시공단계에서 증분하중 current ∆F 은 현재 단계의 총 하중 current F 와 이전단계의 총 하중 previous F 의 차를 통해 계산되며,다음과 같다.
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$$
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\Delta \mathbf {F} ^ {\text { current }} = \mathbf {F} ^ {\text { current }} - \mathbf {F} ^ {\text { previous }} \tag {1.4.1}
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$$
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||||
전체 시공단계에 걸쳐 사용되는 모든 하중은 데이타베이스로 저장되며, 현재 시공단계의 총 하중 current F 은 전체 시공단계의 하중 데이타베이스를 검색하여 초기단계부터 현재단계까지 활성화된 모든 하중를 추가하고 비활성화된 모든 하중를 제거함으로써 정의한다.
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현재 시공단계의 총 하중은 다음과 같이 표면력(surface force)와 체적력(bodyforce)으로 구분할 수 있다.
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$$
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\mathbf {F} ^ {\text { current }} = \mathbf {F} _ {\text { surface }} ^ {\text { current }} + \mathbf {F} _ {\text { body }} ^ {\text { current }} \tag {1.4.2}
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$$
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이때 표면력에는 절점하중이나 분포하중등과 같이 절점과 관련된 하중이 포함되며,체적력에는 자중과 같이 요소와 관련된 하중이 포함된다. 표면력의 경우는 하중이작용되는 절점의 절점자유도 정보가 추가로 입력되기 때문에 이를 사용하여 조합하지만 체적력의 경우는 요소의 추가 및 제거와 관련되기 때문에 현재 시공단계에서 계산된 식 (1.3.1)의 행렬 Li 를 사용하여 조합한다.
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하나의 시공단계 내에서 정의되는 부증분 하중단계(incremental load step)는 식(1.4.1)에서 계산된 시공단계 증분하중 current ∆F 에 미리 정의된 현재 시공단계 내에서의 하중계수(load factor) α 를 곱하여 계산하며, 이를 임의의 하중단계 i 에 대해 수식으로 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {F} _ {i} ^ {\text { current }} = \mathbf {F} ^ {\text { previous }} + \alpha_ {i} ^ {\text { current }} \cdot \Delta \mathbf {F} ^ {\text { current }} \tag {1.4.3}
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$$
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임의의 하중단계 i 에서 구조물의 응답을 계산하기 위한 정해석(static analysis)의선형대수방정식(linear algebraic equation)은 다음과 같다.
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\mathbf {F} _ {i} ^ {\mathrm{ubf}} = \mathbf {K} _ {i} \mathbf {d} _ {i} \tag {1.4.4}
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$$
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이때 $\mathbf { K } _ { i } \equiv \mathbf { \rho } _ { i }$ 번째 하중단계에서의 구조물 강성이며, di 는 i 번째 하중단계에서의절점변위를 나타낸다. $\mathbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { u b f } }$ 은 i 번째 단계에서의 불평형력(unbalance force)이라하며, 현재 하중단계의 $\hat { \textmd s }$ 하중에서 이전단계 총 내력을 뻬줌으로써 다음과 같이정의한다.
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$$
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||||
\mathbf {F} _ {i} ^ {\mathrm{ubf}} = \mathbf {F} _ {i} ^ {\text { current }} - \mathbf {F} _ {i - 1} ^ {\text { internal }} \tag {1.4.5}
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$$
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식 (1.4.5)에서 $\mathbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { c u r r e n t } }$ 은 식 (1.4.3)에서 이미 정의되었으며, $\mathbf { F } _ { i - 1 } ^ { \mathrm { i n t e r n a l } }$ 은 이전 하중단계에 대한 구조물의 총 내력으로써 이전 하중단계의 요소 응력을 사용하여 다음과같이 계산된다.
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$$
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\mathbf {F} _ {i - 1} ^ {\text { internal }} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \mathbf {L} _ {j} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {f} _ {j} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \mathbf {L} _ {j} ^ {T} \left(\int_ {V} \mathbf {B} _ {j} ^ {\mathrm{T}} \boldsymbol {\sigma} _ {j} \mathrm{d} V\right) \tag {1.4.6}
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$$
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여기서,
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$\mathbf { f } _ { j }$ : 요소의 부재력
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$\mathbf { L } _ { j }$ : 총하중 내 요소 하중의 위치를 나타내는 행렬
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$\mathbf { B } _ { j }$ : 변위-변형률 기울기행렬
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${ \pmb { \sigma } } _ { j }$ : 요소의 응력
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$V$ : 체적
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n : 현재 시공단계에 활성화된 요소 개수
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이때 i = 1인 경우 $\mathbf { F } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n t e m a l } }$ 은 이전 시공단계의 최종 하중단계에 대한 총 내력을 나타낸다. 또한 요소의 응력은 시공단계 내에서 각 하중단계의 계산이 끝나는 시점에업데이트된다.
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<!-- source-page: 410 -->
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# 1-5 경계조건의 추가 및 제거
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현재 시공단계의 경계조건 정보는 요소 및 하중과 마찬가지로 모든 시공단계의 경계조건을 데이타베이스로 만들고 초기단계부터 현재단계까지 검색하여 활성화된경계조건을 추가하고 비활성화된 경계조건을 제거함으로써 정의한다. 이때 현재단계에 추가된 경계조건과 제거된 요소에 의해 어떤 요소에도 포함되지 않는 절점인 자유절점(free node)이 발생할 수 있으며, 이러한 자유절점은 활성화된 요소에포함된 절점정보를 사용하여 제거함으로써 해석에 불필요한 절점자유도를 제거하여 해석 속도를 향상시킨다.
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@@ -0,0 +1,328 @@
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 6 Potential Flow Analysis
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Chapter 1. General Heat Transfer Analysis
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Chapter 2. Heat of Hydration Analysis
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# Chapter 1. General Heat Transfer Analysis
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# 1-1 개요
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토목 및 건축구조물 중에서 고온에 노출 가능성이 있는 구조물에는 시간에 따른온도 변화 및 구배(gradient)가 심하게 발생한다. 열전달(heat transfer) 해석은 이러한 구조물의 시간에 따른 온도 분포를 계산함으로써 구조물의 열전달 특성을 파악하고 나아가 온도 변화에 기인한 구조적 반응(변형, 응력)을 알아내기 위한 것이다. 짧은 기간 안에 막대한 양의 콘크리트를 타설할 때 발생하는 수화열 또는 화재등으로 인한 구조물의 국소적 가열은 열전달 해석을 필요로 하는 대표적인 예이다.
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열전달의 메커니즘(mechanism)에는 전도(conduction), 대류(convection) 그리고복사(radiation) 현상이 있다. 분자나 전자의 진동이 연쇄반응에 의해 고온에서 저온구역으로 에너지를 전달하는 현상을 전도라 하며, 액체나 기체와 같이 매질의이동에 의해 에너지가 전달되는 것을 대류라 한다. 서로 떨어져 있는 물체는 그 사이에 매질이 존재하지 않아도 전자기파 형태의 에너지를 교환하며 이를 복사 현상이라 한다.
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midas FEA 에서는 고체 물질에서 가장 활발한 메커니즘인 전도에 기초하여 열전도 방정식을 유한요소법으로 해석하고, 대류 현상은 경계조건 또는 하중의 형태로고려한다.
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<!-- source-page: 414 -->
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# 1-2 열전달 방정식
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전도에 의해 지배되는 열전달 방정식은 에너지 보존 법칙에 근거한다. 예를 들어일정한 부피 V 와 이를 둘러 싸고 있는 면적 S 가 있을 때, 에너지 보존은 다음과같이 만족한다.
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\text { 열증가율 } (V) = \text { 열유량 } (S) + \text { 발열률 } (V)
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$$
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부피 V 에서의 열증가율은 비열(specific heat)과 밀도(density)에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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\text { rate of increase of heat in } V = \int_ {V} \rho c \frac {\partial T}{\partial t} d V \tag {1.2.1}
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$$
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여기서,
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$$
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c \quad : \text { 비열 } (J / k g \cdot {} ^ {\circ} C)
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$$
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$$
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\rho \quad : \text { 밀도 } (k g / m ^ {3})
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$$
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전도에 의해 전달되는 열유량(heat flow rate)은 Fourier의 법칙에 의해 온도구배(temperature gradient)와 열전도율(thermal conductivity)를 이용하여 계산된다.
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$$
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\text { rate of heat conduction across } S = \int_ {S} k (\nabla T) \cdot \mathbf {n} d S \tag {1.2.2}
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$$
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여기서,
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$$
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k \quad : \text { 열전도율 } (J / m \cdot h r \cdot {} ^ {\circ} C)
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$$
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$$
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\nabla T \quad : \text { 온도구배 } (^ {\circ} C / m)
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$$
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단위 부피당 발열률을 Q 라 하고 열전도율이 공간상에서 일정하고 방향 별로 같다고 가정하면 식 (1.2.1)과 (1.2.2)에 의해 열전달 지배방정식을 다음과 같이 얻을수 있다.
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<!-- source-page: 415 -->
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$$
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\rho c \frac {\partial T}{\partial t} = k \nabla^ {2} T + Q \tag {1.2.3}
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$$
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위 식을 유한요소법에 의한 공간이산화 하면 다음과 같이 시간에 대한 행렬 미분방정식이 되며 해석결과는 각 시간 별 절점 온도이다.
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$$
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\mathrm{CT} + \mathrm{KT} = \mathrm{R} \tag {1.2.4}
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$$
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여기서,
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C : 열용량(capacitance) 행렬
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K : 열전도(conduction) 행렬
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R : 열하중 벡터
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열용량 행렬은 밀도와 비열에 의해 계산되는 요소별 행렬이며 midas FEA에서는분포행렬(consistent matrix) 형태를 사용하고 있다. 열전도 행렬은 일반적으로 열전도율에 의해 계산되는 요소별 행렬이며, 대류 경계조건에 의한 영향이 반영된다.열하중 벡터는 발열(heat source), 열속(heat flux), 열유량 하중에 의해 계산되며대류 경계조건에 의한 영향이 반영된다.
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midas FEA에서는 정상상태(steady state) 온도응답과 과도(transient)응답의 해를모두 계산할 수 있다. 정상상태의 해는 식 (1.2.4)에서 열용량 행렬의 효과를 무시하면 간단하게 계산할 수 있다.
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$$
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\mathrm{KT} = \mathrm{R} \tag {1.2.5}
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$$
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과도응답의 해는 다음과 같은 시간에 대한 수치적분을 통하여 계산한다. 시간 it 에서의 온도상태( Ti )와 시간 i+1t 에서의 온도상태( Ti+1 )가 식 (1.2.4)를 각각 만족한다고 가정하면 다음과 같다.
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$$
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\mathrm{CT} _ {i} + \mathrm{KT} _ {i} = \mathrm{R} _ {i} \tag {1.2.6}
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$$
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$$
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\mathrm{CT} _ {i + 1} + \mathrm{KT} _ {i + 1} = \mathrm{R} _ {i + 1}
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$$
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식 (1.2.6)을 α 와 1− α 로 가중평균하면 다음과 같다.
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$$
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\mathrm{C} \left(\alpha \dot {\mathrm{T}} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \dot {\mathrm{T}} _ {i}\right) + \mathrm{K} \left(\alpha \mathrm{T} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \mathrm{T} _ {i}\right) \tag {1.2.7}
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$$
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$$
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||||
= \alpha \mathrm{R} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \mathrm{R} _ {i}
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$$
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식 (1.2.7)에 다음의 관계를 적용하면 Ti 와 Ti+1 로 이루어진 방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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\alpha \dot {\mathrm{T}} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \dot {\mathrm{T}} _ {i} = \frac {\mathrm{T} _ {i + 1} - \mathrm{T} _ {i}}{\Delta t _ {i + 1}} \tag {1.2.8}
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$$
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$$
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||||
\left[ \mathrm{C} + \alpha \Delta t _ {i + 1} \mathrm{K} \right] \mathrm{T} _ {i + 1} = \tag {1.2.9}
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$$
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$$
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||||
\left[ \mathrm{C} - (1 - \alpha) \Delta t _ {i + 1} \mathrm{K} \right] \mathrm{T} _ {i} + \Delta t _ {i + 1} \left[ \alpha R _ {i + 1} + (1 - \alpha) R _ {i} \right]
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$$
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또는 다음과 같이 등가의 행렬로 치환하여 간단하게 표현할 수 있다.
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$$
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\overline {{{\mathrm{K}}}} \mathrm{T} _ {i + 1} = \overline {{{R}}}
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$$
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$$
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\overline {{{\mathbf {K}}}} = \left[ \mathbf {C} + \alpha \Delta t _ {i + 1} \mathbf {K} \right] \mathrm{T} _ {i + 1} \tag {1.2.10}
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$$
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$$
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\overline {{{\mathrm{R}}}} = \left[ \mathrm{C} - (1 - \alpha) \Delta t _ {i + 1} \mathrm{K} \right] \mathrm{T} _ {i} + \Delta t _ {i + 1} \left[ \alpha \mathrm{R} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \mathrm{R} _ {i} \right]
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$$
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식 (1.2.10)은 도입한 적분변수(α )에 따라서 아래와 같이 구분이 되고 적분변수에따라서 수렴조건이 달라진다.
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$$
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\alpha = 0. 0: \text { 전향 차분(forward difference) } (\Delta t \text { 의 크기에 따라 수렴 })
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$$
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$$
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\alpha = 0. 5: \text {Crank - Nicolson (무조건 수렴)}
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\alpha = 2 / 3: \text { Galerkin 법 (무조건 수렴) }
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$$
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$$
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\alpha = 1. 0: \text { 후방 차분(backward difference) } (\text { 무조건 수렴 })
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$$
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midas FEA 에서는 α = 0.0인 경우를 제외하고 모든α 값을 사용할 수 있다. α에 따른 1차 미분방정식의 비정상해석 결과의 특징은 다음과 같은 간단한 1차원확산방정식(1-dimensional diffusion equation)의 해를 비교함으로써 확인할 수있다.
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$$
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1 \text { 차원 확산방정식 }: \frac {\partial^ {2} \phi}{\partial x ^ {2}} = \frac {\partial \phi}{\partial t}
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$$
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$$
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\text { 경계조건 }: \frac {\partial \phi (0 , t)}{\partial x} = 0 (t < 0), - \frac {\partial \phi (0 , t)}{\partial x} = 1 (t > 0), \frac {\partial \phi (L , t)}{\partial x} = 0
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$$
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<!-- source-page: 417 -->
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초기조건 : φ( , 0) 0 x =
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다음의 그래프는 무조건 수렴이라는 특성을 갖는 세 가지의 알고리즘에 대해 두개의 시간증분에 대한 결과를 비교한 것이며, 그 특징은 다음과 같이 정리할 수 있다.
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\- Crank-Niconsol법 ( α = 0.5)
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시간증분이 클 경우, 시간이 지남에 따라 사라지기는 하지만 계산초기에 상대적으로 큰 오실레이션(oscillation) 현상을 보인다. 시간증분을 줄일 경우에는 결과의 정확도가 크게 개선된다.
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\- Galerkin법 ( α = 2/3)
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시간증분이 클 경우, 계산초기에 역시 오실레이션 현상을 보이기는 하지만Crank-Nicolson법에 비해 그 정도는 약하다. 시간증분과 무관하게 계산초기 결과의 정확도는 가장 좋다.
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\- 후방차분법 ( α = 1.0)
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오실레이션 현상을 보이지는 않지만, 상대적으로 결과를 과소평가한다. 시간증분을 줄일 경우에는 결과의 정확도가 개선되지만 상대적으로 미소하다.
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4가지 알고리즘 중에서 α =0.5인 Crank-Nicolson법이 무조건 수렴하고 시간증분에 대해 2차의 수렴도( 2 O t ( ) ∆ )를 제공한다는 특징으로 인해 일반적으로 가장 많이 사용된다. 하지만, 2차 요소를 사용하거나 파이프쿨링(pipe cooling)을 적용할경우에는 오실레이션 현상을 발생할 수 있으며, 이러한 오실레이션 현상을 방지하기 위하여 후방차분법을 사용하는 것이 좋다.
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<!-- source-page: 418 -->
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<details>
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<summary>line</summary>
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| t | Analytical Solution | Crank-Nicolson (α=0.5) | Galerkin (α=2/3) | Backward Difference (α=1.0) |
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| ---- | ------------------- | ---------------------- | ---------------- | --------------------------- |
|
||||
| 0.1 | 0.38 | 0.43 | 0.38 | 0.32 |
|
||||
| 0.2 | 0.48 | 0.48 | 0.48 | 0.45 |
|
||||
| 0.3 | 0.60 | 0.65 | 0.62 | 0.58 |
|
||||
| 0.4 | 0.70 | 0.70 | 0.70 | 0.68 |
|
||||
| 0.5 | 0.80 | 0.82 | 0.80 | 0.78 |
|
||||
| 0.6 | 0.88 | 0.88 | 0.88 | 0.85 |
|
||||
| 0.7 | 0.95 | 0.95 | 0.95 | 0.92 |
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||||
| t | 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
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</details>
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||||
(a) Δt=0.10의 경우
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<details>
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<summary>line</summary>
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||||
| t | Analytical Solution | Crank-Nicolson (α=0.5) | Galerkin (α=2/3) | Backward Difference (α=1.0) |
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||||
| ---- | ------------------- | ---------------------- | ---------------- | --------------------------- |
|
||||
| 0.1 | 0.35 | - | 0.35 | 0.35 |
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||||
| 0.2 | 0.50 | - | 0.50 | 0.50 |
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||||
| 0.3 | 0.60 | - | 0.60 | 0.60 |
|
||||
| 0.4 | 0.70 | - | 0.70 | 0.70 |
|
||||
| 0.5 | 0.80 | - | 0.80 | 0.80 |
|
||||
| 0.6 | 0.90 | - | 0.90 | 0.90 |
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||||
| 0.7 | 0.95 | - | 0.95 | 0.95 |
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||||
| 1.0 | 1.00 | - | 1.00 | 1.00 |
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</details>
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||||
(b) Δt=0.05의 경우
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그림 1.2.1. α값에 따른 이론치와의 해석결과 비교
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<!-- source-page: 419 -->
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# 1-3 요소
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열전달 해석에 사용되는 요소는 1차원, 2차원 그리고 3차원 요소로 구분되며 특수한 효과를 얻기 위해 탄성연결(elastic link) 요소와 계면(interface) 요소를 사용할수 있다.
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# 1차원 요소
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열전달 해석에 사용되는 1차원 요소는 트러스요소, 보요소이다. 열전달 해석에서두 요소는 동일한 성질을 가지게 되며 열용량행렬과 열전도행렬은 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathrm{C} _ {i j} = \int_ {L _ {e}} \rho c A N _ {i} N _ {j} d L \tag {1.3.1}
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$$
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$$
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||||
\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {L _ {e}} k A \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} d L \tag {1.3.2}
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$$
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여기서,
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A : 요소의 단면적
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# 2차원 요소
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열전달 해석에 사용되는 2차원 요소는 평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소 그리고 판요소이다. 열전달 해석에서 3가지 요소는 모두 동일한 성질을 가지게 되며열용량행렬과 열전도행렬은 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathrm{C} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} \rho c t N _ {i} N _ {j} d A \tag {1.3.3}
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$$
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||||
$$
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||||
\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} k t \left(\frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} + \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \frac {\partial N _ {j}}{\partial y}\right) d L \tag {1.3.4}
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$$
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여기서,
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t : 요소의 두께
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축대칭 요소의 경우 두께 대신 반지름을 이용한다.
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<!-- source-page: 420 -->
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# 3차원 요소
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열전달 해석에 사용되는 3차원 요소는 입체요소이다. 열전달 해석에서 가장 많이사용되는 요소이며 열용량행렬과 열전도행렬은 다음과 같다.
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$$
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||||
C _ {i j} = \int_ {V _ {e}} \rho c N _ {i} N _ {j} d V \tag {1.3.5}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {V _ {e}} k \left(\frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} + \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \frac {\partial N _ {j}}{\partial y} + \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \frac {\partial N _ {j}}{\partial z}\right) d V \tag {1.3.6}
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$$
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여기서,
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$$
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||||
V _ {e} \quad : \text { 요소의 체적 }
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$$
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# 기타 요소
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열전달 해석에서 추가적으로 사용할 수 있는 요소는 탄성연결요소와 계면요소이다.탄성연결요소는 1차원 요소와 유사하지만, 열전도도(thermal conductance)를 입력해야 하고 열용량이 없다는 점이 다르다. 탄성연결요소의 열전도행렬은 다음과같다.
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$$
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\mathrm{K} _ {i i} = k _ {A}
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$$
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$$
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||||
\mathrm{K} _ {i j} = - k _ {A} (i \neq j) \tag {1.3.7}
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$$
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여기서,
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$$
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||||
k _ {e} \quad : \text { 열전도도 } (J / h r \cdot {} ^ {\circ} C)
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$$
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계면요소 역시 열용량이 없으며 대류계수(convection coefficient)를 입력 받아 열전도행렬에 반영한다. 계면요소의 열전도행렬은 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} h N _ {i} N _ {j} d A \quad (i, j \text { 가 같은 면의 절점일 때 })
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$$
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$$
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||||
\mathrm{K} _ {i j} = - \int_ {A _ {e}} h N _ {i} N _ {j} d A \quad (i, j \text { 가 다른 면의 절점일 때 }) \tag {1.3.8}
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$$
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여기서,
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$$
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||||
h \quad : \text { 대류계수 } (J / m ^ {2} \cdot h r \cdot {} ^ {\circ} C)
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$$
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@@ -0,0 +1,214 @@
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<!-- source-page: 421 -->
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탄성연결요소와 계면요소는 고정온도 조건과 함께 대류경계조건을 모사할 수 있으며, 구조물의 특정 부분에 대한 열흐름을 제어하는데 사용한다.
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<!-- source-page: 422 -->
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# 1-4 하중과 경계조건
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열전달 해석에서 하중과 경계조건은 열하중벡터에 반영되는 조건, 열하중벡터와열전도행렬에 반영되는 조건 그리고 절점온도에 직접 반영되는 조건으로 구분할수 있다. 하중과 경계조건이 전혀 반영되지 않은 부분은 단열조건이 된다. midasFEA 에서는 하중과 경계조건이 시간에 따라 변하는 효과를 고려할 수 있다. 절점에 입력되는 하중/경계조건의 경우 시간축의 정의는 해석의 시작 시점부터의 시간을 의미하며 요소에 부가되는 하중/경계조건의 경우에는 요소의 생성 시점부터의시간을 시간축으로 정의한다. 그림 1.4.1는 midas FEA에서 사용되는 열하중과 경계조건의 종류를 나타내고 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Convection
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Cooling
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Flux
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Heat generated internally
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Insulated
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Temperature prescribed
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</details>
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그림 1.4.1. 고체 내/외부에서 발생할 수 있는 열하중과 경계조건
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<!-- source-page: 423 -->
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# 초기온도
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구조물이 생성될 당시의 온도로 해석의 초기조건이 된다. 단계별 초기온도와 절점별 초기온도를 사용할 수 있다. 절점별 초기온도가 설정되지 않은 경우 단계별 초기온도가 반영된다.
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# 고정온도
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고정온도(prescribed temperature)는 열전달해석의 경계조건을 구성하게 되며, 해당 절점은 항상 주어진 온도를 유지하게 된다. 시간에 따라 변하는 고정온도의 경우 시간축의 정의는 해석의 시작 시점부터의 시간이다.
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# 열유량과 열속
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열유량하중은 절점에 직접 입력되는 하중으로 식 (1.2.4)의 R 에 해당하는 값이다.시간에 따라 변하는 열유량하중인 경우 시간축의 정의는 해석의 시작 시점부터의시간이다.
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열속하중은 요소의 특정 면을 통해 열의 유입이 이루어짐을 의미한다. 일반적으로 열속하중은 다음과 같이 R 를 통해 반영된다.
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$$
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\mathrm{R} _ {i} = \int_ {S} F _ {s} N _ {i} d S \tag {1.4.1}
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$$
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여기서,
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$$
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F _ {s} \quad : \text { 열속 } (J / m ^ {2} \cdot h r)
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$$
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시간에 따라 변하는 열속하중인 경우 시간축의 정의는 해당 요소의 생성 시점부터의 시간이다.
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# 대류
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액체 또는 기체에서 더운 부분과 차가운 부분이 순차적으로 자리바꿈하여 이루어지는 열전달 현상을 대류라 한다. 유체를 표면위로 강제로 흐르게 하는 경우처럼유체유동을 인위적으로 일으키는 경우를 강제대류(forced convection)라 하고, 유체의 유동이 유체내의 온도차에 의해 생기는 밀도차에 의한 부력효과 때문에 일어
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<!-- source-page: 424 -->
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나는 열전달을 자유대류(free convection) 라고 한다. midas FEA에서는 자유대류를 경계조건으로 고려하고 있으며 파이프쿨링(pipe cooling) 형태의 강제대류를하중으로 사용할 수 있다.
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자유대류는 외기온도(ambient temperature) T 와 대류계수 h 를 통하여 정의하며, 고체 표면에서 외기로 빠져나가는 열유량은 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathrm{R} _ {i} = \int_ {s} h N _ {i} (T - T _ {\infty}) d S \tag {1.4.2}
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$$
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여기서,
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$$
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T \quad : \text { 고체 표면온도 } \left(\sum_ {j} T _ {j} N _ {j}\right)
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$$
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위 식에서 첫 번째 항은 열전도행렬에 포함되며 외기온도에 관련된 나머지 항이열하중벡터에 포함된다. 시간에 따라 변하는 대류계수 및 외기온도인 경우 시간축의 정의는 요소의 생성시점부터의 시간이다.
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강제대류의 일종인 파이프쿨링은 파이프 속으로 흐르는 유체의 대류와 파이프 표면과 유체 사이의 열전달을 모사하는 것이다. 유체와 파이프 사이의 열전달량은다음과 같이 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.
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$$
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q _ {c o n v} = h _ {p} A _ {s} (T _ {s} - T _ {m}) = h _ {P} A _ {s} \left(\frac {T _ {s , i} + T _ {s , o}}{2} - \frac {T _ {m , i} + T _ {m , o}}{2}\right) \tag {1.4.3}
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$$
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$$
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q _ {c o n v} = \dot {m} c _ {m} (T _ {m, o} - T _ {m, i})
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$$
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여기서,
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$$
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h _ {p} \quad : \text { 파이프의 유수대류계수 }
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$$
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$$
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A _ {s} \quad : \text { 파이프의 표면적 }
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$$
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$$
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T _ {s}, T _ {m} \quad : \text { 파이프 표면과 냉각수의 온도 }
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$$
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$$
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T _ {s, i}, T _ {s, o} \quad : \text {파이프의 유입구와 출구에서의 온도}
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$$
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$$
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T _ {m i} T _ {m o} \quad : \text { 냉각수의 유입구와 출구에서의 온도 }
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$$
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$$
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\dot {m} \quad : \text { 단위 시간당 냉각수 유입량 } (k g / h r)
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$$
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$$
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c _ {m} \quad : \text { 냉각수 비열 }
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$$
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식 (1.4.3)에 의해 냉각수의 온도를 계산할 수 있고, 냉각수의 온도를 이용하여 파이프 표면과 유체 사이의 열전달량을 알 수 있다. 파이프쿨링 역시 열전도행렬과열하중벡터에 반영된다.
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# 발열
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발열(heat source)은 고체 내부에서 발생하는 열량을 모사하기 위한 것이다. 발열은 다음과 같이 하중벡터에 포함된다.
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$$
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\mathrm{R} _ {i} = \int_ {V} Q N _ {i} d V \tag {1.4.4}
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$$
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여기서,
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$Q : = \frac { \Xi \mid Q \mid } { \Xi \mid } \Xi \mid _ { \Xi } ^ { \Xi \mid } \Xi \stackrel { \sqcup \mid } { = } \Xi \stackrel { \cong } { = } \big ( J / m ^ { 3 } \cdot h r \big )$
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발열에 의한 하중은 단위부피당 발열율을 직접 입력하지 않고 단열온도 상승식을통하여 간접적으로 입력할 수 있다. 단열온도 상승식은 다음과 같이 발열율로 환산된다.
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$$
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Q = \rho c \frac {\partial T}{\partial t} \tag {1.4.5}
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$$
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시간에 따라 변하는 발열인 경우 시간축의 정의는 해석의 요소의 생성시점부터의시간이다.
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# 1-5 단계별 열전달 해석과 결과
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midas FEA에서 열전달 해석은 기본적으로 시공단계(construction stage)에 따라수행하게 된다. 단계에 따라 열전달 요소와 하중 경계조건이 변경될 수 있고, 단계별로 정상상태 해석과 과도응답 해석을 선택할 수 있다. 각 단계는 여러 개의 시간단계로 구성되고, 요소와 경계조건 및 하중은 추가와 제거가 모두 가능하다. 단계의 정의는 시공단계 해석과 동일한 정의를 사용한다. 또한, 열전달 해석을 통해 계산된 온도 이력(temperature history)은 시공단계 해석에서 온도하중으로 반영할수 있다.
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열전달 해석 결과는 절점별 온도와 요소별 온도구배/열속/열유량 등이며 모든 결과들은 시간단계별로 확인할 수 있다. 다음은 각 요소별 출력 결과이다.
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# 1차원 요소
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온도구배 $\mathrm { ~ : ~ } \frac { \partial T } { \partial x }$
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열속 $\mathbf { \Psi } : - k \frac { \partial T } { \partial x }$
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# 2차원 요소
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온도구배 $\mathrm { ~ : ~ } \frac { \partial T } { \partial x } , \frac { \partial T } { \partial y }$
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열속 $\mathbf { \epsilon } : \mathbf { \epsilon } - k \frac { \hat { \sigma } T } { \hat { \sigma } x } , - k \frac { \hat { \sigma } T } { \hat { \sigma } y }$
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평면변형요소와 축대칭 요소는 전체좌표계(global coordinate system)에 대하여
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결과가 표현되며, 판요소와 평면응력요소는 요소좌표계에 대한 결과가 계산된다.
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3차원 요소
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온도구배 $: ~ \frac { \partial T } { \partial x } , \frac { \partial T } { \partial y } , \frac { \partial T } { \partial z }$
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열속 $\mathbf { \partial } : - k \frac { \hat { \sigma } T } { \hat { \sigma } x } , - k \frac { \hat { \sigma } T } { \hat { \sigma } y } , - k \frac { \hat { \sigma } T } { \hat { \sigma } z }$
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입체요소의 결과는 전체좌표계에 대해 계산된다.
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기타 요소
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$\begin{array} { r l } { \underline { { \mathsf { E } } } \sharp \underline { { \mathsf { M } } } \supseteq \underline { { \mathsf { Z } } } \underline { { \mathsf { d } } } \underline { { \mathsf { Q } } } \qquad \therefore \ { i } \ \underline { { \mathsf { E } } } \mathsf { I } \mathsf { M } \mathsf { A } \quad j \ \underline { { \mathsf { E } } } \mathsf { I } \underline { { \mathsf { O } } } \Xi \equiv \underline { { \mathsf { E } } } \equiv \underline { { \mathsf { S } } } \underline { { \mathsf { G } } } \underline { { \mathsf { P } } } \bar { \mathsf { E } } \quad k _ { A } ( T _ { i } - T _ { j } ) } \end{array}$
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계면요소 : i 면에서 j 면으로 흐르는 열속 ( ) i j h T T−
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Part 6 Potential Flow Analysis
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# Chapter 2. Heat of Hydration Analysis
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# 2-1 개요
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매스콘크리트의 수화열(heat of hydration)에 의한 온도 응력은 구조물에 균열을발생시켜 구조물의 내구성뿐만 아니라 구조적인 안전을 저해할 수 있다. 이러한문제를 해결하기 위해 매스콘크리트의 타설시 온도와 응력의 분포를 계산하여 균열을 적절히 제어하고자 하는 목적으로 수화열해석을 수행한다. 수화열해석을 수행하여야 할 매스콘크리트 구조물의 치수는 구조형식, 사용재료, 시공조건에 따라다르지만 대략 슬래브는 800∼1000mm 이상, 하단이 구속되어 있는 벽체는 두께500mm 이상을 기준으로 한다.
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수화열에 의한 균열은 초기에 표면부와 중심부의 온도차이에 의해 발생하는 표면균열과 시멘트 수화열에 의해 상승된 온도가 하강할 때 구조물의 수축이 외적으로구속되어 발생하는 관통균열로 구분할 수 있다. 이러한 수화열 해석은 크게 시멘트의 수화과정에서 발생하는 발열, 대류, 전도 등에 의한 열전달(heat transfer) 해석과 발생한 온도, 재령에 의한 탄성계수의 변화, 크리프(creep) 및 건조수축(shrinkage) 등에 의한 열응력(thermal stress) 해석으로 구분할 수 있다.
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# 2-2 열전달 해석
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열전달 해석에서는 시멘트의 수화과정에서 발생하는 발열, 전도, 대류 등에 의한시간에 따른 절점온도 변화를 계산한다. 일반적으로 포화된 콘크리트의 열전도율는 1.21\~3.11 정도이며, 열전도율의 단위는 /( ) o kcal m h C ⋅ ⋅ 이다. 콘크리트의 열전도율은 온도가 증가하면서 감소하는 경향을 보이지만, 대기온도의 범위에서는 큰영향을 보이지 않는다. 수화열 해석에서 열전달 작용을 하는 요소와 사용 가능한하중/경계조건은 다음과 같다.
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# 요소
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수화열 해석에서는 입체요소(solid element)와 트러스요소(truss element)만이 열전달 작용을 하게 된다. 열응력 해석에서는 철근요소(reinforcement element)도포함된다.
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# 초기온도
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콘크리트 타설시의 온도로 물, 시멘트, 골재의 평균온도이며 해석의 초기조건이 된다. 시공단계별로 다른 초기온도를 입력할 수 있으나 절점별로 다른 초기온도를사용할 수 없다.
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# 고정온도
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고정온도(prescribed temperature)는 열전달해석의 경계조건을 구성하게 되며, 수화열 해석에서는 대체로 일정한 온도를 유지하게 된다.
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# 대류
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수화열 해석에서는 외기와의 열교환으로 이루어지는 자유대류(free convection)와파이프쿨링(pipe cooling) 형태의 강제대류(forced convection)을 고려할 수 있다.자유대류에서 외기온도(ambient temperature)는 콘크리트의 타설 후 양생과정에서의 외기온도를 의미한다. 일정한 온도나 Sine 함수 또는 시간에 대한 온도 형태
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@@ -0,0 +1,322 @@
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의 입력이 가능하다. 일반적으로 매스콘크리트의 온도해석에서 사용되는 대류 문제는 콘크리트 표면과 대기의 열교환 형태로 이루어지므로, 대류계수를 식 (2.2.1)과 같은 경험식으로 계산하기도 한다.
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$$
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h _ {c} (k c a l / (m ^ {2} \cdot h \cdot {} ^ {o} C)) = h _ {n} + h _ {f} = 5. 2 (k c a l / (m ^ {2} \cdot h \cdot {} ^ {o} C)) + 3. 2 V (m / \sec) \tag {2.2.1}
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$$
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파이프쿨링은 콘크리트 구조물 속에 파이프를 매설하고, 파이프 속으로 온도가 낮은 유체를 흐르게 하여 수화열로 인한 온도상승을 감소시키는 방법이다.
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# 발열
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발열(heat source)은 수화과정에서 발생하는 열량을 모델하기 위한 것이다. 매스 콘크리트에서 수화발열에 의한 단위시간당 단위부피의 내부 발열량은 단열온도 상승식을 미분하고, 비열과 밀도를 곱하여 얻을 수 있다. 일반적으로 콘크리스의 수화발열에 의한 단열온도 상승식과 내부발열량은 다음과 같은 형태로 표현된다.
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단위시간당 단위부피의 내부발열량 (kcal/(m³·h))
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$$
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g = \frac {1}{2 4} \rho c K \alpha e ^ {- \alpha t / 2 4} \tag {2.2.2}
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$$
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단열온도 상승식(°C)
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$$
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T = K (1 - e ^ {- \alpha t}) \tag {2.2.3}
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$$
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여기서
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$$
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\begin{array}{l} T \quad : \text { 단열온도( } ^ {\circ} \text { C) } \\ K \quad : \text { 단열최고상승온도( } ^ {\circ} \text { C) } \\ \alpha \quad : \text { 반응속도 } \\ t \quad : \text { 시간(days) } \\ \end{array}
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$$
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<!-- source-page: 432 -->
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# 2-3 열응력 해석
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열전달 해석에서 얻어진 절점온도 분포, 시간과 온도에 따른 재질의 변화, 시간에따른 건조수축, 시간과 응력에 따른 크리프 변형 등을 고려하여 매스콘크리트의각 단계별 응력을 계산한다. 수화열 해석의 열응력 계산 단계에서 사용할 수 있는요소와 하중의 종류 그리고 콘크리트의 특성은 다음과 같다.
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# 요소
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열응력 해석 단계에서는 입체요소와 트러스요소 그리고 철근요소를 사용할 수 있다. 철근요소는 계산에 반영되지만 요소 결과를 출력하지 않는다. 철근요소의 온도변화는 모재요소(mother element)와 같다고 가정하며 일반적으로 열팽창률 또한모재요소와 같다.
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# 하중
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수화열 해석에서 사용할 수 있는 하중은 자중과 프리스트레스(prestress)이다. 자중은 해석에 포함된 모든 요소에 대해 적용되며 요소의 생성과 동시에 발생한다.
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# 온도와 시간에 의한 등가재령
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콘크리트의 경화 과정에서 발생하는 재질특성의 변화는 온도와 시간의 함수 형태로 나타나게 된다. 동일한 단계에 타설된 절점이라도 온도분포가 다르게 되면 발현하는 재료의 성질이 달라지게 된다. 이러한 현상을 반영하기 위해 시간과 온도를 사용하여 등가의 재령(equivalent age)을 만들고, 이를 사용하여 콘크리트의강성발현 등 재료변화를 반영한다. 등가재령은 CEB-FIP Model Code 90를 사용하여 산정한다.
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CEB-FIP Model Code 90 에서의 등가재령 계산식
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$$
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t _ {e q} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta t _ {i} \exp \left[ 1 3. 6 5 - \frac {4 0 0 0}{2 7 3 + T \left(\Delta t _ {i}\right) / T _ {0}} \right]
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$$
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<!-- source-page: 433 -->
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여기서
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$$
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t _ {e q} \quad : \text { 등가재령 (days) }
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$$
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$$
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\Delta t _ {i} \quad : \text { 각 해석단계에서의 시간간격 (days) }
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$$
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$$
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T \left(\Delta t _ {i}\right) \quad : \text { 각 해석단계에서의 온도 } \left(^ {\circ} \mathrm{C}\right)
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$$
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$$
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T _ {0} \quad : 1 \text { day }
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$$
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일본 도로교 시방서에 따른 콘크리트 모델의 경우에는 다음과 같이 등가재령을 산정한다.
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$$
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t _ {e q} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta t _ {i} \frac {1 0 + T (\Delta t _ {i})}{3 0}
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$$
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midas FEA에서는 콘크리트의 강도/강성 발현에 등가재령을 반영하며 크리프와 건조수축 계산에는 반영하지 않는다. 단, 일본 콘크리트 표준시방서와 도로교시방서에 따른 콘크리트 모델의 경우에는 크리프와 건조수축의 계산에만 등가재령을 사용한다.
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# 콘크리트 압축강도 계산방법
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콘크리트의 압축강도를 계산하는 방법은 아래와 같이 국가별 시방서에 따른다. 압축강도를 기준으로 하여 탄성계수, 인장강도 등을 계산하여 사용한다.
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# 〈한국 콘크리트 구조설계기준〉
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$$
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\sigma_ {c} (t) = \frac {t}{a + b t _ {e q}} \sigma_ {c (9 1)}
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$$
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여기서
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$$
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a, b \quad : \text { 시멘트종류에 따른 계수 }
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$$
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$$
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\sigma_ {c (9 1)} \quad : 9 1 \text {일 압축강도 }
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$$
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<!-- source-page: 434 -->
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< ACI 209(1995) >
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$$
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\sigma_ {c} (t) = \frac {t}{a + b t _ {e q}} \sigma_ {c (2 8)}
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$$
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여기서
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a, b : 시멘트종류에 따른 계수
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$\sigma _ { c ( 2 8 ) }$ c(28) ：28
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ACI committee 209, 1992년, Materials and general properties of concrete prediction of creep, shrinkage and temperature effects in concrete structures.
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ACI manual of concrete practice 1995, Part I, 209R-4
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< CEB-FIP Model Code 90 >
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$$
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\sigma_ {c} (t) = \exp \left\{s \left[ 1 - \left(\frac {2 8}{t _ {e q} / t _ {1}}\right) ^ {1 / 2} \right] \right\} \sigma_ {c (2 8)}
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$$
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여기서
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s : 시멘트 종류에 따른 계수
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$\sigma _ { c ( 2 8 ) }$ σ c(28) : 28일 압축강도
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1t : 1 day
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COMITE EURO-INTERNATIONAL DU ETON, 1991년
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CEB-FIP Model Code, p51
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< 일본 콘크리트 표준시방서 >
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$$
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\sigma_ {c} (t) = \frac {d t}{a + b t} \sigma_ {c (2 8)}
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$$
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$$
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\sigma_ {t e n s i l e} (t) = c \sqrt {\sigma_ {c} (t)}
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$$
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<!-- source-page: 435 -->
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여기서
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c(28) ：28
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c : 인장강도 발현 계수( 0.44 )
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# 온도의 변화에 의한 변형률
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열전달해석을 통해서 구해진 각 단계별 절점온도의 변화를 사용하여 온도에 의한변형률을 산정하고, 강성에 따른 등가하중을 계산하여 해석을 수행한다.
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# 건조수축에 의한 변형
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콘크리트의 초기 양생이 끝나게 되면 거푸집을 떼어내게 되는데 이때부터 건조수축이 시작되고 이로 인해 변형으로 응력이 추가로 발생하게 된다. midas FEA에서는 한국 콘크리트 구조설계기준, ACI 209, CEB-FIP Model Code 90, JAPANCode 등을 사용하여 시멘트의 종류, 구조물의 형상, 시간에 따른 건조수축률을 계산하여 열응력 해석에 포함한다.
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# 크리프에 의한 변형
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콘크리트에 응력이 발생하게 되면 시간이 흐름에 따라 크리프 변형이 발생하게 되고, 구조물에 추가적인 변형률과 응력을 발생하게 된다. midas FEA에서는 한국콘크리트 구조설계기준, ACI 209, CEB-FIP Model Code 90, JAPAN Code 등을사용하여 크리프에 의한 효과를 고려한다.
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<!-- source-page: 436 -->
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# 2-4 시공단계를 고려한 수화열 해석
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수화열 해석은 시간에 따른 해석이고, 시공단계를 고려한 해석이 필요하다. 시공단계에 따라 구조물이나 경계조건이 변경될 수 있고, 프리스트레스나 추가적인 하중이 도입될 수도 있다. 그림 2.4.1은 시공단계에 따른 구조모델의 변화를 나타내고있다. 시공단계에 따라 구조물이 추가되고 열 경계조건이 변화하지만, 동일한 시공단계에서는 같은 구조모델과 경계조건을 가져야 한다. 각 시공단계는 여러 개의시간 단계로 구성되고, 각 단계별로 하중을 추가하거나 제거할 수 있다. 자중은 새롭게 생성되는 구조모델에 대하여 각 시공단계 첫 번째 시간 단계에 반영된다.각 시공단계에서 입력하는 사항에는 추가되는 구조모델, 구조와 열 하중/경계조건이 있다. 구조모델과 구조 경계조건은 추가만 가능하고, 하중은 시공단계의 시간단계별로 추가와 삭제가 가능하다. 열 하중/경계조건은 추가와 제거가 모두 가능하다.
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<details>
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||||
<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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||||
A["structure 1"] -->|convection boundary| B["structure 2"]
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||||
B -->|prescribed temperature| C["soil"]
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||||
style A fill:#f9f,stroke:#333
|
||||
style B fill:#f9f,stroke:#333
|
||||
style C fill:#f9f,stroke:#333
|
||||
note1["(a) 첫번째 시공단계 모델"] --> A
|
||||
note2["(b) 두번째 시공단계 모델"] --> B
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```
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</details>
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그림 2.4.1. 수화열 시공단계 해석 모델
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# 2-5 시간의존적 재질특성
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midas FEA에서는 콘크리트의 시간의존적 특징으로 크리프(creep), 건조수축(shrinkage), 강도증가(aging) 등을 고려할 수 있다.
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# 2-5-1 크리프
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그림 2.5.1와 같이 실제 구조물에서 크리프는 건조수축과 함께 발생한다. 따라서건조수축, 탄성변형, 크리프를 각각 분리해서 고려할 수는 없다. 그러나 실제 해석및 설계에서는 편의상 이들을 분리하여 고려한다.
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그림 2.5.1에서 실제 탄성변형(true elastic strain)이란 시간과 더불어 증가되는 탄성계수의 증대로 인해 감소되는 탄성변형을 나타낸 것이다. 일반적인 경우는 겉보기 탄성변형(apparent elastic strain)을 탄성변형으로 보지만 해석에서는 콘크리트의 강도발현을 고려할 수 있으므로 실제 탄성변형으로 해석할 수도 있다.
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크리프 변형률은 하중재하시의 탄성변형률에 비례하며, 동일한 응력에서는 고강도콘크리트가 저강도 콘크리트보다 작은 크리프 변형률을 나타낸다. 크리프 변형률은 탄성변형률의 1.5\~3배 정도에 이르며, 재하 후 첫 몇 개월 동안에 크리프 변형이 크게 진행되고, 그 이후에 완만하게 진행되다가 약 5년 내에 대부분 변형이 발생한다.
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크리프 현상은 대부분의 재료가 가지고 있는 성질이지만, 특히 콘크리트는 다른재료에 비하여 그 값이 커서 변형의 시간적 증가 원인의 하나가 되기 때문에 설계에서 무시할 수 없다. 보통의 콘크리트 구조물에서는 주로 자중과 외력에 의하여크리프 현상이 일어나지만, 프리스트레스를 도입하는 경우에는 프리스트레스 응력에 의한 크리프 현상이 추가로 발생한다.
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<summary>line</summary>
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| Time Point | Creep strain | Shrinkage strain | True elastic strain | Apparent elastic strain |
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| ---------- | ------------ | ---------------- | ------------------- | ----------------------- |
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| to | Low | Low | Low | Low |
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| Time to | High | Low | Low | Low |
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</details>
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그림 2.5.1 시간경과에 따른 콘크리트의 변형률
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일축방향 응력상태에서 콘크리트 탄성변형률과 크리프 변형률의 합은 다음과 같이나타낼 수 있다.
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$$
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\varepsilon (t) = \varepsilon_ {i} (\tau) + \varepsilon_ {c} (t, \tau) = \sigma \cdot J (t, \tau) \tag {2.5.1}
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$$
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여기서
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J ( , ) t τ : 단위 응력이 작용할 때의 총 변형률, 크리프 함수(creep function)
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T
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t : 변형률을 계산하고자 하는 임의의 시간
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Time | σ |
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|------|-------|
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| τ | 1 |
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</details>
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Time | J(t, τ) |
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|------|---------|
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| τ | 1/(E(τ)) |
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| t | J(t, τ) curve |
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</details>
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그림 2.5.2 크리프 함수 및 특성 크리프의 정의
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그림 2.5.2에서 보듯이 크리프 함수 J ( , ) t τ 를 초기탄성변형과 크리프 변형의 합으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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J (t, \tau) = \frac {1}{E (\tau)} + C (t, \tau) \tag {2.5.2}
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$$
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여기서
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E( ) τ : 하중 재하시의 탄성계수
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C t( , ) τ : 재령 t에서의 크리프 변형, 특성크리프(specific creep)
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또한 크리프 함수J ( , ) t τ 를 탄성변형과의 비율로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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J (t, \tau) = \frac {1 + \phi (t , \tau)}{E (\tau)} \tag {2.5.3}
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$$
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여기서
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(t,τ）： (creep coefficient)，
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위의 두 식으로부터 특성크리프와 크리프 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
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$$
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\phi (t, \tau) = E (\tau) \cdot C (t, \tau) \tag {2.5.4}
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$$
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$$
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C (t, \tau) = \frac {\phi (t , \tau)}{E (\tau)} \tag {2.5.5}
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$$
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midas FEA에서는 크리프 계수나 건조수축 변형률의 계산식으로 CEB-FIP나 ACI등에서 정하고 있는 식들을 사용할 수 있고, 사용자가 실험에 의한 값을 직접 입력하여 사용할 수도 있다. 사용자 정의는 크리프 계수(creep coefficient), 크리프 함수(creep function), 특성 크리프(specific creep)의 세가지 값 중 사용자가 원하는 형식으로 입력이 가능하다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Time (day) | Value |
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| ---------- | ------ |
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| 1 | 13.00 |
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| 2 | 17.00 |
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| 3 | 23.00 |
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| 4 | 31.00 |
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| 5 | 42.00 |
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| 6 | 56.00 |
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| 7 | 74.00 |
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| 8 | 100.00 |
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</details>
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그림 2.5.3 사용자 정의 크리프 계수 지정 대화상자
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콘크리트의 크리프 함수는 그림 2.5.4와 같이 하중이 가해지는 시간에 따라서 각기 다른 형상을 나타내게 된다. 즉, 요소의 재령이 커지면 콘크리트의 강도증가(aging) 효과에 의하여 탄성계수가 증가하기 때문에, 콘크리트의 즉시 변형은 하중의 재하시기가 늦을수록 작아진다. 그리고 하중의 재하시간으로부터 임의의 시간후의 변형은 하중의 재하시기가 늦은 경우에 더 작아지게 된다.
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재하시간이 늦어질수록 즉시 변형과 크리프 변형이 감소하는 것은 콘크리트의 수화정도와 강도발현 때문이다. 따라서 사용자 정의를 사용하여 크리프 함수를 입력할 경우에는 콘크리트의 강도발현 특성이 잘 반영될 수 있도록 하여야 한다. 즉,크리프 함수에서 재하시간의 범위는 시간의존해석에서 존재하는 요소의 재령(재하시간)을 포함하여야 하고, 서로 다른 재하시간의 크리프 함수를 많이 입력할수록정확한 해석결과를 얻을 수 있다.
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@@ -0,0 +1,464 @@
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Time t | Creep Function J (t, τ) |
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| ------ | ------------------------ |
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| τ₁ | Low |
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| τ₂ | Medium |
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| τ₃ | Medium |
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| τ₄ | High |
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</details>
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그림 2.5.4 하중 재하 시간의 차이에 따른 크리프 함수
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# 2-5-2 크리프의 계산 방법
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크리프 계산에 사용되는 크리프 함수는 특정 응력이 작용하는 시간(τ )과 현재시간( t )의 함수이다. 즉 특정응력이 작용하는 시점이 다른 경우에 그림 2.5.4와 같이다른 형태의 크리프 함수를 사용하여야 한다. 따라서 시간에 따라 응력이 변화하는 경우에 각 시간에서의 증감하는 응력은 독자적인 크리프 함수를 필요로 한다.임의의 시점에서의 크리프 변형은 응력이 변화하는 시점에서 증감하는 응력들에의한 변형률을 독자적으로 계산하고 이 값들을 중첩(superposition)하여 산정한다.이와 같은 중첩법을 사용하기 위해서는 모든 부재에 대한 응력이력을 저장하고,매 단계마다 모든 응력에 대하여 초기단계부터 현재의 시점까지의 변형률을 계산할 수 있어야 한다. 따라서 중첩법은 많은 양의 데이터의 저장과 많은 계산을 필요로 한다. midas FEA에서는 응력의 전체 이력을 저장하지 않고, 계산의 효율을 높이기 위하여 다음과 같은 적분방법을 사용한다.
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크리프 계수를 사용하여 시간 τ j 에서 발생한 응력에 의한 시간 t 의 크리프 변형계산 방법은 다음과 같다.
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$$
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\varepsilon_ {c} \left(t, \tau_ {j}\right) = \phi \left(t, \tau_ {j}\right) \varepsilon \left(\tau_ {j}\right): \text { 크리프 변형률 } \tag {2.5.6}
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$$
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$$
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P _ {c r} = \int_ {A} E (t) \varepsilon_ {c} \left(t, \tau_ {j}\right) d A: \text {크리프 변형에 의한 하중} \tag {2.5.7}
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$$
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여기서
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$$
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\varepsilon (\tau_ {j}) \quad : \text { 시간 } \tau_ {j} \text { 에서의 응력에 의한 변형률 }
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$$
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$$
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||||
\phi (t, \tau_ {j}) \quad : \text { 시간 } \tau_ {j} \text { 에서 } t \text { 까지의 크리프 계수 }
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {c} (t, \tau_ {j}) \quad : \text { 시간 } \tau_ {j} \text { 에서의 탄성변형에 의한 시간 } t \text { 에서 }
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$$
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의 크리프 변형률
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다음은 크리프의 특성함수를 수식화하여 응력과 시간에 대한 적분을 사용하는 방법이다. 특정 시간 τ 에서 임의의 시간 t 까지의 전체 크리프량은 각 단계마다 발생하는 응력에 의한 크리프의 중첩적분으로 나타내면 다음식과 같다.
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$$
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\varepsilon_ {c} (t) = \int_ {0} ^ {t} C (t, \tau) \frac {\partial \sigma (\tau)}{\partial \tau} d \tau \tag {2.5.8}
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$$
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여기서
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$$
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||||
\varepsilon_ {c} (t) \quad : \text { 시간 } t \text { 에서의 크리프 변형률 }
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$$
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||||
$$
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||||
C (t, \tau) \quad : \text { 특성크리프 } (\text { specific creep })
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$$
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||||
$$
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||||
\tau \quad : \text { 하중재하시점 }
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$$
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위의 식에서 응력이 각 단계에서 일정하다고 가정하면 다음과 같이 전체 변형률을단계별로 구분된 변형률의 합으로 표현할 수 있다.
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$$
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||||
\varepsilon_ {c, n} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) \tag {2.5.9}
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$$
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||||
위 식을 사용하여 시간 − −t t 사이에서 발생하는 크리프 변형률의 증분( cn,∆ε )을정리하여 나타내면 식 (2.5.10)과 같다.
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$$
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||||
\Delta \varepsilon_ {c, n} = \varepsilon_ {c, n} - \varepsilon_ {c, n - 1} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) - \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n - 1}, \tau_ {j}) \tag {2.5.10}
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$$
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||||
특성크리프를 다음과 같이 Dirichlet 급수의 “Degenerate Kernel” 로 표현하면 응력의 전체 이력을 저장할 필요없이 크리프에 의한 증분변형률을 계산할 수 있다.
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$$
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C (t, \tau) = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i} (\tau) \left[ 1 - e ^ {- (t - \tau) / \Gamma_ {i}} \right] \tag {2.5.11}
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$$
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여기서
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$a_{i}(\tau)$ : 하중 재하시간 $\tau$ 에 관련된 특성크리프의 형상 계수
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$\Gamma_{i}$ : 시간의 경과에 따른 특성트리프 곡선의 형상에 관한 값
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특성크리프 곡선의 초기형상에 관련한 계수( $a_{i}(\tau)$ )값은 아래와 같은 방법으로 계산할 수 있다.
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1. 계산에 사용할 m 과 $\Gamma_{i}$ 를 정한다.
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재하재령( $\tau_{j}$ )을 정한다. 재하재령은 전체해석 시간내에서 적절히 분포되어야 한다.
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2. 크리프 발생량을 계산하고자 하는 시점( $t_{i}$ )을 선택한다. 크리프 계산은 재하재령( $\tau_{j}$ )을 기준으로 하기 때문에 계산시점( $t_{i}$ )은 재하재령보다 항상 커야 한다.
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3. 계측한 값이나 국가별 기준을 사용하여 $C(t_{i}, \tau_{j})$ 값을 계산한다. 이때 사용하는 데이터 개수는 전체해석시간에 고르게 분포해야 하고 충분한 많아야 한다.
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4. 3\~4 절차에서 구한 값을 사용하여 다음과 같은 식을 구성한다.
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$$
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\left[ \begin{array}{c c c c} 1 - e ^ {- \left(t _ {1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {1}} & 1 - e ^ {- \left(t _ {1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {2}} & \dots & 1 - e ^ {- \left(t _ {1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {m}} \\ 1 - e ^ {- \left(t _ {2} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {1}} & 1 - e ^ {- \left(t _ {2} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {2}} & \dots & 1 - e ^ {- \left(t _ {2} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {m}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 - e ^ {- \left(t _ {n} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {1}} & 1 - e ^ {- \left(t _ {n} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {2}} & \dots & 1 - e ^ {- \left(t _ {n} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {m}} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} a _ {1} \left(\tau_ {j}\right) \\ a _ {2} \left(\tau_ {j}\right) \\ \vdots \\ a _ {m} \left(\tau_ {j}\right) \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} C \left(t _ {1}, \tau_ {j}\right) \\ C \left(t _ {2}, \tau_ {j}\right) \\ \vdots \\ C \left(t _ {n}, \tau_ {j}\right) \end{array} \right\}
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$$
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$$
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A _ {i, 1} = \Delta \sigma_ {0} a _ {i} \left(\tau_ {j}\right) \tag {2.5.12}
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$$
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$$
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\mathbf {A} _ {n \times m} a _ {m \times 1} = C _ {n \times 1} (n > m)
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$$
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5. 최소자승법(least square method)을 사용하여 위 식의 해를 구한다.
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$$
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\mathbf {A} ^ {T} \mathbf {A} \mathbf {a} = \mathbf {A} ^ {T} \mathbf {C}
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$$
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$$
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\mathbf {a} = \left(\mathbf {A} ^ {T} \mathbf {A}\right) ^ {- 1} \left(\mathbf {A} ^ {T} \mathbf {C}\right)
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$$
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최적의 m 과 Γ 값을 구하기 위해서는 아래와 같은 조건을 만족해야 한다.
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- 최소자승의 에러를 최소화해야 한다.
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- $- \sum a _ { i } ( \tau _ { j } ) \frac { \ d s } { \ d s }$ 를 사용하여 계산한 최종 크리프 변형(ultimate creep strain)이예측하는 최종 크리프 변형에 거의 일치해야 한다.
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- 각각 $a _ { i } ( \tau _ { j } ) \{ 1 - e ^ { - ( t - \tau _ { j } ) / \Gamma _ { i } } \}$ 값의 기여도가 유사해야 한다.
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서로 다른 재하재령 $\tau _ { j } )$ 를 사용하여 3\~5의 과정을 진행하고, 해당하는 $a _ { i } ( \tau _ { j } ) \equiv _ { \equiv }$ 구한다. 여러 개의 재하재령( $\tau _ { j }$ )에 대한 $a _ { i } ( \tau _ { j } )$ 값을 구하여 저장하고, 재하재령이일치하지 않는 경우에는 계산된 재하재령( $\tau _ { j }$ )과 $a _ { i } ( \tau _ { j } )$ 를 보간하여 사용한다.
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위의 특성크리프 수식을 도입하여 증분 변형률을 다시 정리하면 다음과 같다.
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$$
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\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left[ \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} a _ {i} \left(\tau_ {j}\right) e ^ {- \left(t _ {n - 1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} \left(\tau_ {n - 1}\right) \right] \left[ 1 - e ^ {- \Delta t _ {n} / \Gamma_ {i}} \right]
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$$
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$$
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\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} A _ {i, n} \left[ 1 - e ^ {- \Delta t _ {n} / \Gamma_ {i}} \right]
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$$
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$$
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||||
A _ {i, n} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} a _ {i} (\tau_ {j}) e ^ {- (t _ {n - 1} - \tau_ {j}) / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} (\tau_ {n - 1}) \tag {2.5.13}
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$$
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위의 식 $A _ { i , n } \underline { { \underline { { O } } } }$ 로 부터 $A _ { i , n - 1 }$ 을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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A _ {i, n - 1} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 3} \Delta \sigma_ {j} a _ {i} (\tau_ {j}) e ^ {- (t _ {n - 2} - \tau_ {j}) / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 2} a _ {i} (\tau_ {n - 2}) \tag {2.5.14}
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$$
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따라서, $A _ { i , n }$ 과 $A _ { i , n - }$ 1의 관계는 다음과 같다.
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$$
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A _ {i, n} = A _ {i, n - 1} e ^ {- \Delta t _ {n - 1} / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} (\tau_ {n - 1})
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$$
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$$
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A _ {i, 1} = \Delta \sigma_ {0} a _ {i} \left(\tau_ {0}\right) \tag {2.5.15}
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$$
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각 시간구간의 응력이 선형적으로 변한다고 가정한다면, 다음과 같이 (2.5.13)과유사한 관계식을 얻을 수 있다.
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$$
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\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} A _ {i, n} \left[ 1 - e ^ {- \left(\Delta t _ {n}\right) / \Gamma_ {i}} \right] + R \Delta \sigma_ {n}
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$$
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$$
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\phi_ {n} = \Gamma_ {i} (1 - e ^ {- \Delta t _ {n} / \Gamma_ {i}}) / \Delta t _ {n}
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$$
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$$
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R _ {n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i} \left(\tau_ {n}\right) \left(1 - \phi_ {n}\right)
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$$
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$$
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A _ {i, n} = A _ {i, n - 1} e ^ {- \left(\Delta t _ {n - 1}\right) / \Gamma_ {i}} + \phi_ {n - 1} \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} \left(\tau_ {n - 1}\right) \tag {2.5.16}
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$$
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위와 같은 방법을 사용하면 각 단계에서의 요소의 증분변형률은 이전단계에서 발생하는 응력과 이전단계까지 수정된 응력의 누적값( ∆σ )만을 사용하여 계산할수 있다. 따라서 매 단계마다 모든 부재의 응력 이력을 저장하여 초기단계부터 적분을 수행하여야 하는 문제가 발생하지 않으며 응력의 변화를 고려한 비교적 정확한 해석을 할 수 있다. 식 (2.5.13)과 (2.5.16)은 시간 간격 내에서 응력 변화를 고려하는지 여부에 따라 달라진다. 수화열 해석에서는 온도변화에 의한 응력이 시간에 따라 선형적으로 변한다 가정하여 식 (2.5.16)을 사용하는 반면, 일반 시공단계해석에서는 식 (2.5.13)을 사용한다.
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한 단계에서 큰 시간 간격을 사용하고자 하는 경우에는 내부적인 시간간격을 만들어서 크리프의 효과를 적절하게 계산할 수 있도록 해야 하며 크리프 변형의 발생특성상 시간간격은 로그(log) 스케일로 분할하는 것이 바람직하다. midas FEA에서는 간격 수만 입력하면 시간간격을 자동으로 로그 스케일로 분할하여 시간구간을 생성하는 기능을 가지고 있다. 타당한 시간간격의 개수는 정해져 있지 않지만많이 세분할수록 정해에 수렴하게 된다. 따라서 큰 시간 간격이 도입되는 단계에서는 적당한 간격으로 분할해주는 것이 필요하다.
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<!-- source-page: 446 -->
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# 2-5-3 건조수축
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건조수축은 콘크리트 부재가 시간에 따라 수축하는 현상으로 각종 시방서의 건조수축 특성 곡선을 사용하여 해석에 반영하고 있다. 건조수축은 부재에 발생하는응력과는 무관한 시간의 함수이며, 일반적으로 시간 $t _ { 0 }$ 에서 t 까지 발생한 건조수축에 의한 변형률은 다음과 같이 나타낸다.
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$$
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\varepsilon_ {s h} (t, t _ {0}) = \varepsilon_ {\infty} \cdot f (t, t _ {0}) \tag {2.5.17}
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$$
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여기서
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$\varepsilon _ { \infty }$ £
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$f ( t , t _ { 0 } )$ : 시간에 따른 발생 함수
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t : 관측 시점
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$t _ { 0 }$ : 건조수축 발생시점
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midas FEA에서 건조수축 해석은 CEB-FIP Model Code, ACI209, 도로교시방서,실험데이터를 사용한 사용자 정의 건조수축 특성 곡선 등을 사용할 수 있다. 건조수축 특성 곡선을 사용하여 시공단계의 해당 단계에서의 건조수축 변형률을 다음과 같이 계산한다.
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$$
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\varepsilon_ {s h} (t _ {2}, t _ {1}) = \varepsilon_ {s h} (t _ {2}, t _ {0}) - \varepsilon_ {s h} (t _ {1}, t _ {0}) \tag {2.5.18}
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$$
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$\mathcal { E } _ { s h } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } )$ : 시공단계 1t 에서 $t _ { 2 }$ 까지의 건조수축 변형률
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$\varepsilon _ { s h } ( t _ { 1 } , t _ { 0 } )$ : 건조수축 발생시점 $t _ { 0 }$ 에서 $t _ { 1 }$ 까지의 건조수축 변형률
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$\mathcal { E } _ { s h } ( t _ { 2 } , t _ { 0 } )$ : 건조수축 발생시점 $t _ { 0 }$ 에서 $t _ { 2 }$ 까지의 건조수축 변형률
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건조수축 변형은 온도, 크리프에 의한 변형과 같이 비역학적(non-mechanical) 변형이기 때문에 부재력( F ) 계산시의 변형률은 변위에 의한 변형률에서 건조수축에의한 변형률을 감하여 계산한다.
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$$
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||||
F = E A \left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) \tag {2.5.19}
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$$
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<!-- source-page: 447 -->
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그러므로 축 방향 구속이 없는 구조물에서의 건조수축에 의한 효과는 부재력을 만들지 않고 변위만을 발생시키게 된다. 또한 외부하중이 없더라도 건조수축에 의해발생하는 부재력은 크리프 변형을 유발할 수 있다. 따라서 건조수축 변형은 구속조건과 시간에 영향을 받는다.
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# 2-5-4 시간에 따른 탄성계수의 변화
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콘크리트의 압축강도와 탄성계수는 시간에 따라 변화한다. 실제 콘크리트 구조물이나 교량의 시공에서 콘크리트의 초기 재령을 정확하게 예측하여 계획된 구조물의 형상과 강도를 지니도록 하기 위해서는, 이러한 효과를 합리적으로 묘사하는것이 필수적이라 할 수 있다.
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midas FEA에서는 콘크리트 부재의 재령에 따른 탄성계수의 변화를 고려함으로써강도발현 효과를 포함하여 해석할 수 있다. 그림 2.5.5와 같이 ACI209, CEB-FIP,또는 콘크리트 표준시방서 등의 기준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수를 정의하거나 사용자가 직접 입력할 수도 있다. 이와 같이 정의된 강도발현 함수를 참조하여, 각각의 시공단계에 정의된 시간의 경과에 따른 콘크리트의 강도변화를 자동으로 계산해서 해석을 수행한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Add/Modify Time Dependent Material (Comp. Strength)
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Name
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TdMat1
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Scale Factor
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1.0
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Type
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Code User
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Development of Strength
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Code : ACI
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S = teq * S28 / (a + b * teq)
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Concrete Compressive Strength
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at 28 Days(S28)
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28 kN/m²
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Concrete Compressive Strength
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Factor(a, b)
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a : 4.5 b : 0.85
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Redraw Graph
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Graph Options
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X-axis log scale Y-axis log scale
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30
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25
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20
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15
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10
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5
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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OK Cancel
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</details>
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그림 2.5.5 규준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수정의
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# 2-5-5 크리프/건조수축 모델
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midas FEA에서 사용할 수 있는 주요 기준은 다음과 같다.
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# 〈 한국 콘크리트 구조설계기준〉
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\- 크리프 계산식
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$$
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||||
\varepsilon_ {c \sigma} = f _ {c} (t ^ {\prime}) / E _ {c i} \cdot \phi (t, t ^ {\prime})
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {c \sigma} (t, t ^ {\prime}) = f _ {c} (t ^ {\prime}) \left[ \frac {1}{E _ {c i} (t ^ {\prime})} + \frac {\phi (t , t ^ {\prime})}{E _ {c i}} \right]
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\phi (t, t ^ {\prime}) = \phi_ {0} \beta_ {c} (t - t ^ {\prime})
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
\phi_ {0} = \phi_ {R H} \beta (f _ {c u}) \beta (t ^ {\prime})
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\phi_ {R H} = 1 + \frac {1 - 0 . 0 1 R H}{0 . 1 0 \sqrt [ 3 ]{h}}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
\beta \left(f _ {c u}\right) = \frac {1 6 . 8}{\sqrt {f _ {c u}}}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
\beta (t ^ {\prime}) = \frac {1}{0 . 1 + (t ^ {\prime}) ^ {0 . 2}}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\beta_ {c} (t - t ^ {\prime}) = \left[ \frac {(t - t ^ {\prime})}{\beta_ {H} + (t - t ^ {\prime})} \right] ^ {0. 3}
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
\beta_ {H} = 1. 5 \left\{1 + (0. 0 1 2 R H) ^ {1 8} \right\} h + 2 5 0 \leq 1 5 0 0
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
h = \frac {2 A _ {c}}{u}
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$$
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||||
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||||
$\varepsilon_{cc}$ : 콘크리트의 크리프 변형
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$\sigma_{c}(t')$ : 재하 재령 $(t')$ 지속 응력
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$E_{ci}$ : 28일 콘크리트의 초기 접선 탄성 계수
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$\phi(t,t')$ : 콘크리트의 크리프 계수
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||||
$\phi_{o}$ : Notional 크리프 계수
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||||
$f_{cu}$ : 28일 평균 압축강도 (MPa)
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||||
RH : 상대습도(%)
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<!-- source-page: 449 -->
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h : 부재의 notional size (mm)
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||||
$A_{c}$ : 부재의 단면적 ( $mm^{2}$ )
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u : 대기와 접하는 단면둘레 (mm)
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$t'$ : 지속하중 재하시 재령 (day)
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t : 계측 시간 (day)
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\- 건조수축 계산식
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$$
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||||
\varepsilon_ {s h} (t, t _ {s}) = \varepsilon_ {s h o} \cdot \beta_ {s} (t - t _ {s})
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
\varepsilon_ {s h o} = \varepsilon_ {s} (f _ {c u}) \beta_ {R H}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\varepsilon_ {s} \left(f _ {c u}\right) = \left[ 1 6 0 + 1 0 \beta_ {s c} \left(9 - \frac {f _ {c u}}{1 0}\right) \right] \times 1 0 ^ {- 6}
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\beta_ {R H} = \left\{ \begin{array}{l l} - 1. 5 5 \left[ 1 - \left(\frac {R H}{1 0 0}\right) ^ {3} \right] & (40 \% \leq R H \leq 99 \%) \\ 0. 2 5 & (R H \geq 99 \%) \end{array} \right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\beta_ {s} \left(t - t _ {s}\right) = \sqrt {\frac {\left(t - t _ {s}\right)}{0 . 0 3 5 h ^ {2} + \left(t - t _ {s}\right)}}
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||||
$$
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||||
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||||
$\varepsilon_{cs}(t,t_{s})$ : 건조수축 시작시간( $t_{s}$ )에서
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임의 시간(t)까지의 건조수축 변형률
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||||
$\varepsilon_{cso}$ : Notional 건조수축 변형률
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||||
$\beta_{s}(t-t_{s})$ : 건조수축 발현 함수
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$\beta_{sc}$ : 시멘트 종류에 따른 계수
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$\beta_{sc}=4$ 2종 시멘트
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$\beta_{sc}=5\ 1,5종 시멘트$
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$\beta_{sc}=6$ 3종 시멘트
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||||
사단법인 한국콘크리트학회, 2003년개정, 콘크리트 구조설계기준, p38\~p44
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<!-- source-page: 450 -->
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< ACI209 (1995) >
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-크리프 계산식
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$$
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||||
\varepsilon_ {c} (t, t ^ {\prime}) = \sigma_ {c} (t ^ {\prime})
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
J \left(t, t ^ {\prime}\right) = \frac {1}{E _ {c i} \left(t ^ {\prime}\right)} \left[ 1 + \phi \left(t, t ^ {\prime}\right) \right]
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\phi (t, t ^ {\prime}) = \frac {(t - t ^ {\prime}) ^ {0 . 6}}{1 0 + (t - t ^ {\prime}) ^ {0 . 6}} \phi_ {u}
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\phi_ {u} = 2. 3 5 C _ {c u} C _ {h} C _ {t} C _ {s} C _ {f} C _ {a}
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$$
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||||
1) 양생조건( $C_{cu}$ )
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$$
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||||
C _ {c u} = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 2 5 \left(t ^ {\prime}\right) ^ {- 0. 1 1 8} & \text {(moist cured)} \\ 1. 1 3 \left(t ^ {\prime}\right) ^ {- 0. 0 9 4} & \text {(steam cured)} \end{array} \right.
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$$
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||||
|
||||
2) 상대습도( $C_{h}$ )
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||||
$$
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||||
C _ {h} = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 2 7 - 0. 0 0 6 7 H & (H > 4 0) \\ 1. 0 & (H \leq 4 0) \end{array} \right.
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||||
$$
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||||
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||||
3) 체적-표면적비( $C_{t}$ )
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$$
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||||
C _ {t} = \frac {2}{3} \left[ 1 + 1. 1 3 e ^ {- 0. 0 2 1 3 v / s} \right] \quad (\text { unit }: \mathrm{mm})
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$$
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||||
|
||||
4) 슬럼프치( $C_{s}$ )
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$$
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||||
C _ {S} = 0. 8 2 + 0. 0 0 2 6 4 S \quad (\text { unit }: \mathrm{mm})
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$$
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||||
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||||
5) 잔골재의 비율( $C_{f}$ )
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$$
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||||
C _ {f} = 0. 8 8 + 0. 0 0 2 4 \psi
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$$
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6) 공기량( $C_{a}$ )
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$$
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C _ {a} = 0. 4 6 + 0. 0 9 A \geq 1. 0
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$$
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||||
@@ -0,0 +1,504 @@
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<!-- source-page: 451 -->
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t' : 재하시의 콘크리트재령
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H : 상대습도(%)
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v/s : 체적-표면적비
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S : 슬럼프값
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ψ : 전체골재에 대한 잔골재의 중량비율
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A : 공기량(%)
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\- 건조수축 계산식
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$$
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\varepsilon_ {s h} (t, t _ {0}) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {(t - t _ {0})}{3 5 + (t - t _ {0})} \varepsilon_ {s h, u} & (\text { moist cured }) \\ \frac {(t - t _ {0})}{5 5 + (t - t _ {0})} \varepsilon_ {s h, u} & (\text { steam cured }) \end{array} \right.
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {s h, u} = - 7 8 0 \times 1 0 ^ {- 6} C _ {s h}
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$$
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$$
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||||
C _ {s h} = C _ {c p} C _ {h} C _ {t} C _ {s} C _ {f} C _ {a} C _ {c}
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$$
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||||
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1) 양생기간에 따른 보정( $C_{cp}$ )
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<table><tr><td>습윤양생기간(일)</td><td>1</td><td>3</td><td>7</td><td>14</td><td>28</td><td>90</td></tr><tr><td>보정계수( $C_{cp}$ )</td><td>1.2</td><td>1.1</td><td>1.0</td><td>0.93</td><td>0.86</td><td>0.75</td></tr></table>
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||||
|
||||
2) 상대습도( $C_{h}$ )
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||||
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||||
$$
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||||
C _ {h} = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 4 0 - 0. 0 1 0 H & (4 0 \leq H \leq 8 0) \\ 3. 0 0 - 0. 0 3 0 H & (8 0 \leq H \leq 1 0 0) \end{array} \right.
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||||
$$
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||||
|
||||
3) 체적-표면적비( $C_{t}$ )
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||||
$$
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||||
C _ {t} = 1. 2 e ^ {- 0. 0 0 4 7 2 v / s} \quad (\text { unit }: \mathrm{mm})
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$$
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||||
|
||||
4) 슬럼프치( $C_{s}$ )
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||||
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||||
$$
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||||
C _ {S} = 0. 8 9 + 0. 0 0 1 6 1 S \quad (\text { unit }: \mathrm{mm})
|
||||
$$
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||||
|
||||
<!-- source-page: 452 -->
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||||
5) 잔골재의 $\mathsf { H } | \mathop { \cong } ( C _ { f } )$
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||||
$$
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||||
C _ {f} = \left\{ \begin{array}{l l} 0. 3 0 + 0. 0 1 4 \psi & (\psi \leq 5 0) \\ 0. 9 0 + 0. 0 0 2 \psi & (\psi \geq 5 0) \end{array} \right.
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||||
$$
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||||
|
||||
6) 공기량( $C _ { a } )$
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$$
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||||
C _ {a} = 0. 9 5 + 0. 0 0 8 A
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$$
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||||
7) 단위시멘트량( $C _ { c } )$
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|
||||
$$
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||||
C _ {c} = 0. 7 5 + 0. 0 0 0 6 1 C \quad \left(\text { unit }: \mathrm{kg} / \mathrm{m} ^ {3}\right)
|
||||
$$
|
||||
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||||
$\mathcal { E } _ { s h } ( t , t _ { 0 } )$ ： $t _ { o }$ t발생한 건조수축 변형
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||||
$\mathcal { E } _ { s h , u }$ εsh,u ：
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||||
$t _ { o }$ : 건조수축 시작 시간(day)
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$H$ : 상대습도(%)
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$\nu / s$ : 체적-표면적비
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$S$ : 슬럼프값
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$\psi$
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$A$ : 공기량(%)
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C : 단위 시멘트량( $\mathsf { k g } / \mathsf { m } ^ { 3 } \ )$
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ACI committee 209, 1992년, Materials and general properties of concrete prediction of creep, shrinkage and temperature effects in concrete structures.
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||||
ACI manual of concrete practice 1995, Part I, 209R-6\~209R-9
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||||
<!-- source-page: 453 -->
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||||
# 〈 CEB-FIP Model Code 90 〉
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||||
\- 크리프 계산식
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|
||||
$$
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||||
\varepsilon_ {c c} (t, t _ {0}) = \sigma_ {c} (t _ {0}) / E _ {c i} \cdot \phi (t, t _ {0})
|
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$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\phi (t, t _ {0}) = \phi_ {0} \beta_ {c} (t - t _ {0})
|
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$$
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|
||||
$$
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||||
\phi_ {0} = \phi_ {R H} \beta (f _ {c m}) \beta (t _ {0})
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
\phi_ {0} = \phi_ {R H} \beta (f _ {c m}) \beta (t _ {0})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\phi_ {R H} = I + \frac {I - R H / R H _ {o}}{0 . 4 6 (h / h _ {0}) ^ {1 / 3}}
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\beta \left(f _ {c m}\right) = \frac {5 . 3}{\left(f _ {c m} / f _ {c m o}\right) ^ {0 . 5}}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\beta \left(t _ {0}\right) = \frac {1}{0 . 1 + \left(t _ {o} / t _ {1}\right) ^ {0 . 2}}
|
||||
$$
|
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|
||||
$$
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||||
h = \frac {2 A _ {c}}{u}
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\beta_ {c} \left(t - t _ {o}\right) = \left[ \frac {\left(t - t _ {o}\right) / t _ {I}}{\beta_ {H} + \left(t - t _ {o}\right) / t _ {I}} \right] ^ {0. 3}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\beta_ {H} = 1 5 0 \left\{1 + \left(1. 2 \frac {R H}{R H _ {o}}\right) ^ {1 8} \right\} \frac {h}{h _ {o}} + 2 5 0 \leq 1 5 0 0
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$$
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$\varepsilon_{cc}$ : 콘크리트의 크리프 변형
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$\sigma_{c}(t_{o})$ : 재하 재령 $(t_{o})$ 지속응력
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$E_{ci}$ : 28일 콘크리트의 탄성계수
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$\phi(t,t_{o})$ : 콘크리트의 크리프 계수
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$\phi_{o}$ : Notional 크리프 계수
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$f_{cm}$ : 28일 평균 압축강도(MPa), $f_{cmo} = 10 MPa$
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RH : 상대습도, $RH_{o}=100\%$
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h : 부재의 notional size, $h_{o} = 100$ mm
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<!-- source-page: 454 -->
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$$
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A _ {c} \quad : \text { 부재의 단면적 } (m m ^ {2})
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$$
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$$
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u \quad : \text { 대기와 접하는 주변장 (mm) }
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$$
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$$
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t _ {o} \quad : \text {재하시 재령(day)}
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$$
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$$
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t \quad : \text { 계측 시간(day) }, t _ {1} = 1 \text { day }
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$$
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\- 건조수축 계산식
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$$
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\varepsilon_ {c s} (t, t _ {s}) = \varepsilon_ {c s o} \cdot \beta_ {s} (t - t _ {s})
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {c s o} = \varepsilon_ {s} (f _ {c m}) \beta_ {R H}
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {s} \left(f _ {c m}\right) = \left[ 1 6 0 + 1 0 \beta_ {s c} \left(9 - f _ {c m} / f _ {c m o}\right) \right] \times 1 0 ^ {- 6}
|
||||
$$
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||||
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$$
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||||
\beta_ {R H} = - 1. 5 5 \beta_ {s R H} (40 \% \leq R H \leq 99 \%)
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$$
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$$
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||||
\beta_ {R H} = + 0. 2 5 \quad (R H \geq 99 \%
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$$
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$$
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||||
\beta_ {s R H} = 1 - \left(\frac {R H}{R H _ {o}}\right) ^ {3}
|
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$$
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||||
$$
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||||
\beta_ {s} \left(t - t _ {s}\right) = \left[ \frac {\left(t - t _ {s}\right) / t _ {l}}{3 5 0 \left(h / h _ {o}\right) ^ {2} + \left(t - t _ {s}\right) / t _ {l}} \right] ^ {0. 5}
|
||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
\varepsilon_ {c s} \left(t, t _ {s}\right) \quad : \text { 건조수축 시작시간 } \left(t _ {s}\right) \text { 에서 }
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$$
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임의 시간(t)까지의 건조수축 변형률
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$\varepsilon_{cso}$ : Notional 건조수축 변형률
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$$
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||||
\beta_ {s} (t - t _ {s}) \quad : \text { 건조수축 발현 함수 }
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$$
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$\beta_{sc}$ : 시멘트 종류에 따른 계수
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$\beta_{sc}=4$ Slowly hardening cements
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$\beta_{sc} = 5$ Normal or Rapid hardening cements
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$\beta_{sc} = 8$ Rapid hardening high strength cements
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COMITE EURO-INTERNATIONAL DU ETON, 1991년
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||||
CEB-FIP Model Code, p53\~p58
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<!-- source-page: 455 -->
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# 〈일본 콘크리트 표준시방서〉
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\- 크리프 계산식
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$$
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\varepsilon_ {c c} ^ {\prime} = \phi \sigma_ {c p} ^ {\prime} / E _ {c t}
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {c c} ^ {\prime} (t, t ^ {\prime}, t _ {0}) = \left[ 1 - e ^ {- 0. 0 9 (t - t ^ {\prime}) ^ {0. 6}} \right] \cdot \varepsilon_ {c r} ^ {\prime}
|
||||
$$
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||||
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$$
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||||
\mathcal {E} _ {c r} ^ {\prime} = \mathcal {E} _ {b c} ^ {\prime} + \mathcal {E} _ {d c} ^ {\prime}
|
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$$
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||||
$$
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||||
\varepsilon_ {b c} ^ {\prime} = 1 5 (C + W) ^ {2. 0} (W / C) ^ {2. 4} \left(\log_ {e} t ^ {\prime}\right) ^ {- 0. 6 7}
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\varepsilon_ {d c} ^ {\prime} = 4 5 0 0 (C + W) ^ {1. 4} (W / C) ^ {4. 2} \left[ \log_ {e} (V / S / 1 0) \right] ^ {- 2. 2} (1 - R H / 1 0 0) ^ {0. 3 6} t _ {0} ^ {- 0. 3 0}
|
||||
$$
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||||
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$$
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||||
\varepsilon_ {c c} ^ {\prime} \quad : \text { 콘크리트의 압축 크리프 변형 }
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$$
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$$
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\phi : \text { 크리프 계수 }
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$$
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$$
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\sigma_ {c p} ^ {\prime} \quad : \text { 압축 응력 }
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$$
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$$
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E _ {c t} \quad : \text {재하시 재령의 탄성계수}
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {c r} ^ {\prime} \quad : \text { 단위 응력당 크리프 변형의 최종값 } \left(\times 1 0 ^ {- 1 0} / (N / m m ^ {2})\right)
|
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$$
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|
||||
$$
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||||
\varepsilon_ {b c} ^ {\prime} \quad : \text { 단위 응력당 기본 크리프 변형의 최종값 } \left(\times 1 0 ^ {- 1 0} / (N / m m ^ {2})\right)
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
\varepsilon_ {d c} ^ {\prime} \quad : \text { 단위 응력당 건조 크리프 변형의 최종값 } \left(\times 1 0 ^ {- 1 0} / (N / m m ^ {2})\right)
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
C \quad : \text { 단위 시멘트량 } (k g / m ^ {3}) (2 6 0 k g / m ^ {3} \leq C \leq 5 0 0 k g / m ^ {3})
|
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$$
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||||
|
||||
$$
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||||
W \quad : \text { 단위 수량 } \left(k g / m ^ {3}\right) \left(1 3 0 k g / m ^ {3} \leq C \leq 2 3 0 k g / m ^ {3}\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
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||||
W / C \quad : \text { 물 - 시멘트 비 } (40 \% \leq C \leq 65 \%)
|
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$$
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|
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$$
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||||
R H \quad : \text { 상대습도 } (45 \% \leq C \leq 80 \%)
|
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$$
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$$
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||||
V \quad : \text { 체적 } (m m ^ {3})
|
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$$
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$$
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||||
S \quad : \text { 대기와 접하는 면적 } (m m ^ {2})
|
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$$
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||||
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$$
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||||
V / S \quad : \text { 체적 - 표면적 비 } (m m) (1 0 0 m m \leq V / S \leq 3 0 0 m m)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
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||||
t _ {0} \quad : \text { 건조수축 시작 시간(day) }
|
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$$
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$$
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||||
t ^ {\prime} \quad : \text {재하시 재령(day)}
|
||||
$$
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$$
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||||
t \quad : \text { 계측 시간 (day) }
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$$
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<!-- source-page: 456 -->
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||||
\- 건조수축 계산식
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$$
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||||
\varepsilon_ {c s} ^ {\prime} (t, t _ {0}) = \left[ I - e ^ {- 0. 1 0 8 (t - t _ {0}) ^ {0. 5 6}} \right] \cdot \varepsilon_ {s h} ^ {\prime}
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
\varepsilon_ {s h} ^ {\prime} = - 5 0 + 7 8 \left[ 1 - e ^ {(R H / 1 0 0)} \right] + 3 8 \log_ {e} W - 5 \left[ \log_ {e} (V / S / 1 0) \right] ^ {2}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\varepsilon_ {s h} ^ {\prime} (t, t _ {0}) \quad : \text { 콘크리트 재령 } t _ {0} \text { 에서 } t \text { 까지의 }
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\text { 건조수축 변형률 } \left(\times 1 0 ^ {- 5}\right)
|
||||
$$
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||||
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||||
$$
|
||||
\varepsilon_ {s h} ^ {\prime} \quad : \text { 건조수축 최종 변형률 } (\times 1 0 ^ {- 5})
|
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$$
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||||
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||||
# 〈일본 도로교시방서(평성 8년 12월)〉
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\- 크리프 계산식
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$$
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||||
\varepsilon_ {c c} = \phi \sigma_ {c} / E _ {c t}
|
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$$
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||||
$$
|
||||
\phi (t, t _ {0}) = \phi_ {d 0} \cdot \beta_ {d} (t - t _ {0}) + \phi_ {f 0} \left[ \beta_ {f} (t) - \beta_ {f} (t _ {0}) \right]
|
||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
h _ {t h} = \lambda \cdot \frac {A _ {c}}{u}
|
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {c c} \quad : \text { 콘크리트의 크리프 변형 }
|
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$$
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$$
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||||
\sigma_ {c} \quad : \text { 지속하중 응력 } (N / m m ^ {2})
|
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$$
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$$
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||||
E _ {c} \quad : \text { 콘크리트의 탄성 계수 } (N / m m ^ {2})
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$$
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$$
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||||
\phi : \text { 콘크리트의 크리프 계수 }
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$$
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$$
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||||
\phi_ {d 0} \qquad : \text {지속하중에 의한 지연탄성변형률에 대한 크리프 계수}
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$$
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$$
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||||
\beta_ {d} (t - t _ {0}) : \text { 시간에 따른 } \phi_ {d 0} \text { 의 발현 함수 (그림 2.5.6) 참조) }
|
||||
$$
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||||
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$$
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||||
\phi_ {f 0} \quad : \text { 복원되지 않는 크리프 변형에 대한 크리프 계수 }
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$$
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||||
$$
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||||
\beta_ {f} (t) \quad : \text { 시간에 따른 } \phi_ {f 0} \text { 의 발현 함수 (그림 2.5.7) 참조) }
|
||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
R H \quad : \text { 상대습도 } (45 \% \leq C \leq 80 \%)
|
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$$
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$$
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||||
\lambda : \text { 상대습도에 따른 환경 조건에 관한 계수 (표 2.5.1 참조 }
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$$
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<!-- source-page: 457 -->
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||||
Ac : 부재의 표면적 ( 2 mm )
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u : 대기와 접하는 주변장 ( mm )
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$h _ { t h }$ : 부재의 가상두께 ( mm )
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$t _ { 0 }$ : 재하시 재령 (day)
|
||||
t : 계측 시간 (day)
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<details>
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||||
<summary>line</summary>
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||||
| x | βd |
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||||
| ----- | ---- |
|
||||
| 1 | 0.30 |
|
||||
| 2 | 0.32 |
|
||||
| 4 | 0.35 |
|
||||
| 6 | 0.38 |
|
||||
| 10 | 0.42 |
|
||||
| 100 | 0.70 |
|
||||
| 1000 | 0.90 |
|
||||
| 10000 | 1.00 |
|
||||
</details>
|
||||
|
||||
그림 2.5.6 콘크리트의 $\phi _ { d 0 }$ 발현함수 ( 0β d ( ) t t − )
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||||
<details>
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||||
<summary>line</summary>
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||||
| x | βf (h_th ≥ 50mm) | βf (h_th ≥ 100mm) | βf (h_th ≥ 200mm) | βf (h_th ≥ 400mm) | βf (h_th ≥ 800mm) | βf (h_th ≥ 1600mm) |
|
||||
| ---- | ---------------- | ----------------- | ----------------- | ----------------- | ----------------- | ------------------ |
|
||||
| 4 | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |
|
||||
| 8 | 0.35 | 0.35 | 0.35 | 0.35 | 0.35 | 0.35 |
|
||||
| 10 | 0.45 | 0.45 | 0.45 | 0.45 | 0.45 | 0.45 |
|
||||
| 100 | 0.60 | 0.60 | 0.60 | 0.60 | 0.60 | 0.60 |
|
||||
| 1,000| 0.80 | 0.80 | 0.80 | 0.80 | 0.80 | 0.80 |
|
||||
| 10,000| 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
|
||||
</details>
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|
||||
그림 2.5.7 콘크리트의 $\phi _ { f 0 }$ 발현함수 $( \beta _ { f } ( t ) )$
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<!-- source-page: 458 -->
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||||
<table><tr><td>환경조건</td><td> $\phi_{f0}$ </td><td> $\lambda$ </td></tr><tr><td>수 중</td><td>0.8</td><td>60</td></tr><tr><td>상대습도 90%</td><td>1.3</td><td>10</td></tr><tr><td>상대습도 70%</td><td>2.0</td><td>3</td></tr><tr><td>상대습도 40%</td><td>3.0</td><td>2</td></tr></table>
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||||
|
||||
표 2.5.1 환경조건에 의한 $\phi_{f0}$ 와 $\lambda$ 값
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\- 건조수축 계산식
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$$
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\varepsilon_ {c s} (t, t _ {0}) = \varepsilon_ {s 0} \cdot \beta_ {s} (t - t _ {0})
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$$
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$\varepsilon_{cs}(t,t_{0})$ : 콘크리트 재령 $t_{0}$ 에서 t 까지의 건조수축 변형
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$\varepsilon_{so}$ : 콘크리트의 기본 건조수축 최종변형률
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||||
$\beta_{s}(t)$ : 건조수축 발현 함수
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||||
<table><tr><td>환경조건</td><td> $\varepsilon_{so}$ </td></tr><tr><td>수 중</td><td> $-10 \times 10^{-5}$ </td></tr><tr><td>상대습도 90%</td><td> $+10 \times 10^{-5}$ </td></tr><tr><td>상대습도 70%</td><td> $+25 \times 10^{-5}$ </td></tr><tr><td>상대습도 40%</td><td> $+50 \times 10^{-5}$ </td></tr></table>
|
||||
|
||||
표 2.5.2 환경조건에 의한 $\varepsilon_{so}$ 값
|
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||||
<!-- source-page: 459 -->
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
<details>
|
||||
<summary>line</summary>
|
||||
|
||||
| x | h_th ≤ 50mm | 100 | 200 | 400 | 800 | h_th ≥ 1600mm |
|
||||
| ---- | ----------- | ----- | ----- | ----- | ----- | ------------- |
|
||||
| 1 | 0.2 | 0.1 | 0.05 | 0.02 | 0.01 | 0.005 |
|
||||
| 10 | 0.6 | 0.3 | 0.15 | 0.08 | 0.04 | 0.02 |
|
||||
| 100 | 1.2 | 0.8 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.05 |
|
||||
| 1,000| 1.8 | 1.4 | 0.9 | 0.5 | 0.3 | 0.15 |
|
||||
| 10,000| 1.9 | 1.5 | 1.05 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
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||||
</details>
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||||
그림 2.5.8 콘크리트의 건조수축 발현함수 ( β s )
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||||
사단법인 일본도로협회, 평성8년12월
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||||
도로교시방서(I공통편 III콘크리트교) 동해설, p37\~p44
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||||
<!-- source-page: 460 -->
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||||
# 2-6 수화열 해석 결과
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수화열 해석은 열전달 해석과 열응력 해석을 통해서 얻은 결과를 가지고 있다. 열전달 해석을 수행하여 구한 결과는 절점별 온도이며 열응력 해석의 결과로는 절점별 변위, 요소별 응력과 발생응력에 대한 인장강도의 비율로 표현되는 균열지수(crack ratio) 등이 있다. 모든 결과들은 시공단계의 시간단계별로 확인할 수 있다.
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||||
열전달 해석 결과
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\- 절점별 온도
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열응력 해석 결과
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- 절점별 변위
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- 요소별 응력/변형률
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- 절점별 등가재령에 따른 인장 강도
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||||
- 균열지수(crack ratio)
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||||
Crack Ratio = 허용인장응력 / 발생인장응력
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@@ -0,0 +1,321 @@
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<!-- source-page: 461 -->
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||||
# Analysis and Algorithm Manual
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||||
# Part 7 Contact Analysis
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||||
# Chapter 1. Static Contac Analysis
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<!-- source-page: 462 -->
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||||
<!-- source-page: 463 -->
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||||
# Chapter 1. Static Contact Analysis
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||||
# 1-1 개요
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접촉해석(contact analysis)은 공간상의 두 물체가 서로 맞닿을 수는 있으나, 관통할 수 없다는 가정에 따라 해석을 수행하는 것이다. 접촉의 종류에는 일반접촉(general contact) 혹은 접합접촉(weld contact) 해석 등 다양한 종류가 있을 수있으며, 이를 해석적으로 고려하기 위해서는 비선형해석을 수행하여야 한다.
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||||
공간상에서 물체 A와 B가 서로 접촉할 가능성이 있는 경우, 물체 A를 주물체(master body), 물체 B를 종속물체(slave body)로 정의한다. 알고리즘 상에서는주물체/종속물체의 개념은 서로 뒤바뀌어도 상관없다. 그러나 수치해석에서는 주물체와 종속물체를 선택할 때에 강체, 상대적으로 밀도나 강성이 큰 물체, 또는 상대적으로 요소가 조밀하지 않는 물체를 주물체로 설정하면 더 나은 결과를 얻을수 있다. 접촉해석에서는 주물체에 접촉하는 절점을 종속절점(slave node), 주물체의 접촉면을 주접촉면(master surface)으로 지정하는 알고리즘을 주로 사용한다midas FEA에서는 접촉에 의한 비선형해석을 위하여 벌칙방법(penalty method)을사용한다. 이 기법은 접촉면과 그 면을 관통하는 절점 사이에 관통을 방지하기 위한 벌칙 스프링(penalty spring)을 사용하는 방법이다. 이 방법은 구현하기가 쉬우며, 동해석의 경우에 시간 증분에 영향을 받지 않는 장점이 있다.
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<!-- source-page: 464 -->
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# 1-2 접촉 검색(Contact search)
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접촉해석의 과정에서 접촉이 발생할 위치를 미리 알 수 없기 때문에 접촉검색을실행하여야 한다. midas FEA는 접촉검색(contact search)을 위하여, 다음과 같은세 단계의 검색을 수행한다.
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(1) 전역검색(global search): 종속절점에 가장 가까운 주절점을 검색하는 단계이며, 해석의 효율을 위하여 버켓분류(bucket sort) 알고리즘을 사용한다.
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(2) 국부검색(local search): 주절점에 연결되어 있는 접촉면(contact surface) 중에서 종속절점과 가장 가까운 접촉면을 검색한다.
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(3) 접촉점 검색(contact search): 주접촉면 위에서 종속절점에 가장 가까운 접촉점(contact point)을 계산한다.
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# 1-2-1. 전역검색
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전역검색을 위해서는 접촉의 가능성이 있는 N 개의 절점들을 대상으로 가장 가까운 절점을 찾기 위하여, 다음 식과 같은 계산을 N −1번 실행하여야 한다.
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$$
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l ^ {2} = \left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} - z _ {j}\right) ^ {2} \tag {1.2.1}
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$$
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따라서 N N( ) −1 번 계산을 수행해야 하기 때문에 검색이 실제 해석 시간의 대부분을 차지할 수도 있다. 따라서 midas FEA에서는 효율적인 검색을 위해 버켓분류알고리즘을 사용한다.
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버켓분류 알고리즘은 절점들을 몇 개의 그룹(bucket)으로 분류하고, 가장 가까운그룹들끼리만 거리를 계산하는 방법이다. 예를 들면 1차원 해석일 경우에는 검색하여야 하는 그룹의 개수가 자신과 좌우에 인접한 그룹을 포함해서 총 3개이다. 이와 유사한 방법으로 2차원 해석의 경우 9개의 그룹, 3차원 해석의 경우 27개의 그룹을 검색하여야 한다. 그러므로 요구되는 계산량은 각각 다음과 같다.
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<!-- source-page: 465 -->
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$$
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N \left(\frac {3 N}{N B _ {x}} - 1\right), \quad N \left(\frac {9 N}{N B _ {x} \cdot N B _ {y}} - 1\right), \quad N \left(\frac {2 7 N}{N B _ {x} \cdot N B _ {y} \cdot N B _ {z}} - 1\right) \tag {1.2.2}
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$$
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여기서,
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$N B _ { x } , N B _ { y } , N B _ { z } \quad \mathrm { ~ : ~ x , ~ y ~ , ~ z ~ } \stackrel { \forall \dag } { \sim } \stackrel { \triangledown } { \cong } \ 7 \sharp \widehat { \mp }$
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# 1-2-2. 국부검색
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3차원해석에서 3차원 요소가 종속절점과 만나게 되는 접촉면은 2차원의 평면이 되며, 이 면이 주접촉면(master surface)으로 정의된다. 국부검색은 종속절점으로부터 가장 가까운 곳에 위치하는 주접촉면을 찾는 과정이다.
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<summary>text_image</summary>
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c_{i+1}
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x_{sr}
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n_s
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S
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c_i
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x_m
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Z
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Y
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X
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</details>
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그림 1.2.1 국부 검색
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국부검색을 위하여 그림 1.2.1에서와 같이 종속절점 sn 의 절점벡터 sx 와 주접촉면의 절점벡터 $\mathbf { X } _ { m }$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {x} _ {s} = \left\{x _ {s} \quad y _ {s} \quad z _ {s} \right\} ^ {T} \tag {1.2.3}
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$$
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<!-- source-page: 466 -->
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$$
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\mathbf {x} _ {m i} = \left\{x _ {m i} \quad y _ {m i} \quad z _ {m i} \right\} ^ {T} \tag {1.2.4}
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$$
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여기서, i ( ) =1,2,3,4 는 절점번호를 의미한다. 또한 주접촉면에 포함되어 있는 주절점 $n _ { { \scriptscriptstyle m } }$ 의 절점벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {x} _ {m} = \left\{x _ {m} \quad y _ {m} \quad z _ {m} \right\} ^ {T} \tag {1.2.5}
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$$
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그리고 주절점 $n _ { m }$ 에서부터 종속절점 ns 까지의 벡터 $\mathbf { X } _ { s m }$ 는 다음과 같이 계산된다.
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$$
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\mathbf {X} _ {s m} = \mathbf {X} _ {s} - \mathbf {X} _ {m} \tag {1.2.6}
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$$
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주절점과 종속절점을 연결하는 벡터 $\mathbf { x } _ { \scriptscriptstyle s m }$ 을 주접촉면 위에 투영시킨 벡터 s 는 다음 과 산정할 수 있다.
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$$
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\mathbf {s} = \mathbf {x} _ {s m} - \left(\mathbf {x} _ {s m} \cdot \mathbf {m}\right) \mathbf {m} \tag {1.2.7}
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$$
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여기서,
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$\begin{array}{c} \begin{array}{c} \mathbf { c } _ { i } , \mathbf { c } _ { i + 1 } \quad \quad : \ \overset { \triangledown } \end{ \cong } \ \begin{array} { l } { \underline { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \ \begin{array} { l } \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \ \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array}$
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$\begin{array} { r } { \textbf { m } \qquad : \mathbf { c } _ { i } , \mathbf { c } _ { i + 1 } \ 0 \nparallel \nleftrightarrow \pm \frac { \mathbf { \ell } _ { \mathbf { \hat { \mathbf { \phi } } } } | \bar { \mathbf { \phi } } _ { \mathbf { \phi } } \ y | } { \mathbf { c } _ { i } \times \mathbf { c } _ { i + 1 } } \ \frac { \mathbf { c } _ { i } \times \mathbf { c } _ { i + 1 } } { \left| \mathbf { c } _ { i } \times \mathbf { c } _ { i + 1 } \right| } } \end{array}$
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따라서 다음 식 (1.2.8)을 이용해서 주절점 $n _ { { } _ { m } }$ 주위의 주접촉면 중에서 가장 가까운주접촉면 is 를 찾을 수 있다.
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$$
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\begin{array}{l} \left(\mathbf {c} _ {i} \times \mathbf {s}\right) \cdot \left(\mathbf {c} _ {i} \times \mathbf {c} _ {i + 1}\right) > 0 \\ \left(\mathbf {c} _ {i} \times \mathbf {s}\right) \cdot \left(\mathbf {s} \times \mathbf {c} _ {i + 1}\right) > 0 \tag {1.2.8} \\ \end{array}
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$$
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# 1-2-3. 접촉점 검색
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midas FEA 에서는 주접촉면이 4절점으로 이루어진 등매개변수로 표현되는 것으로 가정하고, 접촉점 검색을 수행한다.
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<!-- source-page: 467 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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n_s
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4
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η
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∂r/∂η
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1
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∂r/∂ξ
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3
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x_m
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Y
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ξ
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Z
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2
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X
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</details>
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그림 1.2.2 접촉 점의 위치
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종속절점 $n _ { s }$ 의 절점변위 및 주접촉면 요소의 절점변위는 다음과 같이 나타낼 수있다.
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$$
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\mathbf {u} _ {s} = \left\{u _ {s} \quad v _ {s} \quad w _ {s} \right\} ^ {T} \tag {1.2.9}
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$$
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$$
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\mathbf {u} _ {m i} = \left\{u _ {m i} \quad v _ {m i} \quad w _ {m i} \right\} ^ {T} \tag {1.2.10}
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$$
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또한 주접촉면 요소 상의 임의의 점 $n _ { m }$ 에서 절점좌표는 형상함수 ( ) 1, 2,3, 4 N i i =를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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x _ {m} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {m i}, y _ {m} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} y _ {m i}, z _ {m} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} z _ {m i} \tag {1.2.11}
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$$
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||||
또한 주접촉면 요소 상의 임의의 점 $n _ { { } _ { m } }$ 에서 절점좌표는 형상함수 ( ) 1, 2,3, 4 N i i =를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {X} = \left( \begin{array}{c c c c c} \mathbf {X} _ {s} & \mathbf {X} _ {m 1} & \mathbf {X} _ {m 2} & \mathbf {X} _ {m 3} & \mathbf {X} _ {m 4} \end{array} \right) \tag {1.2.12}
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$$
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$$
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\mathbf {p} = \left( \begin{array}{c c c c c} \mathbf {u} _ {s} & \mathbf {u} _ {m 1} & \mathbf {u} _ {m 2} & \mathbf {u} _ {m 3} & \mathbf {u} _ {m 4} \end{array} \right)
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$$
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절점변위를 고려한 현재상태에서 벡터 $\mathbf { X } _ { m }$ 와 $\mathbf { X } _ { s m }$ 에 대한 변분은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {m} = \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta + \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \mathbf {I} \delta \mathbf {u} _ {m i} \tag {1.2.13}
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$$
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {s m} = \delta \mathbf {x} _ {s} - \delta \mathbf {x} _ {m} = \delta \mathbf {u} _ {s} - \left(\mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta + \sum N _ {i} \mathbf {I} \delta \mathbf {u} _ {i}\right) \tag {1.2.14}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {x} _ {m, \xi} \quad : \quad \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i, \xi} \mathbf {x} _ {m i}
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$$
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$$
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\mathbf {x} _ {m, \eta} \quad : \quad \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i, \eta} \mathbf {x} _ {m i}
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$$
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따라서 통합벡터를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {m} = \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta + \mathbf {C} \delta \mathbf {p} \tag {1.2.15}
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$$
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {s m} = \mathbf {F} \delta \mathbf {p} - \left(\mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta\right) \tag {1.2.16}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {C} \quad : \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {0} & N _ {1} \mathbf {I} & N _ {2} \mathbf {I} & N _ {3} \mathbf {I} & N _ {4} \mathbf {I} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\mathbf {F} \quad : \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {I} & - N _ {1} \mathbf {I} & - N _ {2} \mathbf {I} & - N _ {3} \mathbf {I} & - N _ {4} \mathbf {I} \end{array} \right]
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$$
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또한 $\delta \mathbf { x } _ { m }$ 의 ξ , η 에 대한 미분은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {m, \xi} = \mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \eta + \mathbf {C} _ {, \xi} \delta \mathbf {p} \tag {1.2.17}
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$$
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {m, \eta} = \mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \xi + \mathbf {C} _ {, \eta} \delta \mathbf {p} \tag {1.2.18}
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$$
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종속절점 $n _ { s }$ 로부터 최단거리에 위치하는 주접촉면의 점인 주절점 $n _ { m }$ 의 좌표 $\mathbf { X } _ { m }$
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<!-- source-page: 469 -->
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을 알고 있다면, smx 은 m,ξ x 및 m,η x 에 각각 수직이 된다. 따라서 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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a = \mathbf {x} _ {m, \xi} ^ {T} \mathbf {x} _ {s m} = 0 \tag {1.2.19}
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$$
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$$
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b = \mathbf {x} _ {m, \eta} ^ {T} \mathbf {x} _ {s m} = 0 \tag {1.2.20}
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$$
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접촉점을 찾기 위해서는 뉴턴 랩슨(Newton-Raphson)법에 따른 반복법을 사용할수 있다. 이를 위하여 변분을 구한다.
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$$
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\delta a = \mathbf {x} _ {m, \xi} ^ {T} \left[ \mathbf {F} \delta \mathbf {p} - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \eta + \mathbf {C} _ {, \xi} \delta \mathbf {p}\right) \tag {1.2.21}
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$$
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$$
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\delta b = \mathbf {x} _ {m, \eta} ^ {T} \left[ \mathbf {F} \delta \mathbf {p} - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \xi + \mathbf {C} _ {, \eta} \delta \mathbf {p}\right) \tag {1.2.22}
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$$
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반복계산에 의해서 새로운 좌표 (ξ,η) 를 찾기 위하여 δp 0 = 으로 가정하면, 변분의 결과는 다음과 같다.
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$$
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\delta a = \mathbf {x} _ {m, \xi} ^ {T} \left[ - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \eta\right) \tag {1.2.23}
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$$
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$$
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\delta b = \mathbf {x} _ {m, \eta} ^ {T} \left[ - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \xi\right) \tag {1.2.24}
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$$
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따라서 이를 벡터로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {a} = \mathbf {D} \delta \boldsymbol {\xi} \tag {1.2.25}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} \delta \mathbf {a} \quad : \left\{\delta a \quad \delta b \right\} ^ {T} \\ \mathbf {D} \quad : \left\{- \mathbf {A} ^ {T} \mathbf {A} + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \right\} \\ d \xi \quad : \left\{d \xi d \eta \right\} ^ {T} \\ \mathbf {A} \quad : \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {x} _ {m, \xi} & \mathbf {x} _ {m, \eta} \end{array} \right] \\ \end{array}
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$$
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<!-- source-page: 470 -->
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Truncated Taylor series 를 이용하여 ∆ξ 를 계산하고 (ξ,η) 를 갱신할 수 있다.
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$$
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\mathbf {a} _ {i + 1} = \mathbf {a} _ {i} + \mathbf {D} \Delta \boldsymbol {\xi} _ {i} = \mathbf {0} \tag {1.2.26}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {a} _ {i} \qquad \qquad : \quad \left\{\mathbf {X} _ {m, \xi} ^ {T} \mathbf {X} _ {s m} \quad \mathbf {X} _ {m, \eta} ^ {T} \mathbf {X} _ {s m} \right\} _ {i}
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$$
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종속절점이 주접촉면을 관통하는가를 판별하고, 관통이 발생하는 경우에는 접촉점에 접촉력(contact force)를 작용하게 한다. 이 때 적용되는 힘은 관통한 정도에비례한다. 다음 식에서 $g _ { N }$ 은 종속절점이 주접촉면을 관통하는 거리를 나타낸다.
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$$
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\mathbf {g} _ {N} = \mathbf {n} ^ {T} \mathbf {x} _ {s m} \tag {1.2.27}
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여기서,
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$$
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\mathbf {n} = \frac {\mathbf {X} _ {s m}}{\left| \mathbf {X} _ {s m} \right|} \quad : g _ {N} \text { 의 방향벡터 }
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$$
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만약 종속절점 $n _ { s }$ 가 주접촉면 ${ \cal { S } } _ { i } \equiv \equivq$ 관통했다면, 다음 식과 같은 힘을 종속절점과주접촉면 $s _ { i }$ 에 더해준다.
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$$
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\mathbf {f} _ {s} = - g _ {N} k _ {i} \mathbf {n} _ {i} \tag {1.2.28}
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$$
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여기서,
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$$
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k _ {i} = f _ {s i} \frac {K _ {i} A _ {i} ^ {2}}{V _ {i}} \quad : \text { 주접촉면 } s _ {i} \text { 의 강성 벡터 }
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$$
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$$
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K _ {i} \quad : \text { 벌크 계수(bulk modulus) }
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$$
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$$
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A _ {i} \quad : \text { 주접촉면 } s _ {i} \text { 의 면적 }
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$$
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$$
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V _ {i} \quad : \text { 부피 }
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$$
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$$
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f _ {s i} \quad : \text { 비례 계수(기본값은 } 0. 1 \text { 이다.) }
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$$
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@@ -0,0 +1,152 @@
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종속절점에는 위 식 (1.2.28)을 바로 더할 수 있으나, 주접촉면에서는 식 (1.2.29)와같이 접촉력을 산정한다.
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$$
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\mathbf {f} _ {m} ^ {i} = N _ {i} (\xi , \eta) \mathbf {f} _ {s} \tag {1.2.29}
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$$
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여기서,
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i =1,2,3,4 : 주접촉면의 절점번호
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# 1-3 기능 및 결과
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# 1-3-1. 기능
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midas FEA는 면과 면의 접합접촉(symmetric weld contact) 및 일반접촉(symmetric general contact) 기능을 제공한다. 다만, midas FEA는 주접속면과종속 접촉면이 같은 경우, 즉 캔이 찌그러지 듯이 물체가 자기자신과 접촉하는 해석은 현재 지원을 하지 않는다.
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사용자는 접촉 기능을 사용하기 위해서는 주접촉면/종속접촉면을 정의해야 하며,이때 두 면이 서로 마주보게 정의해야 한다. 또한 각 주접촉면과 종속접촉면의 강성 스케일 계수(stiffness scale factor)와 만약 마찰을 고려한다면 선형 마찰 계수(static friction coefficient)를 정의해야 한다. 앞 절에서 설명한 바와 같이 midasFEA는 벌칙 스프링을 이용한 벌칙 기법을 사용하며, 이 스프링에 해당하는 강성을자동으로 계산한다. 접촉면의 강성 스케일 계수(stiffness scale factor)는 계산되는 강성의 곱해지는 계수이며, 이 값을 변화시키면 결과가 얼마간 변할 수 있다.
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만약 사용자가 정의한 주접촉면/종속접촉면이 해석 전부터 서로 관통하고 있는 경우에는 midas FEA는 자동으로 종속접촉면의 절점들을 관통한 깊이만큼 움직여서관통하지 않은 상태로 만든다.
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일반적으로 접촉 해석기능은 비선행 해석에서 사용해야 하나 접합 접촉 기능의 경우 선형 시공단계에서도 사용이 가능하다.
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접합 접촉(symmetric weld contact)
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이 기능은 주접촉면/종속접촉면이 초기부터 붙어 있는 경우에 사용하며, 해석이진행되는 동안에 두 면이 분리되는 것을 허용하지 않는다. 특히 두 면이 붙어있으나 주/종속의 절점들이 서로 일치하지 않는 경우에 이 기능을 사용하는 것이 유용하다. 이 방법은 요소가 조밀한 쪽 혹은 상대적으로 강성이 작은 쪽을 종속절점으로 설정하고, 그렇지 않은 쪽을 주절점으로 설정하여야 한다. 주절점/종속절점의
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설정을 반대로 하면 주접촉면이 종속면을 관통할 수 있다.
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일반접촉(symmetric general contact)
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접촉 해석은 면과 면(surface to surface)이 일반적인 접촉을 할 경우에 사용하는기능이다. 두 면이 해석 전에 붙어있거나, 해석 중에 두 면이 접촉과 분리를 반복해도 해석이 가능하다.
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# 1-3-2. 결과
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midas FEA는 종속접촉면에서 전체 좌표계에 대한 접촉력을 출력한다.
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Part 7 Contact Analysis
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 8 Fatigue Analysis
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# Chapter 1. Fatigue Analysis
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# Chapter 1. Fatigue Analysis
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# 1-1 개요
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피로파괴는 부재의 항복강도 보다 낮은 하중이 반복하여 작용할 때 부재가 파괴되는 현상을 의미한다. 피로해석을 수행하는 방법에는 응력 기반의 응력-수명(stress-life) 방법과 변형률 기반의 변형률-수명(strain-life) 방법이 있다. 본 매뉴얼에서는 S-N선도를 이용하는 응력-수명 방법에 대하여 정리하였다.
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S-N선도는 구조물에 일정 진폭(constant amplitude)의 반복하중(reverseloading)이 작용할 때, 발생하는 응력진폭(stress amplitude, S)과 해당 진폭응력이 반복될 때 파괴에 이르게 하는 반복 회수(cycle to failure, N)의 관계를 나타낸곡선이다.
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피로해석을 위해서는 먼저 구조물에 대한 정적해석을 수행 한 후, 절점응력을 구한다. 이때 응력으로는 von Mises 응력 혹은 주응력의 최대값(principal stress)이사용될 수 있다. 구해진 절점응력을 사용해 응력진폭(stress amplitude)을 구한다.그리고 이를 S-N선도에 적용하면 피로파괴가 일어나기 까지 소요되는 하중의 반복 횟수 또는 손상도(damage)를 알 수가 있게 된다.
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모든 구조물은 구조물 고유의 S-N선도를 가지고 있으나, 모든 구조물에 대해서피로시험을 할 수 없다. 이 경우에는 표준 단축 피로시험을 통하여 얻어진 S-N선도에 수정계수를 적용한 수정 S-N선도를 사용할 수 있다. 또한 일반적으로 구조물에는 가변진폭(variable amplitude)의 반복하중이 작용하게 된다. 이 경우에 S-N선도를 이용하기 위해서는 레인플로집계(Rainflow-counting)기법을 사용한다. 레인플로집계는 가변진폭의 반복응력으로부터 단위 진폭의 응력과 그 횟수를 추출하여 S-N선도 에 적용하는 방법이다.
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# 1-2 반복하중
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그림 1.2.1과 같이 일정 진폭의 응력이 규칙적으로 작용하는 경우 응력진폭(stressamplitude, σ a )과 평균응력(mean stress, $\sigma _ { m }$ )은 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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\sigma_ {a} = \frac {\sigma_ {\max} - \sigma_ {\min}}{2} \tag {1.2.1}
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$$
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$$
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\sigma_ {m} = \frac {\sigma_ {\max} + \sigma_ {\min}}{2} \tag {1.2.2}
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$$
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<details>
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<summary>line</summary>
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| t | stress |
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|-------|--------|
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| 0 | 0 |
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| t_max | 0.5 |
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| t_min | 0.1 |
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| t_max | 0.5 |
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| t_min | 0.1 |
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| t_max | 0.5 |
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</details>
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그림 1.2.1 응력진폭과 평균응력
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응력-수명 방법에서는 평균응력이 영인 상태로 일정 진폭의 응력이 규칙적으로 반복되는 경우에 대하여 그림 1.2.2와 같은 S-N선도를 사용한다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Cycle to failure (Log N) | σₐ | Label |
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| ------------------------ | ------ | --------------- |
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| Endurance limit | Sₑ | Se |
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| Endurance limit | Sₙ | Miner |
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| Endurance limit | Sₙ | Haibach |
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| Endurance limit | Sₙ | modified Miner |
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</details>
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그림 1.2.2 S-N선도
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그림 1.2.2에서 Su 와 Se 는 최대진폭응력과 피로한계 진폭응력을 각각 의미한다.그림에서 Miner의 S-N선도는 피로한계(endurance limit) 이하의 반복응력은 피로수명에 영향을 미치지 않음을 보이고 있다. 그리고 수정 Miner선도는 피로한계 이하의 응력도 누적되면 피로파괴가 일어난다는 피로손상의 누적을 가정한 관계이다.그러나 반복하중 1000사이클 이하에서 피로파괴가 일어나는 피로해석에는 응력-수명 기반의 피로해석 방법을 사용할 수 없다. midas FEA에서는 Miner의 S-N선도를 사용하고 있다. 피로해석을 위한 물성치를 입력하면 S-N선도를 프로그램에서 자동적으로 생성하며 최대진폭응력( Su )의 90%에 해당하는 크기의 응력이1000회 반복되는 점과 피로한계진폭응력( S S e u= 0.5 )가 한계반복(cycles atendurance)횟수만큼 반복되는 점과 연결되고 진폭응력의 비가 유지되는 꺽인 직선의 형태를 가지고 있음을 알 수 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Life to failure (Log N) | Se/Su |
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| ----------------------- | ----- |
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| 3 | 0.9 |
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| 6 | 0.5 |
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</details>
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그림 1.2.3 기본적인 S-N선도의 형상
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그림 1.2.3과 같은 S-N선도에서 직선의 기울기를 b라고 하면, 특정 응력진폭 S가반복하여 작용할 때 피로파괴에 이르게 하는 응력의 반복 횟수 N을 다음과 같이계산 할 수 있다.
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$$
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b = - \frac {\left(\log S - \log S _ {e}\right)}{\log N _ {e} - \log N} \tag {1.2.3}
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$$
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$$
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||||
N = N _ {e} \left(\frac {S}{S _ {e}}\right) ^ {\frac {1}{b}} \tag {1.2.4}
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$$
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응력-수명 방법의 장점 및 단점은 다음과 같다.
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- 비교적 간단한 알고리즘을 통해 피로해석을 수행할 수 있다.
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- 계산이 간단하고 해석시간이 짧다.
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- 진응력-변형률을 무시하고 모든 변형률을 탄성적으로 다루기 때문에 소성변형률이 큰 경우에 유효하지 않다.
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- 긴 수명의 작은 주기적 소성변형률 성분을 갖는 경우에만 유효하다.
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@@ -0,0 +1,302 @@
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<!-- source-page: 481 -->
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# 1-3 평균응력의 영향
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구조물에 가해지는 응력진폭 $\sigma _ { a }$ 가 동일하여도 그림 1.3.1과 같이 평균응력 $\sigma _ { m }$ 이다르면 피로수명도 달라진다. 평균응력 $\sigma _ { m }$ 이 증가할수록 최대응력 $S _ { u }$ 와 피로한계응력 $S _ { e }$ 가 작아지며, 이러한 관계는 Haigh에 의해서 최초로 얻어졌다. 그림1.3.1 왼쪽 그림은 동일한 응력진폭에서 평균응력과 최대응력의 관계를 그래프로나타내고 있으며, 오른쪽 그림은 최대응력계수와 피로한계계수에 대한 평균응력의영향을 나타낸다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| N | σₐ (σₘ = 0) | σₐ (σₘ +) |
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| ------- | ----------- | --------- |
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| 10² | ~1.5 | ~1.0 |
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| 10⁴ | ~0.8 | ~0.5 |
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| 10⁶ | ~0.4 | ~0.2 |
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| 10⁸ | ~0.2 | ~0.1 |
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σa
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Su
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N = 1
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N+
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Se
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0
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Su
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σm
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</details>
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그림 1.3.1 평균응력의 영향
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평균응력의 영향을 고려하기 위해서 Goodman과 Gerber는 그림 1.3.2로 표현되는다음과 같은 수식을 각각 제안하였다.
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$$
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||||
\text { Goodman(England,1899) } \quad \frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \frac {\sigma_ {m}}{S _ {u}} = 1 \tag {1.3.1}
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$$
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$$
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||||
\text { Gerber (Germany, 1874) } \quad \frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \left(\frac {\sigma_ {m}}{S _ {u}}\right) ^ {2} = 1 \tag {1.3.2}
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$$
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<!-- source-page: 482 -->
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Stress Component | Stress Value |
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| ---------------- | ------------ |
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| σₐ | Sₑ |
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| σₐ | Sᵤ |
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</details>
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그림 1.3.2 응력진폭과 평균응력의 관계
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예를 들어 $\sigma _ { \operatorname* { m a x } } = 7 5 8 . 4 2 \mathrm { M P a }$ , $\sigma _ { \mathrm { { m i n } } } = 6 8 . 9 5 \mathrm { { M P a } }$ , $S _ { u } = 1 0 3 4 . 2 1 \mathrm { M P a }$ 인 경우$\sigma _ { a } = 3 4 4 . 7 4 \mathrm { M P a }$ 이고, $\sigma _ { m } = 4 1 3 . 6 9 \mathrm { M P a } 0 | \boldsymbol { \Xi } \boldsymbol { \Xi }$ , Goodman의 식을 이용면$S _ { e } = 5 7 4 . 5 7 \mathrm { { M P a } }$ 임을 알 수 있다. 여기서 Se 는 평균응력을 고려하여 수정 된 값이라는 것에 주의하여야 한다.
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<!-- source-page: 483 -->
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# 1-4 수정계수
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일반적으로 S-N선도는 표준 시험체를 대상으로 이상적인 반복 굽힘 하중(fullyreversed bending)에서 시험을 통하여 얻어낸다. 이 때 피로한도(endurancelimit)를 S′ 라고 하면, 실제 상황의 S 값은 수정을 통해서 얻어져야 한다. 강재의경우 실험에 의해서 근사적인 관계가 규명되어 있으므로, 간단한 수정을 통해 실제 상황에 적합한 S-N선도를 얻을 수 있다. 이 때 고려할 수 있는 요소는 다음과같다.
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- 부재 크기 및 형상(component size and shape)
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- 하중의 종류(loading type)
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- 표면마무리(surface finish)
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- 표면처리(surface treatment)
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- 온도(temperature)
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- 환경(environment)
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수정계수를 사용하여 실제 피로한도를 구하면 다음과 같다.
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$$
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S _ {e} = S _ {e} ^ {\prime} C _ {s i z e} C _ {s u r} \dots \tag {1.4.1}
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$$
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피로강도 감소계수는 다음과 같이 정의된다.
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$$
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K _ {f} = \frac {1}{\left(C _ {\text { size }} C _ {\text { load }} C _ {\text { sur }} \dots\right)} \tag {1.4.2}
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$$
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수정계수는 보통 피로한계를 정하는 데 영향을 주며, S-N선도의 나머지 부분에대해서는 명확하게 정의가 되어있지 않다. 수정계수는 하중에 대한 보다 정확한안전율을 반영하기 위하여 사용된다. 즉 하중에 의한 효과는 6 10 사이클 에서의 피로한계에 영향을 주고, 때로는 1000사이클에서의 피로강도에도 영향을 줄 수 있다.이 경우 S-N선도는 그림 1.4.1과 같이 수정 될 수 있다.
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<!-- source-page: 484 -->
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Life to failure (Log N) | Stress Amplitude |
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| ---------------------- | ---------------- |
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| N₁₀₀₀ | S₁₀₀₀ = 0.9 Sᵤ |
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| Nₑ | Sₑ' |
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| Nₑ | Sₑ (modified - endurance limit) |
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</details>
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그림 1.4.1 수정계수가 S-N선도에 미치는 영향
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# 1-4-1 부재크기 및 형상
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피로 시험에서 다양한 직경을 사용한 경우 재료의 피로한도는 다음과 같은 식에의해서 수정이 된다.
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$$
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C _ {s i z e} = 1. 0 (d \leq 8 m m) \tag {1.4.3}
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$$
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$$
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||||
C _ {s i z e} = 1. 1 8 9 d ^ {- 0. 0 9 7} (8 m m \leq d \leq 2 5 0 m m) \tag {1.4.4}
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$$
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시험편의 단면이 원형이 아니고 각이 진 사각형과 같은 모양의 경우, 등가직경$d _ { e q }$ 는 다음과 같은 식이 계산된다.
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$$
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d _ {e q} ^ {2} = 0. 6 5 w t \tag {1.4.5}
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$$
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여기서,
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w : 사각형 시험편의 너비
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t : 사각형 시험편의 두께
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# 1-4-2 하중의 종류
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피로해석의 데이터는 시험편에 대한 반복 굽힘 하중 및 축하중 시험으로부터 얻어진다. 피로시험 데이터를 다른 하중에 의한 피로시험과 연계시킬 때 하중형태에대한 수정계수를 사용할 수 있다. 하중에 의한 영향은 $S _ { 1 0 0 0 }$ 값과 Se 값을 변화시킬 수 있다. $S _ { 1 0 0 0 }$ 의 하중 종류에 대한 수정계수는 다음과 같다.
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표 1.4.1 하중종류에 대한 $S _ { 1 0 0 0 }$ 의 수정계수
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<table><tr><td>Measured Loading</td><td>Target Loading</td><td> $C_{load}$ </td></tr><tr><td>Axial to</td><td>Bending</td><td>1.25</td></tr><tr><td>Axial to</td><td>Torsion</td><td>0.725</td></tr><tr><td>Bending to</td><td>Torsion</td><td>0.58</td></tr><tr><td>Bending to</td><td>Axial</td><td>0.8</td></tr><tr><td>Torsion to</td><td>Axial</td><td>1.38</td></tr><tr><td>Torsion to</td><td>Bending</td><td>1.72</td></tr></table>
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1000 사이클에서의 $S _ { e }$ 의 하중종류에 대한 수정계수는 다음과 같다.
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표 1.4.2 하중종류에 대한 S 의 수정계수
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<table><tr><td>Measured Loading</td><td>Target Loading</td><td> $C_{load}$ </td></tr><tr><td>Axial to</td><td>Torsion</td><td>0.82</td></tr><tr><td>Bending to</td><td>Torsion</td><td>0.82</td></tr><tr><td>Torsion to</td><td>Axial</td><td>1.22</td></tr><tr><td>Torsion to</td><td>Bending</td><td>1.22</td></tr></table>
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# 1-4-3 표면마무리
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재료 표면 위의 자국, 홈, 기계 가공흔적들은 부재의 기하학적 특성으로 이미 존재하고 있는 응력에 응력집중을 부가시킨다. 고강도강과 같은 균일하며 미세한 결정립으로 구성된 재료는 주철과 같이 조대화된 결정립으로 된 재료보다 거친 표면마무리에 의하여 더 큰 영향을 받는다. 연마(polished), 단조(Forged)와 같은 영향을포함하고 있다.
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다음은 표면의 마무리에 관한 그래프이다. 평균제곱근( $R _ { A }$ , the root meansquare), 산술평균(AA, arithmetic average)와 같은 정량적인 표면 마무리를 나타낸다. 기계적 가공으로 인한 표면마무리는 기계가공 및 제조편람에서 찾을 수 있다. 일반적인 강재의 표면 마무리와 $C _ { s u r }$ (surface factor), Su (tensile Strength)의관계는 그림 1.4.2와 같이 나타난다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| [Tensile Strength, Su (ksi)] | Surface Factor (μin.) |
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| ---------------------------- | --------------------- |
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| 40 | 1.0 |
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| 60 | 0.95 |
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| 80 | 0.9 |
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| 100 | 0.85 |
|
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| 120 | 0.8 |
|
||||
| 140 | 0.75 |
|
||||
| 160 | 0.7 |
|
||||
| 180 | 0.65 |
|
||||
| 200 | 0.6 |
|
||||
| 220 | 0.55 |
|
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| 240 | 0.5 |
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</details>
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그림 1.4.2 표면마무리의 영향
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표면마무리는 고강도 강일수록 더 중요하다. 국부적인 표면의 불규칙성은 응력집중 요소로 작용하기 때문에 피로해석에 나쁜 영향을 미친다.
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# 1-4-4 표면처리
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여러가지 형상작업으로 인한 표면마무리의 영향 이외에 표면처리 또한 피로수명에영향을 미친다. 표면처리로는 크게 기계적(mechanical)처리, 열(thermal)처리, 도
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<!-- source-page: 487 -->
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금(plating)처리 등이 있으며 표면의 잔류응력을 발생시킬 수 있다. 잔류응력이 존재하는 경우 외력에 의한 변형이 일어날 때 잔류응력이 표면의 인장응력에 영향을미치게 되어 피로수명에 영향을 준다.
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# 기계가공 (mechanical treatment)
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잔류응력이 발생하게 하는 대표적인 표면처리가 냉간압연과 쇼트 피닝(shotpeening)이다. 표면처리에 의해 표면에 가해진 하중으로 표면에 압축잔류응력이발생하여 피로수명이 더 나아지는 결과를 가져온다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ_max
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Tension
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M_B
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Compression
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-σ_max
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M_B
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</details>
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(a) 굽힘에 의한 응력
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ_R
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σ_R
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</details>
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(b) 소성변형에 의한 잔류응력
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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M_B
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σ_max -σ_R
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-σ_max +σ_R
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M_B
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(c) 잔류응력에 의한 최종응력
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그림 1.4.3 기계가공에 의한 영향
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그림 1.4.3은 상단 표면의 휨 응력 값이 감소하는 것을 보여준다. 압연도 같은 효
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과를 낼 수 있으므로 냉간압연으로 만들어진 볼트는 피로의 저항능력이 더 강하다.냉간 압연이나 쇼트 피닝(short peening)이 피로수명에 영향을 주는 것은 피로수명이 장수명일 때이며, 단수명일 경우에는 큰 영향을 주지 못한다. 피닝에 의한 수정계수는 1.5-2.0 사이의 적절한 값을 사용한다.
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# 도금 (plating treatment)
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크롬이나 니켈과 같은 재료로 도금을 하는 것은 피로한계를 향상시킨다. 기계가공처리한 후 도금을 하게 되면, 표면의 압축잔류응력을 감소시켜서 피로에 의한 저항력을 약하게 할 수 있다.
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# 열 (thermal treatment)
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열간 압연과 단조는 표면에 탈탄작용(decarbonization)을 일으킨다. 재료 표면에서 탄소 원자의 손실은 낮은 강도를 갖게 하고, 인장잔류응력을 생성할 수 있기 때문에 피로강도에 불리하게 작용한다. 용접, 연삭 그리고 화염절단과 같은 제조과정은 인장잔류응력을 생성시킬 수 있어 피로한계에 나쁜 영향을 미친다.
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# 1-4-5 온도
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강재의 피로한계는 낮은 온도에서 증가하는 경향이 있다. 고온에서는 강재의 피로한도가 전위의 이동으로 인하여 나타나지 않는다. 또한 재료융점의 약 절반을 넘는 온도에서 크리이프(creep)가 중요하게 된다. 따라서 이 범위에서는 응력기반의피로수명방법이 더 이상 적용되지 않는다. 고온에서는 풀림(annealing)에 의해 압축잔류응력에 의한 이점이 제거될 수도 있다는 점이 중요하다.
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# 1-4-6 환경
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부식환경에서 피로하중이 작용할 때에는 피로와 부식이 각각 작용된 경우보다 더해로운 결과를 나타낸다. 부식-피로(corrosion-fatigue)라 불리는 피로와 부식의
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상호작용은 매우 복잡한 파괴기구를 나타낸다. 이 연구는 아직 단순 연구단계에머무르고 있으며 정량적인 자료나 유용한 이론적 방법은 매우 적다.
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# 1-5 레인플로집계
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S-N선도는 일정진폭(constant amplitude)의 반복응력이 작용할 때 피로파괴에 이르게 하는 반복응력의 횟수를 나타내는 선도다. 그러나 실제의 경우 응력은 가변진폭(variable amplitude)의 특성을 보인다.
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가변진폭응력 때의 피로손상을 정의하기 위해서는 가변진폭응력을 여러 개의 일정진폭응력의 조합으로 바꾸어 S-N선도를 적용할 수 있다.
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midas FEA에서는 사이클 집계를 위해서 레인플로집계 방법을 사용한다. 레인플로집계 방법에서는 먼저 다음과 같이 국부적인 최대최소 점을 읽어 들인다.
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$$
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A (i - 1) \leq A (i + 1) \leq A (i) \leq A (i + 2) \tag {1.5.1}
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$$
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$$
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A (i - 1) \geq A (i + 1) \geq A (i) \geq A (i + 2) \tag {1.5.2}
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$$
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그리고 한 주기의 사이클을 계산하여 진폭을 S 라하며, 한 사이클씩 한 주기를 가지는 진폭들을 모두 집계한다. 식 (1.5.1)은 그림 1.5.1의 왼쪽 그림과 같은 형태를가지며, 식 (1.5.2)는 그림 1.5.1의 오른쪽 그림과 같은 형태를 가진다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | t | σ |
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|---------|------|------|
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| A(i-1) | 0 | 0 |
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| A(i) | 1 | 1 |
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| A(i+1) | 1 | 0 |
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| A(i+2) | 2 | 1 |
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</details>
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | t | σ |
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|-------|------|------|
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| A(i) | 0 | 0 |
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| A(i-1)| 0 | 1 |
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| A(i+1)| 1 | 0 |
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| A(i+2)| 2 | 0 |
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</details>
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그림 1.5.1 한 주기의 사이클과 응력진폭
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@@ -0,0 +1,284 @@
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그 다음에는 레인플로집계를 수행하여 최종적으로 점감하거나 점증하는 그림 1.5.2와 같은 로드 사이클을 그린다. 이 때 각각의 S , S , S 은 한 사이클의 주기로본다. 이렇게 얻어진 단위 응력 진폭들에 Miner 법을 적용하면, 피로의 축적에 의한 손상을 고려하는 손상도를 얻을 수 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| t | S1 | S2 | S3 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 1 | 1 | 1 | 0 |
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| 2 | 0 | 0 | 1 |
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||||
| 3 | 1 | 1 | 0 |
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| 4 | 0 | 0 | 1 |
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| 5 | 1 | 1 | 0 |
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| 6 | 0 | 0 | 1 |
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| 7 | 1 | 1 | 0 |
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| 8 | 0 | 0 | 1 |
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| 9 | 1 | 1 | 0 |
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| 10 | 0 | 0 | 1 |
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| 11 | 1 | 1 | 0 |
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| 12 | 0 | 0 | 1 |
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| 13 | 1 | 1 | 0 |
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| 14 | 0 | 0 | 1 |
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| 15 | 1 | 1 | 0 |
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| 16 | 0 | 0 | 1 |
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| 17 | 1 | 1 | 0 |
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| 18 | 0 | 0 | 1 |
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| 19 | 1 | 1 | 0 |
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| 20 | 0 | 0 | 1 |
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| 21 | 1 | 1 | 0 |
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| 22 | 0 | 0 | 1 |
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| 23 | 1 | 1 | 0 |
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| 24 | 0 | 0 | 1 |
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| 25 | 1 | 1 | 0 |
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| 26 | 0 | 0 | 1 |
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| 27 | 1 | 1 | 0 |
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| 28 | 0 | 0 | 1 |
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| 29 | 1 | 1 | 0 |
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| 30 | 0 | 0 | 1 |
|
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| 31 | 1 | 1 | 0 |
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| 32 | 0 | 0 | 1 |
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| 33 | 1 | 1 | 0 |
|
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| 34 | 0 | 0 | 1 |
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| 35 | 1 | 1 | 0 |
|
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| 36 | 0 | 0 | 1 |
|
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| 37 | 1 | 1 | 0 |
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| 38 | 0 | 0 | 1 |
|
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| 39 | 1 | 1 | 0 |
|
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| 40 | 0 | 0 | 1 |
|
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| 41 | 1 | 1 | 0 |
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| 42 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 43 | 1 | 1 | 0 |
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| 44 | 0 | 0 | 1 |
|
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| 45 | 1 | 1 | 0 |
|
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| 46 | 0 | 0 | 1 |
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| 47 | 1 | 1 | 0 |
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||||
| 48 | 0 | 0 | 1 |
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||||
| 49 | 1 | 1 | 0 |
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| 50 | 0 | 0 | 1 |
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| 51 | 1 | 1 | 0 |
|
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| 52 | 0 | 0 | 1 |
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| 53 | 1 | 1 | 0 |
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| 54 | 0 | 0 | 1 |
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| 55 | 1 | 1 | 0 |
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| 56 | 0 | 0 | 1 |
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| 57 | 1 | 1 | 0 |
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| 58 | 0 | 0 | 1 |
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||||
| 59 | 1 | 1 | 0 |
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||||
| 60 | 0 | 0 | 1 |
|
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| 61 | 1 | 1 | 0 |
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||||
| 62 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 63 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 64 | 0 | 0 | 1 |
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||||
| 65 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 66 | 0 | 0 | 1 |
|
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| 67 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 68 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 69 | 1 | 1 | 0 |
|
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| 70 | 0 | 0 | 1 |
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| 71 | 1 | 1 | 0 |
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||||
| 72 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 73 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 74 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 75 | 1 | 1 | 0 |
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||||
| 76 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 77 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 78 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 79 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 80 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 81 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 82 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 83 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 84 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 85 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 86 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 87 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 88 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 89 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 90 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 91 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 92 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 93 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 94 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 95 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 96 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 97 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 98 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 99 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 100 | 0 | 0 | 1 |
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</details>
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||||
그림 1.5.2 반복하중의 응력진폭집계
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그림 1.5.3과 같이 응력스펙트럼(stress spectrum)으로 정리할 수 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| S1 | S2 | S3 |
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|----|----|----|
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| n1 | n2 | n3 |
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| n2 | n3 | n3 |
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| n3 | n3 | n3 |
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</details>
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그림 1.5.3 반복하중의 응력진폭집계 스펙트럼
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그리고 i 번째 반복하중에서 손상도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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<!-- source-page: 492 -->
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$$
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D _ {i} = \frac {n _ {i}}{N _ {i}} \tag {1.5.3}
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$$
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여기서,
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in : 해당 응력진폭의 반복횟수
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Ni : 피로파괴까지의 반복횟수
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손상의 최종 합을 수식으로 정리하면 다음과 같다.
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$$
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||||
D _ {t o t a l} = \sum_ {i = 1} ^ {n} D _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {n _ {i}}{N _ {i}} \tag {1.5.4}
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$$
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<!-- source-page: 493 -->
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# 1-6 피로해석의 단계
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midas FEA 에서는 다음과 같은 순서로 피로해석을 수행한다.
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1. 탄성 응력 데이터를 해석결과로부터 읽어 들인다.
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2. 불리한 하중조건 하에서의 절점응력의 절대값을 얻어낸다.
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3. 응력 집중계수를 사용하여 탄성 응력을 스케일링한다.
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4. 하중의 시간이력그래프를 레인플로집계로 분석해 낸다.
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5. 수정계수를 사용해서 S-N선도의 응력진폭 값을 수정한다.
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6. 평균응력의 영향을 고려해서 손상정도를 계산한다.
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7. Miner 법을 사용하여 손상정도를 선형 합산한다.
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8. 모든 절점에서의 피로수명이나 안전계수를 구한다.
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<!-- source-page: 494 -->
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||||
Part 8 Fatigue Analysis
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Blank white image with no visible content, text, or symbols
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</details>
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 9 CFD(Computational Fluid Dynamic) Analysis
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Chapter 1. CFD Analysis
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# Chapter 1. CFD Analysis
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# 1-1 개요
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전산유체역학(Computational Fluid Dynamics : CFD) 해석은 전산해석 기법을 유체역학에 적용하여 유체의 흐름을 파악하고, 구조물이 바람의 영향을 크게 받는경우 유체에 의한 하중을 예측하는 것이다. 토목구조물의 내풍 안정성 해석에서는주로 설계기준에 근거한 풍하중을 산정하여 반영하고 있으나, 전산유체해석을 통하여 풍하중의 상세한 분포 또는 설계 변경에 의한 풍하중의 변화 등을 예측할 수있다. 특히 교량과 같이 대체로 일정한 단면을 갖는 경우에는 2차원 해석을 통하여 충분한 유동의 정보를 계산할 수 있다.
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midas FEA는 구조화된(structured) 격자에서 2차원 유동을 해석할 수 있다. 2차원 압축성 점성유동을 기본으로 한 Navier-Stokes 방정식으로부터 Favre 평균을취한 RANS(Reynolds averaged Navier-Stokes) 방정식을 계산하며, 이때 사용하는 Favre 평균은 밀도가중(density weighted) 평균이다. 또한 2-방정식 난류모델을 적용할 수 있으며, 정상상태(steady state)와 비정상(unsteady) 상태에 대한 해석을 모두 수행할 수 있다. 전산유체기법으로는 밀도기반(density based) 시간전진법과 유한체적법(finite volume method)을 이용한 공간이산화를 수행한다.
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midas FEA에서 사용할 수 있는 전산유체해석의 경계조건, 난류모델 및 선택사항은 다음과 같다.
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<table><tr><td rowspan="3">경계조건</td><td>원방(far-field) 경계조건</td></tr><tr><td>벽면(solid wall) 경계조건</td></tr><tr><td>대칭(symmetric) 경계조건</td></tr><tr><td rowspan="3">난류모델</td><td> $q - \omega$ 모델 : 벽면함수(wall function) 사용가능</td></tr><tr><td> $k - \omega$ SST(Shear Stress Transport) 모델</td></tr><tr><td> $k - \omega$ BSL(Base Line) 모델</td></tr></table>
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# 1-2 RANS 방정식과 난류모델
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난류 압축성 유동의 지배 방정식인 RANS 방정식과 난류모델은 다음과 같이 하나의 식으로 표현할 수 있다.
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$$
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\frac {\partial \mathbf {W}}{\partial t} + \frac {\partial \mathbf {E}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F}}{\partial y} = \frac {\partial \mathbf {E} _ {v}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F} _ {v}}{\partial y} + \mathbf {S} \tag {1.2.1}
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$$
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여기서,
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W : 보존형 유동변수벡터 $\left\{ \rho , \rho u , \rho \nu , e , \rho s _ { 1 } , \rho s _ { 2 } \right\} ^ { T }$
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E 와 F 는 각각 x 방향과 y 방향 비점성(inviscid) 유량(flux) 벡터, $\mathbf { E } _ { \nu }$ 와 $\mathbf { F } _ { \nu } \equiv$ 점성유량벡터이다.
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$$
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||||
\mathbf {E} = \left\{\rho u, \rho u ^ {2} + p, \rho u v, (e + p) u, \rho u s _ {1}, \rho u s _ {2} \right\} ^ {T} \tag {1.2.2}
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$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
\mathbf {F} = \left\{\rho v, \rho u v, \rho v ^ {2} + p, (e + p) v, \rho v s _ {1}, \rho v s _ {2} \right\} ^ {T} \tag {1.2.3}
|
||||
$$
|
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||||
$$
|
||||
\mathbf {E} _ {v} = \left\{0, \tau_ {x x}, \tau_ {x y}, \Omega_ {x}, (\mu_ {m} + \sigma_ {S 1} \mu_ {t}) \frac {\partial s _ {1}}{\partial x}, (\mu_ {m} + \sigma_ {S 2} \mu_ {t}) \frac {\partial s _ {2}}{\partial x} \right\} ^ {T} \tag {1.2.4}
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$$
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||||
|
||||
$$
|
||||
\mathbf {F} _ {v} = \left\{0, \tau_ {y x}, \tau_ {y y}, \Omega_ {y}, \left(\mu_ {m} + \sigma_ {S 1} \mu_ {t}\right) \frac {\partial s _ {1}}{\partial y}, \left(\mu_ {m} + \sigma_ {S 2} \mu_ {t}\right) \frac {\partial s _ {2}}{\partial y} \right\} ^ {T} \tag {1.2.5}
|
||||
$$
|
||||
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||||
여기서,
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$\rho$ ：
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$p$ : 압력
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$e$ e : 총 에너지
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$\tau _ { i j } , \Omega _ { i }$ : 점성응력, 총 에너지유량
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||||
$\mu _ { m } , \mu _ { t }$ ：，
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1s 과 2s 는 2-방정식 난류모델 방정식의 변수이며 난류모델에 따라 그 정의가 달라진다. S 는 난류모델의 원천항(source term)이며 역시 난류모델에 따라 그 정의가 다르다.
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||||
midas FEA에서 사용할 수 있는 난류모델로는 앞서 설명한 바와 같이 Coakley1 의q − ω 모델과 Menter 2 의 k − ω BSL/SST 모델이 있다. q − ω 모델은 난류속도(turbulent velocity) 스케일 q 와 특성 소산율(specific dissipation rate) ω 에 관한 이동방정식을 이용하여 난류점성계수를 예측한다. 여기에서 ω 는 난류운동에너지(turbulence kinetic energy) k , 난류소산율(turbulent dissipation rate) ε 과다음과 같은 관계를 가진다.
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$$
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||||
s _ {1} = q = \sqrt {k}, s _ {2} = \omega = \frac {\varepsilon}{k} \tag {1.2.6}
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$$
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Menter에 의해 개발된 k − ω BSL/SST 모델은 k − ε 모델과 과 k − ω모델의 장점을 결합한 혼합모델이다. 이 모델은 벽면 근처에서 k −ω모델을 사용하고 k −ε 모델을 그 밖의 영역에서 사용하는 난류모델이다. k −ω BSL/SST 모델의 변수는 다음과 같다.
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$$
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s _ {1} = k, s _ {2} = \omega = \frac {\varepsilon}{k} \tag {1.2.7}
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$$
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k − ω BSL 모델은 k − ω 모델과 유사한 특성을 보이지만 자유류(free stream)에대한 영향이 작으며, k −ω SST 모델은 난류전단응력의 전달을 포함하고 있어 역압력구배(adverse pressure gradient)에서 탁월한 성능을 보인다.
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난류 압축성 방정식인 식 (1.2.1)은 낮은 속도의 유동에 대해 해석할 경우 수치적인문제점으로 인하여 수렴된 해를 얻기 힘든 것으로 알려져 있다. 이러한 문제점을해결할 수 있는 방법으로 국소 예조건화 기법(local preconditioning method)이있다. 국소 예조건화 기법은 식 (1.2.1)의 시간항을 원시형변수(primitive variable)
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<!-- source-page: 500 -->
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와 예조건화 행렬의 곱으로 표현하여 수렴의 경직성을 해결하는 방법이며 midasFEA에서는 Weiss와 Smith3 의 기법을 적용하였다. 국소 예조건화된 방정식은 다음과 같다.
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$$
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\Gamma \frac {\partial \mathbf {Q}}{\partial t} + \frac {\partial \mathbf {E}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F}}{\partial y} = \frac {\partial \mathbf {E} _ {v}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F} _ {v}}{\partial y} + \mathbf {S} \tag {1.2.8}
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$$
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여기서,
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Q : 원시형변수벡터 { } 1 2, , , , , Tp u v T s s
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Γ : 예조건화행렬
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식 (1.2.8)은 정상해의 경우 수렴하면 ∂Q 0 / ∂ =t 이므로 정상해에 대한 예조건화행렬의 영향이 없다.
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midas FEA에서는 RANS 방정식과 난류방정식을 무차원화(non-dimensionalize)하여 계산한다. 무차원화는 자유류 조건을 기준으로 하며 무차원 방정식은 식(1.2.1)과 동일한 형태를 가진다.
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@@ -0,0 +1,212 @@
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<!-- source-page: 501 -->
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# 1-3 공간이산화
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예조건화된 방정식 (1.2.8)은 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\Gamma} \frac {\partial \mathbf {Q}}{\partial t} + \nabla \cdot \overline {{{\mathbf {F}}}} = \nabla \cdot \overline {{{\mathbf {F}}}} _ {v} + \mathbf {S} \tag {1.3.1}
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$$
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위 식을 그림 1.3.1과 같은 전산셀(computational cell)에 대해 적분하고 확산정리(divergence theorem)을 적용하면 다음과 같이 변환할 수 있다.
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$$
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||||
\Gamma \frac {d}{d t} \int_ {V} \mathbf {Q} d V + \int_ {\Omega} \overline {{\mathbf {F}}} \cdot \mathbf {n} d \Omega = \int_ {\Omega} \overline {{\mathbf {F}}} _ {v} \cdot \mathbf {n} d \Omega + \int_ {V} \mathbf {S} d V \tag {1.3.2}
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$$
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||||
midas FEA 에서는 구조화된 격자를 사용하기 때문에 셀의 배치가 그림 1.3.1과같음에 주의해야 한다. 각 셀의 크기가 작다고 가정하여 셀의 부피와 인접면에 대한 적분을 수행하면 다음과 같이 유한체적법으로 공간이산화한 준 이산화 방정식이 된다.
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$$
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\boldsymbol {\Gamma} \frac {d \mathbf {Q} _ {(i , j)}}{d t} + \mathbf {R} = \mathbf {0} \tag {1.3.3}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Q_{ij-11}
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Q_{ij-11}
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Q_{11}
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Q_{ij-11}
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Q_{10-10}
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Q_{10-0}
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</details>
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그림 1.3.1 전산셀의 배치와 지표(index)
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<!-- source-page: 502 -->
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여기서, 잔류량 R 은 인접면에서의 총 유량 $\tilde { \mathbf { F } } _ { c }$ 에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.
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$$
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||||
\mathbf {R} = \frac {1}{V _ {(i , j)}} (\sum \tilde {\mathbf {F}} _ {c} \cdot \mathbf {n} \Delta \Omega) + \mathbf {S} _ {(i, j)} \tag {1.3.4}
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$$
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||||
안정적인 수치해석을 위해 유량벡터 $\tilde { \mathbf { F } } _ { c }$ 에서 비점성항은 ${ \mathsf { R o e } } ^ { 4 } { \underline { { \circ } } } |$ 수치유량벡터로대치하여 계산하며 특성치 수정(entropy correction) 방법을 적용하여 흔들림(wiggle)을 방지한다. 수치유량 계산에 단순한 상류차분(upwind difference)을 사용하게 되면 1차의 정확도만을 얻을 수 있으므로 보다 정확한 해를 얻기 위해 vanLeer5 의 MUSCL 외삽(extrapolation) 기법과 (limiter)를 적용하여 고차의 공간이산화를 얻음과 동시에 단조성(monotone)을 유지할 수 있다.
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<!-- source-page: 503 -->
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# 1-4 정상유동
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정상유동해석에서는 비정상 유동방정식에서 시간항이 0이 되는 Qp 를 구하게 된다. 식(1.2.1)을 시간차분 계수 θ를 이용하여 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\Gamma \frac {\Delta \mathbf {Q}}{\Delta \tau} + \theta \mathbf {R} ^ {n + 1} + (1 - \theta) \mathbf {R} ^ {n} = \mathbf {0} \tag {1.4.1}
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$$
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||||
midas FEA에서는 θ =1 을 사용한다. 위 식에서 n+1 R 을 선형화하여 다시 정리하면 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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||||
[ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} (\mathbf {A} + \mathbf {B}) ] \Delta \mathbf {Q} = - \Delta \tau \mathbf {R} ^ {n} \tag {1.4.2}
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$$
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||||
대각행렬 D 는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {D} = \boldsymbol {\Gamma} - \Delta \tau \mathbf {K} \tag {1.4.3}
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$$
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여기서,
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K : 난류원천항의 자코비안(Jacobian) 행렬
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A : 셀 경계 i ±1/ 2 에서의 F 자코비안 행렬
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B : 셀 경계 j ±1/ 2 에서의 F 자코비안 행렬
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원천항의 자코비안 행렬 K 는 난류모델에 따라 다른 형태를 가지며, midas FEA에서는 안정적인 수치해석을 위하여 원천항 중 감쇄항만을 포함하였다.
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식 (1.4.2)의 해는 AF-ADI(Approximate Factorization-Alternative DirectionImplicit) 방법으로 계산한다.
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$$
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[ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} \mathbf {A} ] \mathbf {D} ^ {- 1} [ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} \mathbf {B} ] \Delta \mathbf {Q} = - \Delta \tau \mathbf {R} ^ {n} \tag {1.4.4}
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$$
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위 식은 블록 삼중대각(block tri-diagonal) 행렬이므로 효과적으로 계산할 수 있다.
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# 1-5 비정상유동
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비정상유동해석에서는 AF-ADI 방법을 적용할 때 발생하는 오차를 감소하기 위해개발된 이중시간 적분법6을 사용한다. 시간항에 대한 2차의 정확도를 갖고 “A-Stable” 한 “2-parameter family” 적분법7 에 의한 시간 이산화 방정식은 다음과같다.
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$$
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(1 + \frac {\phi}{2}) \frac {\Delta \mathbf {W} ^ {n}}{\Delta t} - \frac {\phi}{2} \frac {\Delta \mathbf {W} ^ {n - 1}}{\Delta t} + \theta \mathbf {R} ^ {n + 1} + (1 - \theta) \mathbf {R} ^ {n} = \mathbf {0} \tag {1.5.1}
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$$
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midas FEA에서는 φ θ =1, 1 = 을 사용한다. 위 식에 예조건화 행렬을 곱한 가상의시간항을 더하여 이중 시간적분법을 적용하면 다음과 같다.
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$$
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\frac {3}{2} \frac {\Delta \overline {{{\mathbf {W}}}}}{\Delta t} - \frac {1}{2} \frac {\Delta \mathbf {W} ^ {n - 1}}{\Delta t} + \boldsymbol {\Gamma} \frac {\Delta \mathbf {Q} ^ {l}}{\Delta \tau} + \mathbf {R} ^ {l + 1} = \mathbf {0} \tag {1.5.2}
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$$
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$$
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||||
\Delta \overline {{{\mathbf {W}}}} = \mathbf {W} ^ {l + 1} - \mathbf {W} ^ {l} \tag {1.5.3}
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$$
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여기서,
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l : 이중시간의 반복(iteration ) 지표(index)
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n : 시간증분 지표
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위 식에서 l +1 R 을 선형화하여 다시 정리하면 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수있다.
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$$
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||||
[ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} (\mathbf {A} + \mathbf {B}) ] \Delta \mathbf {Q} = - \Delta \tau \tilde {\mathbf {R}} \tag {1.5.4}
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$$
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||||
대각행렬 D 는 다음과 같다.
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$$
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||||
\mathbf {D} = \frac {3}{2} \mathbf {M} \frac {\Delta \tau}{\Delta t} + \mathbf {\Gamma} - \Delta \tau \mathbf {K} \tag {1.5.5.}
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$$
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$$
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||||
\tilde {\mathbf {R}} = \frac {3}{2} \frac {\mathbf {W} ^ {l} - \mathbf {W} ^ {n}}{\Delta t} - \frac {1}{2} \frac {\mathbf {W} ^ {n} - \mathbf {W} ^ {n - 1}}{\Delta t} + \mathbf {R} ^ {l} \tag {1.5.6}
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$$
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여기서,
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R : 수정된 잔류량
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M : Q 에서 W 로의 변환행렬
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이중시간 적분법이 수렴하게 되면 R 0 = 이 되고 다음과 같은 관계를 만족하게 된다.
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$$
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\mathbf {W} ^ {l + 1} = \mathbf {W} ^ {l} = \mathbf {W} ^ {n + 1} \tag {1.5.7}
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$$
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||||
식 (1.6.4)는 정상유동해석과 같이 AF-ADI 기법을 이용하여 계산할 수 있다.
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# 1-6 수치적 안정성
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Navier-Stokes 방정식은 대류(convection)와 확산(diffusion)의 성질을 모두 가지고 있기 때문에 가상의 시간증분 ∆τ 을 다음과 같이 계산한다.
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$$
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\frac {1}{\Delta \tau} = \frac {1}{\Delta \tau_ {h}} + \frac {1}{\Delta \tau_ {p}} \tag {1.6.1}
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$$
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대류에 관한 시간증분 h∆τ 는 CFL 수에 의해 조절하며 확산에 관한 시간증분p ∆τ 는 von Neumann 수를 이용하여 조절한다. CFL 수와 von Neumann 수의기본값은 각각 10.0과 5.0 이다.
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수치유량의 비점성항 계산에 사용하는 Roe의 근사 리만해는 수치적인 흔들림(wiggle)을 발생시킬 수 있기 때문에 midas FEA에서는 특성치 수정방법을 사용한다. Roe의 수치유량벡터에 사용되는 수치점성항(numerical viscosity)의 특성치를
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$$
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\left| \lambda \right| = \left| \lambda \right|, \text { if } \left| \lambda \right| \geq \varepsilon_ {1}
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$$
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$$
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\left| \lambda \right| = \frac {1}{2} \left\{\frac {\left| \lambda \right| ^ {2}}{\varepsilon_ {1}} + \varepsilon_ {1} \right\}, \text { if } \left| \lambda \right| < \varepsilon_ {1} \tag {1.6.2}
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$$
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일반적으로 ε 1 = 0.0 0.25 ∼ 의 값을 사용하며 클수록 해가 소산(dissipative)한 특성을 가진다. 정상유동 해석과 비정상유동 해석에서의 기본값은 각각 0.05와 0.0이다.
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midas FEA 에서는 난류 정상유동 해석에 있어서 수치적 안정성을 고려하여 사용자가 지정한 반복회수만큼을 층류(larminar) 유동으로 가정하여 계산한다. 또한 비정상유동의 안정적인 해석을 위해 초기 유동장을 정상해석 결과로부터 가져오게된다.
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# 1-7 전산유체 해석결과
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midas FEA의 전산유체 해석 결과는 속도, 압력 등의 전산 격자에 대한 결과와 공기력계수(aerodynamic coefficient)가 있다.
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# 격자에 대한 결과
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속도, 와도 : u v, [ m / sec ] ωz $\left[ \sec ^ { - 1 } \right]$
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정압, 동압 : $ { p } _ { \mathrm { ~ \normalfont ~ \left. ~ \right.} } \left[ { N } / m ^ { 2 } \right]$
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난류점성, 점성비 : $\mu _ { { } _ { t u r b } } \quad \ [ \ N \sec / m ^ { 2 } ] \quad \mu _ { { } _ { t u r b } } / \mu$
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난류에너지, 강도 : $K E _ { t u r b } [ m ^ { 2 } / { \mathrm { s e c } } ^ { 2 } ] u _ { t u r b } / U [ \% ]$
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# 공기력계수
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양력계수 : CL $C _ { L }$
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항력계수 : CD $C _ { D }$
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모멘트계수 : CM $C _ { M }$
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속도, 압력과 난류 관련 결과는 양이 많으므로 사용자가 지정한 시간 스텝에 대하여 출력하며, 공기력계수는 매 스텝마다 출력한다.
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midas FEA 프로그램이
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한국 토목 구조분야의 기술신장과 대외 기술경쟁력의 확보에
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다소나마 기여할 수 있기를 바랍니다.
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<table><tr><td>강상욱</td><td>강성규</td><td>강은식</td><td>강의영</td><td>계만수</td><td>고영현</td><td>권병천</td><td>권정우</td></tr><tr><td>김경환</td><td>김규상</td><td>김근영</td><td>김동현</td><td>김문성</td><td>김상길</td><td>김영민</td><td>김영진</td></tr><tr><td>김용성</td><td>김용수</td><td>김우종</td><td>김은아</td><td>김정인</td><td>김제현</td><td>김종민 A</td><td>김종민 B</td></tr><tr><td>김지웅</td><td>김치원</td><td>남궁계흥</td><td>남궁용락</td><td>남기수</td><td>문정호</td><td>박시형</td><td>박영호</td></tr><tr><td>박임구</td><td>박찬영</td><td>배민제</td><td>서기흥</td><td>서충원</td><td>선종복</td><td>성실애</td><td>손성용</td></tr><tr><td>신대석</td><td>신미영</td><td>심상우</td><td>심후성</td><td>양재석</td><td>양진오</td><td>염영종</td><td>염정현</td></tr><tr><td>오진상</td><td>우성운</td><td>윤장호</td><td>이 화</td><td>이민영</td><td>이샘이</td><td>이유리</td><td>이은숙 A</td></tr><tr><td>이은숙 B</td><td>이재훈</td><td>이정우</td><td>이종협</td><td>이창근</td><td>이창렬</td><td>이형우</td><td>이형훈</td></tr><tr><td>이혜연</td><td>이호정</td><td>이호택</td><td>정동진</td><td>정선화</td><td>정승식</td><td>정진상</td><td>정창진</td></tr><tr><td>조대현</td><td>조훈석</td><td>주민선</td><td>주영태</td><td>지영범</td><td>최병현</td><td>최성기</td><td>최원호</td></tr><tr><td>하성문</td><td>함성훈</td><td>허문석</td><td colspan="2">Angshuman</td><td colspan="3">Maziar</td></tr></table>
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(가나다 순)
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제 작 : (주)마이다스아이티 MIDAS Information Technology Co.,LTD
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